Dokumen tersebut membahas distribusi probabilitas variabel kontinyu dan diskrit, termasuk fungsi probabilitas, distribusi uniform, triangular, eksponensial, gamma, dan hubungannya.

1. DISTRIBUSI PROBABILITAS :
Variabel Kontinyu
ARIF RAHMAN
1

2. Ruang Sampel dan Variabel Acak
Ruang sampel (sample space) adalah satu
set lengkap semua keluaran yang mungkin
terjadi dalam populasi.
Variabel acak (random variable) adalah
suatu nilai bersifat acak dalam numerik
(format angka diskrit atau kontinyu) atau
nonnumerik yang menandai keluaran dalam
ruang sampel tertentu (finite atau infinite).
2

3. Distribusi
Distribusi adalah sebaran variabel acak X
dalam ruang sampel S dengan rentang R
yang mempunyai karakteristik unik
(parameter atau statistik) dalam interval
tertentu (finite atau infinite) dengan fungsi
probabilitas yang spesifik.
3

4. Distribusi Empiris dan Teoritis
Distribusi empiris (empirical distribution)
adalah distribusi sebaran data aktual dari
observasi atau eksperimen dengan
pengelompokan dalam distribusi frekuensi.
Distribusi teoritis (theoretical distribution)
adalah distribusi sebaran variabel acak
dalam rentang tertentu yang mengikuti
fungsi probabilitasnya.
4

5. Fungsi Probabilitas
Fungsi probabilitas menunjukkan tingkat
frekuensi relatif dari variabel acak X bernilai
diskrit atau luasan frekuensi relatif dari
interval variabel acak X bernilai kontinyu.
5

6. Probability Mass Function
Fungsi massa probabilitas (probability
mass function) adalah fungsi yang
memberikan penaksiran probabilitas dari
variabel acak diskrit pada nilai tertentu.
 Jika X adalah sebuah variabel acak diskrit, penaksiran nilai
probabilitas P(X=x)=p(x) untuk setiap x dalam rentang R di
mana nilai p(x) memenuhi :
 p(x)>0 untuk seluruh x∈R
 Σ p(x) = 1
6

7. Probability Density Function
Fungsi kepadatan probabilitas
(probability density function) adalah fungsi
yang memberikan penaksiran probabilitas
dari variabel acak kontinyu dalam interval
tertentu.
 Jika X adalah sebuah variabel acak kontinyu, penaksiran
nilai probabilitas P(a<X<b)=a∫b
f(x) dx untuk setiap interval X
dalam rentang R di mana nilai f(x) memenuhi :
 f(x)>0 untuk seluruh x∈R
 ∫ f(x) dx = 1
7

8. Cumulative Distribution Function
Fungsi distribusi kumulatif (cumulative
distribution function) adalah fungsi yang
memberikan penaksiran probabilitas
kumulatif dari variabel acak diskrit atau
kontinyu hingga nilai tertentu.
 Jika X adalah sebuah variabel acak, penaksiran nilai
probabilitas P(X<b)= F(x) untuk setiap interval X dalam
rentang R di mana nilai F(x) memenuhi :
 F(x) = Σb
p(x) untuk variabel acak diskrit x∈R
 F(x) = -∞∫b
f(x) dx untuk variabel acak kontinyu x∈R
8

9. Distribusi Diskrit
Hubungan antara p(x) dengan F(x)
9
RxF
xpxXPxF
xX
rentangdalamasprobabilitluntuk tota1)(manadi
)()()(
0
=
=≤= ∑≤≤
p(x) F(x)

10. Distribusi Kontinyu
Hubungan antara f(x) dengan F(x)
10
RxF
dxxfxXPxF
xX
rentangdalamasprobabilitluntuk tota1)(manadi
)()()(
=
=≤= ∫ ≤≤∞−
f(x) F(x)

11. Distribusi Continuous Uniform
Distribusi Continuous Uniform atau
Rectangular menunjukkan sebaran
variabel acak dengan peluang keluaran
berimbang (equally likely) dalam rentang
tertentu antara a hingga b, X∈{a<x<b}.
Penerapan Distribusi Uniform Kontinyu
antara lain untuk menunjukkan model awal
kejadian acak antara a hingga b, sebaran
sampel dalam rentang a hingga b.
11

