Στην παρούσα εργασία γίνεται μια απλοποίηση -χωρίς απλούστευση- της προχωρημένης Μαθηματικά Θεωρίας Μέτρου με στοιχειώδη Μαθηματικά, έτσι ώστε να απαντηθούν αποτελεσματικά, κάποια Γεωμετρικά ερωτήματα που δυνητικά μπορεί να τεθούν και να εμφανίζουν τον βασικό ορισμό της ισότητας Γεωμετρικών σχημάτων («ίσα σχήματα είναι τα συμπτώσιμα και τα συμπτώσιμα σχήματα είναι ίσα») ως αντιφάσκοντα με τους θεμελιώδεις κοινούς μαθηματικούς χειρισμούς των Γεωμετρικών σχημάτων. Ταυτόχρονα, να υποστηριχθεί και η φιλοσοφία των Μαθηματικών με τις έννοιες του αριθμήσιμου και του υπεραριθμήσιμου. Λέξεις –κλειδιά: Μέτρο, Θεωρία μέτρου, Πυθαγόρειο θεώρημα, μήκος διαστήματος , υπεραριθμησιμότητα, αριθμησιμότητα,

1. i-Teacher - I.S.S.N. : 1792 - 4146 - Διαδικτυακό Εκπαιδευτικό Περιοδικό - 26ο Τεύχος - Ιανουάριος 2021
Θεωρία Μέτρου, με μαθηματικά Γυμνασίου, για την Γεωμετρία Λυκείου
Ιωάννης Π. Πλατάρος
Μαθηματικός –Οικονομολόγος
Μ.Edu. «Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών.»-ΕΚΠΑ
Μ.edu. «Θεωρία, Πράξη και Αξιολόγηση της Διδασκαλίας.» Παν. Λευκωσίας.
plataros@gmail.com
Περίληψη
Στην παρούσα εργασία γίνεται μια απλοποίηση -χωρίς απλούστευση- της
προχωρημένης Μαθηματικά Θεωρίας Μέτρου με στοιχειώδη Μαθηματικά, έτσι ώστε
να απαντηθούν αποτελεσματικά, κάποια Γεωμετρικά ερωτήματα που δυνητικά μπορεί
να τεθούν και να εμφανίζουν τον βασικό ορισμό της ισότητας Γεωμετρικών σχημάτων
(«ίσα σχήματα είναι τα συμπτώσιμα και τα συμπτώσιμα σχήματα είναι ίσα») ως
αντιφάσκοντα με τους θεμελιώδεις κοινούς μαθηματικούς χειρισμούς των
Γεωμετρικών σχημάτων. Ταυτόχρονα, να υποστηριχθεί και η φιλοσοφία των
Μαθηματικών με τις έννοιες του αριθμήσιμου και του υπεραριθμήσιμου.
Λέξεις –κλειδιά: Μέτρο, Θεωρία μέτρου, Πυθαγόρειο θεώρημα, μήκος διαστήματος ,
υπεραριθμησιμότητα, αριθμησιμότητα,
Εισαγωγή
Το ερώτημα μπορεί να τεθεί στην πλέον απλή μορφή που μπορεί να υπάρχει: « Όταν
έχουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και το μοναδικό μέσου του Μ, αν το διχοτομήσουμε,
τότε το Μ, που πηγαίνει; Σε πιο μισό από τα δύο; Κι αν πάει σε ένα από τα δύο, τότε πώς
τα δύο μισά θα θεωρούνται ίσα αφού δεν θα είναι συμπτώσιμα μιας και το ένα μισό θα
έχει ένα σημείο παραπάνω;» Η ερώτηση μαθηματικώς είναι απολύτως σωστή και
χρήζει απαντήσεως. Τα δύο μισά δεν είναι ίσα σύμφωνα με τον ορισμό όλων των
βιβλίων της Γεωμετρίας. Αν λοιπόν δεν υπάρχει επαρκής απάντηση δημιουργείται
διαμάχη, διότι όντως τα δύο μισά δεν είναι συμπτώσιμα. Την απάντηση την δίνει η
Θ.Μ. και όχι η κλασσική Γεωμετρία. Η Θ. Μ. είναι ένας κλάδος των Μαθηματικών
ενός αιώνα και κάτι ενώ η Ευκλείδεια Γεωμετρία τουλάχιστον 27 αιώνων. Έτσι, η Θ.Μ.
αποφαίνεται, ότι λ.χ. «τα δύο μισά ευθύγραμμα τμήματα, ναι μεν δεν είναι
συμπτώσιμα, αλλά έχουν ακριβώς το ίδιο μήκος. Επίσης η Θ.Μ., μπορεί να αποφανθεί,
ότι αν πάρουμε το σύνολο [0,1] και από μέσα του αφαιρέσουμε όλους τους υπάρχοντες
ρητούς αριθμούς, τότε το μήκος του θα είναι πάλι αμετάβλητο και ίσο με 1 . Συνεπώς
και το τετράγωνο που θα σχηματίσουμε με αυτό το νέο σύνολο θα έχει εμβαδόν 1τ.μ.
και ο αντίστοιχος κύβος θα έχει όγκο 1κ.μ. Δηλ. Από μεν το [0,1] θα λείπουν άπειρα
(αριθμήσιμα) σημεία, από το τετράγωνο [0,1]2
θα λείπουν άπειρα ευθύγραμμα τμήματα
μήκους 1 και από τον κύβο [0,1]3
θα λείπουν άπειρα τετράγωνα, χωρίς αυτό να έχει
επίπτωση στα μέτρα μήκος , εμβαδόν και όγκο.

