จำนวนจริง

1

เอกสารประกอบการเรี ยนวิชาคณิตศาสตร์ ค 31101 เรื่ อง ระบบจานวนจริ ง ระดับชั้นม.4

ระบบจำนวนจริง
จำนวนตรรกยะ (Rational
a, b เป็ นจานวนเต็ม และ b  0

นันคือ
่

 {x x 

ใช้
a
b

number) คือ จานวนที่สามารถเขียนให้อยูในรู ปเศษส่ วน
่

แทนเซตของจานวนตรรกยะ

เมื่อ a, b  I และ b  0 }

ตัวอย่ำงจำนวนตรรกยะ เช่น
- จานวนเต็ม
-

1 1
5
,3 ,
2 6
4
เช่น 0.5, 2.43, 5.465

เศษส่วน เช่น

ทศนิยมซ้ า
จำนวนอตรรกยะ (Irational number) คือ จานวนที่ไม่เป็ นจานวนตรรกยะ
ใช้  แทนเซตของจานวนอตรรกยะ
ตัวอย่ำงจำนวนอตรรกยะ เช่น
- จานวนที่อยูในรู ปกรณฑ์ ที่เมื่อหาค่าแล้วไม่เป็ นจานวนตรรกยะ เช่น 2, 5 3
่
- จานวนที่อยูในรู ปทศนิ ยมไม่ซ้ า เช่น 0.125693..., 0.12122122212222...
่
-

- , e

จำนวนจริง (Real Number) ประกอบด้วยเซตของจานวนตรรกยะและเซตของ
จานวนอตรรกยะ ใช้สญลักษณ์ แทนเซตของจานวนจริ ง นันคือ   
ั
่
แผนผังแสดงจำนวนชนิดต่ำง ๆ
จำนวนจริง
จานวนตรรกยะ
จานวนตรรกยะที่ไม่เป็ นจานวนเต็ม
จานวนเต็มลบ

จานวนอตรรกยะ
จานวนเต็ม
จานวนเต็มศูนย์

จานวนเต็มบวก

เรี ยบเรี ยงและจัดทาโดยนางสาวศิริกญญา กิตติวุฒิ โรงเรี ยนสุราษฎร์พิทยา
ั

a
b

โดยที่

2

คำชี้แจง ให้นกเรี ยนกาเครื่ องหมาย 
ั
จานวนนั้น ๆ ให้ถกต้อง
ู
ข้ อที่

จำนวนที่กำหนดให้

1
2

ใบงำนที่ 1
ลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ตรงกับชนิดของ

จำนวนจริง
จำนวนนับ จำนวนเต็ม จำนวนเต็มลบ จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ

-8

3
4
5
6
7
8
9
10



0.3


13
2

125
3

1.41
15
3
4 2
 

0.234
( 6)2

คะแนนที่ได้ = …………………………
ผูตรวจ …………………………………..
้
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ………

ั

3

สมบัติของจานวนจริ งเกี่ยวกับการบวก ว่าในระบบจานวนจริ ง จะเรี ยก จานวนจริ งที่บวกกับจานวน
จริ งจานวนใดก็ตามแล้วได้ผลลัพธ์เป็ นจานวนจริ งนั้นว่า เอกลักษณ์กำรบวก
กล่าวคือ ให้ a, z เป็ นจานวนจริ งใด ๆ โดยที่ z เป็ นเอกลักษณ์การบวก
จะได้ว่า
a z  za  a

ในระบบจานวนจริ ง มีเอกลักษณ์การบวกจานวนเดียว คือ 0
นันคือ
0a  a 0  a
่
อินเวอร์ สกำรบวก ของจำนวนจริง a ว่า หมายถึง จานวนจริ งที่บวกกับ a แล้วได้
ผลลัพธ์เป็ น 0 ใช้สญลักษณ์ -a แทนอินเวอร์สการบวก ของจานวนจริ ง a กล่าวคือ ถ้า a เป็ นจานวนจริ ง
ั
ใด ๆ จะได้ว่า
a  (a)  (a)  a  0

นันคือ ถ้าจานวนสองจานวนบวกกันได้ศนย์จะเรี ยกจานวนทั้งสองว่าเป็ นอินเวอร์สซึ่งกันและกัน
ู
่
จำนวน (a)

อินเวอร์ สกำรบวก (-a)

5
0.3
- 3
2
1 1

2 3
1 2

2

-5
-0.3
3
-2 
1 1
-(  )
2 3
1 2
2

ั

4


*** นอกจาก จานวนจริ งจะมีเอกลักษณ์การบวก และอินเวอร์สการบวกแล้ว จานวนจริ งยังมี
สมบัติอื่น ๆ ที่เกี่ยวกับการบวก ดังนี้
สมบัติ
สมบัติปิด
สมบัติการสลับที่
สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม
สมบัติการมีเอกลักษณ์

สมบัตของกำรบวก
ิ
ถ้า a  และ b  แล้ว

ตัวอย่ำง
ถ้า 1, 2 แล้ว

a  b
a b  ba

1 2 
1 2  2 1

(a  b)  c  a  (b  c)