12. Distribusi Uniform Kontinyu
 Parameter  a (minimum) dan b (maximum)
 Probability Density Function, f(x)
 Cummulative Distribution Function, F(x)
12




≤≤
−=
other
bxa
abxf
0
1
)(
f(x)
F(x)






≥
<≤
−
−
<
=
bx
bxa
ab
ax
ax
xF
1
)(
)(
0
)(

13. Distribusi Uniform Kontinyu
Dinotasikan dengan U(x;a,b)
Parameter  a dan b
Mean
Variance
13
2
ba +
=µ
12
)( 2
2 ab −
=σ

14. Distribusi Triangular
Distribusi Triangular menunjukkan
sebaran variabel acak dengan peluang
berubah linier dalam rentang tertentu antara
a hingga c, X∈{a<x<c} dan memiliki modus
pada nilai b.
Penerapan Distribusi Triangular antara lain
untuk menunjukkan model kasar
kemunculan kejadian acak antara a hingga
c dengan pemusatan modus pada b.
14

15. Distribusi Triangular
 Parameter  a (minimum), b (mode) dan c (maximum)
 Probability Density Function, f(x)
 Cummulative Distribution Function, F(x)
15









≤<
−−
−
≤≤
−−
−
=
other
cxb
bcac
xc
bxa
abac
ax
xf
0
))((
)(2
))((
)(2
)(
f(x)
F(x)









≥
<<
−−
−
−
≤≤
−−
−
<
=
cx
cxb
bcac
xb
bxa
abac
ax
ax
xF
1
))((
)(
1
))((
)(
0
)( 2
2

16. Distribusi Triangular
Dinotasikan dengan TRIA(x;a,b,c)
Parameter  a, b dan c
Mean
Variance
16
3
cba ++
=µ
18
222
2 bcacabcba −−−++
=σ

17. Distribusi Exponential
Distribusi Exponential menunjukkan
sebaran variabel acak yang menyatakan
waktu antar kejadian sukses (interarrival
time) dari proses Poisson dengan laju λ.
Variabel acak dalam rentang sangat dekat
(0) sampai tak hingga (∞), X∈{0<x<∞}.
17

18. Distribusi Exponential
Penerapan Distribusi Exponential antara
lain untuk menunjukkan waktu antar
kejadian sukses proses Poisson dengan
laju konstan λ, waktu antar kedatangan,
waktu antar kerusakan, waktu antar
pesanan.
18

19. Distribusi Exponential
 Parameter λ (rate of occurences)
 Probability Density Function, f(x)
 Cummulative Distribution Function, F(x)
19


 ≥
=
−
other
xe
xf
x
0
0.
)(
.λ
λ
f(x)
F(x)



≥−
<
= −
01
00
)( .
xe
x
xF xλ

20. Distribusi Exponential
Dinotasikan dengan EXPO(x;λ)
Parameter λ
Mean
Variance
20
λ
µ
1
=
2
2 1
λ
σ =

21. Distribusi Exponential
 Parameter β (scale)
 Probability Density Function, f(x)
 Cummulative Distribution Function, F(x)
21




≥
=
−
other
x
e
xf
x
0
0
)(
/
β
β
f(x)
F(x)



≥−
<
= −
01
00
)( /
xe
x
xF x β

22. Distribusi Exponential
Dinotasikan dengan EXPO(x;β)
Parameter β
Mean
Variance
22
βµ =
22
βσ =

23. Distribusi Exponential
Hubungan antara Distribusi Exponential
dengan Distribusi Poisson.
 Hingga saat T=t tidak terdapat satu kejadian
sukses proses Poisson, maka P(N(t)=0)
berdistribusi Poisson ekuivalen dengan P(T>t)
berdistribusi Exponential.
23
tt
t
t
ee
e
te
tTPttNP
tTPtNP
..
.
0.
)1(1
!0
).(
)(1).,0)((
)()0)((
λλ
λ
λ
λ
λβ
−−
−
−
=
−−=
≤−===
>==

24. Distribusi Exponential
Hubungan antara Distribusi Exponential
dengan Distribusi Poisson.
 Jika waktu antar kejadian sukses proses
Poisson sebesar T<t, sehingga dalam selang t
minimal terdapat satu kejadian yang terjadi,
maka P(N(t)>1) berdistribusi Poisson ekuivalen
dengan P(T<t) berdistribusi Exponential.
24
tt
t
t
ee
e
te
tTPttNP
tTPtNP
..
.
0.
11
)1(
!0
).(
1
)().,0)((1
)()1)((
λλ
λ
λ
λ
λβ
−−
−
−
−=−
−=