2. i-Teacher - I.S.S.N. : 1792 - 4146 - Διαδικτυακό Εκπαιδευτικό Περιοδικό - 26ο Τεύχος - Ιανουάριος 2021
Η ουσία του παραπάνω θέματος, έχει απασχολήσει ακόμα και την Ε.Μ.Ε. αφού έχει
τεθεί θέμα «λανθασμένου Πυθαγορείου Θεωρήματος»(!), με κύριο επιχείρημα το
«γεγονός» ότι αν λ.χ. κόψουμε ένα τετράγωνο σε 4 ίσα τετράγωνα με μεσοκαθέτους
στις πλευρές τους και μετά όταν πάμε να τα επανενώσουμε μέσω μιας κοινής κορυφής,
το προκύπτον νέο τετράγωνο δεν θα είναι ίσο με το παλιό, καθώς όπως ξέρουμε και
από τις πλακοστρώσεις, είναι αδύνατον 4 ίσα τετράγωνα να επανενωθούν έχοντας
κοινή κορυφή, καθώς τα σύνορά τους πρέπει να εφάπτονται και αυτό συμβαίνει μόνον
αν υπάρχει επικάλυψη πλευρών , που «δεν επιτρέπεται» κτλ (Ε.Μ.Ε. 2007) Από την
άλλη, οι όποιες απαντήσεις της κλασικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας σε τέτοια θέματα
μπορούν να είναι διαισθητικές του τύπου «αφού το σημείο είναι αδιάστατο έχει μήκος
0 » είτε «αφού το ευθύγραμμα τμήμα δεν έχει πλάτος, έχει εμβαδόν 0» και αφού το
τετράγωνο δεν έχει ύψος, έχει όγκο 0» Οι απαντήσεις αυτές, εκ πρώτης όψεως
μοιάζουν εντελώς ικανοποιητικές, αλλά δεν είναι καθόλου, αφού κάποιος μπορεί να
αντιτείνει ότι και το [0,1] είναι ένα απειροσύνολο συναποτελούμενο από σημεία με 0
μήκος έκαστον άρα πρέπει να είναι 0 και το συνολικό μήκος του [0,1] . Αυτό το πολύ
σοβαρό λογικό αντεπιχείρημα αίρεται κατ΄αρχήν με την ανακάλυψη του αριθμήσιμου
και υπεραριθμήσιμου απείρου που έκανε ο Καντόρ, έτσι ώστε να μπορέσει η
Μαθηματική κοινότητα στις αρχές του 20ου
αιώνα να θεμελιώσει την Θεωρία μέτρου
με τον Λεμπέκ και το ομώνυμο μέτρο, το οποίο ορίζεται σε σ-άλγεβρες, δηλ. «το πολύ
αριθμήσιμες» ενώσεις και τομές και συμπληρώματα ανοικτών συνόλων, όπου μόνο
έτσι μπορεί η Θ.Μ. να δώσει γόνιμα αποτελέσματα και να μπορεί να μετρήσει όσο το
δυνατόν περισσότερα σύνολα. (Γιαννόπουλος,2013) Δηλαδή, το αριθμήσιμο και το
υπεραριθμήσιμο άπειρο, πρέπει πρώτα να έχουν ανακαλυφθεί ώστε να θεμελιωθεί
γόνιμα η Θ.Μ. (Γιαννόπουλος,2013) , (Μοσχοβάκης,2013)
Η στοιχειώδης θεωρία
Σε μια θεωρία μέτρου, πρέπει να εκχωρούμε σε κάθε ένα σύνολο έναν μη αρνητικό
αριθμό που να «το μετράει» με «συνέπεια» Ένα καλό κοινό μέτρο σε ένα πεπερασμένο
Σχήμα1. Η θεώρηση των σχημάτων ως πρόβλημα υπολογισμού του μεγαλύτερου σχήματος ως συνάρτηση
των εμβαδών των κύκλων και των επικαλύψεών τους μπορεί να εξηγηθεί και με χαρτοκοπτική σε διαφανείς
κύκλους όπου θα σχεδιαστούν οι τομές τους.

