Pat1 ก.พ. 61

ขอสอบรหัสวิชา 71 ความถนัดวิชาคณิตศาสตร
PAT1
ประจําปการศึกษา 2560
สอบวันที่ 24 กุมภาพันธ 2561
เวลา 13.00 – 16.00 น.
อาจารยรังสรรค ทองสุกนอก
โรงเรียนนาคประสิทธิ์ มูลนิธิวัดบางชางเหนือ
https://www.facebook.com/GTRmath

รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร์
วันเสาร์ที 24 กุมภาพันธ์ 2561 เวลา 13.00 – 16.00 น.
หน้า |1
ตอนที่ 1 แบบปรนัย 5 ตัวเลือก เลือก 1 คําตอบที่ถูกตองที่สุด
จํานวน 30 ขอ (ขอ 1 – 30) ขอละ 6 คะแนน
1. กําหนดให p และ q เปนประพจนใดๆ ประพจนในขอใดตอไปนี้เปนสัจนิรันดร
1. p ( p q)
    2. (q q) (p q)
   
3. (p q) q
    4. ( p q) ( p q)
     
5. ( p q) ( q p)
    
2. กําหนดเอกภพสัมพัทธ คือเซตคําตอบของอสมการ 2 2
x (x 1) 0
 
และให P(x) แทน x 1

Q(x) แทน 2
x x 2
 
R(x) แทน x < 0
S(x) แทน 1 – x < 0
ขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ
1. x[P(x)]
  2. x[Q(x)]

3. x[Q(x) P(x)]
  4. x[S(x) P(x)]
 
5. x[S(x) (P(x) R(x))]
   
3. เซตคําตอบของอสมการ   
2
1 x 1 1 x x x 13 x
      
เปนสับเซตของชวงขอใดตอไปนี้
1. (–5, 0) 2. (–4, 1)
3. (–3, 2) 4. (–2, 4)
5. (–1, 5)

หน้า |2
4. คาของ 1 1
sin 4arctan tan 2arctan
3 7
   
   
   
เทากับขอใดตอไปนี้
1.
5
24
2.
7
25
3.
7
24
4.
12
25
5.
13
25
5. ให R แทนเซตของจํานวนจริง
และให  
1
r (x,y) R R | y 3 x 2 x
      
 
2
r (x,y) R R | y x 1
    
ถา A เปนโดเมนของ 1
r และ B เปนเรนจของ 2
r
แลว A – B เปนสับเซตของชวงขอใดตอไปนี้
1. (–, –1] 2. (–2, 0]
3. (–1, 1] 4. (0, 2]
5. (1, )
6. ถา 2sin130 cos20
A arctan
cos290
 

  
 
 

แลว sin( A)cos( A)
6 6
 
  เทากับขอใดตอไปนี้
1.
3
2
 2.
1
2

3. 0 4.
1
2
5.
3
2

หน้า |3
7. ถา 0 A , B
2

  สอดคลองกับ (1 tan A)(1 tan B) 2
  
แลวคาของ 2 A B
tan
2

 
 
 
1. 3 – 2 2 2. 3 + 2 2
3. 5 – 2 2 4. 1 + 2
5. 1 + 2 2
8. ให E เปนวงรีรูปหนึ่งมีจุดศูนยกลางอยูที่จุด (1, –2) และโฟกัสทั้งสองอยูบนเสนตรงที่ขนานกับแกน x
ถา (4, 0) เปนจุดบน E และผลบวกของระยะทางจากจุด (4, 0) ไปยังจุดโฟกัสทั้งสองเทากับ 8 หนวย
แลววงรี E ผานจุดในขอใดตอไปนี้
1. (4, 2) 2. (2, 4)
3. (2, –4) 4. (–2, –4)
5. (4, –2)
9. ให a เปนจํานวนจริงที่สอดคลองกับอสมการ  
a 2a 1
3
log 5(6 ) 2 2a 1

  
ขอใดตอไปนี้ถูกตอง
1. 2a + 1 > 0 2. a 1

3. a
2 1
 4. 1 a 1 2
  
5. a 1
2 1


10. กําหนดให
1 2
A
1 3
 
  

 
 
และ
3 1
B
a b

 
  
 
 
เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริง
ถา (A – B)B = B(A – B) แลวคาของ det(A + B) เทากับขอใดตอไปนี้
1.
3
2
 2.
1
2

3.
5
2
4.
7
2
5.
13
2

หน้า |4
11. กําหนดใหเวกเตอร a i j 2k
  
ถา b เปนเวกเตอรในสามมิติ โดยที่ (b a) (b a) 10
   
และเวกเตอร a ทํามุม 60
กับเวกเตอร b
แลวขนาดของเวกเตอร a b
 อยูในชวงในขอใดตอไปนี้
1. (0, 2] 2. (2, 4]
3. (4, 6] 4. (6, 8]
5. (8, 10]
12. กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริงบวก และ
ให P = ax + by เปนฟงกชันจุดประสงค ภายใตอสมการขอจํากัดตอไปนี้
x + 2y  12
x + y  6
x – 2y  0
x  0 และ y  0
ถา P มีคามากที่สุด ที่จุด A และ B
โดยที่จุด A และจุด B เปนจุดสองจุดที่ตางกันอยูบนเสนตรง x + 2y = 12 และเปนจุดมุม
ที่สอดคลองกับอสมการที่กําหนดให แลวขอใดตอไปนี้ถูกตอง
1. b = a 2. b = 2a
3. b = 3a 4. b = 4a
5. b = 5a
13. กําหนดให S เปนปริภูมิตัวอยาง และ P(E) แทนความนาจะเปนของเหตุการณ E
และ E แทนคอมพลีเมนตของเหตุการณ E
ถา A และ B เปนเหตุการณใน S โดยที่ P(A B) 0.8
  และ P(A B) 0.4
 
แลวคาของ P(A ) P(B )
 
 เทากับขอใดตอไปนี้
1. 0.4 2. 0.6
3. 0.8 4. 1.2
5. 1.6

หน้า |5
14.
x 2 3 x
x 4
2 x 2 x
lim
x 2




มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1. 32 2. 64
3. 80 4. 96
5. 128
15. ให f เปนฟงกชันซึ่งมีโดเมนและเรนจเปนสับเซตของเซตจํานวนจริง
โดยที่ f (x) 2ax b x 1
    เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริง
ถา f(0) 1
 และ f (1) f (4) 0
 
  แลว (f f)(4)
 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1. 1.25 2. 1.75
3. 2.25 4. 2.75
5. 3.25
16. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยม โดยมีความยาวของเสนรอบรูปสามเหลี่ยมเทากับ 60 หนวย
ถาความยาวของดานตรงขามมุม A และมุม B เทากับ a หนวย และ b หนวย ตามลําดับ
แลวคาของ 2 2
A C B C
a sin b sin
2 2
 
   

   
   
1. 30 2. 30 + a
3. 60 4. 60 + a + b
5. 150
17. ใหจุด A เปนจุดบนเสนตรง 3x + y + 4 = 0
โดยที่จุด A หางจากจุด (–5, 6) และจุด (3, 2) เปนระยะเทากัน
ให 1
L และ 2
L เปนเสนตรงสองเสนที่ตางกันและขนานกับเสนตรง 5x + 12y = 0
ถาจุด A อยูหางจากเสนตรง 1
L และ 2
L เปนระยะเทากับ 2 หนวย
แลวผลบวกของระยะตัดแกน x ของเสนตรง 1
L และ 2
L เทากับขอใดตอไปนี้
1. –5.6 2. –2.8
3. 2.8 4. 5.6
5. 8.4

หน้า |6
18. ให 1 2
1 7i
z
(2 i)



และ 2
1 3i
z
1 2i



เมื่อ 2
i 1
 
ถา a และ b เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับ 1 2
az bz 2
 
a b
1. 1 2. 2
3. 4 4. 8
5. 12
19. จากการสํารวจรายไดและรายจายของพนักงานบริษัทแหงหนึ่ง จํานวน 8 คน ดังนี้
พนักงานคนที่ 1 2 3 4 5 6 7 8
รายได (x)
(หนวยหมื่นบาท)
1
x 2
x 3
x 4
x 5
x 6
x 7
x 8
x
รายจาย (y)
(หนวยหมื่นบาท) 1
y 2
y 3
y 4
y 5
y 6
y 7
y 8
y
ปรากฎวารายได(x) และ รายจาย(y) มีความสัมพันธเชิงฟงกชันแบบเสนตรงเปน y = 8x + 13.5
ถา
8
i
i 1
y 492


 และ
8
i i
i 1
x y 3432



แลวความแปรปรวนของรายไดของพนักงาน 8 คนนี้ เทากับขอใดตอไปนี้
1. 6.5 2. 7.5
3. 8.5 4. 9.5
5. 10.5

หน้า |7
20. กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานระหวาง 0 ถึง z ดังนี้
z 0.35 0.5 0.85 1.00 1.20
พื้นที่ใตเสนโคง 0.1368 0.1915 0.3023 0.3413 0.3849
จากการสอบถามอายุของนักเรียนมัธยมศึกษาตอนปลายของโรงเรียนหนึ่ง
พบวาอายุของนักเรียนมีการแจกแจงปกติ มีนักเรียนรอยละ 30.85 ที่มีอายุมากกวา 17 ป
และมีนักเรียนรอยละ 53.28 ที่มีอายุตั้งแต 14 ป แตไมเกิน 17 ป
แลวสัมประสิทธิ์การแปรผันของอายุนักเรียนกลุมนี้เทากับขอใดตอไปนี้
1. 0.125 2. 1.25
3. 4.0 4. 8.0
5. 12.5
21. กําหนดขอมูล 1 2 3 4
x , x , x , x โดยที่ 1 2 3 4
0 x x x x
   
ถาขอมูลชุดนี้มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 7 พิสัยเทากับ 9
และ มัธยฐานและฐานนิยมมีคาเทากัน และมีคาเทากับ 6
แลวสัมประสิทธิ์สวนเบี่ยงเบนควอไทลเของขอมูลชุดนี้ ทากับขอใดตอไปนี้
1.
3
19
2.
5
19
3.
6
19
4.
7
20
5.
9
20
22. ถา a และ b เปนจํานวนจริงบวก และ n เปนจํานวนเต็มบวก ที่สอดคลองกับ
3 2n
log a b 1
 , 2n 3
log a b 1
 และ n n 6
loga b
7

แลว n 2n
n log a log b
 เทากับขอใดตอไปนี้
1.
1
7
2.
6
7
3. 1 4. 2
5. 3

หน้า |8
23. ให H เปนไฮเพอรโบลาที่มีแกนสังยุคอยูบนเสนตรง x = 1 และมีจุดยอดจุดหนึ่งอยูที่ (0, 2)
ถา H ผานจุดศูนยกลางของวงรีซึ่งมีสมการเปน 2 2
5x 30x 9y 0
  
แลวสมการของไฮเพอรฺโบลา H ตรงกับขอใดตอไปนี้
1. 2 2
4x 3y 8x 12y 12 0
     2. 2 2
4x 3y 8x 12y 13 0
    
3. 2 2
4x 3y 8x 6y 12 0
     4. 2 2
3x 4y 6x 16y 17 0
    
5. 2 2
3x 4y 6x 8y 17 0
    
24. ให 1 2 3 n
a , a , a , ... , a , ... เปนลําดับเรขาคณิตของจํานวนเต็มบวก
โดยที่ มีผลบวกของพจนที่สองและพจนที่สี่ เทากับ 60 และพจนที่สามเทากับ 18
และให n
S เปนผลบวก n พจนแรกของลําดับ 1 2 3 n
a , a , a , ... , a , ...
4 2
S S
S S
1.
172
81
2.
37
16
3. 22 4. 88
5. 92
25. กําหนดให { 5, 4,0,1,2,3,4}
  
U
A {x 2x 1 }
   
U | U
2
B {x x 5x}
  
U |
C {x x 1 }
   
U | U
จํานวนสมาชิกของเซต (A – C)  (B C
 ) เทากับขอใดตอไปนี้
1. 6 2. 10
3. 12 4. 20
5. 24

หน้า |9
26. กําหนดให A เปนเมทริกซมิติ 3 3
 โดยที่ 1
detA
4

และ
3
1 1
2
B 0 2 0
a 0 b
 

 
 
  
 