−
≤===−
≤=≥

25. Distribusi Exponential
Distribusi Exponential ekuivalen dengan
Distribusi Gamma pada saat parameter
shape (α) bernilai 1.
Distribusi Exponential ekuivalen dengan
Distribusi Weibull pada saat parameter
shape (α) bernilai 1.
25

26. Distribusi Exponential
Distribusi Erlang merupakan multiplikasi
variabel acak (x1+x2+...+xm) dari Distribusi
Exponential
Distribusi Exponential ekuivalen dengan
Distribusi Erlang pada saat parameter
multiplication (m) bernilai 1.
26

27. Distribusi Double Exponential atau Laplace
 Parameter  β (scale) dan γ (location)
 Probability Density Function, f(x)
 Cummulative Distribution Function, F(x)
27
∞≥≤∞−=
−
−
x
e
xf
x
.2
)(
)(
β
β
γ
f(x)
F(x)
( )






≥−
<
= −−
−
γ
γ
γ
γ
x
e
x
e
xF x
x
2
1
2)(
)(

28. Distribusi Double Exponential
Dinotasikan dengan DBLEXPO(x;β,γ)
Parameter  β, γ
Mean
Variance
28
γµ =
22
2βσ =

29. Distribusi Gamma
Distribusi Gamma menunjukkan sebaran
variabel acak yang menyatakan waktu yang
diperlukan untuk memperoleh sejumlah (α)
kejadian sukses dari proses Poisson
dengan laju λ atau 1
/β. Variabel acak dalam
rentang sangat dekat (0) sampai tak hingga
(∞), X∈{0<x<∞}.
29

30. Distribusi Gamma
Penerapan Distribusi Gamma antara lain
untuk menunjukkan waktu yang diperlukan
untuk memperoleh sejumlah kejadian
sukses proses Poisson dengan laju konstan
λ, waktu menghimpun sejumlah
kedatangan, waktu penyelesaian beberapa
tugas, waktu antar kerusakan, waktu
pengerjaan.
30

31. Distribusi Gamma
Fungsi Gamma, Γ(α) didefinisikan dengan
 Untuk α bilangan bulat positif maka
 Untuk α=1
/2 maka
31
)1().1()(
0untuk)(
0
1
−Γ−=Γ
>=Γ ∫
∞
−−
ααα
αα α
dxex x
)!1()( −=Γ αα
πα =Γ )(

32. Distribusi Gamma
 Parameter  α (shape) dan λ (rate of occurences)
 Probability Density Function, f(x)
 Cummulative Distribution Function, F(x)
32
∫
∞
−−
−−
−=Γ=Γ




>
Γ=
0
1
.1
)!1()(positifbulatjikadan)(manadi
0
0
)()(
αααα
α
λ
α
λαα
dxex
other
x
ex
xf
x
x
f(x)
F(x)




>
≤
=
∫ 0)(
00
)(
0
xdiif
x
xF
x

33. Distribusi Gamma
Dinotasikan dengan GAMMA(x;α,λ)
Parameter  α dan λ
Mean
Variance
33
λ
α
µ =
2
2
λ
α
σ =

34. Distribusi Gamma
 Parameter  α (shape) dan β (scale)
 Probability Density Function, f(x)
 Cummulative Distribution Function, F(x)
34
∫
∞
−−
−−−
−=Γ=Γ




>
Γ=
0
1
/1
)!1()(positifbulatjikadan)(manadi
0
0
)()(
αααα
α
β
α
βαα
dxex
other
x
ex
xf
x
x
f(x)
F(x)




>
≤
=
∫ 0)(
00
)(
0
xdiif
x
xF
x

35. Distribusi Gamma
Dinotasikan dengan GAMMA(x;α,β)
Parameter  α dan β
Mean
Variance
35
βαµ .=
22
.βασ =

36. Distribusi Gamma
Hubungan Distribusi Gamma dengan
Distribusi Exponential
 Pada saat nilai α =1, Distribusi Gamma (1,β)
sama dengan Distribusi Exponential (β)
 Jika X1,X2,...,Xm adalah m variabel acak
independen berdistribusi Exponential (β), maka
jumlah X1+X2+...+Xm adalah variabel acak
berdistribusi Gamma (m,β) dengan α= m
36