3. i-Teacher - I.S.S.N. : 1792 - 4146 - Διαδικτυακό Εκπαιδευτικό Περιοδικό - 26ο Τεύχος - Ιανουάριος 2021
σύνολο είναι ο πληθικός του αριθμός ως μέτρο. Για σημειοσύνολα όπως το ευθύγραμμο
τμήμα, το μήκος του. Για επίπεδο σχήμα το εμβαδόν του. Για στερεό σχήμα ο όγκος
του. Για το ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης η πιθανότητά του. Όλα αυτά τα μέτρα
έχουν «λογικές» κοινές ιδιότητες. Οι «λογικές» αυτές ιδιότητες, εκφράζονται με κοινά
αξιώματα όπως ότι (i) ( ) 0
   , (ii) Αν ( ) ( )
ό
   
      (Μονοτονία) (iii)
, ( ) ( ) ( )
ό
     
         (προσθετικότητα) απ΄ όπου εξάγονται
άλλες βασικές κοινές προτάσεις όπως ( ) ( ) ( ) ( )
   
         ή
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

      
  
               
Αυτές οι προτάσεις είναι κοινές σε ό,τι αφορά την έννοια μέτρο στην Δ/βάθμια
Εκπαίδευση, τις οποίες ο μαθητής χρησιμοποιεί σπανίως στα πεπερασμένα σύνολα και
συστηματικά στην Θ. Πιθανοτήτων και καθόλου στην Γεωμετρία. Στο σχ.1, έχουμε
μια εποπτεία η οποία μπορεί να γίνει κατανοητή ευκολότερα αν τα σύνολα Α,Β,Γ, τα
θεωρήσουμε ως εμβαδά , όπου για να βρούμε το εμβαδόν του μέγιστου εμφανιζόμενου
σήματος γνωρίζοντας τα εμβαδά των Α,Β,Γ, στην μεν πρώτη περίπτωση προσθέτουμε
τα δύο εμβαδά των Α και Β, αλλά πρέπει να αφαιρέσουμε και το εμβαδόν της
επικάλυψης-κοινού μέρους-τομής, διότι έχει εκληφθεί δύο φορές. Αυτό γίνεται
εναργές και βαθιά κατανοητό, αν το ανακαλύψουν κιναισθητικά οι μαθητές με υλικά
μοντέλα σε χαρτί. Στην δεύτερη περίπτωση, Βγαίνει εκτός το κοινό μέρος των Α,Β που
θα κοπεί λ.χ. από το Α, Το κοινό μέρος των Β,Γ, που θα κοπεί από το Β και το κοινό
μέρος των Β,Γ, που θα κοπεί από το Γ. Έτσι όμως στο κοινό μέρος και των τριών
εμφανίζεται μια «τρύπα» που θα έχει κοπεί και από τα τρία, η      που δεν
καλύπτει το επίπεδο, η οποία πρέπει να προστεθεί . Οι συνολοπράξεις με την σχετική
άλγεβρα δεν εξασφαλίζουν μόνες την εις βάθος κατανόηση αλλά και την
απομνημόνευση, αφού η μάθηση επιτυγχάνεται καλύτερα με πολλαπλές
αναπαραστάσεις μιας έννοιας.
Οι συνέπειες του ορισμού ότι μ([α,β])=|β-α| :
Αν θεωρηθεί ως απότοκο του ορισμού και ότι ({ }) 0
   
   , αμέσως εξάγεται
και ότι ([ , ]) ({ }) (( , )) ({ }) (( , ))
            
    . Αλλιώς
([0,2 ]) ([0, )) ([ ,2 ] 2 ([0, )) ([0, ))
             
      
, ([0, )) ([0, ]) , [ , ] ([ , ) ( , ])
Έ ά
               

     και πιο
γενικά, μ([α,β])=μ([α,β))=μ((α,β)) (1)
Με την (1) φυσιολογικά, μπορούμε να κάνουμε οποιαδήποτε διαμέτρηση πεπερασμένη
ενός διαστήματος και να ισχυριστούμε ότι το μέτρο της ένωσης των ανοικτών είναι το
άθροισμα των μέτρων των ανοικτών συνόλων. Δηλαδή:
1 1 2 1
1 1 2 1
1 1 2 1
( , ) (( , ) [ , ) ... [ , ))
(( , ) ( , ) ... ( , ))
(( , ) ( , ) ... ( , )) (2)
  