 
เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริง
ถา 2AB 3I A
  เมื่อ I เปนเมทริกซเอกลักษณการคูณมิติ 3 3

แลวคาของ a + b เทากับขอใดตอไปนี้
1.
3
2
2.
5
2

3.
1
2
4.
17
2

5.
19
2
27. ให f และ g เปนฟงกชัน ซึ่งมีโดเมนและเรนจเปนสับเซตของเซตจํานวนจริง
โดยที่ x 1
f(x)
x 1



สําหรับทุกจํานวนจริง x 1

และ g(x) 6x 5
  สําหรับทุกจํานวนจริง x
ถา a เปนจํานวนจริงที่ a 1
 และ 1
g(f(a)) g (f(a))


แลว 1
f(g (a)) f(g(a))

1.
31
22
2.
16
11
3.
37
22
4.
20
11
5.
41
22

หน้า |10
28. กําหนดให a(0) = 1 และสําหรับ n = 0, 1, 2, 3, ...
ให
3 5a(n)
a(n 1) 1
2 a(n)
5



  



พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. a(3) – a(1) เปนจํานวนเฉพาะ
ข. a(4) > a(5)
ค. 146
a(7)
25

1. ขอ (ก) และ ขอ (ข) ถูก แต ขอ (ค) ผิด 2. ขอ (ก) และ ขอ (ค) ถูก แต ขอ (ข) ผิด
3. ขอ (ข) และ ขอ (ค) ถูก แต ขอ (ก) ผิด 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ถูกทั้งสามขอ
5. ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ผิดทั้งสามขอ
29. กําหนดให a, b, c, m และ n เปนจํานวนเต็มบวก สอดคลองกับ
1 a b c
   และ am bn c
 
พิจารณาอสมการตอไปนี้
ก. a c
m n

ข. bm < c
ค. n + mn < c + mc
เมื่อ a(n)  5
เมื่อ a(n) > 5

หน้า |11
30. ให R แทนเซตของจํานวนจริง
และให r {(x,y) R R | y x 2}
    
พิจารณาขอความตอไปนี้
ก. 1
(5,7) r

ข. 1
( 6, 3) r
  
ค. 1
r r
  
ตอนที่ 2 แบบอัตนัย ระบายคําตอบที่เปนตัวเลข
จํานวน 15 ขอ(ขอ 31 – 45) ขอละ 8 คะแนน
31. กําหนดให P(S) แทนเพาเวอรเซตของเซต S และ n(S) แทนจํานวนสมาชิกของเซต S
ให A, B และ C เปนเซตจํากัด โดยที่ B A
 และ A C
  
ถา n(P(P(B))) n(P(B C)) 16
   , n(B C) 1 , n(A C) 2
   
และ n(P(A C)) 4n(P(C A))
   แลว n(P(A)) เทากับเทาใด
32. ให A เปนเซตคําตอบของสมการ 2 2
x 2 x x 3x 2
   
ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต A เทากับเทาใด
33. ถา A เปนเซตคําตอบของสมการ
2
3 9 3
2log x 1 log (x 1) log 2x
   
แลวผลคูณของสมาชิกทั้งหมดในเซต A เทากับเทาใด

หน้า |12
34. ถา A เปนเซตของคูอันดับ (x, y) โดยที่ x และ y เปนจํานวนจริงบวกที่สอดคลองกับสมการ
x x
5 25
2 log y 4 log 5 4
 
x 3 2
5 5
2 log y (log y) 9
 
และให  
B xy | (x,y) A
 
คามากที่สุดของสมาชิกในเซต B เทากับเทาใด
35. กําหนดใหฟงกชัน
เมื่อ a เปนจํานวนจริง
ถาฟงกชัน f ตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง แลว คาของ f(a – 6) + f(a) + f(a + 6) เทากับเทาใด
36. กําหนดใหฟงกชัน 2
f(x) ax bx c
   เมื่อ a, b, c เปนจํานวนจริง
ถา f(–1) + f(1) = 14 , f (1) 2f(1)
  และ f (0) f (0) 6
 
 
แลว
1
0
f(3x)dx
 เทากับเทาใด
37. กําหนดใหฟงกชัน 3 2
f(x) ax bx 1
   เมื่อ a, b เปนจํานวนจริง
ถา
x 2
f(x) f(2)
lim 0
x 2




และ
1
0
1
f(x)dx
4


แลว
x 4
f (x) f (4)
lim
x 4

 


เทากับเทาใด
เมื่อ x < 3
เมื่อ x  3
3 x
3 x
f(x)
ax 10
 


 
 


หน้า |13
38. คนกลุมหนึ่งมีผูชาย n คน ผูหญิง n + 1 คน เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก
ตองการจัดคนกลุมนี้ยืนเรียงแถวเปนแนวตรงเพียงหนึ่งแถว
ถาจํานวนวิธีจัดคนกลุมนี้ยืนเรียงแถวแนวตรง โดยไมมีผูชายสองคนใดยืนติดกัน เทากับสองเทาของ
จํานวนวิธีจัดคนกลุมนี้ยืนเรียงแถวเปนแนวตรงโดยผูชายยืนติดกันทั้งหมด แลวคนกลุมนี้มีทั้งหมดกี่คน
39. กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริงบวก
และให 1 2 3 n
a , a , a , ... , a , ... เปนลําดับของจํานวนจริง
โดยที่ 1
a a
 2
, a b
 และ 1 2 3 n 1
n
a a a ... a
a
n 1

   


สําหรับ n = 3, 4, 5, ...
ถา 1 2 3 4
31
a 2a 3a 4a
8
    และ
10
i
i 1
30
a
8



แลวคาของ
2
1 1
a b
 

 
 
40. ขอมูลประชากรชุดหนึ่งมี 10 จํานวน
ดังนี้ 1 2 3 10
x , x , x , ... , x โดยที่ i
x 0
 สําหรับ i = 1, 2, 3, ..., 10
ถา
10
i
i 1
(x 4) 40

 
 และ
10
2
i
i 1
(x 4) 170

 

แลว ความแปรปรวนของขอมูล 1 2 3 10
2(x 3) , 2(x 3) , 2(x 3) , ... , 2(x 3)
    เทากับเทาใด
41. กําหนดให a, b และ c เปนจํานวนเต็ม
โดยที่ 0 c a b
   และ a + 2b + 3c = 32
ถา c เปนจํานวนคู และ 10 หาร b ลงตัว แลวคาของ 4a + 5b + 6c เทากับเทาใด

หน้า |14
42. กําหนดขอมูลชุดหนึ่ง ดังนี้
คะแนน ความถี่
0 – 4 4
5 – 9 3
10 – 14 5
15 – 19 a
20 – 24 b
เมื่อ a และ b เปนจํานวนเต็มบวก
ถาขอมูลชุดนี้ มีตําแหนงที่ของควอไทลที่ 3 3
(Q )เทากับ 13.5
แลวมัธยฐานของขอมูลชุดนี้เทากับเทาใด
43. ให 1 2 3 n
a , a , a , ... , a , ... เปนลําดับเลขคณิตของจํานวนจริง
โดยที่มีผลบวกสี่พจนแรกของลําดับเทากับ 14 และ 20 10
a a 30
 
และให 1 2 3 n
b , b , b , ... , b , ... เปนลําดับของจํานวนจริง
โดยที่ 1 3
b a
 และ n 1 n
b b 1
   สําหรับ n = 1, 2, 3, ...
คาของ n
n n
a
lim
b

44. ให a , b และ c เปนเวกเตอรในสามมิติ
โดยที่ a i j , b 3i 2 j 3 2k
    
เวกเตอร c ทํามุม 45
และ 60
กับเวกเตอร a และเวกเตอร j ตามลําดับ และ c k 0
 
ถา u เปนเวกเตอรหนึ่งหนวยที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร c แลว u b
 เทากับเทาใด

หน้า |15
45. กําหนดให 1
f(x) 1
1
1
1
1
1 x
 



สําหรับจํานวนจริง x > 0
ถา a เปนจํานวนจริงบวก ที่สอดคลองกับ
f(1 a) f(2 a) f(3 a) ... f(60 a) 2250
        
แลว a มีคาเทากับเทาใด

   

หน้า |16
เฉลย
--------------------------------------------------------------------------------------
ตอนที่ 1
1. 3 2. 3 3. 4 4. 2 5. 3 6. 5 7. 1 8. 4 9. 4 10. 3
11. 5 12. 2 13. 3 14. 4 15. 1 16. 1 17 4 18. 2 19. 2 20. 1
21. 5 22. 5 23. 1 24. 5 25. 3 26. 4 27. 1 28. 4 29. 2 30. 1
31. 32 32. 2.5 33. 1 34. 125 35. 0.5
36. 11 37. 18 38. 7 39. 36 40. 4
41. 86 42. 11.5 43. 3 44. 3.5 45. 6
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 1. ตอบ 3.
แนวคิด
พิจารณาตัวเลือก
1. สมมติให p ( p q)
    มีคาความจริงเปนเท็จ จะไดดังนี้
จะพบวาไมเกิดขอขัดแยง แสดงวามีกรณีที่ประพจนมีคาความจริงเปนเท็จได
ดังนั้น p ( p q)
    ไมเปนสัจนิรันดร
p ( p q)
   
F F
F
T F T

หน้า |17
2. สมมติให (q q) (p q)
    มีคาความจริงเปนเท็จ จะไดดังนี้
ดังนั้น (q q) (p q)
    ไมเปนสัจนิรันดร
3. สมมติให (p q) q
    มีคาความจริงเปนเท็จ จะไดดังนี้
จะพบวาเกิดขอขัดแยง แสดงวาประพจนตองมีคาความจริงเปนจริงทุกกรณี
ดังนั้น (p q) q
    เปนสัจนิรันดร
4. สมมติให ( p q) ( p q)
      มีคาความจริงเปนเท็จ จะไดดังนี้
ดังนั้น ( p q) ( p q)
      ไมเปนสัจนิรันดร
(q q) (p q)
   
T
F
F
T
F
T
T
F
F
T
F
T
(p q) q
   
F ขัดแยง
T
F
F
T
F
T
( p q) ( p q)
     
T

หน้า |18
5. สมมติให ( p q) ( q p)
     มีคาความจริงเปนเท็จ จะไดดังนี้
ดังนั้น ( p q) ( q p)
     ไมเปนสัจนิรันดร
จากการพิจารณาตัวเลือก
จะไดวา ประพจน (p q) q
    เปนสัจนิรันดร 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 2. ตอบ 3.
แนวคิด
พิจารณาเอกภพสัมพัทธ U
จากอสมการ 2 2
x (x 1) 0
 
x 0
 แสดงวา x = 0 หรือ 2
x 1 0
 
(x 1)(x 1) 0
  
ดังนั้นเซตคําตอบอสมการ 2 2
x (x 1) 0
  คือ {0} ( , 1] [1, )
    
นั้นคือ {0} ( , 1] [1, )
     
U
1. โดยที่มี 0 U ซึ่ง 0 1
 เปนเท็จ
แสดงวา มี 0 U ที่ทําให P(0) เปนเท็จ
ดังนั้น x[P(x)]
 มีคาความจริงเปนเท็จ
ทําให x[P(x)]
  มีคาความจริงเปนจริง
T
F
F
T
F
T
F
( p q) ( q p)
    
F
1
 1 
 

หน้า |19
2. โดยที่มี 2 U ซึ่ง 2
2 2 2
  เปนจริง
แสดงวา มี 2 U ที่ทําให Q(2) เปนจริง
ดังนั้น x[Q(x)]
 มีคาความจริงเปนจริง
3. โดยที่มี 1
 U ซึ่ง 2
( 1) ( 1) 2
    เปนจริง แต 1 1
  เปนเท็จ
แสดงวา มี 1
 U ที่ทําให Q( 1) P( 1)
   เปนเท็จ
ดังนั้น x[Q(x) P(x)]
  มีคาความจริงเปนเท็จ
4. โดยที่มี 2 U ซึ่ง 1 2 0
  เปนจริง และ 2 1
 เปนจริง
แสดงวา มี 2 U ที่ทําให S(2) P(2)
 เปนจริง
ดังนั้น x[S(x) P(x)]
  มีคาความจริงเปนจริง
5. สําหรับทุกๆ x > 1
ทําให 1 – x < 0 เปนจริงเสมอ , x 1
 เปนจริงเสมอ, x < 0 เปนเท็จเสมอ
นั่นคือ S(x) เปนจริงเสมอ , P(x) เปนจริงเสมอ , R(x) เปนเท็จเสมอ
ดังนั้น S(x) [P(x) R(x)] T (T F) T
        ...(*)
สําหรับทุกๆ x  –1 หรือ x = 1 หรือ x = 0
ทําให 1 – x < 0 เปนเท็จเสมอ
นั่นคือ S(x) เปนเท็จเสมอ
ดังนั้น S(x) [P(x) R(x)] F [P(x) R(x)] T
        ...(**)
จาก (*) และ (**) จะไดวา x[S(x) (P(x) R(x))]
    มีคาความจริงเปนจริง
จากการพิจารณาตัวเลือก
จะไดวา ประพจน x[Q(x) P(x)]
  มีคาความจริงเปนเท็จ 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