37. Distribusi Gamma
Distribusi Gamma sebagai gabungan
(compound) Distribusi Gamma
 Jika α1,α2,...,αm adalah m parameter shape
independen variabel X1,X2,...,Xm berdistribusi
Gamma (αi,β), maka jumlah X1+X2+...+Xm adalah
variabel acak berdistribusi Gamma (α1+α2+...
+αm,β)
37

38. Distribusi Erlang atau Gamma (m,β)
 Parameter  m (number of events) dan β (scale)
 Probability Density Function, f(x)
 Cummulative Distribution Function, F(x)
38
positifbulatmanadi
0
0
)!1()(
/1
m
other
x
m
ex
xf
xmm




>
−=
−−− β
β
f(x)
F(x)
( )




>−
≤
=
∑
−
=
−
0
!
1
00
)(
1
0
/
x
j
e
x
xF
m
j
jx
x ββ

39. Distribusi Erlang
Dinotasikan dengan ERLANG(x;m,β)
Parameter  m dan β
Mean
Variance
39
βµ .m=
22
.βσ m=

40. Distribusi Chi-Square atau Gamma (υ/2,2)
 Parameter  α=υ/2 dan β=2
 Probability Density Function, f(x)
 Cummulative Distribution Function, F(x)
40
f(x)
F(x)




>
≤
=
∫ 0)(
00
)(
0
xdiif
x
xF
x




>
Γ=
−−−
other
x
ex
xf
x
0
0
)(
2
)(
2/1
α
αα

41. Distribusi Chi-Square
Dinotasikan dengan CHISQR(x;υ,β)
Parameter  α=υ/2 dan β=2
Mean
Variance
41
υµ =
υσ 22
=

42. Distribusi Weibull
Distribusi Weibull menunjukkan sebaran
variabel acak sebagai pendekatan hukum
probabilitas beberapa variabel acak.
Variabel acak dalam rentang sangat dekat
(0) sampai tak hingga (∞), X∈{0<x<∞}.
42

43. Distribusi Weibull
Penerapan Distribusi Weibull antara lain
untuk menunjukkan waktu yang diperlukan
untuk memperoleh sejumlah kejadian
sukses, waktu menghimpun sejumlah
kedatangan, waktu penyelesaian beberapa
tugas, waktu antar kerusakan, waktu
pengerjaan.
43

44. Distribusi Weibull
 Parameter  α (shape) dan λ (rate of occurences)
 Probability Density Function, f(x)
 Cummulative Distribution Function, F(x)
44



 >
=
−−
other
xex
xf
x
0
0..
)(
).(1 α
λα
λα
f(x)
F(x)




>
≤
=
∫ 0)(
00
)(
0
xdiif
x
xF
x

45. Distribusi Weibull
Dinotasikan dengan WEIBULL(x;α,λ)
Parameter  α dan λ
Mean
Variance
45






+Γ=
−
α
λµ α
1
1.
1




















+Γ−





+Γ=
−
2
2
2 1
1
2
1
αα
λσ α

46. Distribusi Weibull
 Parameter  α (shape) dan β (scale)
 Probability Density Function, f(x)
 Cummulative Distribution Function, F(x)
46



 >
=
−−−
other
xex
xf
x
0
0.
)(
)/(1 α
βαα
βα



>−
≤
= −
01
00
)( )/(
xe
x
xF x α
β
F(x)
f(x)

47. Distribusi Weibull
Dinotasikan dengan WEIBULL(x;α,β)
Parameter  α dan β
Mean
Variance
47






Γ=
αα
β
µ
1




















Γ−





Γ=
22
2 112
2
αααα
β
σ

48. Distribusi Weibull
Hubungan Distribusi Weibull dengan
Distribusi Exponential
 Pada saat nilai α =1, Distribusi Weibull (1,β)
sama dengan Distribusi Exponential (β)
 Jika Xα
adalah variabel acak berdistribusi
Exponential (βα
), maka jumlah X adalah variabel
acak berdistribusi Weibull (α,β)
48

49. Distribusi Weibull
 Parameter  α (shape), β (scale) dan γ (location)
 Probability Density Function, f(x)
 Cummulative Distribution Function, F(x)
49



 ≥−
=
−−−−
other
xex
xf
x
0
)(.
)(
)/)((1
γγβα
α
βγαα



≥−
<
= −−
γ
γ
α
βγ
xe
x
xF x )/)((
1
0
)(
f(x)
F(x)

50. Distribusi Weibull
Dinotasikan dengan WEIBULL(x;α,β,γ)
Parameter  α, β dan γ
Mean
Variance
50






+Γ+=
α
βγµ
1
1.




















