Penjelasan materi dapat dilihat di https://youtu.be/4mlIZSOre9w

1. Standing Wave Solutions of the Wave Equations
Heni Widayani
Persamaan Diferensial Parsial
Jurusan Matematika
UIN Maulana Malik Ibrahim Malang
heniwidayani@mat.uin-malang.ac.id
April 27, 2020
Heni Widayani (UIN Malang) Standing Waves April 27, 2020 1 / 20

2. Subtopik
1 Standing Wave of Infinite String
2 Standing Wave of Finite String
3 Mode Getaran
4 Superposition of Standing Waves
5 Infinite Superposition
Heni Widayani (UIN Malang) Standing Waves April 27, 2020 2 / 20

3. Standing Wave
Ingat kembali solusi dari pers. gelombang
utt = c2
uxx
adalah jumlahan dari dua travelling wave, u(x, t) = F(x − ct) + G(x + ct).
Salah satu contoh solusinya adalah
u(x, t) = sin(x − t) + sin(x + t)
sebagaimana ditunjukkan gambar di bawah ini
t=0 t=0.5 t=1 t=1.5
Solusi tersebut dapat dituliskan sebagai u(x, t) = 2 cos(t) sin(x), yakni fungsi
v(x) = sin(x) dengan amplitudo w(t) = 2 cos(t) untuk t ≥ 0.
Standing Wave
Fungsi tak-konstan berbentuk u(x, t) = w(t)v(x) disebut Standing Wave.
Heni Widayani (UIN Malang) Standing Waves April 27, 2020 3 / 20

4. Standing Wave of Infinite String
Pers. gelombang pada medium tak hingga berbentuk
utt = c2
uxx , −∞ < x < ∞, t > 0
Solusi standing wave memiliki bentuk umum
u(x, t) = w(t)v(x)
Substitusi ke pers. gelombang tersebut menghasilkan
w”(t)v(x) = c2
w(t)v”(x)
w”(t)
w(t)
= c2 v”(x)
v(x)
Karena ruas kiri hanya bergantung terhadap t dan ruas kanan hanya bergantung
terhadap x, maka satu-satunya kemungkinan kedua ruas tersebut sama dengan konstan,
atau dapat ditulis
w”(t)
w(t)
= c2 v”(x)
v(x)
= λ, λ ∈ R
Dengan demikian, diperoleh dua persamaan diferensial biasa
w”(t) = λw(t) dan v”(x) =
λ
c2
v(x) (1)
Heni Widayani (UIN Malang) Standing Waves April 27, 2020 4 / 20

5. Untuk sistem (1) terdapat 3 kemungkinan
λ = 0
Pada kasus ini, sistem (1) menjadi
w”(t) = 0 dan v”(x) = 0
Solusi dari kedua persamaan diferensial biasa ini adalah
w(t) = A + Bt dan v(x) = C + Dx untuk konstanta A, B, C dan D tertentu,
sehingga diperoleh solusi Standing Wave
u(x, t) = (A + Bt)(C + Dx)
λ = r2
> 0
Pada kasus ini, sistem (1) menjadi
w”(t) = r2
w(t) dan v”(x) =
r
c
2
v(x)
Solusi dari kedua persamaan diferensial biasa ini adalah
w(t) = Aert
+ Be−rt
dan v(x) = Cerx/c
+ De−rx/c
sehingga dihasilkan solusi Standing Wave
u(x, t) = Aert
+ Be−rt
Cerx/c
+ De−rx/c
Heni Widayani (UIN Malang) Standing Waves April 27, 2020 5 / 20

6. λ = −r2 < 0
Pada kasus ini, sistem (1) menjadi
w”(t) = −r2
w(t) dan v”(x) = −
r
c
2
v(x)
Solusi dari kedua persamaan diferensial biasa ini adalah
w(t) = A cos(rt) + B sin(rt) dan v(x) = C cos rx
c + D sin rx
c
sehingga dihasilkan solusi Standing Wave
u(x, t) = (A cos(rt) + B sin(rt)) C cos
rx
c
+ D sin
rx
c
Heni Widayani (UIN Malang) Standing Waves April 27, 2020 6 / 20

7. Contoh
Untuk pers.gelombang utt = 9uxx , konstruksikan contoh dari solusi Standing Wave
untuk setiap kasus λ = 0, λ > 0, dan λ < 0 dengan memilih nilai A, B, C, D dan r.
Animasikan solusinya!
JAWAB :
Untuk pers. gelombang tersebut diperoleh c2
= 9, maka c = 3 (dipilih c positif agar
gelombang bergerak ke kanan).
λ = 0 → u(x, t) = (A + Bt)(C + Dx)
(Animasi2a.gif)
λ = r2
> 0,
misal r = 1 → u(x, t) = Aet
+ Be−t
Cex/3
+ De−x/3
(Animasi2b.gif)
λ = −r2
< 0,
misal r = 1 → u(x, t) = (A cos(t) + B sin(t)) C cos x
3
+ D sin x
3
(Animasi2c.gif)
Heni Widayani (UIN Malang) Standing Waves April 27, 2020 7 / 20

