สรุปเนื้อหา สูตร เอกลักษณ์ ตรีโกณมิติ

1. สรุปสูตร เรื่ องตรี โกณมิติ
วงกลมหนึ่งหน่ วย
1. นิยาม sin   y และ cos   x ดังนัน
้ tan  
y
,     , 3 , 5 ,...
x 2 2 2
cot  
x
,   ,2,3,...
y
sec  
1
,     , 3 , 5 ,...
x 2 2 2
csc  
1
,   ,2,3,...
y
2. อัตราส่วนตรี โกณมิติ
a b
sin Ä  cos ecA 
b a
c b
cos A  sec A 
b c
a c
tan A  cot A 
c a
3. ฟั งก์ชนตรี โกณมิติของมุมที่ควรจําได้
ั
ฟั งก์ชน
ั 0 
 30 o

 45 o

 60 o

 90 o   180 o
6 4 3 2
sin 0
1 1

2 3 1 0
2 2 2 2
cos 1 3 1

2 1
0 1
2 2 2 2
tan 0
1
1 3 _ 0
3
cot _ 3 1
1
0 _
3
sec 1
2
2 2 _ 1
3
cosec _ 2 2
2
1 _
3

2. 4. การหาค่าของฟั งก์ชนตรี โกณของมุมประกอบที่ค่าของฟั งก์ชนไม่เปลี่ยนแปลง
ั ั

ถ้ ากําหนดให้ 0
2
 อยู่ ควอดรันต์ 2  อยู่ ควอดรันต์ 3 2   อยู่ ควอดรันต์ 4  อยู่ ควอดรันต์ 4
sin(  )  sin  sin(  )   sin  sin(2  )   sin  sin()   sin 
cos(  )   cos  cos(  )   cos  cos(2  )  cos  cos()  cos 
tan(  )   tan  tan(  )  tan  tan(2  )   tan  tan()   tan 
กรณีที่มมเป็ นองศา ก็เช่นเดียวกัน
ุ
180 o   อยู่ ควอดรันต์ 2 180 o   อยู่ ควอดรันต์ 3 360 o   อยู่ ควอดรันต์ 4  อยู่ ควอดรันต์ 4
sin(180 o  )  sin  sin(180 o  )   sin  sin(360 o  )   sin  sin()   sin 
cos(180 o  )   cos  cos(180 o  )   cos  cos(360 o  )  cos  cos()  cos 
tan(180 o  )   tan  tan(180 o  )   tan  tan(360 o  )   tan  tan()   tan 
ในทํานองเดียวกันถ้ า nI และเป็ นฟั งก์ชนของมุมที่เกินรอบ
ั
sin(2n  )   sin  sin(2n  )  sin 
cos(2n  )  cos  cos(2n  )  cos 
tan(2n  )   tan  tan(2n  )   tan 
หมายเหตุ สูตรเหล่านี ้ใช้ ได้ กบ
ั  ทุกขนาดของมุมหรื อจํานวนจริงใด ๆ
การหาค่าของฟั งก์ชนตรี โกณของมุมประกอบที่ค่าของฟั งก์ชนต้ องเปลี่ยนแปลงฟั งก์ชน
ั ั ั
(co-function)
  3 3
  อยู่ ควอดรันต์ 1   อยู่ ควอดรันต์ 2   อยู่ ควอดรันต์ 3   อยู่ ควอดรันต์ 4
2 2 2 2
  3 3
sin(  )  cos  sin(  )  cos  sin(  )   cos  sin(  )   cos 
2 2 2 2
  3 3
cos(  )  sin  cos(  )   sin  cos(  )   sin  cos(  )  sin 
2 2 2 2
  3 3
tan(  )  cot  tan(  )   cot  tan(  )  cot  tan(  )   cot 
2 2 2 2
กรณีที่มมเป็ นองศา ก็เช่นเดียวกัน
ุ
90   อยู่ ควอดรันต์ 1 90 o   อยู่ ควอดรันต์ 2
o
270 o   อยูควอดรันต์ 3
่ 270 o   อยูควอดรันต์ 4
่
sin(90 o  )  cos  sin(90 o  )  cos  sin( 270 o  )   cos  sin( 270 o  )   cos 
cos(90 o  )  sin  cos(90 o  )   sin  cos(270 o  )   sin  cos(270 o  )  sin 
tan(90 o  )  cot  tan(90 o  )   cot  tan(270 o  )  cot  tan(270 o  )   cot 
5. ค่าสูงสุดและตํ่าสุดของ a sin   b cos  คือ  a 2  b2

