1o_2016_2017_themata+lyseis

1. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
1
1o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
05/09/2016
ΘΕΜΑ Α
Α1. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του
πεδίου ορισμού της;
5 μονάδες
Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Πότε λέμε ότι η f
παρουσιάζει στο 0 ∈x A (ολικό) μέγιστο το ( )0f x ;
5 μονάδες
Α3. Πότε δύο συναρτήσεις ,f g λέγονται ίσες;
5 μονάδες
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη Σωστό, αν
η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη
α) Αν ( )0
lim 0
→
<
x x
f x , τότε ( ) 0<f x κοντά στο 0x
β) Αν για τις συναρτήσεις ,f g ορίζονται οι συναρτήσεις f g και g f ,
τότε ισχύει πάντα =f g g f
γ) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη, τότε η εξίσωση ( ) 0=f x
έχει πάντοτε ακριβώς μια λύση
δ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης − f είναι συμμετρική ως προς
τον άξονα ′x x της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f
ε) Αν μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το ℝ είναι γνησίως αύξουσα,
τότε ισχύει ( ) ( )1> +f x f x για κάθε ∈ℝx
10 μονάδες
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2= + −f x x
B1. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε τη συνάρτηση 1−
f
6 μονάδες

2. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
2
Β2. Να υπολογίσετε το όριο
( )
2
6
7 6
lim
5→
− +
=
−x
x x
f x
α
7 μονάδες
Β3. Να υπολογίσετε το όριο
( )
2
14
16
lim
11 8−→
−
=
− −x
x
f x
β
7 μονάδες
B4. Αν για τη συνάρτηση : →ℝ ℝg ισχύει ( ) ( )=g gα β , όπου ,α β οι τιμές
των ορίων των ερωτημάτων Β2. και Β3. αντίστοιχα, τότε να εξετάσετε αν η g
είναι 1-1.
5 μονάδες
ΘΕΜΑ Γ
Δίνονται οι συναρτήσεις , : →ℝ ℝf g με ( ) ( )ln 1= + x
f x e και ( )
1
1
−
=
+
x
x
e
g x
e
Γ1. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται.
5 μονάδες
Γ2. Να δείξετε ότι η g είναι περιττή.
5 μονάδες
Γ3. Δίνεται επιπλέον συνάρτηση ( ): 0,+∞ → ℝh τέτοια, ώστε να ισχύει =h f g
Να βρείτε τον τύπο της.
8 μονάδες
Γ4. Αν ( ) 1 2 −
= − x
h x e , τότε να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4
+ < +x x x x
h e h e h e h e ,
για κάθε 0>x
7 μονάδες
ΘΕΜΑ Δ
Δίνονται οι συναρτήσεις , : →ℝ ℝf g , με ( ) =ℝ ℝg , για τις οποίες ισχύει:
● ( )( ) ( )= +f f x x f x , για κάθε ∈ℝx

3. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
3
● ( )( )1 0− − + =x
f g x e x , για κάθε ∈ℝx
Δ1. Να δείξετε ότι η f είναι 1-1.
5 μονάδες
Δ2. Να βρείτε τη συνάρτηση g
7 μονάδες
Αν ( ) 1= + −x
g x e x , τότε:
Δ3. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) ( )( )ln=h x g x
7 μονάδες
Δ4. Να αποδείξετε ότι η g αντιστρέφεται και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση
( )2
1 1 2
2− +
+ =x
g e x
6 μονάδες
Θανάσης Κοπάδης
Μαθηματικός

4. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
1o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ∆ΙΑΓΏΝΙΣΜΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
05/09/2016
Α̟αντήσεις
ΘΕΜΑ Α
Α1. Σχολικό βιβλίο, έκδοση 2016 – 2017, σελίδα 31
Α2. Σχολικό βιβλίο, έκδοση 2016 – 2017, σελίδα 32
Α3. Σχολικό βιβλίο, έκδοση 2016 – 2017, σελίδα 23
Α4. α. Σωστό
β. Λάθος
γ. Λάθος
δ. Σωστό
ε. Λάθος
ΘΕΜΑ Β
Β1. Πρέπει: − ≥ ⇔ ≥x 2 0 x 2
Άρα, [ )= + ∞fA 2,
Έστω [ )∈ + ∞1 2x ,x 2, µε ( ) ( )= ⇔ + − = + −1 2 1 2f x f x 3 x 2 3 x 2
⇔ − = −1 2x 2 x 2
⇔ − = −1 2x 2 x 2
⇔ =1 2x x
Άρα η f είναι 1 – 1, οπότε η f αντιστρέφεται.

5. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
Για τον υπολογισµό της αντίστροφης έχουµε:
( ) = ⇔ + − =f x y 3 x 2 y
⇔ − = −x 2 y 3
( )
≥
⇔ − = −
y 3
2
x 2 y 3
( )⇔ = − + ≥
2
x y 3 2, y 3
Άρα, είναι ( ) ( )−
= − + ≥
21
f x x 3 2, x 3
Β2. Είναι:
( )
2 2 2
6 6 6
7 6 7 6 7 6
lim lim lim
5 3 2 5 2 2→ → →
− + − + − +
= = =
− + − − − −x x x
x x x x x x
f x x x
α
( )( )( ) ( )( )→ →
− − − +
 = = − − +
 −x 6 x 6
x 1 x 6 x 2 2
lim lim x 1 x 2 2
x 6
= ⋅ =5 4 20
Β3. Είναι:
( ) ( )−→ →
− −
= =
− − − + − −
2 2
1 2x 4 x 4
x 16 x 16
β lim lim
f x 11 8 x 3 2 11 8
→ →
− −
= =
− + − − − −
2 2
2 2x 4 x 4
x 16 x 16
lim lim
x 6x 9 9 8 x 6x 8
Αλλά, →x 4 οπότε − <2
x 6x 0 άρα − = − +2 2
x 6x x 6x
Άρα,
( )( )
( )( )→ → →
− +− −
= = =
− + − − − −− −
2 2
22x 4 x 4 x 4
x 4 x 4x 16 x 16
β lim lim lim
x 6x 8 x 2 x 4x 6x 8
( ) ( )→
+ +
= = = −
− − − −x 4
x 4 4 4
lim 4
x 2 4 2
Β4. Είναι: ( ) ( )≠ − ⇒ = −20 4 g 20 g 4 άρα η g δεν είναι 1 – 1.

6. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Είναι =fA R
Έστω ∈1 2x ,x R µε ( ) ( ) ( ) ( )= ⇔ + = +ℓ ℓ1 2x x
1 2f x f x n 1 e n 1 e
⇔ + = +1 2x x
1 e 1 e
⇔ =1 2x x
e e
⇔ =1 2x x
Άρα η f είναι 1 – 1, οπότε η f αντιστρέφεται.
Γ2. Είναι =gA R, οπότε όταν ∈x R τότε και − ∈x R
Είναι: ( ) ( )
−
−
−
−
− − −
− = = = = = − = −
++ + ++
x
x x xx x
xx x x
x x
1 1 e
1
e 1 1 e e 1e eg x g x
1 1 ee 1 1 e 1 e1
e e
άρα η g είναι περιττή
Γ3. Στη σχέση ( )( ) ( )=h f x g x θέτουµε όπου x το ( )f x οπότε:
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )− −
= ⇒ =1 1
h f x g x h f f x g f x
( ) ( )( )−
⇒ = 1
h x g f x
Για τον υπολογισµό της αντίστροφης −1
f έχουµε:
( ) ( )= ⇔ + =ℓ x
f x y n 1 e y
⇔ + =x y
1 e e
⇔ = −x y
e e 1
( )
− >
>
⇔ = − >ℓ
y
e 1 0
y
y 0
x n e 1 , y 0
Άρα, είναι ( ) ( )−
= − >ℓ1 x
f x n e 1 , x 0

7. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
Για το πεδίο ορισµού της σύνθεσης −1
g f είναι:
( )
( )
( )
( )
1
f
1 1
g
x A x 0,
x 0,
f x A f x
−
− −
∈ ∈ + ∞ 
⇒ ⇒ ∈ + ∞ 
∈ ∈  R
Άρα ( )hA 0,= + ∞
Είναι: ( )( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
−
−
−
− − −
−
− − − − −
= = = = = = −
− ++ +
ℓ
ℓ
x1
1 x
n e 1f x x x
1 1 x
x xf x n e 1
e 1 e 1 e 1 1 e 2
g f x g f x 1 2e
e 1 1 ee 1 e 1
Οπότε ( ) ( )−
= − = + ∞x
hh x 1 2e , µε A 0,
Γ4. Έστω ( )∈ + ∞1 2x ,x 0, µε − − − −
< ⇔ − > − ⇔ > ⇔ − < −1 2 1 2x x x x
1 2 1 2x x x x e e 2e 2e
( ) ( )− −
⇔ − < − ⇔ <1 2x x
1 21 2e 1 2e h x h x
Άρα, η h είναι γνησίως αύξουσα στο ( )0, + ∞
Για x > 0 είναι: ( ) ( )
x
e h
x 3x x 3x
x 3x e e h e h e< ⇒ < ⇒ <
1 1
1
Για x > 0 είναι: ( ) ( )
x
e h
2x 4x 2x 4x
2x 4x e e h e h e< ⇒ < ⇒ <
1 1
2
Με πρόσθεση κατά µέλη των 1 και 2 προκύπτει:
( ) ( ) ( ) ( )+ < +x 2x 3x 4x
h e h e h e h e , για κάθε >x 0
ΘΕΜΑ ∆
∆1. Έστω ∈1 2x ,x R µε ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
 =
= ⇒ 
− = −
1 2
1 2
1 2
f f x f f x
f x f x
f x f x
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
+
⇒ − = − ⇒ =
( )
1 1 2 2 1 2f f x f x f f x f x x x
Άρα η f είναι 1 – 1 στο R

8. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. 19+ thanasiskopadis.blogspot.com
∆2. Για x = 0 έχουµε ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
−
= + ⇒ = ⇒ =
f 1 1
f f 0 0 f 0 f f 0 f 0 f 0 0
Αλλά ( )( ) ( ) ( ) ( )
−
− − + = = ⇒ − − + = ⇒ = + −
f 1 1
x x x
f g x e x 1 0 f 0 g x e x 1 0 g x e x 1, για κάθε
∈x R
∆3. Πρέπει: ( )g x 0>
Ισχύει: ( ) 0
g 0 e 0 1 0= + − =
Έστω ∈1 2x ,x R µε
+ <
< ⇒ ⇒ + − < + −
− < −
1 2
1 2
x x ( )
x x
1 2 1 2
1 2
e e
x x e x 1 e x 1
x 1 x 1
( ) ( )⇒ <1 2g x g x
Άρα, η g είναι γνησίως αύξουσα στο R
Οπότε, ( ) ( ) ( )
g
g x 0 g x g 0 x 0> ⇔ > ⇔ >
1
Άρα, ( )hA 0,= + ∞
∆4. Η g είναι γνησίως αύξουσα στο R άρα γνησίως µονότονη στο Rόποτε είναι 1 – 1, άρα
αντιστρέφεται
Είναι: ( ) ( )( )− + −
+ = ⇔ + = ⇔ + =
2
1 x 1 2 1 2 2
g e x 2 g g x 1 2 x 1 2
( )⇔ = ⇔ = − =2
x 1 x 1 ή x 1