+Γ−





+Γ=
2
22 1
1
2
1.
αα
βσ

51. Distribusi Rayleigh atau Weibull (2,β)
 Parameter  α=2 (shape) dan β (scale)
 Probability Density Function, f(x)
 Cummulative Distribution Function, F(x)
51



 >
=
−−
other
xex
xf
x
0
0..2
)(
2
)/(2 β
β
f(x)
F(x)



>−
≤
= −
01
00
)( 2
)/(
xe
x
xF x β

52. Distribusi Rayleigh
Dinotasikan dengan RAYLEIGH(x;β)
Parameter  α=2 dan β
Mean
Variance
52
π
β
µ
2
=






−=
2
2
2
2
2 πβ
σ

53. Distribusi Beta
Distribusi Beta menunjukkan sebaran
variabel acak dengan dua parameter shape
(α1 dan α2) sebagai pendekatan hukum
probabilitas dua variabel acak. Variabel
acak dalam rentang 0 hingga 1, X∈{0<x<1}.
53
)).((
)2).((
)).((
)2).((
2
1
acb
cabc
acb
caba
−−
−−−
=
−−
−−−
=
µ
µ
α
µ
µ
α

54. Distribusi Beta
Penerapan Distribusi Beta antara lain untuk
menunjukkan model kasar ketiadaan data,
distribusi proporsi random, proporsi cacat
item dalam batch, waktu penyelesaian
tugas dalam PERT.
54
bcxa
cba
modusdanjika
6
.4
≤≤
++
=µ

55. Distribusi Beta
Fungsi Beta, B(α1,α2) didefinisikan dengan
55
)(
)().(
),(
0dan0untuk)1(),(
21
21
21
21
1
0
11
21
21
αα
αα
αα
αααα αα
+Γ
ΓΓ
=Β
>>−=Β ∫
−−
dxxx
)).((
)2).((
)).((
)2).((
2
1
acb
cabc
acb
caba
−−
−−−
=
−−
−−−
=
µ
µ
α
µ
µ
α

56. Distribusi Beta
 Parameter  α1 (shape1) dan α2 (shape2)
 Probability Density Function, f(x)
 Cummulative Distribution Function, F(x)
56
)(
)().(
),(manadi
0
10
),(
)1(
)(
21
21
21
21
11 21
αα
αα
αα
αα
αα
+Γ
ΓΓ
=Β




<<
Β
−
=
−−
other
x
xx
xf
f(x)
F(x)




>
≤
=
∫ 0)(
00
)(
0
xdiif
x
xF
x

57. Distribusi Beta
Dinotasikan dengan BETA(x;α1,α2)
Parameter  α1 dan α2
Mean
Variance
57
21
1
αα
α
µ
+
=
( ) ( )121
2
21
212
+++
=
αααα
αα
σ

58. Distribusi Beta
Hubungan Distribusi Beta dengan Distribusi
Continuous Uniform
 Variabel acak berdistribusi Uniform (0,1) adalah
variabel acak berdistribusi Beta (1,1)
Hubungan Distribusi Beta dengan Distribusi
Triangular
 Variabel acak berdistribusi Triangular (0,0,1)
adalah variabel acak berdistribusi Beta (1,2)
 Variabel acak berdistribusi Triangular (0,1,1)
adalah variabel acak berdistribusi Beta (2,1)
58

59. Distribusi Beta
Hubungan Distribusi Beta dengan Distribusi
Gamma
 Jika X1 dan X2 adalah dua variabel acak
independen berdistribusi Gamma (αi,β), maka
nilai X1/(X1+X2) adalah variabel acak berdistribusi
Beta (α1,α2)
59