3. 6. เอกลักษณ์พื ้นฐานที่ควรทราบ
กําหนดให้  เป็ น มุม , ความยาวส่วนโค้ ง หรื อ จํานวนจริงใด ๆ
sin 2   cos 2   1  sin    1  cos 2  จะเลือก + หรื อ – ต้ องขึ ้นอยูกบ
่ ั 
 cos    1  sin 2  จะเลือก + หรื อ – ต้ องขึ ้นอยูกบ
่ ั 
1  cot 2   cos ec 2  และ 1  tan 2   sec 2 
กราฟของฟั งก์ชนตรี โกณมิติ
ั
ฟั งก์ชน
ั กราฟ โดเมน เรนจ์ คาบ
แอมพลิจด
ู
y  sin x R [1,1] 2
y  cos x R [1,1] 2

  2n  1  
x x    

  2   
y  tan x R 
nI
y  cot x x x  n  R 
nI
y  sec x 
  2n  1  
x x    

  2    (,1]  [1, ) 2
nI
y  cos ecx
x x  n  (,1]  [1, ) 2
nI

4. สูตรฟั งก์ชนตรี โกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุมหรื อจํานวนจริง
ั
sin( A  B)  sin A  cos B  cos A  sin B
sin( A  B)  sin A  cos B  cos A  sin B
cos(A  B)  cos A  cos B  sin A  sin B
cos(A  B)  cos A  cos B  sin A  sin B
tan A  tan B
tan( A  B) 
1  tan A  tan B
tan A  tan B
tan(A  B) 
1  tan A  tan B
cot A  cot B  1
cot(A  B) 
cot B  cot A
cot A  cot B  1
cot(A  B) 
cot B  cot A
สูตรฟั งก์ชนตรี โกณมิติของมุม 2 เท่า
ั
A A
sin 2A  2 sin A  cos A หรื อ sin A  2 sin  cos
2 2
2 A A
cos 2A  cos 2 A  sin 2 A หรื อ cos A  cos  sin 2
2 2
2 A
 2 cos 2 A  1 หรื อ cos A  2 cos 1
2
A
 1  2 sin 2 A หรื อ cos A  1  2 sin 2
2
A
2 tan
2 tan A
tan 2A  หรื อ tan A  2
1  tan 2 A 1  tan 2 A
2
cot 2 A  1
cot 2A 
2 cot A
2 tan A 2 tan A
เนื่องจาก tan 2A  เราสามารถหา sin 2A 
1  tan A
2
1  tan 2 A
1  tan 2 A
cos 2A 
1  tan 2 A
สูตรฟั งก์ชนตรี โกณมิติของมุม 3 เท่า
ั
sin 3A  3 sin A  4 sin 3 A
cos 3A  4 cos 3 A  3 cos A
3 tan A  tan 3 A
tan 3A 
1  3 tan 2 A
cot 3 A  3 cot A
cot 3A 
3 cot 2  1
สูตรฟั งก์ชนตรี โกณมิติของมุมครึ่ง
ั
1 cos 2A 1 cos 2A
sin 2 A  หรื อ sin A  
2 2
1 cos 2A 1 cos 2A
cos 2 A  หรื อ cos A  
2 2