 
 
         
      
        



   
   
   

4. i-Teacher - I.S.S.N. : 1792 - 4146 - Διαδικτυακό Εκπαιδευτικό Περιοδικό - 26ο Τεύχος - Ιανουάριος 2021
Η (2) μας λέει ισοδυνάμως, ότι «από ένα διάστημα του , μπορούμε να αφαιρέσουμε
οσοδήποτε μεγάλο και πεπερασμένο αριθμό στοιχείων του, και το μήκος του να
παραμείνει σταθερό.
Στην επέκταση από την πεπερασμένη διαμέριση στην άπειρη θα μας βοηθήσουν τα
μαθηματικά της Β΄Λυκείου και συγκεκριμένα η Γεωμετρική σειρά
1
1
1
2




 .
Είναι δυνατόν να αφαιρέσω άπειρα στοιχεία του συνόλου (α,β), το μήκος του να
παραμένει αμετάβλητο.
Θεωρώ το διάστημα (0,1) όπου μ((0,1))=1 και την μονότονη ακολουθία
1
2
 
  , η
οποία διαμερίζει το (0,1) σε άπειρα υποδιαστήματα της μορφής
1
1 1 1 1 1 1 1
,1 , , , , ,..., , ,...
2 4 2 8 4 2 2
  
       
       
       
όπου η άπειρη ένωση των οποίων, μας κάνει
το (0,1) , δεδομένου ότι και
1
1 1
1 lim 0
2 2
 






 
 . Το άθροισμα των μέτρων των
απείρων ανοικτών διαστημάτων που έχουν ως ένωση το (0,1) κάνει πάλι 1.
Συνεπώς βρήκαμε παράδειγμα όπου «αν από ένα διάστημα αφαιρέσουμε άπειρο αριθμό
στοιχείων του, το μήκος του δεν μεταβάλλεται.» Μάλιστα μπορούμε να γενικεύσουμε
εύκολα το παράδειγμα σε οποιοδήποτε διάστημα (α,β) αρκεί να ακολουθήσουμε την
κατά βάσιν ίδια αλλά πιο γενικευμένη ακολουθία
| |
2
 
 


 και την αντίστοιχη
Σειρά.
1
| |
| |
2

 
 



 
 . Μπορούμε να κάνουμε κάτι πιο εντυπωσιακό όμως:
Μπορούμε να βγάλουμε όλους τους Ρητούς από το (0,1) χωρίς μεταβολή του
μήκους του
Με την βοήθεια της ιδιότητας (4) που πλέον ισχύει και για άπειρες ακολουθίες όχι μόνο
πεπερασμένες, μπορούμε να διαμερίσουμε το (0,1):
Με την ακολουθία
1

,ν>1 και το μήκος του (0,1) να μείνει αμετάβλητο.
Με την ακολουθία
2

,ν>2 και το μήκος του (0,1) να μείνει αμετάβλητο.
Με την ακολουθία


,ν>κ και το μήκος του (0,1) να μείνει αμετάβλητο, και με τον
φυσικό κ να μεγαλώνει επ΄άπειρον.
Με τις άπειρες παραπάνω ακολουθίες, αφαιρώ όλους τους ρητούς αριθμούς από το
(0,1) καθώς κατά σειρά αφαιρώ όλα τα κλάσματα με αριθμητή το 1, όλα τα κλάσματα
με αριθμητή το 2, όλα με το 3, κ.ο.κ. επ΄άπειρον, όλα τελικά. Κάποιοι αριθμοί που