หน้า |20
ขอ 3. ตอบ 4.
แนวคิด
พิจารณาอสมการ   
2
1 x 1 1 x x x 13 x
       ...(*)
เงื่อนไขอสมการ 1 x 0
  จะได x 1
 
โดยที่  
2
x 1 x 1
   จากอสมการ (*) จะได
    
2
2
1 x 1 1 x x x 13 1 x 1
        
     
2
1 x 1 1 x x x 13 1 x 1 1 x 1
          
โดยที่ 1 x 1 0
   จึงนํา 1 x 1
  หารตลอด จะได
2
1 x x x 13 1 x 1
      
2
x x 13 1
   
2
x x 12 0
  
(x 4)(x 3) 0
  
แสดงวา –4 < x < 3
จากเงื่อนไขอสมการ x  –1
จะไดเซตคําตอบของอสมการ คือ ( 4,3) [ 1, ) [ 1,3)
     
ตรวจสอบตัวเลือกที่มี [ 1,3)
 เปนสับเซต ดังแผนภาพ
จากแผนภาพจะพบวา [ 1,3)
 ( 2,4)
  
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4
 3
  
1

5
 1
3
 2

4
 0 2 4 5
3
( 5,0)

( 4,1)

( 3,2)

( 2,4)

( 4,1)


หน้า |21
ขอ 4. ตอบ 2.
แนวคิด
กําหนดให 1
A arctan
3
 จะได 1
tan A
3

1
sin A
10

3
cosA
10

กําหนดให 1
B arctan
7
 จะได 1
tan B
7

จะได 1 1
sin 4arctan tan 2arctan
3 7
   
   
   
sin(4A)tan(2B)

2sin(2A)cos(2A)tan(2B)

  
2 2
2
2 tanB
2 2sin Acos A cos A sin A
1 tan B
 
   
 

2 2
2
1
2
1 3 3 1 7
2 2 ( ) ( )
1
10 10 10 10
1 ( )
7
 

 
  
     
  
   

 
 
2
6 9 1 7
2
10 10 10 1
1
49
 
 
  
 
   
   

 
 
6 8 2 49
2
10 10 7 48
   
 
   
   
7
25
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1
3
10
A

หน้า |22
ขอ 5. ตอบ 3.
แนวคิด
หาเซต A ที่เปนโดเมนของ  
1
r (x,y) R R | y 3 x 2 x
      
จาก y 3 x 2 x
   
จะหาคา y ไดเมื่อ 3 – x  0 และ 2 + x  0
3  x และ x  –2
แสดงวา –2  x  3
ดังนั้น A r1
D [ 2,3]
  
หาเซต B ซึ่งเปนเรนจของ  
2
r (x,y) R R | y x 1
    
จาก y x 1
  จัดใหมเปน x y 1
 
โดยที่ x 0
 แสดงวาจะคา x ไดเมื่อ y 1 0
 
y 1

1 y
  หรือ y 1

ดังนั้น r2
B R ( , 1] [1, )
     
พิจารณา A – B
จากแผนภาพจะได A – B =  
[ 2,3] ( , 1] [1, ) ( 1,1)
       
ตรวจสอบตัวเลือกที่มี (–1, 1) เปนสับเซต ดังแผนภาพ
จากแผนภาพจะพบวา (–1, 1) ( 1,1]
  
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
 3
1

2
 0 1 2
( , 1]
 
( 2,0]

( 1,1]

(0,2]
(1, )

2
 3
1
 1
A
B
A B


หน้า |23
ขอ 6. ตอบ 5.
แนวคิด
จาก 2sin130 cos20
A arctan
cos290
 

  
 
 

พิจารณา 2sin130 cos20
cos290

 

sin130 sin130 cos20
cos290
 

  

sin(90 40 ) sin(90 40 ) cos20
cos(270 20 )
   


    
 
cos 40 cos 40 cos20
sin20
 

  

40 20 40 20
cos40 2sin( )sin( )
2 2
sin 20
 
 
 
 
 

   


cos 40 2sin 30 sin10
sin20


  

1
cos40 2( )sin10
2
sin20


 

cos 40 sin10
sin20


 

cos 40 sin(90 80 )
sin 20
 

  

cos 40 cos 80
sin20


 

40 80 40 80
2sin( )sin( )
2 2
sin 20
 


   

2sin 60 sin( 20 )
sin 20
 

 

3
2( )( sin20 )
2
sin20
 



3


หน้า |24
จะได 2sin130 cos20
A arctan arctan 3
3
cos290
 
 
  
 
 
 

ดังนั้น sin( A)cos( A) sin( )cos( )
6 6 6 3 6 3
     
    
3
sin( )cos( )
6 6
 
 
sin( )cos( )
2 6
 

3
1
2
 
3
2
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 7. ตอบ 1.
แนวคิด
กําหนด 0 A , B
2

  สอดคลองกับ (1 tan A)(1 tan B) 2
  
1 tanA tanB tan A tanB 2
   
tan A tan B 1 tanA tanB
  
นํา 1 tan A tan B
 หารตลอด ;
tan A tan B
1
1 tan A tan B



โดยเอกลักษณ tan A tan B
tan(A B)
1 tan A tanB

 

; tan(A B) 1
  ...(*)
โดยที่ 0 A , B
2

  ทําให 0 A B
   
ดังนั้นจากสมการ (*) จะได A B
4

 

หน้า |25
ดังนั้น 2 2
A B 4
tan tan
2 2
 

 
 

  
 
   
2
tan
8
 

  
 
โดยเอกลักษณ A 1 cosA
tan
2 sin A

 ;
2
1 cos
4
sin
4
 


 
  

 
 
 
2
2
1
2
2
2
 

 
 

 
 
 
2
2 2 2
2 2
 

 
 
 
2
2 2
2
 

  
 
4 4 2 2
2
 

6 4 2
2


3 2 2
  
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 8. ตอบ 4.
แนวคิด
กําหนดใหวงรี E มีจุดศูนยกลางอยูที่จุด (1, –2) และโฟกัสทั้งสองอยูบนเสนตรงที่ขนานกับแกน x
จะไดสมการรูปมาตรฐานของวงรี E คือ
2 2
2 2
(x h) (y k)
1
a b
 
 
แทนจุดศูนยกลาง (h, k) คือ (1, –2) ;
2 2
2 2
(x 1) (y 2)
1
a b
 
  ...(*)
โจทยกําหนดใหผลบวกของระยะทางจากจุด (4, 0) บนวงรี E ไปยังจุดโฟกัสทั้งสองเทากับ 8 หนวย
โดยนิยามของวงรี จะไดวา 2a 8

a 4


หน้า |26
แทน a = 4 ในสมการ (*) จะได
2 2
2 2
(x 1) (y 2)
1
4 b
 
  ...(**)
เนื่องจากจุด (4, 0) อยูบนวงรี E
จะไดวาเมื่อแทน x = 4 และ y = 0 ในสมการ (**) สมการจะเปนจริง
นั่นคือ
2 2
2 2
(4 1) (0 2)
1
4 b
 
 
2
9 4
1
16 b
 
2
4 7
16
b

2 64
b
7

แทน 2 64
b
7
 ในสมการ (**) จะได
2 2
(x 1) (y 2)
1
16 64
7
 
 
2 2
(x 1) 7(y 2)
1
16 64
 
  ... (***)
พิจารณาจุดที่วงรี E ผาน โดยนําจุดในตัวเลือกไปแทนในสมการ (***) แลวเปนจริง ดังนี้
1. แทน x = 4 และ y = 2 ในสมการ (***) จะไดวา
2 2
(4 1) 7(2 2)
1
16 64
 
 
37
1
16

ซึ่งทําใหสมการเปนเท็จ แสดงวาวงรีไมผานจุด (4, 2)
2. แทน x = 2 และ y = 4 ในสมการ (***) จะไดวา
2 2
(2 1) 7(4 2)
1
16 64
 
 
4 1

ซึ่งทําใหสมการเปนเท็จ แสดงวาวงรีไมผานจุด (2, 4)
3. แทน x = 2 และ y = –4 ในสมการ (***) จะไดวา
2 2
(2 1) 7( 4 2)
1
16 64
  
 
1
1
2

ซึ่งทําใหสมการเปนเท็จ แสดงวาวงรีไมผานจุด (2, –4)

หน้า |27
4. แทน x = –2 และ y = –4 ในสมการ (***) จะไดวา
2 2
( 2 1) 7( 4 2)
1
16 64
   
 
1 1

ซึ่งทําใหสมการเปนจริง แสดงวาวงรีผานจุด (–2, –4)
5. แทน x = 4 และ y = –2 ในสมการ (***) จะไดวา
2 2
(4 1) 7( 2 2)
1
16 64
  
 
9
1
16

ซึ่งทําใหสมการเปนเท็จ แสดงวาวงรีไมผานจุด (4, –2)
จากการพิจารณาจุดในตัวเลือกจะไดวา วงรีผานจุด (–2, –4) 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 9. ตอบ 4.
แนวคิด
จากอสมการ  
a 2a 1
3
log 5(6 ) 2 2a 1

  
เงื่อนไขของอสมการคือ a 2a 1
5(6 ) 2 0

 
เนื่องจาก 2a
2 0
 นํา 2a
2 หารตลอด ;
a
a
3
5( ) 2 0
2
 
a
3 2
( )
2 5

1
2
 ทําให 3
2
log x เปนฟงกชันเพิ่ม ; 3
2
2
a log
5
 ...(*)
โดยที่ 3 > 1 ทําให 3
log x เปนฟงกชันเพิ่ม
จากอสมการ  
a 2a 1
3
log 5(6 ) 2 2a 1

  
จะได a 2a 1 2a 1
5(6 ) 2 3
 
 
นํา –1 คูณตลอด ; a 2a 1 2a 1
5(6 ) 2 3 0
 
  
2a 1 a 2a 1
3 5(6 ) 2 0
 
  
a 2 a a a 2
3(3 ) 5(2 )(3 ) 2(2 ) 0
  

หน้า |28
  
a a a a
3 3 2 2 3 2 0
    
  
a 1 a 1 a a
3 2 3 2 0
 
   ...(**)
ให a 1 a 1
3 2 0
 
  และ a a
3 2 0
 
a 1 a 1
3 2
 
 a a
3 2

a 1 0
  a 0

a 1
 
พิจารณาหาเซตคําตอบของอสมการ (**) จากเสนจํานวนจริงดังนี้
แสดงวา 1 a 0
  
จากเงื่อนไขของอสมการคือ 3
2
2
a log
5

และโดยที่ 3 3
2 2
2 2
log log 1
5 3
  
จะไดเซตคําตอบของอสมการ คือ 3
2
2
(log , ) ( 1,0) ( 1,0)
5
    
แสดงวา 1 a 0
  
1. จะพบวามี a = –
1
2
ที่สอดคลองกับอสมสมการ แต 2(–
1
2
) + 1 > 0 เปนเท็จ
1
2
ที่สอดคลองกับอสมสมการ แต 1
1
2
  เปนเท็จ
1
 0
  
1
 0
3
2
2
log
5

หน้า |29
1
2
ที่สอดคลองกับอสมสมการ แต
1
2
2 1

4. จะพบวาสําหรับทุกๆ a ( 1,0)
  ซึ่งเปนเซตคําตอบของอสมการ
จะได 1 a 0
  
2 a 1 1
    
ดังนั้น 1 a 1 2
  
1
2
ที่สอดคลองกับอสมสมการ แต
1
1
2
2 1
 
จากการพิจารณาตัวเลือกจะไดวา สําหรับทุกๆ a ที่สอดคลองกับอสมการทําให 1 a 1 2
   
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 10. ตอบ 3.
แนวคิด
กําหนดให
1 2
A
1 3
 
