Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος για το lisari.blogspot.gr

1. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ ΜΑΚΗΣ®
- 1 -
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1 ΑΝΑΛΥΣΗΣ
1. Δίνεται η συνάρτηση ƒ με τύπο,
2
2006
2 2
2
5 6
7 5
( ) 2 5
(2 ) ( 5)
2(2 11) 1 5
  

 
  
  
  
   


x
x
x x
x
f x x
x x
x x
Υπολογίστε τα παρακάτω όρια της συνάρτησης,
Α)
2
lim ( )
x
f x

και
2
lim ( )
x
f x

Β)
1
lim ( )
x
f x

Γ) lim ( )
x
f x

και lim ( )
x
f x

2. Δίνονται συναρτήσεις ƒ, g τέτοιες ώστε:
4
3 ( )
lim 1
4x
f x
x


και
2
4
lim[ ( ) ( 5 4)] 1
x
g x x x

   
i. Υπολογίστε το όριο της συνάρτησης ƒ όταν το χ τείνει στο 4
ii. Υπολογίστε το όριο:
4
lim( ( ) ( ))
x
f x g x


iii. Υπολογίστε το όριο
4
lim ( )
x
g x

, αν η γραφική παράσταση της
συνάρτησης ƒ βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ’χ στο διάστημα
(1,5).
3. Δίνεται συνάρτηση :f   τέτοια ώστε:
( ) 1 2f x x  
i. (2)f =;

2. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ ΜΑΚΗΣ®
- 2 -
ii.
2
lim ( )
x
f x

=;
iii. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της ƒ δεν διέρχεται από
το σημείο (1, 3)
4. Υπολογίστε τα όρια:
i.
0
lim
4 2x
x
x



 
ii.
0
lim )
x
a
x
x
 

 
iii.
2 2
1
5
lim
1x
x k
x
 

για κ
iv.
2
3 6
lim
x
x
x





για α,β
v.
2
lim ( 3 1)
x
x x x

    για λ
5. Δίνεται :f   τέτοια ώστε,
2
1 ( ) 3x f x x x x     
Υπολογίστε τα όρια:
i.
1
lim ( )
x
f x

=; και
1
lim( ( ) )
x
f x x

 =;
ii.
1
( ) [ ( ) 2 1] ( 1)
lim
1 ( )x
f x f x x x x
x f x
    
 
=;
iii. lim ( )
x
f x

=;
iv.
2
lim ( ( ) 10 ( ) 100 ( ))
x
f x f x f x

   =;
v. 2
( ) ( )
lim
( ) 1x
f x f x
f x




=;

3. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ ΜΑΚΗΣ®
- 3 -
6. Δίνονται συναρτήσεις τέτοιες ώστε:
2
1 1 1( )( ) 2 2 ( ) 1f og x x x g x x    
2
2 2 2
1
( )( ) 3 1 ( )
3 2
f og x x x f x
x
    

i. Υπολογίστε τις συναρτήσεις, 1 2f g
ii. Υπολογίστε την σύνθεση συναρτήσεων της 1f με την g2
7. Δίνεται συνάρτηση :f   τέτοια ώστε:
3
( ) ( ) 1f x f x x  
i. Να αποδείξετε ότι υπάρχει αντίστροφη συνάρτηση της ƒ
ii. Βρείτε τον τύπο της συνάρτησης
1
f 
iii. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ƒ είναι γνησίως αύξουσα
iv. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της ƒ διέρχεται από τα
σημεία (-1,0) και (1,1)
v. Λύστε την εξίσωση ƒ(χ)=0
vi. Λύστε την ανίσωση,
1 3
( ( 1) 1) 1f f x
   
8. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 5x
f x e x  
i. Εξετάστε την μονοτονία της ƒ
ii. Να δείξετε ότι η ƒ είναι «1-1»
iii. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ƒ -1
διέρχεται
από το σημείο ( -4,0)
iv. Βρείτε το λ=; αν
2
4 2 2
2e e 
  
   
v. Βρείτε τις κοινές λύσεις των γραφικών παραστάσεων της ƒ, ƒ -1
vi. Λύστε την ανίσωση,
1
( ( 1) ) 0x
f f e e
  

4. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ ΜΑΚΗΣ®
- 4 -
9. Έστω συνάρτηση :f A  και : ( )g f A . Αν gοƒ είναι 1-1
να δείξετε ότι:
α) ƒ είναι 1-1 β) η g είναι 1-1
10. Δίνονται οι συναρτήσεις
2
2 2 4 3
( ) ( ) 2 ( )
3
x x
f x x x g x
x

  
 
     

κ,λ
i. Να βρείτε το κ αν η γραφική παράσταση της g διέρχεται από το
σημείο (1, κ – 1)
ii. Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των ƒ, g έχουν 2 ακριβώς
κοινά σημεία
iii. Να λύσετε την ανίσωση: (ƒοg)(χ) + λ + λ 2
 (λ – 2) χ
11. Η συνάρτηση ƒ:→ ικανοποιεί την σχέση:
3
( ( )) ( ) 2 3f f x f x x x   
Α) Να αποδείξετε ότι η ƒ είναι 1-1.
Β) Να λύσετε την εξίσωση
3
(2 ) (4 )f x x f x x    
(Θέμα Δεσμών 1998)
12. Δίνεται συνάρτηση f στο ℛ τέτοια ώστε f (10)=9 και
( ) ( ( )) 1f x f f x x   
α) Να υπολογίσετε το f (9) = ;
β) Να δείξετε ότι υπάρχει χ ο∈(9,10) τέτοιο ώστε f (χ ο)=5
γ) Υπολογίστε το f (5) = ;
13. Δίνεται συνάρτηση ƒ συνεχής ℛ τέτοια ώστε ƒ(χ)≠0, ∀χ∈ℛ και
2
lim[ ( ) ( 3)] 5
x
f x x

  

5. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ ΜΑΚΗΣ®
- 5 -
α) Υπολογίστε το ƒ(2)
β) Να αποδείξετε ότι: ƒ(χ) < 0 ,∀χ∈ℛ
γ) Υπολογίστε το όριο: 23
( ) 10
lim
( 3)x
f x
x


14. Δίνεται συνάρτηση ƒ ορισμένη στο ℛ τέτοια ώστε να ισχύει:
2
( 1) ( ) 3 2x f x x     ,∀χ∈ℛ
α) Υπολογίστε τα πλευρικά όρια της συνάρτησης ƒ στο σημείο χο= 1
β) Αν η ƒ είναι συνεχής στο ℛ, υπολογίστε το ƒ(1) = ;
γ) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ƒ τέμνει τον
άξονα χ’χ τουλάχιστον φορά μια φορά στο διάστημα [-1,1).
15. Δίνεται συνάρτηση ƒ και Ρ(χ) πολυωνυμική συνάρτηση τέτοια ώστε,
2
( ) ( ) (5 )x f x x P x x x     
α) Υπολογίστε τα πλευρικά όρια της ƒ στο σημείο χ ο= 0
β) Υπολογίστε το σημείο που τέμνει η γραφική παράσταση της
συνάρτησης ƒ τον άξονα χ’χ.
16. Δίνεται συνάρτηση ƒ συνεχής στο χο=0 και
0
( ) 4
lim 3
x
f x x
x
 

α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται
από το σημείο (0,2)
β) Υπολογίστε το όριο:
0
( ) (0)
lim
x
f x f
x

17. Δίνεται συνάρτηση ƒ τέτοια ώστε:
2 2
( ) ( ) ( )f xy x f y y f x   
για κάθε χ, y∈ℛ*
.

6. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ ΜΑΚΗΣ®
- 6 -
α) Υπολογίστε ƒ(1)
β) Αν ƒ συνεχής στο 1,να αποδείξετε ότι η ƒ είναι συνεχής στο ℛ*
γ) Αν
1
( )
lim 1
1x
f x
x


τότε να αποδείξετε ότι:
2
0
( ) ( ) 2 ( )
lim
x
f x f a a f a
x a a
  


,για α≠ 0
18. Δίνονται οι συναρτήσεις
2006
( )f x x ax b   και η συνάρτηση
2006
( )g x x ax b    . Αν ρ 1 είναι ρίζα της εξίσωσης ƒ(χ)=0 και ρ2
είναι ρίζα της εξίσωσης g(χ)=0 με ρ1<ρ2.
α) Να αποδείξετε ότι: ƒ(χ) – g(χ) =2χ 2006
,∀χ∈ℛ
β) Να δείξετε ότι η εξίσωση κƒ(χ)+λg(χ)=0 με κ,λ>0, έχει μια
τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (ρ1,ρ2)
19. Δίνεται συνάρτηση ƒ ορισμένη στο ℛ τέτοια ώστε:
( ) ( ) ( )y x
f x y e f x e f y a x y b 
         ∀ χ, y ∈ℛ
και
0
( )
lim
x
f x
x


 με γ∈ℛ.
Να δείξετε ότι:
α) ƒ(0)=0
β) Η ƒ είναι συνεχής στο χο=0
γ) Η ƒ είναι συνεχής στο ℛ
δ)
( ) ( )
lim ( ) o
o
xo
o o
x x
o
f x f x
f x e a x
x x
 


     

(Δίνεται:
0
1
lim 1
h
h
e
h

 )

7. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ ΜΑΚΗΣ®
- 7 -
20. Δίνεται συνάρτηση ƒ γνησίως αύξουσα στο [0,1] και ƒ(0)=2,
ƒ(1)=2ƒ(0).
α) Ν.δ.ο η ευθεία y=3 τέμνει την γραφική παράσταση της ƒ σ’ ένα
ακριβώς σημείο με τετμημένη χο∈(0,1)
β) Ν.δ.ο υπάρχει χ1∈(0,1): 1
1 2 3 4
( ) ( ) ( ) ( )
5 5 5 5( )
4
f f f f
f x
  

21. Δίνεται συνάρτηση ƒ τέτοια ώστε:
2 2
2 ( ) 2x x f x x x     
α) Ν.δ.ο η γραφική παράσταση της συνάρτησης ƒ βρίσκεται στο πρώτο
τεταρτημόριο
β) Υπολογίστε το ƒ(0)
γ) Ν.δ.ο η συνάρτηση ƒ είναι συνεχής στο 0
δ) Υπολογίστε το όριο
0
( ) (0)
lim
x
f x f
x

22. Δίνονται συναρτήσεις ƒ,g τέτοιες ώστε:
2 2
( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) of x f x g x g x x x       ,∀χ∈ℛ και χο∈ℛ
α) Ν.δ.ο:
2 2
lim[( ( ) ( )) ( ) ] 0
ox x
f x g x g x

  
β) Ν.δ.ο: lim ( ) 0
ox x
g x


γ) Ν.δ.ο: lim ( ) 0
ox x
f x


23. Δίνεται συνάρτηση ƒ με τύπο,
2
3
2
2
4
( )
1
2
2
ax
x
x
f x
bx x
x
x


 
 
  
 
Να βρείτε τα α, b, γ ώστε το
2
lim ( )
x
f x k k

 .Βρείτε μετά το k=;

8. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ ΜΑΚΗΣ®
- 8 -
24. Έστω ƒ,g συναρτήσεις συνεχείς στο [α,β] και με τιμές στο [α,β]. Να
αποδείξετε ότι υπάρχει γ∈[α,β] τέτοιο ώστε:
(ƒοg)(γ)+(gοƒ)(γ)=2γ
25. Δίνεται συνάρτηση :f   για την οποία ισχύει:
3
( ) ( ) 8f x f x x   για κάθε χ∈ℛ
α) Να δείξετε ότι η ƒ είναι 1-1
β) Υπολογίστε την αντίστροφη συνάρτηση της ƒ και το σύνολο τιμών
της
γ) Υπολογίστε το όριο:
6
lim ( )
x
f x

26. Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης ƒ όπως φαίνεται στο
παρακάτω σχήμα,
α) Υπολογίστε τα όρια:
4
lim ( )
x
f x

και
2
lim ( )
x
f x

β) Υπολογίστε τα όρια: lim ( )
x
f x

και lim ( )
x
f x

γ) Βρείτε τα σημεία που η ƒ είναι ασυνεχής
δ) Υπολογίστε τέλος τα όρια:
i.
1
lim
( )x f x

9. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ ΜΑΚΗΣ®
- 9 -
ii.
4
1 1
lim ( )
( ) 4x
x
f x x


 

iii.
4
lim[ ( ) ln | 4|]
x
f x x

 
iv.
4
2
( )
lim
( )xx
f x
e f x 
27. Δίνεται συνεχής συνάρτηση ƒ στο ℛ για την οποία ισχύει:
2 2
( ) ( ) 1x f x f x x x     ,∀χ∈ℛ
Να αποδείξετε τα εξής:
i. Η εξίσωση ƒ(χ)=0 δεν έχει πραγματική ρίζα.
ii. ƒ(χ)>0 ,∀χ∈ℛ
iii. Υπάρχει ξ∈(0,1) τέτοιο ώστε :
1 5
( )
4
f 


iv. Δεν υπάρχει k∈ℛ με 0k  τέτοιο ώστε:
lim ( )
x
f x k

 και lim ( )
x
f x k


v. Η συνάρτηση ƒ δεν είναι γνησίως μονότονη στο ℛ
(Διαγώνισμα Αρσάκειου)
28. Α) Έστω ƒ συνεχής συνάρτηση στο ℛ της οποίας η γραφική
παράσταση δεν έχει κανένα κοινό σημείο με την ευθεία 1y  και για
την οποία ισχύει:
0
1
lim( ( ) ) 2
lnx
x
f x
x x




 

i. Να δείξετε ότι: ƒ(0)=2

10. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ ΜΑΚΗΣ®
- 10 -
ii. Να δείξετε ότι: ƒ(χ)>1 ,∀χ∈ℛ
iii. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ∈(0,1) έτσι ώστε:
2 1
( )f  

 
Β) Αν για την συνεχή στο (0, ) συνάρτηση h ισχύει :
3
1
( )
x
h x
x

 ∀χ>0 και h(1)=0
Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των ƒ και h έχουν ένα
τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη στο (0,1).
(Διαγώνισμα Αρσάκειου)
29. Έστω συνάρτηση :[ , ]f a b  συνεχής στο [α,b] και οι
μιγαδικοί αριθμοί
2
( )z a i f a   και
2
( )w f b ib  με
0a b  . Αν
2 2 2
| | | | | |w z w z   να αποδείξετε ότι η εξίσωση
ƒ(χ)=0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [ , ]a b .
(Εξετάσεις 1ης
Δέσμης 1995)
30. Δίνεται συνεχής συνάρτηση ƒ στο ℛ και για τον μιγαδικό z με
Im(z)≠0 ισχύουν:
1
( )z f a
z
  και
2 2
2
1
( )z f
z
  ,όπου α,β∈ℛ με α<β.
Να αποδείξετε ότι:
i. Η εικόνα Μ του z στο μιγαδικό επίπεδο ανήκει σε κύκλο με κέντρο
το Ο(0,0) και ακτίνα ρ=1.

11. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ ΜΑΚΗΣ®
- 11 -
ii.
2 2
( ) ( ) 2 f x f a
iii. Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ∈(α,β) τέτοιο ώστε:
2
(2 ) ( ) 2 2a f        