5. i-Teacher - I.S.S.N. : 1792 - 4146 - Διαδικτυακό Εκπαιδευτικό Περιοδικό - 26ο Τεύχος - Ιανουάριος 2021
αφαιρούμε έχουν ήδη αφαιρεθεί σε κάποια προηγούμενη αφαίρεση, αλλά αυτό δεν
επηρεάζει την διαδικασία. Δηλαδή, έχουμε καταλήξει στο -εκπληκτικό- συμπέρασμα
ότι ((0,1) ) 1
   (5)
Η (5) ενισχύει το ήδη προκύψαν ερώτημα , για το «πώς είναι δυνατόν να αφαιρούμε
άπειρα στοιχεία από το (0,1) χωρίς μεταβολή του μήκους του, δεδομένου, ότι έτσι
μπορούμε να τα αφαιρέσουμε όλα και να έχει πάλι μήκος 1, πράγμα άτοπο! Τι άραγε
μπορεί να συμβαίνει; Η λογική αυτή, φαίνεται να είναι λανθασμένη!» Ακριβώς εδώ
έρχεται ο Καντόρ να δώσει την αρχική απάντηση που χρησιμοποιήθηκε λίγο αργότερα
για να θεμελιωθεί ένας καλός και γόνιμος ορισμός του μέτρου συνόλου και μάλιστα
απειροσυνόλου. όπως το μέτρο Λεμπέκ.
Η Αριθμησιμότητα και η Υπεραριθμησιμότητα των απειροσυνόλων.
Τα
δάκτυλα των δύο χεριών μας είναι ίσα, όχι μόνο διότι μπορούμε να τα μετρήσουμε και
1 12 13 14 15 16 1
2 21 23 24 25 26 2
3 31 32 34 35 36 3
4 41 42 43 45
11
22
33
44 46 4
1 2
0, ... ....
0, ... ....
0, ... ....
0, ... ....
.......................................................
0,




   
      
      
    


 
 

    


  




 3... ... ....
.........................................................
 


Σχήμα 2: Στο πρώτο σχήμα η εμφαινόμενη απεικόνιση 1-1 οδηγεί στο συμπέρασμα ότι όλοι οι
κύκλοι ανεξαρτήτως μήκους έχουν το ίδιο άπειρο πλήθος στοιχείων, στο δεύτερο σχήμα ότι όλα
τα ευθύγραμμα τμήματα ανεξαρτήτως μήκους έχουν τον ίδιο αριθμό απείρων σημείων και στο
τρίτο, ότι το ανοικτό σύνολο (κ,λ) μήκους |λ-κ| απεικονίζεται στο άπειρου μήκους με
απεικόνιση 1-1 και επί

6. i-Teacher - I.S.S.N. : 1792 - 4146 - Διαδικτυακό Εκπαιδευτικό Περιοδικό - 26ο Τεύχος - Ιανουάριος 2021
να τα βγάλουμε ίσα, αλλά διότι ισχύει κάτι πιο πρωτόγονο και αρχαίο όταν ο άνθρωπος
δεν είχε ίσως ομιλία, δεν ήξερε να μετράει και σίγουρα δεν είχε καμία εκπαίδευση.
Μπορούσε να βάλλει τα δάκτυλά του «1-1» . Το έκανε και με τα πρόβατα που έβγαζε
κάθε πρωί. Επειδή δεν έφταναν τα δάκτυλά του, είχε ένα σωρό από βότσαλα όπου για
κάθε πρόβατο που έβγαινε από την στάνη, μετακινούσε ένα βότσαλο σε έναν νέο υπό
δημιουργία σωρό έως ότου βγουν όλα. Ο παλιός σωρός είχε δημιουργηθεί, όταν είχαν
μπει το βράδυ τα πρόβατα στην στάνη. Αν περίσσευε πέτρα κάποιο πρόβατο είχε χαθεί
ή κλαπεί. Ομοίως και στον γυρισμό. (Το παράδειγμα από τις διδασκαλίες του Ι.
Αραχωβίτη στο Μαθηματικό του ΕΚΠΑ) Το υπόδειγμα λειτουργεί αρχαιόθεν δηλ. και
γι αυτούς δεν ξέρουν την σύγχρονη φορμαλιστική διατύπωση της έννοιας «απεικόνιση
1-1 και επί» σε όλα τα πεπερασμένα σύνολα. Το πολύ περίεργο είναι ότι για τα
πρωταρχικά γνωστά απειροσύνολα για τα οποία υπήρχε γνήσια σχέση εγκλεισμού,
φαινόταν να υπάρχει σχέση 1-1, πράγμα που οδηγούσε στο αβίαστο συμπέρασμα, ότι
«όλα τα άπειρα είναι ίδια» για αυτό και οι Άρτιοι Φυσικοί τίθενται σε 1-1 απεικόνιση
με όλους τους Φυσικούς παρ΄ ό,τι προφανώς διαισθητικά είναι οι μισοί. ( 2
 
 )
Ομοίως οι Περιττοί ( 2 1
 
  ), οποιοδήποτε άπειρο τμήμα της φυσικής διάταξης
των Φυσικών (  
  ) Οι τετράγωνοι αριθμοί με τους φυσικούς ( 2
 