  

 
 
และ
3 1
B
a b

 
  
 
 
เมื่อ a, b R

โดยที่ (A – B)B = B(A – B)
AB – 2
B = BA – 2
B
AB = BA
1 2 3 1 3 1 1 2
1 3 a b a b 1 3
 
       

       
 
       
       
3 2a 1 2b 4 3
3 9a 1 3b a b 2a 3b
    
   

   
   
   
   
ดังนั้น –3 + 2a = – 4 และ 1 + 2b = –3
1
a
2
  และ b = –2
จะได
3 1
B 1
2
2

 
 

 
 
 

หน้า |30
ดังนั้น
3 1 2 3
1 2
A B 1 3
1 3 2 1
2 2
   
 
     
 
   
   
 
   
   
     
2 3
3 9 5
det(A B) ( 2) 1 3 ( ) 2
3 2 2 2
1
2

           


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 11. ตอบ 5.
แนวคิด
กําหนดใหเวกเตอร a i j 2k
  
จะได 2 2 2
a 1 1 ( 2) 6
    
โจทยกําหนด b เปนเวกเตอรในสามมิติ โดยที่ (b a) (b a) 10
   
จะได b b a b b a a a 10
       
จากสมบัติ 2
u u u
  ;
2 2
b a b b a a 10
     
จากสมบัติ u v v u
   ;
2 2
b a b a b a 10
     
2 2
b a 10
 
แทน a 6
 ;
2 2
b ( 6) 10
 
2
b 16

b 4

โดยสมบัติ u v u v sin
   เมื่อ  เปนมุมระหวางเวกตอร u และเวกเตอร v
โจทยกําหนด เวกเตอร b ทํามุม 60
กับเวกเตอร a
จะได a b a b sin60
  
แทน a 6 , b 4
  ;
3
6 4
2
  
6 2

6 1.4
 
8.4

ดังนั้น ขนาดของเวกเตอร a b
 มีคาประมาณ 8.4 ซึ่งเปนคาอยูในชวง (8, 10] 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

หน้า |31
ขอ 12. ตอบ 2.
แนวคิด
จากอสมการขอจํากัด x + 2y  12 , x + y  6 , x – 2y  0 , x  0 และ y  0
โดยการแกระบบสมการ จะได
จุดตัดของเสนตรง x + 2y = 12 และ x + y = 6 คือจุด (0, 6)
จุดตัดของเสนตรง x + 2y = 12 และ x – 2y = 0 คือจุด (6, 3)
จุดตัดของเสนตรง x + y = 6 และ x – 2y = 0 คือจุด (4, 2)
และ เสนตรง x + 2y = 12 มีจุด (12, 0) เปนจุดตัดแกน x และมีจุด (0, 6) เปนจุดตัดแกน y
เสนตรง x + y = 6 มีจุด (6, 0) เปนจุดตัดแกน x และมีจุด (0, 6) เปนจุดตัดแกน y
เสนตรง x – 2y = 0 มีจุด (0, 0) เปนจุดตัดแกน x และเปนจุดตัดแกน y
จะไดกราฟของอสมการขอจํากัด เปนอาณาบริเวณที่แรเงา ดังรูป
ดังนั้นเซตที่เปนไปได (feasible set) คือบริเวณแรเงา โดยมีจุดมุมไดแก (4, 2), (6, 0), (6, 3), (12, 0)
นําไปแทนในฟงกชันจุดประสงค P = ax + by
จุดมุม P = ax + by
(4, 2) 4a + 2b
(6, 0) 6a
(6, 3) 6a + 3b
(12, 0) 12a
x
y
0
(12,0)
(4,2)
(0,6)


x y 6
 
x 2y 12
 
(6,3)
(6,0)



x 2y 0
 

หน้า |32
โจทยกําหนด A และ B เปนจุดมุมที่สอดคลองกับอสมการ และเปนอยูบนเสนตรง x + 2y = 12
ซึ่งเมื่อแทนจุด (6, 3) ในสมการ x + 2y = 12 จะได 6 + 2(3) = 12 เปนจริง
และแทนจุด (12, 0) ในสมการ x + 2y = 12 จะได 12 + 2(0) = 12 เปนจริง
แสดงวาจุดมุม (6, 3) และจุด (12, 0) ที่สอดคลองกับสมการ x + 2y = 12
ดังนั้นจุด A คือ (6, 3) และจุด B คือ (12, 0)
โจทยกําหนดให P มีคามากที่สุดที่จุด A และ B
แสดงวาคา P ที่จุดมุม A(6, 3) และจุดมุม B(12, 0) มีคาเทากัน
นั่นคือ 6a + 3b = 12a
3b = 6a
b = 2a
ดังนั้นคาของจํานวนจริงบวก a และ b มีความสัมพันธกันเปน b = 2a 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 13. ตอบ 3.
แนวคิด
กําหนด A และ B เปนเหตุการณใน S
โดยที่ P(A B) 0.8
  และ P(A B) 0.4
 
โดยสมบัติ P(A B) P(A) P(B) P(A B)
    
จะได P(A B) P(A B) P(A) P(B)
    
ดังนั้น P(A ) P(B )
 
    
1 P(A) 1 P(B)
   
 
2 P(A) P(B)
  
 
2 P(A B) P(A B)
    
 
2 0.8 0.4
  
0.8
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

หน้า |33
ขอ 14. ตอบ 4.
แนวคิด
x 2 3 x
x 4
2 x 2 x
lim
x 2




x 2 3 x
x 4
2 x 2 2 x
lim
x 2

 


x 4 3 x
x 4
2 ( x) 2 2 x
lim
x 2

  


 
x 3 3
x 4
2 x ( x) 2
lim
x 2




3 3
x
x 4 x 4
( x) 2
lim(2 x) lim
x 2
 

 

x
x 4 x 4
( x 2
lim(2 x) lim
 

 
 
2
) ( x) 2 x 4
x 2
 

 
x 2
x 4 x 4
lim(2 x) lim ( x) 2 x 4
 
   
  
4 2
2 4 ( 4) 2 4 4
  
  
2 2
2 2 2 2 2 4
    
96
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 15. ตอบ 1.
แนวคิด
กําหนดให f เปนฟงกชันที่มีโดเมนและเรนจเปนสับเซตของเซตจํานวนจริง
โดยที่ f (x) 2ax b x 1
    เมื่อ a, b เปนจํานวนจริง
จะได f (1) 2a b 1
   
โจทยกําหนด f (1) 0
  ; 0 2a b 1
  
2a + b = –1 ...(1)
และ f (4) 8a 2b 1
   
โจทยกําหนด f (4) 0
  ; 0 = 8a + 2b + 1
8a + 2b = –1 ...(2)

หน้า |34
นํา (1)  2 ; 4a + 2b = – 2 ...(3)
นํา (2) – (3) ; 4a = 1
1
a
4

แทน 1
a
4
 ใน (1) ;
1
2 b 1
4
 
  
 
 
1
b 1
2
  
3
b
2
 
แทน 1
a
4
 และ 3
b
2
  ใน f (x) 2ax b x 1
   
จะได 1 3
f (x) x x 1
2 2
   
f(x) x x 1 dx
2 2
  

1
2
1 3
x x 1 dx
2 2
  

3
2 2
1 x 3 x
( ) ( ) x c
2 2 2 3
2
   
3
2
2
x
x x c
4
    ...(*)
แทน x = 0 จะได f(0) 0 0 0 c
   
โจทย f(0) = 1 ; 1 = c
แทน c = 1 ใน (*) จะได
3
2
2
x
f(x) x x 1
4
   
ตอไปจะหา (f f)(4)

โดยที่
3
2
2
4
f(4) 4 4 1
4
   
1


หน้า |35
ดังนั้น (f f)(4) f(f(4))


f(1)

3
2
2
1
1 1 1
4
   
5
4

= 1.25 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 16. ตอบ 1.
แนวคิด
โจทยกําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมโดยมีความยาวของเสนรอบรูปสามเหลี่ยมเทากับ 60 หนวย
โดยความยาวของดานตรงขามมุม A และมุม B เทากับ a หนวย และ b หนวย ตามลําดับ
และความยาวดานตรงขามมุม C เทากับ c ดวย
ดังนั้น a b c 60
   ...(*)
โดยกฎของโคไซน 2 2 2
a b c 2bccos A
  
2 2 2
b a c 2accosB
  
จะได
2 2 2
b c a
cosA
2bc
 

2 2 2
a c b
cosB
2ac
 

A C B C
a sin b sin
2 2
 
   

   
   
2 2
180 B 180 A
a sin bsin
2 2
   
 
 
 
 
 
 
 
 
   
[เพราะวา A B C 180
   
]
2 2
B A
a sin 90 bsin 90
2 2
   
 
 
   
 
 
 
 
   
 
2 2
B A
a cos bcos
2 2
   
 
 
 
 
 
 
 
   
[เพราะวา sin(90 ) cos
   

]
...(**)

หน้า |36
1 cosB 1 cos A
a b
2 2
   
 
 
 
 
 
 
 
 
   
[เพราะวา 2 1 cos
cos
2 2
  
 ]
2 2 2 2 2 2
a c b b c a
1 ( ) 1 ( )
2ac 2bc
a b
2 2
   
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
[จาก (**) ]
a

2 2 2
2ac a c b
4a
  
b
c
 

 
 

 

 
2 2 2
2bc b c a
4b
  
c
 

 
 
 

 
2 2 2 2
(a c) b (b c) a
4c 4c
   
   
 
 
 
 
 
 
   
   
   
(a c b)(a c b) (b c a)(b c a)
4c
        

60(a c b) 60(b c a)
4c
    
 [จาก (*) a + b + c = 60]
 
60 (a c b) (b c a)
4c
    

60(2c)
4c

30
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 17. ตอบ 4.
แนวคิด
สมมติให A แทนดวยจุด (a, b)
โจทยกําหนดจุด A(a, b) เปนจุดบนเสนตรง 3x + y + 4 = 0
แสดงวาแทน x = a และ y = b แลวทําใหสมการ 3x + y + 4 = 0 เปนจริง
นั่นคือ 3a + b + 4 = 0
3a + b = –4 ...(1)
โจทยกําหนดจุด A(a, b) หางจากจุด (–5, 6) และจุด (3, 2)

หน้า |37
โดยสูตรระยะทางจากจุด 1 1
(x ,y ) และ 2 2
(x ,y ) เทากับ 2 2
1 2 1 2
(x x ) (y y )
  
จะได 2 2 2 2
(a 5) (b 6) (a 3) (b 2)
      
ยกกําลังสองทั้งสองขาง ; 2 2 2 2
(a 5) (b 6) (a 3) (b 2)
      
2 2 2 2
a 10a 25 b 12b 36 a 6a 9 b 4b 4
          
16a – 8b = –48
นํา 8 หารตลอด ; 2a – b = –6 ...(2)
นํา (1) + (2) ; 5a = –10
a = –2
แทน a = –2 ใน (1) ; 3(–2) + b = –4
–6 + b = –4
b = 2
ดังนั้น A คือจุด (–2, 2)
โจทยให 1
L และ 2
L เปนเสนตรงสองเสนที่ตางกันและขนานกับเสนตรง 5x + 12y = 0
จะไดสมการของ 1
L และ 2
L อยูในรูป 5x + 12y + C = 0 เมื่อ C เปนคาคงตัว
โจทยกําหนดจุด A อยูหางจากเสนตรง 1
L และ 2
L เปนระยะเทากับ 2 หนวย
โดยสูตรระยะทางจากจุด 1 1
(x ,y ) ไปยังเสนตรง Ax + By + C = 0 เทากับ 1 1
2 2
Ax By C
A B
 

จะได
2 2
5( 2) 12(2) C
2
5 12
  


14 C
2
13


14 C 26
 
แสดงวา 14 + C = 26 หรือ 14 + C = –26
C = 12 หรือ C = –40

หน้า |38
ดังนั้น สมการของเสนตรง 1
L คือ 5x + 12y + 12 = 0
และ สมการของเสนตรง 2
L คือ 5x + 12y – 40 = 0
แทน y = 0 ในสมการของเสนตรง 1
L จะได 5x +12(0) + 12 = 0
12
x
5
 