(1  2)  3  1  (2  3)

มีจานวนจริ ง 0 ซึ่ง

05  5  50

0a  a  a 0

สมบัติการมีอินเวอร์ส

สาหรับจานวนจริ ง a จะมี
จานวนจริ ง –a ที่

3  (3)  (3)  3  0

a  (a)  (a)  a  0

ตัวอย่ำงที่ 1 ข้อความต่อไปนี้เป็ นจริ งตามสมบัติของจานวนจริ งข้อใด
1. 2  8 เป็ นจานวนจริ ง เป็ นจริ งตามสมบัติปิดของการบวก
เนื่องจาก 2  และ 8 ดังนั้น 2  8 
2. (3  1)  6  3  (1  6) เป็ นจริ งตามสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการบวก
3. 8  0  8 เป็ นจริ งตามสมบัติการมีเอกลักษณ์ของการบวก
4. (2)  2  0 เป็ นจริ งตามสมบัติการมีอินเวอร์ สของการบวก
สมบัติของระบบจานวนจริ งเกี่ยวกับการคูณ ว่าในระบบจานวนจริ ง จะเรี ยก จานวนจริ งที่ไม่เป็ น
ศูนย์ซ่ึงคูณกับจานวนจริ งใดก็ตาม ได้ผลลัพธ์เป็ นจานวนจริ งจานวนนั้น เรี ยกว่า เอกลักษณ์กำรคูณ กล่าวคือ
ba  a  ab

ในระบบจานวนจริ ง มีเอกลักษณ์การคูณจานวนเดียว คือ 1
1a  a  a1
นันคือ
่
ในระบบจานวนจริ ง อินเวอร์ สกำรคูณของจำนวนจริง a  0 หมายถึง จานวนจริ งที่คูณกับ a แล้ว
ได้ ผลลัพธ์เป็ น 1 ใช้สญลักษณ์ a 1 แทนอินเวอร์สการบวกของจานวนจริ ง a
ั
a 1 a  1  a a 1
กล่าวคือ

ั

5

จานวน (a)

อินเวอร์สการคูณ ( a 1 )

a 1 a  1  a a 1

8

1
8

1
1
8  1  8
8
8



1.3

1
2
2

-2

1
2

หรื อ 13
10

1
หรื อ 10
1.3
13

1
1
( )(2)  1  (2)( )
2
2
1
1
( )( 2)  1  ( 2)( )
2
2
10 13
13 10
( )( )  1  ( )( )
13 10
10 13

ในระบบจานวนจริ งยังมีสมบัติอื่น ๆ เกี่ยวกับการคูณอีก กล่าวโดยสรุ ป สมบัติเกี่ยวกับการคูณของ
จานวนจริ ง มีดงนี้
ั
สมบัติ

ิ
ถ้า a  และ b  แล้ว

ตัวอย่ำง
ถ้า 1, 2 แล้ว

a b
ab  ba

(1 2) 
35  53

สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม (a b) c  a (b c)
สมบัติการมีเอกลักษณ์ มีจานวนจริ ง 1 และ 1  0 ซึ่ง

(2 3) 4  2 (3 4)
17  7  71

1a  a  a1


สาหรับ a ที่ a  0 จะมีจานวน
จริ ง a 1 โดยที่

1
1
3  1 3
3
3

a 1 a  1  a a 1

ในระบบจานวนจริ งยังมีสมบัติที่เกี่ยวข้องกับการบวกและการคูณ สมบัติดงกล่าว ได้แก่
ั
สมบัตกำรแจกแจง กล่าวคือ
ิ
a(b  c)  ab  ac และ (b  c) a  ba  ca
ตัวอย่ำงที่ 2 ข้อความต่อไปนี้เป็ นจริ งตามสมบัติของจานวนจริ งข้อใด
1. มีจานวนจริ งที่คณกับ 0.9 แล้วได้ 1 เป็ นจริ งตามสมบัติการมีอินเวอร์ สของการคูณ
ู
2. 1 (8)   8 เป็ นจริ งตามสมบัติการมีเอกลักษณ์ของการคูณ
3. 98  (10  7)  980  686 เป็ นจริ งตามสมบัติการแจกแจง

ั

6

ให้

a, b, c 

สมบัติ
สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม
สมบัติการมีเอกลักษณ์

ิ

สมบัตของกำรคูณ
ิ

a  b

a b

a b  ba

ab  ba

(a  b)  c  a  (b  c)

(a b) c  a (b c)

มี 0 เป็ นเอกลักษณ์การบวก
มี 1 เป็ นเอกลักษณ์การคูณ
โดยที่ 0  a  a  0  a
โดยที่ 1 a  a 1  a
อินเวอร์สการบวกของ a คือ –a อินเวอร์สการคูณของ a คือ
1
โดยที่
โดยที่
a  (a)  (a)  a  0

a

1
1
  a  1, a  0
a
a
a(b  c)  ab  ac
a

สมบัติการแจกแจง

ั

7

ตอนที่ 1

ให้นกเรี ยนเติมคาตอบลงในช่องว่างให้ถกต้องสมบูรณ์
ั
ู

ข้ อที่

ข้ อควำม

2

2, 6  R แล้ว 2 + 6  R
7+3 = 3+7

3

3 + (5 + 4) = (3 + 5) + 4

4

มีจานวนจริ ง

1

5
6
7
8
9
10

ถ้า

0 ซึ่ง 0 + 3 = 3 = 3 + 0
(-7) + 7 = 0 = 7 + (-7)

