A alg themata_plus_lyseis

1. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Β΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ1Α(ε)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 1 ΑΠΟ 3
ΤΑΞΗ: A΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ
Ηµεροµηνία: Κυριακή 17 Απριλίου 2016
∆ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες
ΕΚΦ ΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς α και β ισχύει:
α β α β⋅ = ⋅
Μονάδες 15
Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό
σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η
πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη.
α. Για οποιουσδήποτε αριθµούς α, β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η
ισοδυναµία: α > β ⇔
ν ν
α β> .
β. Για κάθε πραγµατικό αριθµό α ισχύει α α≥ − .
γ. Για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και Α' ισχύει πάντοτε
Ρ(Α ) 1 Ρ(Α)′ = + .
δ. Η εξίσωση
ν
x α= , µε α > 0 και ν περιττό φυσικό αριθµό έχει ακριβώς µία
λύση την ν
α .
ε. Έστω Α(α, β) ένα σηµείο του καρτεσιανού επιπέδου. Το συµµετρικό του ως
προς τη διχοτόµο της 1ης
και 3ης
γωνίας των αξόνων είναι το σηµείο
Α'(β, α).
Μονάδες 10

2. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Β΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ1Α(ε)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 2 ΑΠΟ 3
ΘΕΜΑ Β
Β1. Να λύσετε τις εξισώσεις:
i)
2
x x 6 0− − =
Μονάδες 4
ii) ( )2
x 1 x 1 6 0− − − − =
Μονάδες 8
Β2. i) Να λύσετε την ανίσωση
2
x x 6 0− + + <
Μονάδες 6
ii) Για ποιες τιµές του πραγµατικού αριθµού λ η εξίσωση
2
2 λ
x 2x 0
4
+ + =
είναι αδύνατη στο ;R
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Γ
∆ίνεται η συνάρτηση
3
f(x) 3 1 x κ 1 ,= − − + + κ R∈
Γ1. Να αποδείξετε ότι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f είναι το Α=[–2,4].
Μονάδες 10
Γ2. Να βρείτε την τιµή του κ για την οποία το σηµείο Μ(–1,1) ανήκει στη γραφική
παράσταση της συνάρτησης f.
Μονάδες 8
Γ3. Έστω ο δειγµατικός χώρος }{1,2,3,...,10 .= Παίρνουµε τυχαία ένα στοιχείο
ω του . Να βρείτε την πιθανότητα το f(ω) να έχει νόηµα.
Μονάδες 7

3. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Β΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ1Α(ε)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 3 ΑΠΟ 3
ΘΕΜΑ ∆
∆ίνεται η συνάρτηση
2
f(x) x 4x 2= − + , x R∈ .
∆1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει δύο ρίζες άνισες.
Μονάδες 3
∆2. Αν 1 2x ,x είναι οι ρίζες της εξίσωσης f(x)=0, να υπολογίσετε τις τιµές των
παραστάσεων:
f(0) f( 1) f(0)
Α
f( 1) f(0) f(0) f( 1) f(0) f(0)
− −
= +
− − − − − +
Μονάδες 6
3 3
1 2 1 2Β x x x x= +
Μονάδες 6
2
1 2Γ x x= ⋅
Μονάδες 3
∆3. Αν
7
Α , Β 24
3
= = και Γ=2
i. Να σχεδιάσετε την ευθεία (ε):
Β 10
y Γx
Α
−
= + σε ένα σύστηµα
συντεταγµένων Οxy.
Μονάδες 3
ii. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε
τους άξονες x'x, y'y.
Μονάδες 4

4. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Β΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ1Α(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 1 ΑΠΟ 4
ΤΑΞΗ: Α΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ
Ηµεροµηνία: Κυριακή 17 Απριλίου 2016
∆ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ A
Α1. Θεωρία. (Σχολικό βιβλίο, σελίδα 62).
Α2. α Λάθος β Σωστό γ Λάθος δ Σωστό ε Σωστό
ΘΕΜΑ Β
Β1. i. Έχουµε ( ) ( )2
∆ 1 4 1 6 1 24 25 0,= − − ⋅ ⋅ − = + = > άρα η εξίσωση έχει δύο
ρίζες άνισες: 1,2
( 1) 25 1 5
x
2 1 2
− − ± ±
= =
⋅
, άρα 1 2x 2, x 3= − =
ii. Ισχύει
2 2
(x 1) x 1 .− = − Θέτουµε x 1 y− = µε y 0≥ οπότε έχουµε την
εξίσωση
2
y y 6 0− − = µε y 0≥ . Εποµένως (από i) είναι y 2= − που
απορρίπτεται ή y 3= που είναι δεκτή.
Άρα ( )x 1 3 x 1 3 ή x 1 3 x 4 ή x 2− = ⇔ − = − = − ⇔ = = −
Β2. i. Λύνουµε την εξίσωση
2
x x 6 0− + + = η οποία είναι ισοδύναµη µε την (i)
του ερωτήµατος Β1. Άρα 1 2x 2, x 3= − = .
Το πρόσηµο του τριωνύµου φαίνεται στον πίνακα που ακολουθεί
x −∞ 2− 3 +∞
2
x x 6− + +
- 0 + 0 -
Εποµένως οι λύσεις της ανίσωσης
2
x x 6 0− + + < είναι τα
( ) ( )x , 2 3,∈ −∞ − ∪ +∞

5. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Β΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ1Α(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 2 ΑΠΟ 4
ii. Για να είναι η εξίσωση
2
2 λ
x 2x 0
4
+ + = αδύνατη στο R θα πρέπει η
διακρίνουσά της να είναι αρνητική. ∆ηλαδή
2
2 λ
∆<0 2 4 1 0
4
⇔ − ⋅ ⋅ < ⇔
2
2 2λ
4 4 0 4 λ 0 λ 4 λ 2 λ 2 ή λ 2
4
− ⋅ < ⇔ − < ⇔ > ⇔ > ⇔ > < −
Οι παραπάνω λύσεις προκύπτουν και από τον κανόνα προσήµου
τριωνύµου: Ζητάµε τις τιµές του λ για τις οποίες είναι 4− λ2
<0. ∆ηλαδή τις
τιµές του λ για τις οποίες το τριώνυµο του πρώτου µέλους είναι οµόσηµο
του συντελεστή του δευτεροβάθµιου όρου. Σύµφωνα µε τον κανόνα
προσήµου τριωνύµου, πρέπει ο λ να βρίσκεται εκτός του διαστήµατος των
ριζών του τριωνύµου 4 − λ2
, οι οποίες είναι –2 και 2. Έτσι τελικά πρέπει
λ > 2 ή λ < –2.
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Για να ορίζεται η f πρέπει
3 1 x 0 1 x 3 3 1 x 3 4 x 2 2 x 4.− − ≥ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤
Άρα το πεδίο ορισµού της f είναι το Α = [–2,4].
Γ2. Για να ανήκει το σηµείο Μ(− 1,1) στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f
πρέπει οι συντεταγµένες του να επαληθεύουν τον τύπο της. ∆ηλαδή πρέπει
3 3
3 3 3 3
3
f( 1) 1 3 1 ( 1) κ 1 1 3 2 κ 1 1
1 κ 1 1 κ 1 0 κ 1 0 κ 1 κ 1 κ 1.
− = ⇔ − − − + + = ⇔ − + + = ⇔
+ + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − − ⇔ = −
Γ3. Από τη φράση ΄΄παίρνουµε τυχαία ένα στοιχείο ω του ΄΄ συµπεραίνουµε ότι
όλα τα δυνατά αποτελέσµατα είναι ισοπίθανα. Εποµένως ισχύει ο κλασικός
ορισµός της πιθανότητας. Το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων είναι το
πλήθος των στοιχείων του , δηλαδή Ν( )=10. Αν θεωρήσουµε Ε το
ενδεχόµενο «το f(ω) έχει νόηµα» τότε το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων
είναι Ν(Ε). Από τους αριθµούς που βρίσκονται στο παρατηρούµε ότι µόνο οι
αριθµοί 1,2,3,4, βρίσκονται στο πεδίο ορισµού της f που είναι το Α=[–2,4]
όπως γνωρίζουµε από το Γ1. Άρα Ε= }{1,2,3,4 µε Ν(Ε)=4. Έτσι έχουµε τελικά
σύµφωνα µε τον κλασικό ορισµό της πιθανότητας
N(E) 4 2
P(E) .
N( ) 10 5
= = =

6. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Β΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ1Α(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 3 ΑΠΟ 4
ΘΕΜΑ ∆
∆1. Έχουµε την εξίσωση
2
x 4x 2 0.− + = Η διακρίνουσα είναι
2
∆ ( 4) 4 1 2 16 8 8.= − − ⋅ ⋅ = − = Αφού ∆ 0> , η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες.
∆2. Αρχικά έχουµε
2
f(0) 0 4 0 2 2= − ⋅ + = και
2
f( 1) ( 1) 4( 1) 2 1 4 2 7− = − − − + = + + =
Άρα
( ) ( )
( )( )
2 7 2
A
7 2 2 7 2 2
2 5 2 5 5 22 5
5 2 5 2 5 2 5 2
10
−
= + =
− − − +
+ + −
= + = =
− + − +
=
4 25 10+ + −
2 2
2 5 7
5 2 35 2
+
= =
−−
● Από τους τύπους Vieta έχουµε 1 2
4
S x x 4
1
−
= + = − = και
1 2
2
P x x 2
1
= ⋅ = =
Έτσι είναι Β= ( )3 3 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2x x x x x x x x+ = ⋅ + . Όµως από την ταυτότητα
2 2 2
1 2 1 1 2 2(x x ) x 2x x x+ = + + προκύπτει ( )
2 2 2
1 2 1 2 1 2x x x x 2x x .+ = + − Έτσι
2 2
1 2 1 2 1 2B x x [(x x ) 2x x ] P(S 2P)= ⋅ ⋅ + − = − ή
2
B 2(4 2 2) 2(16 4) 2 12 24= − ⋅ = − = ⋅ =
● Επίσης είναι,
2
1 2 1 2 1 2Γ x x x x x x P 2 2.= ⋅ = ⋅ = = = =

7. ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016
Β΄ ΦΑΣΗ
Ε_3.Μλ1Α(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 4 ΑΠΟ 4
∆3. i. Για Α
7
3
= , Β=24 και Γ=2 είναι
(ε):
24 10
y 2x
7
3
−
= + ή
14 3
y 2x
7
⋅
= + ή y 2x 6.= +
Για x=0 είναι y=6. Για y=0 είναι x=− 3. Εποµένως χαράζουµε την ευθεία που
διέρχεται από τα σηµεία Α(0,6) και Β(-3,0).
ii. Το τρίγωνο ΒΟΑ
είναι ορθογώνιο
µε µήκη κάθετων
πλευρών
OA 6 6= =
µονάδες και
OB 3 3= − =
µονάδες.
Εποµένως θα έχει
εµβαδόν
1
(BOA) OB OA
21
3 6 9
2
= ⋅ =
= ⋅ =
τετραγωνικές
µονάδες.