แสดงวาระยะตัดแกน x ของเสนตรง 1
L เทากับ 12
5

แทน y = 0 ในสมการของเสนตรง 2
L จะได 5x +12(0) – 40 = 0
40
x
5

แสดงวาระยะตัดแกน x ของเสนตรง 2
L เทากับ 40
5
ดังนั้นผลบวกของระยะตัดแกน x ของ 1
L และ 2
L เทากับ 12 40 28
5.6
5 5 5
    
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 18. ตอบ 2.
แนวคิด
โจทยกําหนด 1 2
1 7i
z
(2 i)



จะได 1 2
1 7i
z
4 4i i


 
1 7i
4 4i 1


 
1 7i
3 4i



1 7i 3 4i
3 4i 3 4i
 
 
 
2 2
3 21i 4i 28
3 4
  


25 25i
25
 

1 i
  

หน้า |39
โจทยกําหนด 2
1 3i
z
1 2i



จะได 2
1 3i 1 2i
z
1 2i 1 2i
 
 
 
2 2
1 3i 2i 6
1 2
  


5 5i
5
 

= –1 + i
พิจารณา a และ b เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับ 1 2
az bz 2
 
แทน 1
z 1 i
   และ 2
z 1 i
   ในสมการ 1 2
az bz 2
 
จะได a( 1 i) b( 1 i) 2
     
a( 1 i) b( 1 i) 2
     
( a b) (a b)i 2
    
2 2
( a b) (a b) 2
    
ยกกําลังสองทั้งสองขาง ; 2 2
( a b) (a b) 4
    
2 2 2 2
(a 2ab b ) (a 2ab b ) 4
     
2 2
2a 2b 4
 
หารดวย 2 ตลอด ; 2 2
a b 2
 
ดังนั้น จํานวนจริง a และ b ที่สอดคลองกับ 1 2
az bz 2
  จะได 2 2
a b 2
  
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

หน้า |40
ขอ 19. ตอบ 2.
แนวคิด
จากการสํารวจรายไดและรายจายของพนักงานบริษัทแหงหนึ่ง จํานวน 8 คน ดังนี้
พนักงานคนที่ 1 2 3 4 5 6 7 8
รายได (x)
x 2
x 3
x 4
x 5
x 6
x 7
x 8
x
รายจาย (y)
y 2
y 3
y 4
y 5
y 6
y 7
y 8
y
โจทยกําหนดรายได(x) และรายจาย(y) มีความสัมพันธเชิงฟงกชันแบบเสนตรงเปน
y = 8x + 13.5
แสดงวาสมการปกติคือ
8 8 8
i i
i 1 i 1 i 1
y 8 x 13.5
  
 
   ...(1)
และ
8 8 8
2
i i i i
i 1 i 1 i 1
x y 8 x 13.5 x
  
 
   ...(2)
จาก (1) แทน
8
i
i 1
y 492


 ;
8 8
i
i 1 i 1
492 8 x 13.5
 
 
 
8
i
i 1
492 8 x 13.5(8)

 

นํา 8 หารตลอด ;
8
i
i 1
61.5 x 13.5

 

8
i
i 1
x 48



ดังนั้น คาเฉลี่ยเลขคณิต ( )

8
i
i 1
x
48
6
8 8

  

จาก (2) แทน
8
i i
i 1
x y 3432


 และ
8
i
i 1
x 48


 จะได
8
2
i
i 1
3432 8 x 13.5(48)

 


หน้า |41
8
2
i
i 1
429 x 81

 

8
2
i
i 1
x 348



จากสูตรคํานวณความแปรปรวน 2
( )
 เทากับ
N
2
i
2
i 1
x
N
  

จะไดความแปรปรวนของรายได(x) เทากับ 2
348
6
8
 = 43.5 – 36 = 7.5 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 20. ตอบ 1.
แนวคิด
กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานระหวาง 0 ถึง z ดังนี้
z 0.35 0.5 0.85 1.00 1.20
พื้นที่ใตเสนโคง 0.1368 0.1915 0.3023 0.3413 0.3849
โจทยกําหนดใหอายุของนักเรียนมีการแจกแจงปกติ
โดยมีนักเรียนรอยละ 30.85 ที่มีอายุมากกวา 17 ป ลงตําแหนงในเสนโคงปกติไดดังนี้
จะพบวาพื้นใตเสนโคงปกติจาก  ถึงอายุ 17 ป เทากับ 19.15
0.1915
100

จากตารางปกติมาตรฐานขางตนจะไดวา อายุ 17 ป มีคะแนนมาตรฐานเทากับ 0.5 ...(*)
 17
30.85%
50% 30.85% 19.15%
 

หน้า |42
โจทยกําหนดมีนักเรียนรอยละ 53.28 ที่มีอายุตั้งแต 14 ป แตไมเกิน 17 ป
เนื่องจาก 53.28% > 50% แสดงวา 14 <  และลงตําแหนงในเสนโคงปกติไดดังนี้
จะพบวาพื้นใตเสนโคงปกติจากอายุ 14 ป ถึง  เทากับ 34.13
0.3413
100

จากตารางปกติมาตรฐานขางตนจะไดวา อายุ 14 ป มีคะแนนมาตรฐานเทากับ –1 ...(**)
โดยสูตรคํานวณคะแนนมาตรฐาน z =
x  

จาก (*) อายุ 17 ป มีคะแนนมาตรฐานเทากับ 0.5 จะได
17
0.5
 


0.5 17
    ...(1)
จาก (**) อายุ 14 ป มีคะแนนมาตรฐานเทากับ –1 จะได
14
1
 
 

1 14
     ...(2)
นํา (1) – (2) ; 1.5 3
 
2
 
แทน 2
  ใน (2) ; 1 2 14
    
2 14
   
16
 
ดังนั้น สัมประสิทธิ์การแปรผัน เทากับ 2
0.125
16

 


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 17
30.85%
50% 30.85% 19.15%
 
53.28%
53.28% 19.15% 34.13%
 
14

หน้า |43
ขอ 21. ตอบ 5.
แนวคิด
กําหนดขอมูล 1 2 3 4
x , x , x , x โดยที่ 1 2 3 4
0 x x x x
   
โจทยกําหนด
มัธยฐานเทากับฐานนิยมซึ่งมีคาเทากับ 6 แสดงวา 2 3
x x 6
 
พิสัยของขอมูลเทากับ 9 แสดงวา 4 1
x x 9
  ...(1)
คาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 7 แสดงวา 1 2 3 4
x x x x
7
4
  

นํา 4 คูณตลอด ; 1 2 3 4
x x x x 28
   
แทน 2 3
x x 6
  ; 1 4
x 6 6 x 28
   
1 4
x x 16
  ...(2)
นํา (1) + (2) ; 4
2x 25

4
x 12.5

แทน 4
x 12.5
 ใน (2) ; 1
x 12.5 16
 
1
x 3.5

ตอนนี้เราไดแลววาขอมูล 4 จํานวนคือ 3.5, 6, 6, 12.5
ตอไปจะหา 1
Q และ 3
Q
โดยที่ตําแหนงของ 1
1
Q (4 1) 1.25
4
    หา 1
Q โดยการเทียบบัญญัติไตรยางศ ดังนี้
ตําแหนงที่ คา
1 3.5
1.25 1
Q
2 6
จะได 1
Q 3.5
1.25 1
2 1 6 3.5



 

หน้า |44
1
Q 3.5
0.25
1 2.5


1
0.625 Q 3.5
 
ดังนั้น 1
Q 4.125

โดยที่ตําแหนงของ 3
3
Q (4 1) 3.75
4
    หา 3
Q โดยการเทียบบัญญัติไตรยางศ ดังนี้
ตําแหนงที่ คา
3 6
3.75 3
Q
4 12.5
จะได 3
Q 6
3.75 3
4 3 12.5 6



 
3
Q 6
0.75
1 6.5


3
4.875 Q 6
 
Q 10.875

จะไดสัมประสิทธิ์สวนเบี่ยงเบนควอไทล = 3 1
3 1
Q Q 10.875 4.125 6.75 9
Q Q 10.875 4.125 15 20
 
  
 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 22. ตอบ 5.
แนวคิด
กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริงบวก และ n เปนจํานวนเต็มบวก
ซึ่งสอดคลองกับสมการ 3 2n
log a b 1
 ...(1)
2n 3
log a b 1
 ...(2)
และ n n 6
loga b
7
 ...(3)
นํา (1) – (2) ; 3 2n 2n 3
log a b log a b 0
 
โดยสมบัติ a a a
x
log x log y log ( )
y
  ;
3 2n
2n 3
a b
log 0
a b
 

  
 
 


หน้า |45
โดยสมบัติ a
log 1 0
 ;
3 2n
2n 3
a b
1
a b



2n 3
2n 3
b
1
a



2n 3
b
1
a

 

 
 
...(4)
โดยที่ n เปนจํานวนเต็มบวก ทําให 2n – 3 เปนจํานวนคี่บวก
ดังนั้นสมการ (4) เปนจริงเมื่อ b
1
a

นั่นคือ a b

จาก (1) แทน a = b จะได 3 2n
log a a 1

2n 3
log a 1


โดยที่ n
a a
log x n log x
 ; (2n 3)loga 1
  ...(5)
จาก (3) แทน a = b จะได n n 6
loga a
7

2n 6
loga
7

โดยที่ n
a a
log x n log x
 ;
6
(2n)loga
7
 ...(6)
นํา (5)
(6)
;
2n 3 7
2n 6


6(2n 3) 7(2n)
 
12n 18 14n
 
2n 18

n 9

แทน n = 9 ใน (5) จะได (2 9 3)loga 1
  
21loga 1

1
loga
21


หน้า |46
โดยที่เราไดแลววา a = b แสดงวา 1
logb loga
21
 
ดังนั้น n 2n
n log a log b
 2
n log a (2n)log b
 
แทน n = 9 ,
1
logb loga
21
  ; 2 1 1
9 (2 9)
21 21
   
  
   
   
81 18
21 21
 
63
21

3
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 23. ตอบ 1.
แนวคิด
พิจารณาวงรีที่มีสมการเปน 2 2
5x 30x 9y 0
  
จัดใหมเปน 2 2
5(x 6x) 9y 0
  
2 2
5(x 6x 9) 9y 45
   
2 2
5(x 3) 9y 45
  
2 2
(x 3) y
1
9 5

 
จะไดจุดศูนยกลางของวงรี คือ (3, 0)
พิจารณาไฮเพอรโบลา H ที่มีแกนสังยุคอยูบนเสนตรง x = 1 และมีจุดยอดจุดหนึ่งอยูที่ (0, 2)
จากรูปจะพบวา จุดศูนยกลางของไฮเพอรโบลา H คือ (1, 2)
และ a = 1
Y
X
y 2

 

0
(0,2) (1,2)
x 1

a

หน้า |47
จากสมการรูปมาตรฐานของไฮเพอรโบลา ที่มีแกนตามขวางขนานกับแกน x คือ
2 2
2 2
(x h) (y k)
1
a b
 
 
จะไดสมการของ H คือ
2 2
2 2
(x 1) (y 2)
1
1 b
 
  ...(*)
โจทยกําหนด H ผานจุด (3, 0) ซึ่งเปนจุดศูนยกลางของวงรีซึ่งมีสมการเปน 2 2
5x 30x 9y 0
  
แทน x = 3 และ y = 0 ในสมการ (*) จะทําใหสมการเปนจริง
นั่นคือ
2 2
2 2
(3 1) (0 2)
1
1 b
 
 
2
4
4 1
b
 
2
4
3
b

2 4
b
3

แทน 2 4
b
3
 ใน (*) จะไดสมการของไฮเพอรโบลา H คือ
2 2
2
(x 1) 3(y 2)
1
4
1
 
 
นํา 4 คูณตลอด ; 2 2
4(x 1) 3(y 2) 4
   
2 2
4x 3y 8x 12y 12 0
     
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 24. ตอบ 5.
แนวคิด
ให 1 2 3 n
a , a , a , ... , a , ... เปนลําดับเรขาคณิตของจํานวนเต็มบวก
และให r แทนอัตราสวนรวม
โจทยกําหนดพจนที่สามเทากับ 18 และ ผลบวกของพจนที่สองและพจนที่สี่ เทากับ 60
จะได 3
a 18
 ...(1)
และ 2 4
a a 60
  ...(2)
จัดสมการ (2) เปน 3
3
a
a r 60
r
 