 ), οι
κυβικοί, και οποιασδήποτε τάξης δυνάμεις ( 
 
 ), παρ΄ ότι η συχνότητα εμφάνισής
τους στην Φυσική διάταξη των Φυσικών τείνει στο 0. Ομοίως και οι Φυσικοί με τους
πρώτους ( p
  ) επίσης τα οποιαδήποτε πολλαπλάσια φυσικού ( 
 ) Στην
Γεωμετρία ακόμα και από την αρχαιότητα είχαμε επισημάνσεις αυτού του είδους των
παραδόξων του απείρου, όπου κάποια χαρακτηριστικά παραδείγματα εμφαίνονται στο
Σχ.2.
Από την εποχή του Αριστοτέλους μέχρι τον Καντόρ, υπήρχαν κάποιες αντιμαχόμενες
απόψεις για την φύση του απείρου, έως ότου ο Καντόρ έκανε την επαναστατική
ανακάλυψη με μια απλή εις άτοπον απαγωγή. Δηλαδή, υπέθεσε ότι το (0,1) γράφεται
σε μια γενική μορφή όπου μπορεί να τεθεί σε 1-1 αντιστοιχία με το δηλ. ότι είχαμε
μια ισότητα 1 2 3 4,..., ,...
(0,1) { , , , }

    
 Στην συνέχεια τους έγραψε στο άπειρο
δεκαδικό τους μονοσήμαντο ανάπτυγμα (όχι με περίοδο το 9) όπως στον παρακάτω
πίνακα και είπε χρησιμοποιώντας την εις άτοπον απαγωγή: «Έστω ότι όλα τα στοιχεία
του (0,1), έχουν αντιστοιχηθεί σε διάταξη 1-1με το . Πάω στο πρώτο δεκαδικό
στοιχείο του πρώτου το α11 και όποιο είναι, εφαρμόζω έναν αλγόριθμο (σταθερό ή
αυθαίρετο) αλλαγής του ψηφίου, λ.χ. «καταγράφω το επόμενο ψηφίο». (Είναι 1;
Γράφω 2. Είναι 2; Γράφω 3 κ.ο.κ. είναι 9; Γράφω 0. Πάω στο α22 και κάνω το ίδιο.
Πάω στο α33 και κάνω το ίδιο κ.ο.κ. Πάω στο ανν και κάνω το ίδιο, συνεχίζοντας επ
άπειρον. Με τον τρόπο αυτό, έχω φτιάξει ένα στοιχείο 11 12 13 14 15 16 1
0, ... ....

      
      
που εξ ορισμού ανήκει στο (0,1) και δεν είναι ίσο -εκ κατασκευής- με κανένα από τα
1 2 3 4,..., ,...
, , , 
     ,διαφέροντας σε ένα τουλάχιστον στοιχείο με κάθε ένα εξ αυτών, άτοπο,
διότι υποθέσαμε ότι όλα του (0,1) έχουν τεθεί σε αντιστοιχία με τα στοιχεία του . (Στην
πραγματικότητα, ο Καντόρ χρησιμοποίησε το δυαδικό σύστημα αρίθμησης) Αυτή η
απόδειξη του «Διαγωνίου επιχειρήματος» (Γιαννόπουλος,2013) (με το «αξίωμα