5. 1  cos 2A 1  cos 2A
tan 2 A  หรื อ tan A  
1  cos 2A 1  cos 2A
ค่าของฟั งก์ชนของมุมบางมุมที่ควรทราบ
ั
3 1 6 2
sin 15 o  cos 75 o  
2 2 4
3 1 6 2
sin 75 o  cos 15 o  
2 2 4
3 1
tan 15 o  cot 75 o 
3 1
3 1
tan 75 o  cot 15 o 
3 1
5 1
sin 18 o  cos 72 o 
4
10  2 5
cos 18 o  sin 72 o 
4
5 1
cos 36 o  sin 54 o 
4
10  2 5
sin 36 o  cos 54 o 
4
2 2
sin 22.5 o  cos 67.5 o 
2
2 2
cos 22.5 o  sin 67.5 o 
2
สูตรการเปลี่ยนผลคูณของฟั งก์ชนเป็ นผลบวกหรื อผลต่างของฟั งก์ชน
ั ั
2 sin A  cos B  sin( A  B)  sin( A  B) หรื อ 2 sin cos  sin(sum)  sin(diff )
2 cos A  sin B  sin( A  B)  sin( A  B) หรื อ 2 cos sin  sin(sum)  sin(diff )
2 cos A  cos B  cos(A  B)  cos(A  B) หรื อ 2 cos cos  cos(sum)  cos(diff )
2 sin A  sin B  cos(A  B)  cos( A  B) หรื อ 2 sin sin  cos(diff )  cos(sum)
สูตรการเปลี่ยนผลบวกหรื อผลต่างของฟั งก์ชนเป็ นผลคูณของฟั งก์ชน
ั ั
AB AB
sin A  sin B  2 sin    cos 
 2   2 
AB AB
sin A  sin B  2 cos   sin  
 2   2 
AB AB
cos A  cos B  2 cos   cos 
 2   2 
AB  BA  AB AB
cos A  cos B  2 sin    sin   หรื อ   2 sin   sin 
 2   2   2   2 
3 3
sin 20 o  sin 40 o  sin 80 o  หรื อ sin 20 o  sin 40 o  sin 60 o  sin 80 o 
8 16
1 1
cos 20 o  cos 40 o  cos 80 o  หรื อ cos 20 o  cos 40 o  cos 60 o  cos 80 o 
8 16

6. อินเวอร์ สของฟั งก์ชนตรี โกณมิติ
ั
ฟั งก์ชนตรี โกณมิติ
ั อินเวอร์ สของฟั งก์ชน
ั ฟั งก์ชนอินเวอร์ ส
ั โดเมนของ เรจน์ของ
ฟั งก์ชนอินเวอร์ ส
ั ฟั งก์ชนอินเวอร์ ส
ั
y  sin x x  sin y y  arcsin x หรื อ   
 2 , 2 
[1,1]
 
y  sin 1 x
y  cos x x  cos y y  arccos x หรื อ [1,1]
1
0, 
y  cos x
y  tan x x  tan y y  arctan x หรื อ   
R  , 
 2 2
y  tan 1 x
y  arc cot x หรื อ (0, )
y  cot x x  cot y R
y  cot 1 x
y  arc sec x หรื อ
y  sec x x  sec y R  (1,1) 0,     
 
2
y  sec 1 x
y  arc csc x หรื อ   
 2 , 2   0
y  csc x x  csc y R  (1,1)
 
y  csc 1 x
สูตรความสัมพันธ์ของฟั งก์ชนอินเวอร์ สตรี โกณมิติ
ั
1. arcsin( x )   arcsin x  x  1,1
2. arccos( x )    arccos x  x  1,1
3. arctan( x )   arctan x  xR
4. sin(arcsin x )  x  x  1,1 และ
  
arcsin(sin x )  x  x   ,  ดังนัน
้
 2 2
sin(arcsin x )  arcsin(sin x )  x  1,1
5. cos(arccos x )  x  x  1,1 และ
arccos(cos x )  x  x  0,  ดังนัน
้
cos(arccos x )  arccos(cos x )  x  1,1
6. tan(arctan x )  x  xR และ
  
arctan(tan x )  x  x  ,  ดังนัน
้
 2 2
  
tan(arctan x )  arctan(tan x )  x  , 
 2 2

7. 7. cot(arc cot x )  x  xR และ
arc cot(cot x )  x  x  (0, ) ดังนัน
้
cot(arc cot x )  arc cot(cot x )  x  (0, )
8. sec(arc sec x )  x  x  R  (1,1) และ