หน้า |48
จาก (1) แทน 3
a 18
 ;
18
18r 60
r
 
3
3r 10
r
 
นํา r หารตลอด ; 2
3 3r 10r
 
2
3r 10r 3 0
  
(3r 1)(r 3) 0
  
1
r ,3
3

โดยที่ลําดับนี้เปนลําดับของจํานวนเต็มบวก แสดงวา r 3

1 3
a a r
 
แทนคา 3
a 18
 และ r 3
 2
1
a 18 3
 
2
18
3

2

ให n
S เปนผลบวก n พจนแรกของลําดับเรขาคณิต 1 2 3 n
a , a , a , ... , a , ...
จากสูตรผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิต
n
1
n
a (1 r )
S
1 r



แทน 1
a 2, r 3
  จะได
n
n
2(1 3 )
S
1 3



n
3 1
 
4 2
S S
S S

8 4
4 2
3 1 3 1
3 1 3 1
 
 
 
4
(3 1


4
4
)(3 1)
3 1


2
(3 1


2
2
)(3 1)
3 1


4 2
(3 1) (3 1)
   
(81 1) (9 1)
   
92
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

หน้า |49
ขอ 25. ตอบ 3.
แนวคิด
กําหนดให { 5, 4,0,1,2,3,4}
  
U
พิจารณาคาของ 2x – 1 เมื่อ x U
x = –5 จะได 2x – 1 = 2(–5) – 1 = –11 U
x = –4 จะได 2x – 1 = 2(–4) – 1 = –9 U
x = 0 จะได 2x – 1 = 2(0) – 1 = –1 U
x = 1 จะได 2x – 1 = 2(1) – 1 = 1 U
x = 2 จะได 2x – 1 = 2(2) – 1 = 3 U
x = 3 จะได 2x – 1 = 2(3) – 1 = 5 U
x = 4 จะได 2x – 1 = 2(4) – 1 = 7 U
ดังนั้น A {x 2x 1 }
   
U | U = {–5, –4, 0, 3, 4}
พิจารณาอสมการ 2
x 5x

x = –5 จะได 2
( 5) 5( 5)
   อสมการเปนจริง
x = –4 จะได 2
( 4) 5( 4)
   อสมการเปนจริง
x = 0 จะได 2
0 5(0)
 อสมการเปนเท็จ
x = 1 จะได 2
1 5(1)
x = 2 จะได 2
2 5(2)
x = 3 จะได 2
3 5(3)
x = 4 จะได 2
4 5(4)
B {x x 5x} { 5, 4}
     
U |
พิจารณาคาของ x 1
 เมื่อ x U
x = –5 จะได 5 1 4
    U
x = –4 จะได 4 1 3
    U
x = 0 จะได 0 1 1
  U
x = 1 จะได 1 1 2
  U
x = 2 จะได 2 1 3
  U
x = 3 จะได 3 1 2
  U
x = 4 จะได 4 1 5
  U
ดังนั้น C {x x 1 } {0,3}
    
U | U

หน้า |50
จะได A C { 5, 4,0,3,4} {0,3} { 5, 4,4}
       
B C { 5, 4} {0,3} { 5, 4,0,3}
       
ดังนั้น n(A C) 3
  และ n(B C) 4
 
จากสมบัติของ n(P Q) n(P) n(Q)
  
จะได  
n (A C) (B C) n(A C) n(B C)
      
3 4
 
12
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 26. ตอบ 4.
แนวคิด
กําหนดให A เปนเมทริกซมิติ 3 3
 และ I เปนเมทริกซเอกลักษณการคูณมิติ 3 3

detA
4
 และ 2AB 3I A
 
จาก 2AB 3I A
 
จะได 2AB A 3I
  
A(2B I) 3I
  
 
det A(2B I) det( 3I)
   ...(*)
โดยสมบัติของดีเทอรมิแนนต det(AB) detA detB
 
และ n
det(kA) k detA

จาก (*) จะได 3
detA det(2B I) ( 3) det(I)
   
แทน 1
det(A)
4
 ;
1
det(2B I) 27 1
4
    
det(2B I) 108
   ...(**)

หน้า |51
โดยที่
3
1 1
2
B 0 2 0
a 0 b
 

 
 
  
 
 
แทนลงใน (**)
3
1 1 1 0 0
2
det 2 0 2 0 0 1 0 108
a 0 b 0 0 1
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
    
 
 
 
 
 
 
   
 
2 2 2
0 3 0 108
2a 0 2b 1

 

   
(12b 6) 0 0 12a 0 0 108
        
12a +12b  –102
102
a b
12
  
17
a b
2
   
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 27. ตอบ 1.
แนวคิด
ให f และ g เปนฟงกชัน โดยที่ x 1
f(x)
x 1



สําหรับ x 1

และ g(x) 6x 5
  สําหรับทุกๆ x
พิจารณาหา a เปนจํานวนจริงที่ a 1
 และ 1
g(f(a)) g (f(a))


จาก 1
g(f(a)) g (f(a))


จะได  
g g(f(a)) f(a)

6g(f(a)) + 5 f(a)

6g(f(a)) 5 f(a)
 

หน้า |52
 
6 6f(a) 5 5 f(a)
  
36f(a) 30 5 f(a)
  
36f(a) 35 f(a)
 
35f(a) 35
 
f(a) 1
 
a 1
1
a 1

 

a 1 a 1
   
2a 0

ดังนั้น a 0

พิจารณาหาคา 1
f(g (a)) f(g(a))

 เมื่อ a = 0
โดยที่ถาให 1
g (0) x


แสดงวา g(x) 0

6x + 5 = 0
x =
5
6

g (0)
6

  ...(*)
และ g(0) 6(0) 5
  5
 ...(**)
จะได 1 1
f(g (a)) f(g(a)) f(g (0)) f(g(0))
 
  
จาก (*) และ (**) ;
5
f( ) f(5)
6
  
5
1
5 1
6
5 5 1
1
6
 

 

 
1 6 6
( )
6 11 4
 
   
 
 
1 3
11 2
  
31
22
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

หน้า |53
ขอ 28. ตอบ 4.
แนวคิด
กําหนดให a(0) = 1 และสําหรับ n = 0, 1, 2, 3, ...
ให
3 5a(n)
a(n 1) 1
2 a(n)
5



  



เนื่องจาก a(0) = 1 < 5 จะได a(1) = 3 + 5a(0)
= 3 + 5 1

= 8
เนื่องจาก a(1) = 8 > 5 จะได a(2) = 2 +
1
a(1)
5
= 2 +
1
8
5

=
18
5
เนื่องจาก a(2) =
18
5
5
 จะได a(3) = 3 + 5a(2)
= 3 +
18
5
5

= 21
เนื่องจาก a(3) = 21 > 5 จะได a(4) = 2 +
1
a(3)
5
= 2 +
1
21
5

=
31
5
เนื่องจาก 31
a(4) 5
5
  จะได a(5) = 2 +
1
5
a(4)
= 2 +
1 31
5 5

=
81
25
เมื่อ a(n)  5
เมื่อ a(n) > 5

หน้า |54
81
25
< 5 จะได a(6) = 3 + 5a(5)
= 3 +
81
5
25

96
5

96
5
5
 จะได a(7) = 2 +
1
5
a(6)
= 2 +
1 96
5 5

=
146
25
พิจารณาขอความ
ก. a(3) – a(1) = 21 – 8 = 13 เปนจํานวนเฉพาะ แสดงวาขอความ ก. ถูก
ข. เนื่องจาก 31 155
a(4)
5 25
  และ 81
a(5)
25

จะพบวา a(4) > a(5) แสดงวาขอความ ข. ถูก
ค. เนื่องจาก 146
a(7)
25
 แสดงวาขอความ ค. ถูก
จากการพิจารณาขอความทั้งสามจะไดวา ขอ (ก) ขอ (ข) และ ขอ (ค) ถูกทั้งสามขอ 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 29. ตอบ 2.
แนวคิด
กําหนดจํานวนเต็มบวก a, b, c , m และ n โดยที่ 1 a b c
   และ am bn c
 
พิจารณาอสมการ
ก. โดยที่ a < b
คูณ m ตลอด ; am < bm
โดยที่ am =bn ; bn < bm
หารดวย b ; n < m ...(*)
1 1
m n


หน้า |55
โดยที่ a < c
ดังนั้น a c
m n

แสดงวาอสมการ ก. ถูก
ข. จาก (*) เราไดวา n < m
นํา b คูณตลอด ; bn < bm
โดยที่ bn = c ; c < bm
แสดงวาอสมการ ข. ผิด
ค. จาก am = c แสดงวา m < c
จาก (*) เราไดวา n < m
ดังนั้น mn < cm
โดยที่ bn = c แสดงวา n < c
ดังนั้น mn + n < c + cm
แสดงวาอสมการ ค. ถูก
จากการพิจารณาทั้งสามอสมการจะไดวา ขอ (ก) และ ขอ (ค) ถูก แต ขอ (ข) ผิด 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 30. ตอบ 1.
แนวคิด
กําหนดให r {(x,y) R R | y x 2}
    
จะได 1
r {(x,y) R R | x y 2}

    
พิจารณาขอความ
ก. แทน x = 5 และ y = 7 ในอสมการ x < y – 2
จะได 5 < 7 – 2 อสมการเปนเท็จ
(5,7) r
 แสดงวาขอความ ก. ถูก
ข. แทน x = –6 และ y = –3 ในอสมการ x < y – 2
จะได –6 < –3 – 2 อสมการเปนจริง
( 6, 3) r
   แสดงวาขอความ ข. ถูก

หน้า |56
ค. สมมติวามี (a, b) 1
r r
  แสดงวา (a,b) r
 และ 1
(a,b) r

จาก (a, b) r
 จะได b < a – 2 ...(1)
จาก 1
(a,b) r
 จะได a < b – 2 ...(2)
นํา (1) + (2) จะได a + b < a + b – 4 อสมการเปนเท็จ
แสดงวาไมมีสมาชิกใน 1
r r

r r
   แสดงวาขอความ ค. ผิด
จากการพิจารณาทั้งสามขอความจะไดวา ขอ (ก) และ ขอ (ข) ถูก แต ขอ (ค) ผิด 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 31. ตอบ 32
แนวคิด
กําหนดให A, B และ C เปนเซตจํากัด โดยที่ B A
 และ A C
  
จากโจทยกําหนด n(P(P(B))) 16

จะได
n(B)
(2 )
2 16

n(B) 2
(2 ) (2 )
2 2

แสดงวา n(B) 2

จากโจทยกําหนด n(P(B C)) 16
 
จะได n(B C) 4
2 2


แสดงวา n(B C) 4
 
จากสมบัติ n(B C) n(B) n(C) n(B C)
    
แทน n(B) 2
 , n(B C) 4
  และ n(B C) 1
  ;
จะได 4 2 n(C) 1
  
n(C) 3


หน้า |57
จากโจทยกําหนด n(P(A C)) 4n(P(C A))
  
n(A C) n(C A)
2 4 2
 
 
n(A C) 2 n(C A)
2 2
  

ดังนั้น n(A C) 2 n(C A)
   
n(A) n(A C) 2 n(C) n(A C)
     
n(A) 2 n(C)
 
แทน n(C) = 3 จะได = 2 + 3
= 5
ดังนั้น n(P(A)) = 5
2 32
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 32. ตอบ 2.5
แนวคิด
กําหนดให A เปนเซตคําตอบของสมการ 2 2
x 2 x x 3x 2
    ...(1)
กรณีที่ 1 x < 0
จากอสมการ (1) จะได 2 2
x 2( x) x 3x 2
    
2 2
x 2x x 3x 2
   
แสดงวา 2 2
x 2x x 3x 2
    หรือ 2 2
(x 2x) x 3x 2
    
5x 2
 หรือ 2
2x x 2 0
  
2
x
5
 หรือ 2
1 15
2(x ) 0
4 8
  
สมการไมมีคําตอบเปนจํานวนจริง
แตเนื่องจากเงื่อนไข x < 0
แสดงวาเซตคําตอบของสมการ (1) ในกรณีที่ 1 คือ 