8. Standing Wave of a Finite String
Pers. gelombang dawai, dengan panjang L di mana kedua ujung tetap adalah
utt = c2
uxx , 0 < x < L, t > 0
dengan syarat batas Dirichlet : u(0, t) = 0 dan u(L, t) = 0.
Solusi u(x, t) = v(x)w(t) harus memenuhi kedua syarat batas tersebut sehingga
u(0, t) = v(0)w(t) = 0 dan u(L, t) = v(L)w(t) = 0 untuk semua t
Karena kita tidak menginginkan w(t) = 0, maka syarat batas tersebut ekuivalen dengan
kondisi
v(0) = 0 dan v(L) = 0
Dari pembahasan sebelumnya, terdapat 3 kemungkinan solusi v(x), yakni
Untuk λ = 0, v(x) = C + Dx
Untuk λ = r2
> 0, v(x) = Cerx/c
+ D−rx/c
Untuk λ = −r2
< 0, v(x) = C cos rx
c
+ D sin rx
c
Akan dicari solusi v(x) yang memenuhi syarat batas v(0) = 0 dan v(L) = 0.
Heni Widayani (UIN Malang) Standing Waves April 27, 2020 8 / 20

9. Untuk λ = 0
Karena v(x) = C + Dx harus memenuhi v(0) = 0 dan v(L) = 0, maka C dan D
harus memenuhi
C = 0
C + DL = 0
Solusi untuk SPL tersebut adalah C = 0 dan D = 0, sehingga v(x) = 0. Ini berarti
u(x, t) = w(t)v(x) = 0, artinya u(x, t) bukan solusi standing wave.
Untuk λ = r2
> 0
Karena v(x) = Cerx/c
+ D−rx/c
harus memenuhi syarat batas diperoleh SPL
C + D = 0
CerL/c
+ De−rL/c
= 0
Kalikan persamaan pertama dengan −e−rL/c
lalu jumlahkan dengan pers. kedua
menghasilkan C erL/c
− e−rL/c
= 0. jelas bahwa satu-satunya solusi adalah
C = 0 dan D = 0. Dengan demikian, v(x) = 0 sehingga u(x, t) = w(t)v(x) = 0,
artinya u(x, t) bukan solusi standing wave.
Heni Widayani (UIN Malang) Standing Waves April 27, 2020 9 / 20

10. Untuk λ = −r2
< 0
Karena v(x) = C cos rx
c
+ D sin rx
c
harus memenuhi syarat batas, diperoleh SPL
C = 0
D sin(rL/c) = 0
Persamaan kedua memiliki dua kemungkinan faktor D = 0 atau sin(rL/c) = 0.
Karena D = 0 menghasilkan v(x) = 0 (bukan Standing Wave), satu-satunya
kemungkinan adalah sin(rL/c) = 0, yang artinya
sin(rL/c) = 0 = sin(nπ)
rL/c = nπ
r = nπc
L
, untuk n ∈ Z
Dengan demikian, diperoleh solusi standing wave berbentuk
u(x, t) = A cos
nπct
L
+ B sin
nπct
L
D sin
nπx
L
Dengan menuliskan ulang konstanta AD dan BD sebagai A dan B, solusi di atas
dapat ditulis ulang sebagai
un(x, t) = A cos
nπct
L
+ B sin
nπct
L
sin
nπx
L
(2)
Heni Widayani (UIN Malang) Standing Waves April 27, 2020 10 / 20

11. Latihan Soal
1 Sebuah dawai dengan panjang L diikat di salah satu ujung dan ujung lain dibiarkan
bebas bergerak. Kondisi ini mengakibatkan syarat batas di salah satu ujung, x = L
berubah menjadi ux (L, t) = 0. Tentukan solusi Standing Wave dari
utt = c2
uxx , 0 < x < L, t > 0
dengan syarat batas u(0, t) = 0 dan ux (L, t) = 0 (TUGAS)
2 Dengan menggunakan solusi Standing Wave dengan kedua ujung terikat
sebelumnya, tentukan solusi khusus dari pers. gelombang berikut (tentukan nilai
n, A, dan B dari solusi (2) yang bersesuaian)
utt = uxx , 0 < x < 1, t > 0
dengan syarat batas u(0, t) = 0 dan u(1, t) = 0 dan syarat awal
u(x, 0) = 10 sin(πx) dan ut(x, 0) = 0 (TUGAS)
u(x, 0) = 0 dan ut(x, 0) = −3 sin(2πx)
u(x, 0) = sin(4πx) dan ut(x, 0) = 2 sin(4πx)
Animasikan setiap solusi tersebut !
3 Tentukan solusi Standing Wave dari dawai dengan kedua ujung lepas berikut lalu
animasikan solusinya
utt = c2
uxx , 0 < x < L, t > 0
dengan syarat batas ux (0, t) = 0 dan ux (L, t) = 0.
Heni Widayani (UIN Malang) Standing Waves April 27, 2020 11 / 20