arc sec(sec x )  x  x  0,     ดังนัน
้
2

sec(arc sec x )  arc sec(sec x )  x  0,    
2
9. csc(arc csc x )  x  x  R  (1,1) และ
  
arc csc(csc x )  x  x   ,   0 ดังนัน
้
 2 2
sec(arc sec x )  arc sec(sec x )  x  R  (1,1)
xy  
10. arctan x  arctan y  arctan    arctan x  arctan y 
1  xy 2 2
xy  
arctan x  arctan y  arctan    arctan x  arctan y 
1  xy 2 2
xy 
arctan x  arctan y    arctan  arctan x  arctan y 
1  xy 2
xy 
arctan x  arctan y     arctan  arctan x  arctan y  
1  xy 2
2x
11. 2 arctan x  arctan
1 x 2
12. arcsin x  arccos 1  x 2
x
 arctan
1 x 2
1 x 2
 arc cot
x
1
 arc sec
1 x 2
1
 arc csc
x

13. arcsin x  arccos x   x  1,1
2

arctan x  arc cot x   xR
2

arc sec x  arc csc x   x  R  1,1
2
การแก้ สมการตรี โกณมิติ
1. ถ้ าโจทย์กําหนด เอกภพสัมพัทธ์ ต้ องตอบในรูปของเซตจํากัด
2. ถ้ าโจทย์ไม่กําหนด เอกภพสัมพัทธ์ ต้ องตอบในรูปทัวไป และกําหนดให้ เอกภพสัมพัทธ์
่ R ดังนี ้
2.1 ถ้ า sin x  sin  คําตอบของสมการ คือ x  n  (1) n 
2.2 ถ้ า cos x  cos  คําตอบของสมการ คือ x  2n  

8. 2.3 ถ้ า tan x  tan  คําตอบของสมการ คือ x  n  
3. หลักที่ควรคํานึงถึงเกี่ยวกับเรื่ องการแก้ สมการ คือ
3.1 การแปลงทุกค่าของตัวแปรให้ เป็ นฟั งก์ชนเดียวกันและมุมเดียวกัน
ั
3.2 การแยกตัวประกอบ
การแก้ อสมการตรี โกณมิติ
ใช้ หลักเหมือนกับการแก้ สมการในระบบจํานวนจริง โดยมีคาของฟั งก์ชนตรี โกณมิติเป็ นตัวแปรใด ๆ
่ ั
การแก้ รูปสามเหลี่ยม
ใช้ หลักดังนี ้ คือ
1. ถ้ าสามเหลี่ยมดังกล่าวนันเป็ นสามเหลี่ยมมุมฉากใช้
้
1.1 ทฤษฎีบทพีธากอรัส
1.2 อัตราส่วนตรี โกณมิติ
2. ถ้ าสามเหลี่ยมนันเป็ นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ใช้
้
a b c
2.1 กฎของไซน์ คือ  
sin A sin B sin C
2.2 กฎของโคไซน์ คือ
b2  c2  a 2
a 2  b 2  c 2  2bc cos A  cos A 
2bc
a 2  c2  b2
b 2  a 2  c 2  2ac cos B  cos B 
2ac
a 2  b2  c2
c 2  a 2  b 2  2ab cos C  cos C 
2ab
2.3 กฎของโปรเจกชัน
a  b cos C  c cos B
b  a cos C  c cos A
c  a cos B  b cos A
1
3. การหาพื ้นที่รูปสามเหลี่ยม   ฐาน  สูง
2
1
  ab sin C
2
1
 s(s  a )(s  b)(s  c) โดยที่ s  (a  b  c )
2
4. การหาพื ้นที่ของรูปสามเหลี่ยมฐานโค้ ง
1
4.1 เมื่อทราบความยาวฐานโค้ ง   ฐานโค้ ง  รัศมี ตารางหน่วย
2
1
 r
2

4..2 เมื่อทราบขนาดของมุมที่จดศูนย์กลาง
ุ  o
 r 2 ตารางหน่วย
360

  r 2
2