7. i-Teacher - I.S.S.N. : 1792 - 4146 - Διαδικτυακό Εκπαιδευτικό Περιοδικό - 26ο Τεύχος - Ιανουάριος 2021
επιλογής») του Καντόρ, θεωρούμε μπορεί να διδαχθεί στην Α΄ Λυκείου, όπου ως
πόρισμα της ίδιας ακριβώς απόδειξης είναι ότι «παραπάνω στοιχεία» από το , έχει
οποιοδήποτε μικρό διάστημα λ.χ. το (10-100
, 10-99
) Δεν αλλάζει τίποτε στην απόδειξη,
πέραν τις προσθήκης 100 σταθερών μηδενικών, μετά την υποδιαστολή, σε όλα τα
στοιχεία του διαγώνιου αποδεικτικού σχήματος. Άρα το «συνεχές» οσοδήποτε μικρού
μήκους, είναι μεγαλύτερο από οποιοδήποτε αριθμήσιμο άπειρο, ενώ υπάρχει και το
μηδενικού μήκους υπεραρθήσιμο σύνολο («σύνολο του Καντόρ») που μπορεί να
αναφέρεται και με απόδειξη στην Β΄ Λυκείου.
Οι Συνέπειες στην Ευκλείδεια Γεωμετρία .
Η διχοτόμηση του ευθ. τμήματος ΑΒ στο Μ, πηγαίνει το Μ είτε στο ένα τμήμα είτε
στο άλλο, που έχουν ίσα μέτρα. Η τμήση με μεσοκαθέτους στις πλευρές ενός
τετραγώνου δημιουργεί 4 ίσα τετράγωνα, τα οποία αν αποκοπούν διατηρούν το
εμβαδόν τους. Τα 4 νέα τετράγωνα, είναι μεν ισεμβαδικά και το άθροισμα των
εμβαδών τους ισούται με το εμβαδόν του αρχικού, πλην όμως δεν είναι «συμπτώσιμα»
σύμφωνα με τον κλασικό ορισμό της ισότητας που έχουν όλα τα βιβλία Ευκλείδειας
Γεωμετρίας στον Πλανήτη. Στο παραπάνω σχήμα έχουμε λ.χ. δύο τετράγωνα που ενώ
δεν είναι συμπτώσιμα έχουν ίσα εμβαδά. Σύμφωνα με την κλασική θεωρία , αφού
α2
=β2
, έπεται α=β και τα τετράγωνα είναι ίσα. Υπάρχει μια αντίφαση με τον ορισμό,
(ίσα =συμπτώσιμα) που απλά, όταν ετέθη πριν 27 τουλάχιστον αιώνες, δεν υπήρχαν
«περίεργες» γραμμές, ανοικτά σύνολα, και συναρτήσεις, όπως παντού ασυνεχείς ή
συνεχείς και παντού μη παραγωγίσιμες, όπου θα έπρεπε να βγούμε τα ορισμένα
ολοκληρώματά τους ή τα μήκη τους. Η αναγκαιότητα που έλυσε η επινόηση της Θ.Μ.
ήταν αυτή, μόλις πριν 1 αιώνα και κάτι. Για παράδειγμα αν έχουμε την συνάρτηση του
Ντιρικλέ
1, [0,1]
(x)
0, [0,1]
x x ά
f
x x ό
  
   

 
  

 
,τότε το κατά Ρήμαν ορισμένο
ολοκλήρωμα δεν ορίζεται, λόγω της ασυνέχειας, όμως κατά Λεμπέκ, σχηματικά αφορά
την εύρεση του εμβαδού ενός τετραγώνου όπου από την μία πλευρά και την απέναντί
Σχήμα 3: Μία από τις δυνατές τομές ενός τετραγώνου σε 4 ισεμβαδικά τετράγωνα, όπως μπορούμε να
σχεδιάσουμε συμβατικά.

8. i-Teacher - I.S.S.N. : 1792 - 4146 - Διαδικτυακό Εκπαιδευτικό Περιοδικό - 26ο Τεύχος - Ιανουάριος 2021
της, έχουμε αφαιρέσει όλους τους ρητούς και ήδη στοιχειωδώς -και μόνο γι αυτή την
περίπτωση- έχουμε βρει, ότι το εμβαδόν έχει νόημα και είναι
([0,1] ) ([0,1]) 1 1 1
 
      
Συμπεράσματα
Θεωρούμε ότι : 1)Βασικά κομμάτια της Θ.Μ. μπορούν να απλοποιηθούν και να
παρουσιαστούν στο Λύκειο. Μαζί με τα παραπάνω εκτεθέντα και άλλα
συμπληρωματικά θέματα όπως ότι το (0,1) δεν έχει μέγιστο ή ελάχιστο στοιχείο (απλή
εις άτοπον απαγωγή) , ότι το 0,999… δεν είναι το μέγιστο του (0,1) αφού ισούται με 1.
(Πλατάρος,2020) Εμπειρικά γνωρίζουμε, ότι διδασκαλία τέτοιων θεμάτων διεγείρει
και το ενδιαφέρον κάποιων μαθητών που δεν συμπαθούν τα μαθηματικά, αλλά έχουν
εμφανώς διάφορες άλλες ευφυίες πέραν της λογικομαθηματικής. Το θεωρούμε φυσικό,
καθώς τα θέματα αυτά έχουν προκλητική φύση και προκαλούν μεγάλες γνωστικές
συγκρούσεις, όπου εκεί γεννιέται και η μάθηση.
2) Με τις προσθήκες αυτές, μπορεί να επικαιροποιηθεί η γνώση της Γεωμετρίας είτε
της Ανάλυσης με ιστορικό σημείωμα στα εγχειρίδια σχετικά με τις δυνατότητες που
επιφέρει η Θ.Μ. όπως παρουσιάστηκαν ήδη.
3) Θεωρούμε ότι θα μυηθούν οι μαθητές στην φιλοσοφία των Μαθηματικών, στο μέγα
θέμα του συνεχούς, καθώς ήδη μαθαίνουν ότι «όπως το πεπερασμένο μπροστά στο
άπειρο είναι 0, ομοίως και το αριθμήσιμο άπειρο μπροστά σε οσοδήποτε μικρό
διάστημα είναι και αυτό 0» . Δεν υπάρχει ο αμέσως προηγούμενος αριθμός από το 1,
παρ΄ ότι διαισθητικώς νοιώθουμε ότι «πρέπει να υπάρχει». Το (0,1) είναι ένα
«απέραντο σύνολο» αφού δεν έχει πέρατα. Μοιάζει με το και είναι «ίσο» με το ,
αφού είναι υπεραριθμήσιμα και τα δύο και τίθενται σε 1-1 αντιστοιχία, παρ ότι το ένα
έχει μήκος 1 και το άλλο άπειρο μήκος. «Χωράει» το άπειρο στο πεπερασμένο; Οι
Ρητοί αριθμοί ως πλήθος μπροστά και σε σχέση με τους υπόλοιπους άρρητους που
υπάρχουν είναι 0; Οι Άρτιοι με τους Φυσικούς παρ ότι νομίζουμε ότι είναι οι μισοί
είναι ουσιαστικά ίσοι ως προς το πλήθος; Δεν είναι όλα άπειρα ίσα; Ώστε σχεδόν όλα
τα παράδοξα του Ζήνωνος εξηγούνται με την διαπίστωση ότι είναι δυνατόν να
προσθέσω άπειρα στο πλήθος χρονικά διαστήματα με άθροισμα πεπερασμένο με το πιο
προσιτό παράδειγμα την Γεωμετρική σειρά
1
1
1
2