12. Mode Getaran
Solusi Standing Wave dari getaran dawai dengan kedua ujung terikat adalah salah satu
jenis gerakan dawai yang disebut getaran n mode. Solusi tersebut dapat ditulis ulang
sebagai berikut
un(x, t) = A cos nπct
L
+ B sin nπct
L
sin nπx
L
= R cos nπct
L
− δ sin nπx
L
(3)
dengan R dan δ adalah konstant dalam A dan B. Bentuk ini menunjukkan bahwa
un(x, t) adalah fungsi sin nπx
L
dengan periode amplitudo antara −R sampai R.
Mode Pertama n = 1 Mode Kedua n = 2 Mode Ketiga n = 3
Heni Widayani (UIN Malang) Standing Waves April 27, 2020 12 / 20

13. Pers. (3) menunjukkan pula bahwa solusi dengan mode besar bergetar
dengan frekuensi tinggi, yang biasa didengar sebagai ”nada tinggi”.
Dari w(t) = R cos nπct
L − δ jelas bahwa getaran mode n berosilasi
lengkap antara −R sampai R dalam 2π detik.
Bilangan ωn = nπc
L disebut frekuensi sirkular untuk model n.
Banyaknya osilasi lengkap per detik yakni
fn =
nπc/L
2π
=
nc
2L
siklus per detik
Bilangan fn disebut frekuensi , sedangkan barisan {f1, f2, f3, . . . }
disebut frekuensi natural dawai.
Frekuensi pertama f1 disebut nada dasar, sedangkan frekuensi yang
lebih tinggi disebut over tone
Heni Widayani (UIN Malang) Standing Waves April 27, 2020 13 / 20

14. Superposition of Standing Waves
Superposisi
Jika u(x, t) dan v(x, t) adalah fungsi yang merepresentasikan dua
gelombang, maka
w(x, t) = au(x, t)) + bv(x, t)
disebut superposisi dari u dan v.
Prinsip superposisi adalah sifat dari persamaan diferensial homogen
dimana menyatakan bahwa kombinasi dua atau lebih solusi juga
merupakan solusi.
Superposisi dari dua buah standing waves disebut compound wave.
Heni Widayani (UIN Malang) Standing Waves April 27, 2020 14 / 20

15. Superposition solution
Kita akan menunjukkan bahwa jika u(x, t) dan v(x, t) adalah solusi dari
utt = c2
uxx , 0 < x < L, t > 0 (4)
dengan syarat batas u(0, t) = 0 dan u(L, t) = 0, maka w(x, t) = au(x, t) + bv(x, t)
untuk suatu konstanta a dan b juga merupakan solusi.
BUKTI:
Jika u(x, t) dan v(x, t) adalah solusi dari (4), maka
utt = c2
uxx vtt = c2
vxx
u(0, t) = 0 v(0, t) = 0
u(L, t) = 0 v(L, t) = 0
Karena w(x, t) = au(x, t) + bv(x, t), turunan kedua w(x, t) terhadap t dan x menjadi
wtt = (au + bv)tt = autt + bvtt
= ac2
uxx + bc2
vxx = c2
(auxx + bvxx ) = c2
(au + bv)xx = c2
wxx
Kemudian, untuk syarat batas diperoleh
w(0, t) = au(0, t) + bv(0, t) = a.0 + b.0 = 0
w(L, t) = au(L, t) + bv(L, t) = a.0 + b.0 = 0
Jadi terbukti bahwa w = au + bv yang merupakan superposisi dari u dan v juga adalah
solusi dari masalah syarat batas tersebut.
Heni Widayani (UIN Malang) Standing Waves April 27, 2020 15 / 20

16. Superposition of Standing Waves
Solusi dari pers. dawai yang diikat di kedua ujungnya adalah
un(x, t) = An cos
nπct
L
+ Bn sin
nπct
L
sin
nπx
L
Dengan menerapkan Prinsip Superposisi, maka diperoleh solusi berbentuk
u(x, t) = u1(x, t) + u2(x, t) + · · · + uN(x, t) =
N
n=1
un(x, t)
=
N
n=1
An cos
nπct
L
+ Bn sin
nπct
L
sin
nπx
L
Solusi yang merupakan superposisi dari standing wave ini disebut
compound wave
Heni Widayani (UIN Malang) Standing Waves April 27, 2020 16 / 20