สมบัติ
ปิ ด
การสลับที่
การเปลี่ยนหมู่
การมีเอกลักษณ์
การมีอินเวอร์ส

6+3 = 3+6
10 + (2 + 8) = (10 + 2) + 8

ถ้า

4, -3  R แล้ว 4 + (-3)  R
0+8 = 8 = 8+0
(-15) + 15 = 0 = 15 + (-15)

ตอนที่ 2

ให้นกเรี ยนเติมคาตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถกต้องสมบูรณ์
ั
ู

ข้ อที่

ข้ อควำม

1

ถ้า

2

72 = 27

3

5  (4  3) = (5  4)  3

4

18 = 8 = 81

5

1
1
3 = 1 = 3
3
3

6
7

10  3 = 3  10

8
9

1  10 = 10 = 10  1

10

ถ้า

ถ้า

5, 3  R

6, 7  R

แล้ว

สมบัติ

แล้ว

25R

ปิ ด
การสลับที่
การเปลี่ยนหมู่
การมีเอกลักษณ์
การมีอินเวอร์ส

76R

1
1
5 = 1 = 5
5
5

-2, 7  R

แล้ว

(-2)  7  R

ั

8

สมบัตของกำรเท่ ำกันของจำนวนจริง
ิ
ให้ a, b  จะได้ว่า
1. สมบัตกำรสะท้ อน
ิ
aa
เช่น
22
2. สมบัตกำรสมมำตร
ิ
ถ้า a  b แล้ว b  a
เช่น
ถ้า 3  2  1 แล้ว 2  1  3
3. สมบัตกำรถ่ ำยทอด
ิ
ถ้า a  b และ b  c แล้ว a  c
เช่น
22  4 และ 4  3  1 แล้ว 22  3  1
4. สมบัตกำรบวกด้ วยจำนวนที่เท่ ำกัน ถ้า a  b แล้ว a  c  b  c
ิ
เช่น
2  3  6 และ c  1 แล้ว (2  3)  1  6  1
5. สมบัตกำรคูณด้ วยจำนวนทีเท่ ำกัน ถ้า a  b แล้ว ac  bc
ิ
่
เช่น

4
2
2

และ c  3 แล้ว ( 4 )(3)  (2)(3)
2

สมบัตของกำรไม่เท่ ำกันของจำนวนจริง
ิ
ให้ a, b, c 
1. สมบัตกำรถ่ ำยทอด
ิ
ถ้า a  b และ b  c แล้ว a  c เช่น 10  5 และ 5  1 แล้ว 10  1
2. สมบัตกำรบวกด้ วยจำนวนที่เท่ ำกัน
ิ
ถ้า a  b แล้ว a  c  b  c
เช่น 2 > 0 ให้ c = 1 จะได้ 2  1  0  1 หรื อ 3 > 1
ให้ c = -1 จะได้ 2  (1)  0  (1) หรื อ 1 > -1
3. สมบัตกำรคูณด้ วยจำนวนเท่ ำกันที่มำกกว่ ำศูนย์
ิ
ถ้า a  b และ c  0 แล้ว ac  bc
เช่น 5 > 3 ให้ c = 2 จะได้ว่า 5  2  3 2 หรื อ 10 > 6

ั

9

ช่ วง คือ สับเซตของจานวนจริ งที่ไม่สามารถเขียนแบบแจกแจงสมาชิกได้ ช่วงของ
จานวนจริ ง a และ b เมื่อ a  b แบ่งเป็ น 2 แบบ ดังนี้ คือ
1. ช่วงจากัด มี 4 แบบต่างกัน โดยมีความหมายและเขียนแทนได้ดวยเส้นจานวน ดังนี้
้
1) ช่วงเปิ ด (a, b) หมายถึง {x a  x  b}
a

b

2) ช่วงปิ ด [a, b] หมายถึง {x a  x  b}

a

b

3) ช่วงครึ่ งเปิ ด (a, b] หมายถึง {x a  x  b}
a

b

4) ช่วงครึ่ งเปิ ด [a, b)

หมายถึง {x

a  x  b}

a

b

2. ช่วงอนันต์

มี 5 แบบต่างกัน คือ
1) ช่วง (a, ) หมายถึง {x x  a}
a

2) ช่วง [a, )


x  a}

a

3) ช่วง (, a)


x  a}

a

ั

10

4) ช่วง (, a]


x  a}

a

5) ช่วง (, )


x }

ตัวอย่ำงที่ 1
1)

n > -4
-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

ในภาพเส้นทึบที่มีลกศรแทนจานวนจริ งทุกจานวนที่มีค่ามากกว่า
ู
สัญลักษณ์ “ O ” หมายถึง ไม่รวมจานวน -4
2)