หน้า |58
กรณีที่ 2 x  0
จากอสมการ (1) จะได 2 2
x 2x x 3x 2
   
แสดงวา 2 2
x 2x x 3x 2
    หรือ 2 2
(x 2x) x 3x 2
    
x 2
 หรือ 2
2x 5x 2 0
  
หรือ (2x 1)(x 2) 0
  
1
x 2 ,
2

แทนคา x = 2 ในสมการ (1) จะได 2 2
2 2 | 2 | 2 3(2) 2
    สมการเปนจริง
แทนคา x =
1
2
ในสมการ (1) จะได 2 2
1 1 1 1
( ) 2 | | ( ) 3( ) 2
2 2 2 2
    สมการเปนจริง
แสดงวาเซตคําตอบของสมการ (1) ในกรณีที่ 2 คือ {2,
1
2
}
จากทั้งสองกรณีจะไดวาเซตคําตอบของสมการ คือ A =  {2,
1
2
} = {2,
1
2
}
ดังนั้นผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต A เทากับ 1
2 2.5
2
  
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 33. ตอบ 1
แนวคิด
จากสมการ 2
3 9 3
   
เงื่อนไขสมการคือ x + 1 > 0 และ 2x > 0 และ x 1

x > –1 และ x > 0 และ x 1

ดังนั้น x (0, ) {1}
   ...(*)
โดยสมบัติ n a
a
1
log x log x
n

n
a a
log x n log x

และ a a a
log x log y log xy
 

หน้า |59
จากสมการ 2
3 9 3
   
จะได
1
2
2
3 2 3
3
2log (x 1) log (x 1) log 2x
   
3 3 3
1 2
2( )log (x 1) log x 1 log 2x
2 2
   
3 3 3
log (x 1) log x 1 log 2x
   
3 3
log (x 1) x 1 log 2x
  
ดังนั้น (x 1) x 1 2x
   ...(1)
กรณีที่ 1 x < 1
จากสมการ (1) จะได (x 1)( x 1) 2x
   
2
1 x 2x
 
2
x 2x 1 0
  
2
2 2 4(1)( 1)
x
2(1)
   

x 1 2
  
จาก (*) เงื่อนไขของสมการ คือ x (0, ) {1}
  
ดังนั้น เซตคําตอบของสมการในกรณีที่ 1 คือ { 1 2}
 
กรณีที่ 2 x  1
จากสมการ (1) จะได (x 1)(x 1) 2x
  
2
x 1 2x
 
2
x 2x 1 0
  
2
2 ( 2) 4(1)( 1)
x
2(1)
   

x 1 2
 
จาก (*) เงื่อนไขของสมการ คือ x (0, ) {1}
  
ดังนั้น เซตคําตอบของสมการในกรณีที่ 2 คือ {1 2}

จากทั้งสองกรณี
จะไดเซตคําตอบของสมการคือ A = { 1 2} {1 2} { 1 2 , 1 2}
       
ดังนั้นผลคูณของสมาชิกในเซต A เทากับ 2 2
( 1 2) (1 2) ( 2) 1 2 1 1
         
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

หน้า |60
ขอ 34. ตอบ 125
แนวคิด
กําหนดให A เปนเซตของคูอันดับ (x, y) โดยที่ x และ y เปนจํานวนจริงบวกที่สอดคลองกับสมการ
x x
5 25
2 log y 4 log 5 4
  ...(1)
x 3 2
5 5
2 log y (log y) 9
  ...(2)
จาก (1) จะได x x
5 2
5
2 log y 4log 5 4
 
โดยสมบัติ n a
a
1
log x log x
n
 ; x x
5 5
1
2 log y 4 log 5 4
2
  
log 5 1
 ; x x
5
2 log y 2 4
 
นํา x
2 หารตลอด ;
x
5 x
2 4
log y
2

 ...(3)
จาก (2)
โดยสมบัติ n
a a
log x n log x
 ;จะได x 2
5 5
2 3log y (log y) 9
  
แทน
x
5 x
2 4
log y
2

 ; x
3 2

x
x
2 4
(
2
 x
2
x
2 4
) ( ) 9
2

 
x 2
x
x
(2 4 )
3(2 4 ) 9
4

  
นํา x
4 คูณตลอด ; x x x 2 x
3 4 (2 4 ) (2 4 ) 9 4
     
ให x
a 4
 จะไดสมการเปน 2
3a(2 a) (2 a) 9a
   
2 2
6a 3a 4 4a a 9a
    
2
2a 7a 4 0
  
(a 4)(2a 1) 0
  
โดยที่ x
a 4 0
  ทําให 2a 1 0
  แสดงวา a – 4 = 0
a = 4
แทน x
a 4
 จะได x
4 4

แสดงวา x = 1

หน้า |61
แทน x = 1 ใน (3) จะได
1
5 1
2 4
log y
2


5
log y 3

3
y 5

y = 125
ดังนั้นเซต A = {(1, 125)}
และจะไดเซต B {xy | (x,y) A}
  = {1125} = {125}
ดังนั้นคามากที่สุดของสมาชิกในเซต B เทากับ 125 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 35. ตอบ 0.5
แนวคิด
กําหนดฟงกชัน
เมื่อ a เปนจํานวนจริง โดยที่ฟงกชัน f ตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง
พิจารณาฟงกชัน f ตอเนื่องที่ x = 3 จะไดวา
x 3
f(3) lim f(x)


x 3
3 x
3a 10 lim
3 x



 

เมื่อ x เขาใกล 3 จะได x x
 ;
x 3
3 x
3a 10 lim
3 x



 

x 3
3a 10 lim 1


 
3a 10 1
 
a 3
 
เมื่อ x < 3
เมื่อ x  3
3 x
3 x
f(x)
ax 10
 


 
 


หน้า |62
ดังนั้น f(a – 6) + f(a) + f(a + 6) = f(–3 – 6) + f(–3) + f(–3 + 6)
= f(–9) + f(–3) + f(3)
=  
3 9 3 3
3(3) 10
3 ( 9) 3 ( 3)
   
   
   
=
1
0 1
2
  
=
1
2
= 0.5 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 36. ตอบ 11
แนวคิด
เมื่อ a, b, c เปนจํานวนจริง กําหนดใหฟงกชัน 2
f(x) ax bx c
  
จะได f (x) 2ax b
  
และ f (x) 2a
 
โจทยกําหนด f(–1) + f(1) = 14
   
2 2
a( 1) b( 1) c a(1) b(1) c 14
       
(a – b + c) + (a + b + c) = 14
2a + 2c = 14
a + c = 7 ...(1)
โจทยกําหนด f (1) 2f(1)
 
2a(1) + b = 2 
2
a(1) b(1) c
 
2a + b = 2a + 2b + 2c
2c + b = 0 ...(2)
โจทยกําหนด f (0) f (0) 6
 
 
 
2a(0) b 2a 6
  
2a + b = 6 ...(3)

หน้า |63
นํา (3) – (2) ; (2a + b) – (2c + b) = 6 – 0
2a – 2c = 6
นํา 2 หารตลอด ; a – c = 3 ...(4)
นํา (1) + (4) ; (a + c) + (a – c) = 7 + 3
2a = 10
a = 5
แทน a = 5 ใน (1) จะได 5 + c = 7
c = 2
แทน a = 5 ใน (3) จะได 2(5) + b = 6
b = –4
แทน a = 5, b = –4, c = 2 ใน f(x) = 2
ax bx c
 
จะได 2
f(x) 5x 4x 2
  
2
f(3x) 5(3x) 4(3x) 2
   2
45x 12x 2
  
ดังนั้น
1 1
2
0 0
f(3x) dx 45x 12x 2 dx
  
 
1
3 2
0
45x 12x
2x
3 2
 

 

   
 

 
 
1
3 2
0
15x 6x 2x
  
   
3 2 3 2
15(1) 6(1) 2(1) 15(0) 6(0) 2(0)
     
(15 6 2) 0
   
= 11 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

หน้า |64
ขอ 37. ตอบ 18
แนวคิด
เมื่อ a, b เปนจํานวนจริง กําหนดฟงกชัน 3 2
f(x) ax bx 1
  
จะได 2
f (x) 3ax 2bx
   ...(*)
โดยนิยามของอนุพันธที่ x = a คือ
x a
f(x) f(a)
f (a) lim
x a


 

x 2
f(x) f(2)
lim 0
x 2




f (2) 0
 
แทน x = 2 ใน (*) จะได 2
3a(2) 2b(2) 0
 
12a + 4b = 0
นํา 4 หารตลอด ; 3a + b = 0 ...(1)
1
0
1
f(x)dx
4


1
3 2
0
1
ax bx 1 dx
4
  

1
4 3
0
ax bx 1
x
4 3 4
 

 
   

 

 
4 3 4 3
a(1) b(1) a(0) b(0) 1
1 (0)
4 3 4 3 4
   
 
 
 
 
     
 
 
 
 
   
a b 1
1
4 3 4
  
นํา 12 คูณตลอด ; 3a 4b 12 3
  
3a + 4b = –9 ...(2)
นํา (2) – (1) ; (3a + 4b) – (3a + b) = –9 – 0
3b = –9
b  –3
แทน b = –3 ใน (1) จะได 3a – 3 = 0
a = 1

หน้า |65
แทน a = 1 และ b = –3 ใน f(x) = 3 2
ax bx 1
  จะได 3 2
f(x) x 3x 1
  
2
f (x) 3x 6x
  
f (x) 6x 6
   ...(**)
โดยนิยามของอนุพันธที่ x = a คือ
x a
f (x) f (a)
f (a) lim
x a

 

 

จะได
x 4
f (x) f (4)
lim f (4)
x 4

 




จาก แทน x = 4 ใน (**) ; 6(4) 6
 
= 18 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 38. ตอบ 7
แนวคิด
คนกลุมหนึ่งมีผูชาย n คน ผูหญิง n + 1 คน เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก
จัดคนกลุมนี้ยืนเรียงแถวเปนแนวตรงเพียงหนึ่งแถว
จะได จํานวนวิธีที่จัดคนกลุมนี้ยืนเรียงเปนแถวตรงโดยไมมีผูชายสองคนใดยืนติดกัน
 
n 2
n
(n 1)! C n!

   
(n 2)!
(n 1)!
(n 2 n)! n!

  
 
n!

(n 1)!(n 2)!
2!
 
 วิธี
จํานวนวิธีจัดคนกลุมนี้ยืนเรียงแถวเปนแนวตรงโดยผูชายยืนติดกันทั้งหมด
(n 2)! n!
   วิธี
โจทยกําหนดจํานวนวิธีจัดคนกลุมนี้ยืนเรียงแถวแนวตรงโดยไมมีผูชายสองคนใดยืนติดกัน เทากับ สองเทา
ของจํานวนวิธีจัดคนกลุมนี้ยืนเรียงแถวเปนแนวตรงโดยผูชายยืนติดกันทั้งหมด จะไดสมการคือ
(n 1)!(n 2)!
2 (n 2)! n!
2!
 
   

หน้า |66
(n 1)× n!
 (n 2)!