 ; Ώστε η ακολουθία
1

πραγματικά στο άπειρο γίνεται 0, ενώ εγώ εμπλεκόμενος στην χρονική διάσταση που
ζω το βλέπω ως μια διαδικασία που «πλησιάζει το 0 αλλά ποτέ δεν το φθάνει»
πέφτοντας στην παγίδα του χρονικού «ποτέ» ενώ τα Μαθηματικά είναι άχρονα και το
άπειρο «επιτελεσμένο;» (Πλατάρος, 2020)
Καθώς ζούμε παραμονές Τεχνολογικής Επανάστασης (Singularity) (Βικιπαίδεια, 2020)
όπου ένας H/Y θα έχει τεχνική νοημοσύνη ανθρωπότητας, όλες τις ασκήσεις τις
λύνουν μηχανές. Η ακατάλυτη και μη αμφισβητήσιμη ισχύς των Μαθηματικών, είναι
η Λογική τους, η Δομή τους, η Φύσης τους, η Φιλοσοφία τους, εν τέλει η Γοητεία τους.
Αυτό δηλ. που πρέπει να διασφαλίσουμε στην διδασκαλία τους.

9. i-Teacher - I.S.S.N. : 1792 - 4146 - Διαδικτυακό Εκπαιδευτικό Περιοδικό - 26ο Τεύχος - Ιανουάριος 2021
Αναφορές
1. Ε.Μ.Ε. (2007) Ανακοίνωση σχετική με το θέμα της «ισχύος του Πυθαγορείου
Θεωρήματος», 02 Απριλίου 2007. Αθήνα (Ανάκτηση από
http://eisatopon.blogspot.com/2011/08/20.html 15/7/2020)
2. Γιαννόπουλος,Α. (2013) «Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου» Τμήμα Μαθηματικών
ΕΚΠΑ, Αθήνα (Ανάκτηση από http://users.uoa.gr/~apgiannop/mt.pdf 17/7/2020)
3. Μοσχοβάκης,Ι. (2013) «Ισοπληθικότητα» Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα ΕΚΠΑ,
Αθήνα (Ανάκτηση 17/7/2020 από
https://opencourses.uoa.gr/modules/units/index.php?course=MATH24&id=951 )
4. Πλατάρος,Ι (2020) «Το Μαθηματικό αντικείμενο «σύνολο (0,1)» και κάποιες
απροσδόκητες ιδιότητές του.» Εργασία στα πλαίσια Σεμιναρίου Ι.Ε.Π. «Γραμματισμός
στα Μαθηματικά» (Ανάκτηση 17/7/20 από
https://www.academia.edu/43626087/Το_Μαθηματικό_αντικείμενο_σύνολο_0_1_και
_κάποιες_απροσδόκητες_ιδιότητές_του/ )
5. Βικιπαίδεια (2020) «Technological Singularity» (Ανάκτηση 17/7/2020 από
https://en.wikipedia.org/wiki/Technological_singularity )