-4

n  2
-5

-4

-3

-2

-1

0

สัญลักษณ์ “” หมายถึง รวมจานวน

1
2

2

3

ด้วย

ั

4

5

6

11

คำชี้แจง

ั
ู

มีค่าน้อยกว่า -8 แทนด้วยสัญลักษณ์ ……………………………………………
2. b มีค่ามากกว่า 10 แทนด้วยสัญลักษณ์ ……………………………………………
3. x มีค่าน้อยกว่าหรื อเท่ากับ 5 แทนด้วยสัญลักษณ์ ………………………………….
4. y มีค่ามากกว่าหรื อเท่ากับ 20 แทนด้วยสัญลักษณ์ …………………………………
5. a  4 จานวนสามจานวนที่สอดคล้องกับอสมการ คือ ……………………………..
6. a  -4 จานวนสามจานวนที่สอดคล้องกับอสมการ คือ …………………………….
7. ถ้า 7 > 4 และ 4 > 2 แล้ว ……………………………………………………
8. ถ้า 8 > 2 แล้ว 8 + 6 > ………………………………………………………
9. ถ้า 10 + 5 > 6 + 5 แล้ว ……………………………………………………….
10. ถ้า 12 > 7 แล้ว 12  3 > ……………………………………………………
1. a

คะแนนที่ได้ = …………………………
ผูตรวจ …………………………………..
้
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ………

ั

12


กำรแยกตัวประกอบของพหุนำม
ตัวแปร คือ สัญลักษณ์ที่ใช้เขียนแทนจานวน นิยมใช้ตวอักษรภาษาอังกฤษตัวเล็ก เช่น x, y แทน
ั
จานวน
ค่ำคงตัว คือ ตัวเลขที่แทนจานวน เช่น 1, 2, 3
นิพจน์ คือ ข้อความในรู ปสัญลักษณ์ เช่น 2, 3x, 5  x, x  8
เอกนำม คือ นิพจน์ที่เขียนในรู ปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปที่มีเลขชี้กาลัง
ของตัวแปรเป็ นจานวนเต็มบวกหรื อศูนย์ เช่น 3, 2x, 3xy, x 2
พหุนำม คือ นิพจน์ที่สามารถเขียนในรู ปเอกนาม หรื อการบวกเอกนามตั้งแต่สองเอกนามขึ้นไป
กำรแยกตัวประกอบของพหุนำม คือ การเขียน พหุนามในรู ปการคูณของพหุนามที่มดีกรี ต่ากว่า
ี
1) 8x  6  2(4x)  2(3)  2(4x  3)
2) 2x3  3x 2  x  x(2x 2 )  x(3x)  x(1)
 x(2x 2  3x  1)

พหุนำมดีกรีสอง ตัวแปรเดียว เป็ นพหุนามที่เขียนได้ในรู ป ax 2  bx  c เมื่อ a, b, c เป็ นค่าคงตัว
ที่ a  0 และ x เป็ นตัวแปร
1) 3x 2  6x  1
มี a = 3, b = -6 และ c = 1
2) 5x 2  8x  3
มี a = 5, b = 8 และ c = -3
พิจารณา พหุนามดีกรี สองตัวแปรเดียว ax 2  bx  c ในกรณี ที่ a = 1และ b, c เป็ นจานวนเต็ม
และ c  0 ว่าอยูในรู ปอย่างไร พร้อมยกตัวอย่างประกอบ ดังนี้
่
1) x 2  6x  1
2) x 2  8x  3

พิจารณา การหาผลคูณของพหุนามดีกรี หนึ่งกับพหุนามดีกรี หนึ่ง เพื่อเป็ นแนวทางในการแยก
ตัวประกอบพหุนามดีกรี สองตัวแปรเดียว
(x  2)(x  3)  x(x  2)  3(x  2)
 (x 2  2x)  (3x  6)
 x 2  (2  3)x  6
 x 2  5x  6

เมื่อเขียน x 2  5x  6 ในรู ปของผลคูณของพหุนามดีกรี หนึ่ง ซึ่งจะได้
x 2  5x  6  (x  2)(x  3)

ั

13

ขั้นตอนในการแยกตัวประกอบ x 2  5x  6 โดยพิจารณา ย้อนกลับจากการหาผลคูณข้างต้น
x 2  5x  6  x 2  (2  3)x  6
 x 2  (2x  3x)  6
 (x 2  2x)  (3x  6)
 x(x  2)  3(x  2)
 (x  2)(x  3)

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรี สอง x 2  bx  c เมื่อ b และ c เป็ นจานวนเต็ม จะทาได้ เมื่อ
สามารถหาจานวนเต็มสองจานวนที่คณกันได้ c และ บวกกันได้ b นันคือ
ู
่
ถ้าให้ m และ n แทนจานวนเต็มสองจานวนนั้น
จะได้
mn  b
m n  c

ดังนั้น

x 2  bx  c  x 2  (m  n)x  mn

 (x 2  mx)  (nx  mn)
 x(x  m)  n(x  m)
 (x  m)(x  n)