17. Contoh Soal
Perhatikan masalah nilai awal dan syarat batas dari dawai dengan panjang L=1 dan
kecepatan c = 1 , yakni utt = uxx , 0 < x < 1, t > 0 dengan
u(0, t) = u(1, t) = u(x, 0) = 0, dan ut (x, 0) = 2 sin(πx) − 3 sin(2πx).
Solusi compound wave dari masalah ini adalah
u(x, t) =
N
n=1
[An cos (nπt) + Bn sin (nπt)] sin (nπx)
Solusi ini harus memenuhi syarat awal u(x, 0) = 0, sehingga
u(x, 0) =
N
n=1
An sin(nπx) = 0
artinya An = 0 untuk semua n. Kemudian, kecepatan awal dari solusi berbentuk
ut (x, t) =
N
n=1
[−Annπ sin (nπt) + Bnnπ cos (nπt)] sin (nπx)
Kecepatan awal solusi (t = 0) adalah
ut (x, 0) =
N
n=1
Bnnπ sin (nπx) = πB1 sin(nπ) + 2πB2 sin(2πx) + · · · + NπBN sin(Nπx)
= 2 sin(πx) − 3 sin(2πx)
Heni Widayani (UIN Malang) Standing Waves April 27, 2020 17 / 20

18. Kondisi tersebut terpenuhi ketika
πB1 = 2 dan 2πB2 = −3
artinya B1 = 2/π dan B2 = −3/(2π) serta A1 = A2 = 0. Jadi, solusi untuk masalah nilai
awal dan syarat batas tersebut adalah
u(x, t) =
2
π
sin(πt) sin(πx) −
3
2π
sin(2πt)sin(2πx)
Heni Widayani (UIN Malang) Standing Waves April 27, 2020 18 / 20

19. Infinite Superposition
Solusi u(x, t) sebelumnya merupakan jumlahan barisan berhingga 1,2,.., N.
Jika n → ∞ maka diperoleh
u(x, t) =
∞
n=1
An cos
nπct
L
+ Bn sin
nπct
L
sin
nπx
L
Karena tidak semua deret tak hingga konvergen, maka harus dipastikan bahwa
lim
n→∞
An = 0 dan lim
n→∞
Bn = 0 agar terjamin bahwa deret tersebut konvergen ke
satu fungsi u(x, t).
Cara menentukan nilai An dan Bn jika diberikan nilai awal berikut
u(x, 0) = f (x) dan ut (x, 0) = g(x)
dapat ditentukan dengan Deret Fourier sinus dari f (x) dan g(x) sehingga diperoleh
An =
2
L
L
0
f (x) sin
nπ
L
x dx dan Bn =
2
πnc
L
0
g(x) sin
nπ
L
x dx
Heni Widayani (UIN Malang) Standing Waves April 27, 2020 19 / 20

20. Latihan Soal
1 Tunjukkan bahwa Prinsip superposisi tidak berlaku untuk solusi dari MNB berikut
utt = c2
uxx , 0 < x < L, t > 0
dengan syarat batas u(0, t) = 1 dan u(L, t) = 0
2 Tentukan solusi dari utt = uxx , 0 < x < 1, t > 0 dengan syarat batas
u(0, t) = 0 dan u(1, t) = 0 yang memenuhi syarat awal
u(x, 0) = 10 sin(πx) + 3 sin(4πx) dan ut(x, 0) = 0
u(x, 0) = sin(2πx) dan ut(x, 0) = −3 sin(2πx)
3 Tentukan koefisien An dan Bn sehingga u(x, t) adalah solusi dari
utt = uxx , 0 < x < 1, t > 0
dengan u(0, t) = u(1, t) = ut (x, 0) = 0, dan
u(x, 0) = sin(πx) − 1
9
sin(3πx) + 1
25
sin(5πx) − . . .
4 Misalkan nilai awal diberikan sebagai u(x, 0) = f (x) yang berbentuk deret tak
hingga berikut
fN (x) =
N
k=1
(−1)k+1
(2k − 1)2
sin ((2k − 1)πx)
pada selang [0, 1] untuk N = 5, 10, dan 20. Plot fungsi fN (x) untuk setiap N
tersebut. Fungsi apakah yang dituju oleh fN (x) ketika N → ∞?
Heni Widayani (UIN Malang) Standing Waves April 27, 2020 20 / 20