Dokumen ini membahas konsep integral dalam kalkulus, termasuk rumus dasar integral tak tentu dan tertentu, serta cara menentukan luas dan volume benda putar. Terdapat juga contoh soal dan penerapan integral untuk menyelesaikan masalah fisik dan geometris. Integral dijelaskan sebagai operasi kebalikan dari diferensiasi dan memiliki aplikasi dalam menentukan area di bawah kurva.

1. Integral
September 16, 2014

2. Rumus dasar
integral
Substitusi Parsial
Integral
Fungsi Aljabar
Integral Fungsi
Transenden
Luas Volume Benda Putar
Integral Tak
Tentu
Integral Tentu
Integral
Mempelajari
Meliputi Untuk menentukan
diselesaikan dengan
September 16, 2014

3. 1. Tentukan turunan pertama dari fungsi y = 2x3 + 6x – 1
dan y = (2 – 6x)3.
2. Sebuah benda diluncurkan ke bawah pada suatu
permukaan yang miring dengan persamaan gerak
s = t3 – 6t2 + 12t + 1. Tentukan waktu yang diperlukan
agar percepatan benda 48 m/s2.
3. Tentukan gradien garis singgung pada kurva
y = (4x + 3)(2x + 5) di x = –1.
September 16, 2014

4.  Pengintegralan merupakan operasi kebalikan dari
pendiferensialan.
 Fungsi F(x) disebut integral dari f(x) pada suatu domain
jika
yaitu turunan dari F(x) ke x sama dengan f(x).
September 16, 2014

5. 1. Notasi Integral Tak Tentu
Integral tertentu dinotasikan sebagai berikut.
∫ f(x) dx = F(x) + c
 ∫ f (x) dx dibaca ”integral f(x) dx”.
 ∫ f (x) dx = notasi dari integral tak tentu
 F(x) + c = fungsi antiturunan
 f(x) = fungsi yang diintegralkan (integran)
 c = konstanta
 dx = diferensial (turunan) dari x
September 16, 2014

6. 2. Rumus Dasar Integral Tak Tentu
a. Integral Fungsi Aljabar
Rumus-rumus dasar integral:
1. ∫ dx = x + c
2. ∫ xn dx
3. ∫ axn dx
4. ∫ a dx = ax + c
5. ∫[f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
6. ∫[f(x) − g(x)] dx = ∫f(x) dx − ∫ g(x) dx
7. ∫ a f(x) dx = a ∫ f(x) dx
September 16, 2014

7. Contoh:
Selesaikan setiap pengintegralan berikut.
a.
b.
Jawab:
a.
b.
September 16, 2014

8. 1) ∫ sin x dx = –cos x + c
2) ∫ cos x dx = sin x + c
3) ∫ sin ax dx
4) ∫ cos ax dx
5) ∫ sin (ax + b) dx
6) ∫ cos (ax + b) dx
September 16, 2014
b. Integral Fungsi Trigonometri
7) ∫ tan x dx = ln |sec x| + c
8) ∫ cot x dx = ln |sin x| + c
9) ∫ sec x dx = ln |sec x + tan x| + c
10) ∫ csc x dx = ln |csc x – cot x| + c
11) ∫ sec2 x dx = tan x + c
12) ∫ csc2 x dx = –cot x + c

9. Contoh:
Tentukan hasil integral dari ∫ (5 cos x + 2 sin x) dx.
Jawab:
∫ (5 cos x + 2 sin x) dx = ∫ 5 cos x dx + ∫ 2 sin x dx
= 5 sin x + 2 (–cos x) + c
= 5 sin x – 2 cos x + c
3. Menentukan Persamaan Kurva
Jika gradien garis singgung kurva diketahui maka
persamaan kurva-kurvanya adalah
September 16, 2014
y = ∫ f′(x) dx = F(x) + c
Nilai c ditentukan dari titik yang diketahui.

10. Contoh:
Gradien garis singgung kurva di titik (x, y) adalah 2x – 7.
Jika kurva melalui titik (4, –2), tentukan persamaan
kurvanya.
Jawab:
y = f(x) = ∫ (2x − 7) dx = x2 – 7x + c
Karena kurva melalui titik (4, –2) maka
f(4) = –2 Û 42 – 7(4) + c = –2
Û –12 + c = –2
Û c = 10
Jadi, persamaan kurva tersebut adalah y = x2 – 7x + 10.
September 16, 2014

11. 1. Pengertian Integral sebagai Luas Suatu Bangun
Datar
September 16, 2014

12. Daerah atau bangun datar pada gambar di atas terbentuk
dari suatu fungsi kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a dan
x = b.
Luas bangun datar tersebut adalah
Jika n → ∞ maka Δx → 0.
September 16, 2014

13.  Dengan kata lain, jika untuk [a, b] ada
maka luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu X,
garis x = a,dan x = b adalah
disebut integral tertentu untuk f dari a sampai b.
September 16, 2014