นันคือ x 2  bx  c แยกตัวประกอบได้เป็ น
่

(x  m)(x  n)

1) x 2  7x  12  (x  3)(x  4)
2) x 2  7x  12  (x  3)(x  4)
3) x 2  x  12  (x  4)(x  3)
4) x 2  x  12  (x  3)(x  4)

(4x  3)(2x  1)  2x(4x  3)  (4x  3)
 (8x 2  6x)  (4x  3)
 8x 2  (6x  4x)  3
 8x 2  10x  3


(4x  3)(2x  1)  8x 2  10x  3

การหาผลคูณของพหุนามดีกรี หนึ่ง โดยใช้สมบัติการแจกแจง
1) จาก (4x  3)(2x  1)  8x 2  10x  3
จะได้ว่า หน้า  หน้า = พจน์หน้าของผลคูณ
2) จาก (4x  3)(2x  1)  8x 2  10x  3
จะได้ว่า หลัง  หลัง = พจน์หลังของผลคูณ
ั

14

3)

จาก

(4x  3)(2x  1)  8x 2  10x  3

จะได้ว่า (หน้า  หลัง) + (หลัง  หน้า)

=

พจน์กลางของผลคูณ

พิจารณาการแยกตัวประกอบ 8x 2  10x  3 โดยอาศัยสมบัติยอนกลับ ดังนี้
้
1) หาพหุ นามดีกรี หนึ่ ง สองพหุ นามที่คูณกันได้ 8x 2 แล้วเขียนไว้ในวงเล็บเป็ นคู่ ๆ ดังนี้
(4x )(2x ) หรื อ (8x )(x
)
2) หาจานวนสองจานวนที่คูณกันแล้วได้ + 3 ไปเขียนเป็ นพจน์หลังของพหุ นามในข้อ 1) ดังนี้
(4x  1)(2x  3) = (4x  1)(2x  3)
(4x  3)(2x  1) = (4x  3)(2x 1)
3) ตรวจสอบดูว่าพจน์กลางของพหุ นามที่เป็ นผลคูณของพหุ นามคู่ใดในข้อ 2) มีค่าเท่ากับ 10x
(พจน์กลางของ 8x 2  10x  3 ) โดยนา (หน้า 

หลัง) + (หลัง  หน้า) จะได้ว่า
(4x  3)(2x  1) มีพจน์กลางเท่ากับ 10x
ในกรณี ที่พหุนามที่กาหนดให้ สามารถแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจงได้ ก็ให้ใช้สมบัติการ
แจกแจงก่อน
5x 2  10x  5  5(x 2  2x  1)
 5(x  1)(x  1)

ตัวอย่ำงที่ 8 จงแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรี สองต่อไปนี้
1)
2)
3)
4)

12x 2  31x  9
12x 2  39x  9
14x 2  65x  9
221x 2  5x  6

พหุนามดีกรี สองที่แยกประกอบ แล้วได้ตวประกอบ เป็ นพหุนามดีกรี หนึ่งซ้ ากัน เรี ยกว่า กำลังสอง
ั
สมบูรณ์

ั

15

คำชี้แจง จงแยกตัวประกอบพหุนามต่อไปนี้
1) 3x2 + 6x2 =

…………………………………………………………………

2) 2x2 - x

…………………………………………………………………

=

3) 4x3 - 16x2 - 8x = ……………………………………………………………
4) x2 + 9x + 8 = ……………………………………………………….………
5) x2 - 10x + 24 = ………………………………………………..…………...
6) 3x2 + 4x - 15 = …………………………………………………………….
7) 2x2 - x - 1

= …………………………………………………………….

คะแนนที่ได้ = …………………………
ผูตรวจ …………………………………..
้
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ………

ั

16


สมกำรกำลังสองตัวแปรเดียว
“ถ้า a, b เป็ นจานวนจริ ง

และ ab = 0 แล้ว a หรื อ b อย่างน้อยหนึ่งค่าต้องเป็ นศูนย์”
วิธีหาคาตอบของสมการกาลังสอง สามารถใช้สูตรเพื่อ โดยการหาค่า x ได้ดงนี้
ั
b  b 2  4ac
2a
“ถ้า a, b เป็ นจานวนจริ ง

x

อาศัยความรู้เกี่ยวกับจานวนจริ งที่ว่า
และ ab = 0 แล้ว a หรื อ b
อย่างน้อยหนึ่งค่าต้องเป็ นศูนย์” หาคาตอบของสมการโดยอาศัยความรู้จากข้อความข้างต้น
จาก (x  3)(x  2)  0 จะได้ว่า (x  3)  0 หรื อ (x  2)  0
หาคาตอบของสมการ (x  3)(x  2)  0 โดยหาค่า x ที่ทาให้ x – 3 = 0
หรื อ x + 2 = 0 ซึ่งจะได้ x = 3 หรื อ x = -2
ดังนั้น คาตอบของสมการ (x  3)(x  2)  0 คือ 3, -2
ตัวอย่ำงที่ 1 จงหาคาตอบของสมการ x 2  5x  6  0
วิธีทำ
จาก
x 2  5x  6  0
จะได้
(x  3)(x  2)  0
ดังนั้น x  3  0 หรื อ x  2  0
x  3 หรื อ x  2
ตรวจสอบคาตอบ โดยแทนค่า x  3 หรื อ x  2 ลงใน
สมการ x 2  5x  6  0 จะได้
ซึ่งเป็ นจริ ง
(3)2  5(3)  6  0
และ (2)2  5(2)  6  0 ซึ่งเป็ นจริ ง
ดังนั้น คาตอบของสมการ x 2  5x  6  0 คือ 3 หรื อ 2
วิธีทำ