60. Distribusi Beta
 Parameter  a (minimum), b (maximum), α1 (shape1)
dan α2 (shape2)
 Probability Density Function, f(x)
 Cummulative Distribution Function, F(x)
60
)(
)().(
),(manadi
0
),(
)()(
)(
21
21
21
21
11 21
αα
αα
αα
αα
αα
+Γ
ΓΓ
=Β




≤≤
Β
−−
=
−−
other
bxa
xbax
xf




≥
<
=
∫ axdiif
ax
xF
x
a
)(
0
)(
f(x)
F(x)

61. Distribusi Beta
Dinotasikan dengan BETA(x;a,b,α1,α2)
Parameter  a, b, α1 dan α2
Mean
Variance
61






−
+
+= ).(
21
1
aba
αα
α
µ
( ) ( )121
2
21
212
+++
=
αααα
αα
σ

62. 62

63. Pendekatan Distribusi Kontinyu
Pendekatan Distribusi Exponential pada variabel
acak berdistribusi Geometric saat probabilitas
sukses sangat kecil (limit p0)
Pendekatan Distribusi Gamma pada variabel acak
berdistribusi Negative Binomial saat probabilitas
sukses sangat kecil (limit p0)
63

64. Dist. Exponential  Dist. Geometric
Variabel acak distribusi Exponential dapat ditinjau
sebagai bentuk pendekatan distribusi Geometric
dengan mengasumsikan selang antar trial
ekuivalen dengan satu satuan waktu (continuum),
saat probabilitas sukses sangat kecil (limit p0),
maka probabilitas kejadian sukses (p) ekuivalen
dengan laju kejadian sukses (λ) atau kebalikan
scale (1
/β) yang menjadi parameter distribusi
Exponential.
64

65. Dist. Exponential  Dist. Geometric
65
p
xE
p
11
)(lim
0
===
→ λ
β
β
λ
/
.
0
0
1
1)(lim
)1(1)(lim
x
x
p
x
p
e
exXP
pxXP
−
−
→
→
−=
−=≤
−−=≤
a
n
n
e
aa
a
n
a
→++++=





+
∞→
...
!3!2
11lim
32

66. Dist. Exponential  Dist. Geometric
Dist. Exponential
Mean
Variance
Dist. Geometric
Mean
Variance
66
β
λ
µ
==
=
1
1
p
2
2
2
2
)1(
)1(
β
λ
σ
==
−
=
p
p
apa
p
→−
→
)(lim
0
λ
βµ
1
==
2
22 1
λ
βσ ==
pp
11
lim
0
==
→ λ
β

67. Dist. Gamma  Dist. Negative Binomial
Variabel acak distribusi Gamma dapat ditinjau
sebagai bentuk pendekatan distribusi Negative
Binomial dengan mengasumsikan selang antar
trial ekuivalen dengan satu satuan waktu
(continuum), saat probabilitas sukses sangat kecil
(limit p0), maka probabilitas kejadian sukses (p)
ekuivalen dengan kebalikan scale (1
/β) dan
banyaknya sukses (s) ekuivalen dengan shape (α)
yang menjadi parameter distribusi Gamma.
67

68. Dist. Gamma  Dist. Negative Binomial
68
p
xE
p
11
)(lim
0
===
→ λ
β
∫
∫
∑
Γ
=
Γ
=≤
−





−
−
=≤
−−
−−
→
=
−
→
x y
x y
p
x
si
sis
p
dy
ex
dy
ex
xXP
pp
s
i
xXP
0
/1
0
.1
0
0
)(
)(
)(lim
)1(
1
1
)(lim
α
λ
α
λ
βαα
λαα
a
n
n
e
aa
a
n
a
→++++=





+
∞→
...
!3!2
11lim
32

69. Dist. Gamma  Dist. Negative Binomial
Dist. Gamma
Mean
Variance
Dist. Negative Binomial
Mean
Variance
69
βα
λ
α
µ
.==
=
p
s
2
2
2
2
.
)1.(
)1.(
βα
λ
α
σ
==
−
=
p
ps
apa
p
→−
→
)(lim
0
λ
α
βαµ == .
2
22
.
λ
α
βασ ==
pp
11
lim
0
==
→ λ
βs=α

70. 70

71. 71
Terima kasih ...Terima kasih ...
... Ada pertanyaan ???... Ada pertanyaan ???