14. 2. Pengertian Integral Tertentu
Integral tertentu memiliki batas-batas integrasi, dituliskan
sebagai berikut.
F(x) adalah antiturunan dari f(x) pada a ≤ x ≤ b.
Hubungan di atas dinamakan dengan teorema dasar
kalkulus.
September 16, 2014

15. Contoh:
Tentukan integral tertentu untuk luas daerah tertutup pada
gambar berikut.
Jawab:
Persamaan fungsinya y = 3 – x.
Batas-batas integrasi dari 0 sampai 3.
Jadi, integral tertentu yang
menyatakan luas daerah tertutup itu
adalah
3
ò -
0
(3 x)dx
September 16, 2014

16. 3. Sifat-Sifat Integral Tertentu
September 16, 2014

17. 1. Bentuk
ò(f (x))nd(f (x))
= = + ò ò 1
f x nd f x undu n +
dengan u = f(x) dan n ≠ –1
u c
September 16, 2014
n
+
1
( ( )) ( ( )) 1

18. Contoh:
Jawab:

19. 2. Bentuk
Kita dapat menentukan besar sudut dari nilai sin, cos, dan
tan dari invers fungi trigonometri yang dilambangkan ”arc”.
 Jika x = sin t maka t = arc sin x.
 Jika x = cos t maka t = arc cos x.
 Jika x = tan t maka t = arc tan x.
September 16, 2014
Misalnya:
1. maka arc
2. maka arc
3. maka arc

20. Contoh:
Tentukan nilai integral .
Jawab:
Substitusi x = 3 sin t Û
dx = 3 cos t dt
Dengan demikian, diperoleh
September 16, 2014

21. September 16, 2014

22. Bentuk-Bentuk Substitusi Lain:
Bentuk Substitusi yang Sesuai
3. Bentuk
Secara umum, jika u fungsi yang diferensiabel, berlaku
September 16, 2014

23. Contoh:
Tentukan integral berikut.
Jawab:
Misalkan u = x3 + 2x + 4 sehingga du = (3x2 + 2) dx.
= ln | u | + c
= ln | x3 + 2x + 4 | + c
September 16, 2014

24. 4. Bentuk , dengan a Î R
Secara umum, jika u fungsi yang terdiferensial, berlaku:
September 16, 2014
Contoh:
Tentukan integral .
Jawab:
u = 2x2 + 3x + 1 sehingga du = (4x + 3) dx.

25. Integral parsial dirumuskan sebagai berikut.
Integral dipisah menjadi 2 bagian sehingga disebut integral
parsial, yaitu:
bagian fungsi u (harus lebih mudah dideferensialkan);
bagian dv, yang mengandung dx, harus lebih mudah
diintegralkan.
 harus lebih sederhana daripada .
September 16, 2014

26. Contoh:
Tentukan .
Jawab:
Kemungkinan yang dapat terjadi untuk memilih u dan dv
adalah sebagai berikut.
a) Misalkan u = x cos x dan dv = dx.
du = (cos x – x sin x) dx dan v = x sehingga
Pemisalan u dan dv di atas ditolak.
September 16, 2014

27. b. Misalkan u = cos x dan dv = x dx.
Dengan demikian, diperoleh
du = –sin x dx dan v =
Pemisalan u dan dv di atas juga ditolak.
September 16, 2014

28. c. Misalkan u = x dan dv = cos x dx.
u = x
Û du = dx
dv = cos x dx
Û ∫ dv = ∫ cos x dx
Û v = sin x
Oleh karena itu, diperoleh
∫ x cos x dx = x sin x – ∫ sin x dx
= x sin x + cos x + c
Pemisalan u dan dv seperti ini yang diterima.
September 16, 2014

29. 1. Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva y = f(x), Sumbu X,
Garis x = a, dan Garis x = b
a. Untuk f(x) ≥ 0 pada Interval a ≤ x ≤ b
Luas (L) daerah tersebut adalah
September 16, 2014

30. Contoh:
Suatu daerah dibatasi oleh kurva y = x – 1, x = 1, x = 3, dan
sumbu X.
a) Lukislah kurva tersebut dan arsir daerah yang dimaksud.
b) Tentukan luasnya.
Jawab:
a)
September 16, 2014

31. September 16, 2014

32. b. Kurva f(x) ≤ 0 pada Interval a ≤ x ≤ b
Nilai integral tertentu akan bernilai negatif.
Padahal luas suatu daerah harus bernilai positif sehingga
rumus untuk menghitung luas daerah di bawah sumbu X
sebagai berikut.
September 16, 2014

33. Contoh:
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x) = –3, sumbu
X, garis x = 1 dan x = 5.
Jawab:
= [–3(1)] – [–3(5)]
= (–3) – (–15)
= 12 satuan luas
September 16, 2014