จงหาคาตอบของสมการ (4x  8)(x  5)  (5x  2)(x  2)
(4x  8)(x  5)  (5x  2)(x  2)
จาก
จะได้ 4x 2  12x  40  5x 2 12x  4
0  5x 2  4x 2  12x  12x  4  40
0  x 2 24x  44

หรื อ

x 2 24x  44  0

(x  22)(x  2)  0


หรื อ x  2  0
x  22 หรื อ x  2

x  22  0

ั

17

คาตอบของสมการ คือ 22 หรื อ

4
5
3


x 1 x  2 x

ตัวอย่ำงที่ 3 จงหาคาตอบของสมการ
วิธีทำ

2

4
5
3


x 1 x  2 x

จาก

ทาส่วนให้หมดไปก่อน โดยการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย
x(x 1)(x  2) จะได้
4x(x  2)  5x(x  1)  3(x  1)(x  2)
4x 2  8x  5x 2  5x  3(x 2  x  2)
 x 2  13x  3x 2  3x  6
 4x 2  10x  6  0

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย (-2) จะได้

2x 2  5x  3  0

(2x  1)(x  3)  0


หรื อ

2x  1  0

1
2

x

x 3  0

หรื อ

x3

คาตอบของสมการ คือ  1 หรื อ 3
2

ตัวอย่ำงที่ 4 จงหาคาตอบของสมการ 5x 2  3x  0
วิธีทำ
จาก 5x 2  3x  0
a  5, b  3 และ c = 0
ั
5x 2  3x แยกตัวประกอบ โดยใช้สมบัติแจกแจง ได้ดงนี้
จาก
5x 2  3x  0
x(5x  3)  0

จะได้

x0

หรื อ

x0

หรื อ

5x  3  0
x

3
5

ดังนั้น คาตอบของสมการ คือ 0,  3
5

ั

18

ตัวอย่ำงที่ 5 จงหาคาตอบของสมการ
วิธีทำ
จาก 9x 2  50
จะได้

x2 

9x 2  50

50
9

x2  

50
9



5 2
3

ดังนั้น คาตอบของสมการ คือ 5

2
3

หรื อ  5

2
3

*** นอกจากใช้วิธีแยกตัวประกอบดังที่กล่าวมาแล้ว ยังสามารถใช้สูตร

เพื่อหาคาตอบของสมการกาลังสอง โดยการหาค่า x ได้ดงนี้
ั
x

b  b 2  4ac
2a

ตัวอย่ำงที่ 6 จงหาคาตอบของสมการ x 2  2x 11  0 โดยใช้สูตร
วิธีทำ
จาก
x 2  2x  11  0
จะได้
a  1, b  2 และ c = -11
b2  4ac  (2)2  4(1)(11)
 48

จาก

หรื อ

4 3

b  b 2  4ac
2a
2  4 3
x
2

x

 1  2 3

คาตอบของสมการ คือ

1  2 3

หรื อ

1  2 3

ั

19

จงหำคำตอบของสมกำรต่อไปนี้
1) x 2  7x  12  0
2) x 2  16x  15

 0

3) x  x

 30

2

4) x

 5x  6

2

5) 5x  4x  1
2

6) 12x

2

0
 107x  9

7) 18m  8

  35m 2

8) 6  7x  x 2

0

9) 9  42y  49y 2  0
10) 16x 2

  1  8x

ั

20

กำรแก้สมกำรและอสมกำรตัวแปรเดียวดีกรีไม่เกินสอง
“ถ้า a, b เป็ นจานวนจริ ง และ ab = 0 แล้ว a หรื อ b อย่างน้อยหนึ่ งค่าต้องเป็ นศูนย์”
วิธีหาคาตอบของสมการกาลังสอง สามารถใช้สูตรเพื่อ โดยการหาค่า x ได้ดงนี้
ั
x

b  b 2  4ac
2a

วิธีการแก้อสมการ แบ่งออกเป็ น 2 กรณี คือ
1) การแก้อสมการที่ตวแปรมีเลขชี้กาลังเท่ากับหนึ่ ง ทาเช่นเดียวกับการแก้สมการ แต่ตอง
ั
้
ระมัดระวังการคูณด้วยจานวนลบ เพราะจะทาให้เครื่ องหมายของอสมการเปลี่ยนแปลงได้
2) การแก้อสมการที่ตวแปรมีเลขชี้กาลังตั้งแต่สองขึ้นไป มีวิธีทาโดยทัวไป ดังนี้ คือ
ั
่
2.1) จัดข้างใดข้างหนึ่ งของอสมการให้เป็ นศูนย์
2.2) แยกตัวประกอบ โดยให้ตวประกอบมีตวแปรที่มีเลขชี้กาลังเท่ากับหนึ่ ง
ั
ั
และสัมประสิทธ์หน้าตัวแปรต้องเป็ นจานวนบวกเสมอ
เมื่อได้ตวประกอบในรู ป
ั
(a1x  b1 )(a 2 x  b2 )(a 3x  b3 ) . . . (a n x  bn )  0