2 (n 2)!
2
   n!

n 1
2
2


n + 1 = 4
n = 3
ดังนั้นคนกลุมนี้มีผูชาย 3 คน ผูหญิง 4 คน
แสดงวาคนกลุมนี้มีจํานวน 7 คน 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 39. ตอบ 36
แนวคิด
กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริงบวก
ให 1 2 3 n
a , a , a , ... , a , ... เปนลําดับของจํานวนจริง
a a
 2
, a b

และสําหรับ n = 3, 4, 5, ... กําหนดให 1 2 3 n 1
n
a a a ... a
a
n 1

   


...(*)
จะได n 1 2 3 n 1
(n 1)a a a a ... a 
      ...(1)
จาก (1) แทน n ดวย n + 1 ; n 1 1 2 3 n 1 n
(n 1 1)a a a a ... a a
 
       
n 1 1 2 3 n 1 n
na a a a ... a a
 
      ...(2)
นํา (2) – (1) n 1 n n
na (n 1)a a
   
n 1 n n n
na na a a
   
n 1 n
n(a a ) 0
  
โดยที่ n > 0 ; n 1 n
a a 0
  
n 1 n
a a
 
แสดงวาสําหรับ n = 3, 4, 5, ... จะได n 1 n
a a
 
จาก (*) จะได 1 2
3
a a a b
a
3 1 2
 
 

ดังนั้น 3 4 5
a b
a a a ...
2

    ...(**)

หน้า |67
โจทยกําหนด 1 2 3 4
31
a 2a 3a 4a
8
   
จะได a b a b 31
a 2b 3( ) 4( )
2 2 8
 
   
นํา 8 คูณตลอด ; 8a 16b 12(a b) 16(a b) 31
     
36a 44b 31
  ...(3)
10
i
i 1
30
a
8



นํา 10 หารตลอด ; 1 2 3 10
a a a ... a 3
10 8
   

โดย (*) จะได 11
3
a
8

โดย (**) เราได 11
a b
a
2

 ดังนั้น a b 3
2 8


นํา 8 คูณตลอด ; 4(a b) 3
 
4a + 4b = 3
นํา 11 คูณตลอด ; 44a + 44b = 33 ...(4)
นํา (4) – (3) ; (44a + 44b) – (36a + 44b) = 33 – 31
8a = 2
1
a
4

4
a

แทน a =
1
4
ใน (4) จะได 1
44( ) 44b 33
4
 
11 + 44b = 33
1
b
2

1
2
b

ดังนั้นคาของ
2
2
1 1
(4 2) 36
a b
 

 
   
 

 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

หน้า |68
ขอ 40. ตอบ 4
แนวคิด
ขอมูลประชากรชุดหนึ่งมี 10 จํานวน ดังนี้ 1 2 3 10
x , x , x , ... , x
โดยที่ i
x 0
 สําหรับ i = 1, 2, 3, ..., 10
10
i
i 1
(x 4) 40

 

จะได
10 10
i
i 1 i 1
x 4 40
 
 
 
10
i
i 1
x 4(10) 40

 

10
i
i 1
x 40 40

 

10
i
i 1
x 80



โดยที่คาเฉลี่ยเลขคณิต
N
i
i 1
x
( )
N

 

ดังนั้นคาฌแลยเลขคณิตของขอมูลประชากรชุดนี้ เทากับ
10
i
i 1
x
10

 

แทน
10
i
i 1
x 80


 ;
80
10

= 8
10
2
i
i 1
(x 4) 170

 

จะได
10
2
i i
i 1
(x 8x 16) 170

  

10 10 10
2
i i
i 1 i 1 i 1
x 8 x 16 170
  
  
  
แทน
10
i
i 1
x 80


 ;
10
2
i
i 1
x 8(80) 16(10) 170

  

10
2
i
i 1
x 480 170

 

10
2
i
i 1
x 650




หน้า |69
โดยสูตรคํานวณความแปรปรวนของกลุมประชากร
N
2
i
2 2
i 1
x
N

   

จะไดความแปรปรวนของกลุมประชากรกลุมนี้เทากับ
10
2
i
2 2
i 1
x
10

   

แทน
10
2
i
i 1
8 , x 650

  
 ; 2
650
8
10
 
= 1
ตอนนี้เราไดแลววาขอมูลประชากร 1 2 3 10
x , x , x , ... , x มีความแปรปรวนเทากับ 1 ...(*)
พิจารณาขอมูล 1 2 3 10
2(x 3) , 2(x 3) , 2(x 3) , ... , 2(x 3)
   
จัดใหมเปน 1 2 3 10
2x 6 , 2x 6 , 2x 6 , ... , 2x 6
   
โดยสมบัติของความแปรปรวน
ถาขอมูล i
x และ i
y มีความสัมพันธกันเปน i i
y Ax B
  เมื่อ i = 1, 2, 3, ..., N
จะได ความแปรปรวนของขอมูลชุด i
y เทากับ 2
A เทาของความแปรปรวนของขอมูลชุด i
x
ดังนั้น ความแปรปรวนของ 1 2 2 10
2x 6 , 2x 6 , 2x 6 , ... , 2x 6
   
= 2
2 เทาของความแปรปรวนของขอมูล 1 2 3 10
x , x , x , ... , x
= 4  1 (จาก (*) ความแปรปรวนของขอมูล i
x เทากับ 1)
= 4 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 41. ตอบ 68
แนวคิด
กําหนดให a, b, c เปนจํานวนเต็ม โดยที่ 0 c a b
  
โจทยกําหนด 10 หาร b ลงตัว จะได b = 10, 20, 30, ...
แตโจทยกําหนด a + 2b + 3c = 32 แสดงวา 2b < 32
ดังนั้น b = 10

หน้า |70
แทน b = 10 ใน a + 2b + 3c = 32 จะได a + 20 + 3c = 32
a + 3c = 12
แสดงวา 3c < 12
โดยที่ c เปนจํานวนคู จะได c = 0, 2
ถา c = 0 เมื่อแทนในสมการ a + 3c = 12 จะได a + 0 = 12
a = 12
ซึ่งขัดแยงกับที่ b = 10 และ a < b
ดังนั้น c 0

ถา c = 2 เมื่อแทนในสมการ a + 3c = 12 จะได a + 6 = 12
a = 6
ซึ่งไมขัดแยงกับเงื่อนไข
แสดงวา a = 6 , b = 10 และ c = 2
ดังนั้นคาของ 4a + 5b + 6c = 4(6) + 5(10) + 6(2) = 86 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 42. ตอบ 11.5
แนวคิด
ให N แทนจํานวนขอมูลทั้งหมดในชุดนี้
จาก ตําแหนงของ 3
Q =
3N
4
โจทยกําหนดใหขอมูลชุดนี้ มีตําแหนงที่ของควอไทลที่ 3 3
(Q )เทากับ 13.5
แสดงวา 3N
13.5
4

N 18

จาก ตําแหนงของมัธยฐาน =
N
2
จะได ตําแหนงมัธยฐานของขอมูลชุดนี้ =
18
9
2


หน้า |71
จากกําหนดขอมูลชุดหนึ่งที่โจทยกําหนด สรางคอลัมนความถี่สะสมไดดังนี้
คะแนน ความถี่ ความถี่สะสม
0 – 4 4 4
5 – 9 3 7
10 – 14 5 12
15 – 19 a 12 + a
20 – 24 b 12 + a + b
จะไดวา มัธยฐาน อยูในอันตรภาคชั้น 10 – 14
ซึ่งมี ขอบลาง(L) = 9.5
ความกวางอันตรภาคชั้น (I) = 5
ความถี่ของอัตรภาคชั้น (f) = 5
ผลบวกความถี่ของอัตรภาคชั้นที่มีคานอยกวา ( L
f
 ) = 7
โดยสูตรคํานวณคามัธยฐาน =
L
N
f
2
L I
f
 

 
 
 
 
 
  

 
จะไดมัธยฐานของขอมูลชุดนี้ = 9.5 5

18
7
2
5

9.5 (9 7) 11.5
 

 
 
 
     
 


 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 43. ตอบ 3
แนวคิด
โจทยกําหนดให 1 2 3 n
a , a , a , ... , a , ... เปนลําดับเลขคณิตของจํานวนจริง
โดยให d แทนผลตางรวมของลําดับเลขคณิตนี้
โจทยกําหนด 20 10
a a 30
 
จะได 1 1
a 19d a 9d 30
   
10d = 30
d = 3

หน้า |72
โจทยกําหนดผลบวกสี่พจนแรกของลําดับเทากับ 14 นั่นคือ
1 2 3 4
a a a a 14
   
1 1 1 1
a (a d) (a 2d) (a 3d) 14
      
1
4a 6d 14
 
แทน d = 3 ; 1
4a 6(3) 14
 
1
4a 18 14
 
1
a 1
 
โดยสูตรพจนทั่วไปของลําดับเลขคณิต n 1
a a (n 1)d
  
แทน 1
a 1
  และ d = 3 จะได n
a 1 (n 1)3
   
= –1 + 3n – 3
= 3n – 4 ...(*)
โจทยกําหนดให ให 1 2 3 n
b , b , b , ... , b , ... เปนลําดับของจํานวนจริง
โดยที่ 1 3
b a
 และ n 1 n
b b 1
   สําหรับ n = 1, 2, 3, ...
จะได n 1 n
b b 1
  
แสดงวา n
b เปนลําดับเลขคณิต ที่มีผลตางรวมเทากับ 1
และจาก (*) จะได 1 3
b a 3(3) 4 5
   
โดยสูตรพจนทั่วไปของลําดับเลขคณิต n 1
b b (n 1)d
  
แทน 1
b 5
 , d = 1 จะได n
b 5 (n 1)1
  
n 4
 
ตอนนี้เราไดแลววา n
a 3n 4
  และ n
b n 4
 

หน้า |73
ดังนั้น n
n n
a
lim
b
 n
3n 4
lim
n 4




n
n
lim


4
3
n
n
 

 
 
4
1
n
 

 
 
n
4
3
n
lim
4
1
n




3 0
1 0



3
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ขอ 44. ตอบ 3.5
แนวคิด
ให a , b , c เปนเวกเตอรในสามมิติ โดยที่ a i j , b 3i 2 j 3 2k
    
เวกเตอร c ทํามุม 45
และ 60
กับเวกเตอร a และเวกเตอร j ตามลําดับ และ c k 0
 
สมมติให c xi yj zk
   เมื่อ x, y, x เปนจํานวนจริง
โดยที่ c k 0
  แสดงวา
x 0
y 0 0
z 1
   
   
 
   
   
   
   
x(0) + y(0) + z(1) > 0
0 + 0 + z > 0
z > 0 ...(*)
จาก a i j
  จะได 2 2 0
a 1 1 0 2
   
โจทยกําหนดเวกเตอร c ทํามุม 45
กับเวกเตอร a
จะได a c a c cos45
  
แทน a 2
 ;
2
a c 2 c
2
 
a c c
  ...(1)

หน้า |74
โจทยกําหนดเวกเตอร c ทํามุม 60
กับเวกเตอร j
จะได j c j c cos60
  
โดยที่ j 1
 ;
1
j c (1) c ( )
2
 
นํา 2 คูณตลอด ; 2 j c c
  ...(2)
นํา (1) – (2) ; a c 2 j c 0
   
(a 2 j) c 0
  
แทน a i j
  ; (i j 2 j) c 0
   
(i j) c 0
  
1 x
1 y 0
0 z
   
   
  
   
   
   
   
x – y = 0
x = y ...(*)
จาก (1) ; a c c
  จะได 2 2 2
1 x
1 y x y z
0 z
   
   
   
   
   
   
   
2 2 2
x y x y z
   
จาก (*) แทน x = y จะได 2 2 2
x x x x z
   
2 2
2x 2x z
 
ยกกําลังสองทั้งสองขาง ; 2 2 2
4x 2x z
  และ x  0 ...(***)
2 2
z 2x

จาก (*) และ (***) คา z > 0 , x > 0 แสดงวา z = 2x
แทน y = x และ z 2x
 ในเวกเตอร c xi yj zk
  
จะได c x i xj 2xk
  

หน้า |75
2 2 2
c x x ( 2x)
  
2
c 4x

จาก (***) คา x > 0 จะได c 2x

โจทยกําหนด u เปนเวกเตอรหนึ่งหนวยที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร c
จะไดวา
c
u
c

แทน c x i xj 2xk
   และ c 2x

จะได xi xj 2xk
u
2x
 

1
u (i j 2k)
2
  
โจทยกําหนด b 3i 2 j 3 2k
  
จะได 1
u b (i j 2k) (3i 2 j 3 2k)
2
      
1 3
1
1 2
2
2 3 2
   
   
   
  
   
   
   
   
 
1
1 3 1 ( 2) 2 3 2
2
      
 
1
3 2 6
2
  
7
2

= 3.5 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

หน้า |76
ขอ 45. ตอบ 6
แนวคิด
สําหรับจํานวนจริง x > 0 กําหนดให 1
f(x) 1
1
1
1
1
1 x
 



จัดใหมจะได f(x)
1
1
1
1
(1 x) 1
1 x
 

 

1
1
1 x
1
x
 


1
1
x (1 x)
x
 
 
x
1
1
 

1 x
 
ถา a เปนจํานวนจริงบวกที่สอดคลองกับ
f(1 a) f(2 a) f(3 a) ... f(60 a) 2250
        
จะได
       
1 (1 a) 1 (2 a) 1 (3 a) ... 1 (60 a) 2250
            
(1 + 1 + ... + 1) + (1 + 2 + ... + 60) + (a + a + ... + a) = 2250
โดยสูตรผลบวก n(n 1)
1 2 3 ... n
2

     จะได
60 +
60(60 1)
2

+ 60a = 2250
60 + 1830 + 60a = 2250
60a = 360
a = 6 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Pat1 ก.พ. 61

More Related Content

What's hot

Similar to Pat1 ก.พ. 61

More from 9GATPAT1

Pat1 ก.พ. 61