34. c. Untuk f(x) ≥ 0 pada Interval a ≤ x ≤ c dan f(x) ≤ 0 pada
Interval c ≤ x ≤ b
 Luas daerah dari kurva f(x) ≥ 0 pada interval a ≤ x ≤ c dan
f(x) ≤ 0 pada interval c ≤ x ≤ b adalah
September 16, 2014

35. Contoh:
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva
y = x2 + 4x + 3, sumbu X, sumbu Y, dan x = 3.
September 16, 2014
3

36. Jawab:
Luas = L1 + L2
September 16, 2014

37. 2. Luas Daerah antara Dua Kurva
Luas daerah antara dua kurva y1 = f(x), y2 = g(x), x = a, dan
x = b adalah
atau
September 16, 2014

38. Contoh:
Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 dan y = x + 2.
September 16, 2014

39. Jawab:
Titik-titik potong kedua kurva, yaitu
x2 = x + 2 Û x2 – x – 2 = 0
Û (x + 1)(x – 2) = 0
Û x = –1 atau x = 2
Untuk x = –1 maka nilai y = 1. Untuk x = 2 maka nilai y = 4.
September 16, 2014

40. Suatu daerah yang dibatasi oleh dua kurva, baik kuadrat-linear,
maupun kuadrat-kuadrat, luas daerah itu dapat
ditentukan dengan rumus:
 D adalah diskriminan persamaan kuadrat gabungan dari
kedua kurva yang membentuk persamaan ax2 + bx + c = 0.
September 16, 2014

41. Perhatikan kembali luas daerah yang dibatasi kurva y = x2
dan y = x + 2. Kita akan menentukan luasnya dengan rumus
diskriminan.
Kita cari persamaan kuadrat gabungan kedua kurva.
y1 = y2 Û x + 2 = x2
Û x2 – x – 2 = 0
Jadi, a = 1; b = –1; c = –2.
D = b2 – 4ac
= (–1)2 – 4(1)(–2)
= 9
September 16, 2014
Jadi, luas

42. 3. Volume Benda Putar
a. Daerah Dibatasi Kurva y = f(x), Sumbu X atau
Sumbu Y, Garis x = a, dan Garis x = b
1) Perputaran Mengelilingi Sumbu X
Volume benda putar dari daerah yang dibatasi y = f(x),
sumbu X, x = a, dan x = b diputar mengelilingi sumbu X
sejauh 360° adalah
September 16, 2014

43. Contoh:
Tentukan volume benda putar yang terjadi jika bidang datar
yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 2x dan sumbu X diputar
360º menurut sumbu X.
September 16, 2014

44. Jawab:
Dicari dahulu titik potong kurva dengan sumbu X.
x2 – 2x = 0 Û x(x – 2) = 0
Û x = 0 atau x = 2
September 16, 2014

45. 2) Perputaran Mengelilingi Sumbu Y
Jika daerah yang dibatasi oleh x = f(y), sumbu Y, garis y = c,
dan garis y = d diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360°,
volume benda putar yang terjadi adalah
September 16, 2014

46. Contoh:
Tentukan volume benda putar yang terjadi bila daerah yang
dibatasi oleh sumbu Y, kurva y = x2, garis y = 2, dan garis
y = 5 diputar mengelilingi sumbu Y.
September 16, 2014

47. Jawab:
September 16, 2014

48. b. Volume Benda Putar Daerah di Antara Dua Kurva
1) Perputaran Mengelilingi Sumbu X
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y1 = f(x), kurva y2 =
g(x), garis x = a, garis x = b, dengan | f(x) | ≥ | g(x) |
diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360° maka volume
benda putar yang terjadi adalah
atau
September 16, 2014

49. Contoh:
Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi oleh kurva y = 6x – x2 dan y = x diputar mengelilingi
sumbu X sejauh 360°.
September 16, 2014

50. Jawab:
Perpotongan antara kurva y = 6x – x2 dan y = x.
y1 = y2
Û 6x – x2 = x
Û 5x – x2 = 0
Û x(5 – x) = 0
Û x = 0 atau x = 5
Nilai x = 0 dan x = 5 digunakan sebagai batas-batas integrasi
volume benda putarnya.
September 16, 2014

51. September 16, 2014

52. 2) Perputaran Mengelilingi Sumbu Y
Jika suatu daerah yang dibatasi oleh kurva x1 = f(y), kurva x2
= g(y), garis y = c, garis y = d dengan |f(y)| ≥ |g(y)| diputar
mengelilingi sumbu Y sejauh 360°, volume benda putar
yang terjadi adalah
atau
September 16, 2014

53. Contoh:
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi oleh kurva y = x2, y = 3x2, dan y = 3 di kuadran
pertama diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360°.
September 16, 2014

54. Jawab:
Kurva y = x2 Û Û
Kurva y = 3x2 Û Û
Dengan demikian, volume benda putarnya adalah
September 16, 2014