หรื อ
เมื่อ
ของ

(a1x  b1 )(a 2 x  b2 )(a 3x  b3 ) . . . (a n x  bn )  0

bi b j

ai a j

สาหรับทุก ๆ i  j (นันคือตัวประกอบต้องไม่ซ้ ากัน) แล้วหาเซตคาตอบ
่

(a1x  b1 )(a 2 x  b2 )(a 3x  b3 ) . . . (a n x  bn )  0 .................(*)

2.3) เขียนกราฟของเซตคาตอบของสมการ(*) หรื อค่าของ x ที่ทาให้อสมการเป็ นศูนย์

ลงบนเส้นจานวน จะได้
b1
a1

b2
a2

bn 1
a n 1

bn
an

2.4) ใส่ เครื่ องหมาย + , - สลับกันไปในแต่ละช่วง โดยเริ่ มจากขวามือสุ ดของ

อสมการ เช่น
+

-

b1
a1

-

+

b2
a2

bn 1
a n 1

ั

+

bn
an

21

2.5) เซตคาตอบของอสมการ
(a1x  b1 )(a 2 x  b2 )(a 3x  b3 ) . . . (a n x  b n )  0

คือ ยูเนียนของช่วงที่มีเครื่ องหมายลบทั้งหมด
2.6) เซตคาตอบของอสมการ
(a1x  b1 )(a 2 x  b2 )(a 3x  b3 ) . . . (a n x  b n )  0

คือ ยูเนียนของช่วงที่มีเครื่ องหมายบวกทั้งหมด
ในการแก้อสมการตัวแปรเดียวดีกรี หนึ่ง หรื อการหาคาตอบของอสมการนั้นจะต้องอาศัยสมบัติของ
การไม่เท่ากัน
1 จงหาคาตอบของอสมการต่อไปนี้
2x + x < 10
4x – 4  2x + 4

ตัวอย่ำงที่
1.
2.

วิธีทำ

1)

2x + 2
2x + 2 + (-2)
2x

<
<
<

เซตคาตอบของ
2)

4x – 4
4x – 4 + 4
4x
4x + (-2x)
2x

x

เซตคาตอบของอสมการ

1.

คือ

{x | x < 4}

 2x + 4
 2x + 4 + 4
 2x + 8
 2x + (-2x) + 8
 8



1
(8)
2

4

4x – 4  2x + 4

2 จงแก้อสมการต่อไปนี้
-x + 4 < -12
-x + 7  4

วิธีทำ

1
(8)
2

x < 4
2x + 2 < 10

1
(2x)
2

1.
2.

10
10 + (-2)
8

<

1
(2x)
2

และเขียนแทนด้วยเซต

คือ

{x | x  4}

พร้อมทั้งแสดงคาตอบโดยใช้เส้นจานวน

-x + 4 < 12

บวกทั้งสองข้างของอสมการด้วย

-4 จะได้
-x + 4 + (-4) < -12 + (-4)
-x < -8
x >

8

(เอา -1

ั

คูณทั้งสองข้าง)

22

เซตคาตอบของอสมการคือ เซตของจานวนจริ งที่มากกว่า
-1

0

1

2

3

4

5

6

หรื อ

8

7

8

9

10

หรื อ

{x | x  3}

{x | x > 8}

-x + 7  4

2.

บวกทั้งสองข้างของอสมการด้วย

-7

จะได้

 4 + (-7)
 -3

3

-x + 7 + (-7)
-x
x

เซตคาตอบของอสมการคือ เซตของจานวนจริ งที่นอยกว่าหรื อเท่ากับ
้
-3

-2

-1

0

1

2

3

4

3

5

ตัวอย่ำงที่ 3 จงแก้อสมการ x2 + x – 6 > 0 และแสดงคาตอบโดยใช้เส้นจานวน
วิธีทำ
จาก
x2 + x – 6 > 0
จะได้ (x + 3)(x – 2) > 0
พิจารณาค่าของ x ในช่วง (-  , -3), (-3, 2) และ (2,  )
โดยเลือกค่า x ที่อยูในช่วงดังกล่าว
่
x
(x + 3)(x – 2)
ช่วง
ค่าของ (x + 3)(x – 2)
(-  , -3)
-5
(-2)(-7) = 14
มีค่าเป็ นบวก
(-3, 2)
1
4(-1) = -4
มีค่าเป็ นลบ
(2,  )
4
(7)(2) = 14
มีค่าเป็ นบวก
และเมื่อเลือกค่า x ในช่วงดังกล่าวเพิ่ม จะพบว่า (x + 3)(x – 2) มีค่าเป็ นบวกหรื อ
มากกว่าศูนย์ เมื่อ x อยูในช่วง (-  , -3) และ (2,  )
่
แสดงคาตอบโดยใช้เส้นจานวนได้ดงนี้
ั
-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

ั

4

23

ข้ อที่
1

2

ให้นกเรี ยนเติมคาตอบลงในช่องว่างต่อไปนี้ให้ถกต้องสมบูรณ์
ั
ู

โจทย์อสมกำร
จงหาเซตคาตอบของอสมการต่อไปนี้และเขียนแทนด้วยเซต
1.1
1.2
1.3
1.4

x+3 < 6
2x + 4  10
3x – 7  5
-4 + 4x  8

เซต
1.1 …………………
1.2 …………………
1.3 …………………
1.4 …………………

จงแก้อสมการต่อไปนี้ และแสดงคาตอบโดยใช้เส้นจานวน
2.1 -3x  -6
2.2 -5x – 1  -11
2.3 -8x + 6 > -10
2.4 -5 – 5x > -2x - 8

คะแนนที่ได้ = …………………………
ผูตรวจ …………………………………..
้
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ………

ั

24


ค่ ำสั มบูรณ์ ของจำนวนจริง
บทนิยำม ค่าสัมบูรณ์ของจานวนจริ ง
ถ้า a เป็ นจานวนจริ งใด ๆ ค่าสัมบูรณ์ของ a เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

a

โดยมีความหมาย ดังนี้

 a, a  0
a 
a, a  0

2  2
8  8

และ
และ

หรื อ 2
  (8) หรื อ 8

2   (2)
8

ตัวอย่ำงที่ 2 จงหาค่าของ
1.
2.
3.
4.

| -9 |
| -10 + 2 |
| 8 - 20 |
| 5 | + | -3 |

วิธีทำ
1.
2.
3.
4.

| -9 | = -(-9) = 9
| -10 + 2 | = | -8 | = -(-8) = 8
| 8 - 20 | = | -12 | = -(-12) = 12
| 5 | + | -3 | = 5 + [ -(-3) ] = 5 + 3 = 8

โดยทัวไป ถ้า
่
1.

เป็ นจานวนบวกใด ๆ
| x | < a มีความหมายเช่นเดียวกันกับ -a < x < a
และ | x |  a มีความหมายเช่นเดียวกันกับ -a  x  a
เช่น | x | < 3 หมายความว่า ระยะจากจุด x ไปยัง 0 บนเส้นจานวน
น้อยกว่า 3 หน่วย เขียนแสดงบนเส้นจานวนได้ดงนี้
ั
-4

a

-3

-2

จากรู ป จะเห็นว่า
|x|  3

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

มีความหมายเช่นเดียวกัน -3 < x < 3
เขียนแสดงค่า x บนเส้นจานวนได้ดงนี้
ั
|x| < 3

-1

0

1

2

3

4

ั

25

มีความหมายเช่นเดียวกันกับ x < -a หรื อ x > a
 a มีความหมายเช่นเดียวกันกับ x  a หรื อ x  a
> 2 เขียนแสดงค่า x บนเส้นจานวนได้ดงนี้
ั

2. | x | > a

และ
เช่น

|x|
|x|

-2

-1

0

1

2

3

จากรู ป จะเห็นว่า | x | > 2 มีความหมายเช่นเดียวกับ
| x |  2 เขียนแสดงค่า x บนเส้นจานวนได้ดงนี้
ั
-4

1.
2.

วิธีทำ

-3
3

-2

-1

จงแสดงค่าของ

0
x

1

2

3

หรื อ

4

บนเส้นจานวน เมื่อกาหนดให้

|x| > 6
|x|  5

มีความหมายเช่นเดียวกับ x
เขียนแสดงค่าของ x บนเส้นจานวนได้ดงนี้
ั
1.

x < -2

|x| > 6

หรื อ

x > 6

หรื อ

x  5

< -6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
2. | x |  5

มีความหมายเช่นเดียวกับ

x  -5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

ั

x>2

26

ั
ู

1. | -7 |

=

…………………………………………………………………

2. | 8 -13 |

=

………………………………………………………………....

3. | 12 | + | -5 | - | 20 |
4. | -25 | - | -3 |
5.

 10
| - 5|

=

= ……………………………………………………….

= ………………………………………………………………
………………………………………………………………...
=

……………………………………………………

7. | 8  102 | + | 5  102 | =

……………………………………………………

6. | 10 -7 | + | 20 - 30 |

8. | 10 + 2 | + | 20 - 3 | - | 10 - 18 | = ……………………..…………………….

คะแนนที่ได้ = …………………………
ผูตรวจ …………………………………..
้
วันที่ ……. เดือน ………….. พ.ศ. ………

ั

จำนวนจริง

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to จำนวนจริง

Similar to จำนวนจริง (20)

More from KruGift Girlz

More from KruGift Girlz (13)

Recently uploaded

Recently uploaded (10)

จำนวนจริง