Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου

2.
Περιεχόμενα
Κεφάλαιο 1 Διανύσματα Σελίδες
1.3 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα 1 - 3
1.4 Συντεταγμένες στο επίπεδο 4 - 8
1.5 Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων 9 - 20
Κεφάλαιο 2 Ευθεία
2.1 Εξίσωση ευθείας 21 - 30
2.2 Γενική εξίσωση ευθείας 31 - 43
2.3 Εμβαδόν τριγώνου 44 - 54

3.
ΠΡΟΛΟΓΟΣ
Ομάδα μαθηματικών,
φίλων και μελών της ιστοσελίδας του Μαθηματικού και Φυσικού κόσμου,
μοιράστηκε την ευθύνη,
να παρουσιάσει στους μαθητές και στην μαθηματική κοινότητα
τις λύσεις των ασκήσεων,
της τράπεζας Θεμάτων της Β Λυκείου.
Όποιες αβλεψίες εμφανιστούν θα διορθωθούν στην επόμενη έκδοση της
προσπάθειάς μας.
Ο τρόπος λύσης
είναι λογικό να μην είναι ομοιόμορφος,
μια που οι λύτες είναι διαφορετικοί
και ο καθένας έχει την δικιά του άποψη παρουσίασης.
Σας παρουσιάζουμε τις λύσεις και περιμένουμε τις παρατηρήσεις σας.
Τέλος
Ευχαριστούμε τους υπεύθυνους
της ιστοσελίδας του Μαθηματικού και Φυσικού κόσμου,
για την φιλοξενία της προσπάθειας μας στον χώρο του.

4.
Για τις λύσεις συνεργάστηκαν
Άγγελος Παπαϊωάννου
Άννα - Τάσια Ανδριοπούλου
Άρης Χατζηγρίβας
Βασίλης Μαυροφρύδης
Γιάννης Στάμου
Δημήτρης Κοντοκώστας
Δημήτρης Μυρογιάννης
Δημήτρης Τσορτανίδης
Ζωή Πετρά
Θωμάς Ραϊκόφτσαλης
Κωνσταντία Κιουρτίδου
Λάζαρος Σανδαλίδης
Μαργαρίτα Βαρελά
Μιχάλης Σουλάνης
Νίκος Γκόλφης
Νίκος Ζανταρίδης,
Νίκος Παπαγγελής
Σαββούλα Ουσταμπασίδου
Στέλλα - Ιλιάνα Καρδαμίτση
Συντονισμός Ομάδας
Βασίλης Μαυροφρύδης
Γραφιστική επιμέλεια, σελιδοποίηση, διαμόρφωση
Θωμάς Ραϊκόφτσαλης
Σχεδίαση εξωφύλλου
Φωτεινή Μακρή ‐ Graphic and web designer
http://fotinimakri.wordpress.com,
https://fotinimakri.see.me,
https://twitter.com/fotinimakri_art

5.
Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου 
1
Κεφάλαιο 1
Διάνυσμα
1.3 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα
Δεύτερο Θέμα
18603
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 2 5    
  
και 5 2 .    
  
α) Να γράψετε το διάνυσμα 

ως γραμμικό συνδυασμό των 

και .

(Μονάδες 13)
β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα 

και 

είναι παράλληλα. (Μονάδες 12)
Λύση
α) Θεωρούμε σαν σημείο αναφοράς το Α και έχουμε:
5 2 (2 5 ) 5 2 2 5                     
          
3 3 .  
 
β) Από το προηγούμενο ερώτημα, έχουμε:
 3 3 3 3 ,          
     
άρα . 
 

18604
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε, Ζ σημεία τέτοια ώστε:
2 2
, .
5 7
     
   
α) Να γράψετε τα διανύσματα 

και 

ως γραμμικό συνδυασμό των 

και
.

(Μονάδες 13)
β) Να δείξετε ότι τα σημεία Β, Ζ, και Ε είναι συνευθειακά. (Μονάδες 12)
Λύση
α) Ισχύει:  : E    
  
(κανόνας του παραλληλογράμμου).
Είναι:      
    2 2
7 5

   
 
 2 2
7 5
     
  

6.
 Μαθηματικά Κατεύθυνσης
2
2 2 2 2 2 2
7 7 5 7 7 5
 
           
 
    
2 10 14
7 35 35
 
     
 
 
2 4
.
7 35
  
 
Ισχύει ότι     
  
λόγω του κανόνα του παραλληλογράμμου.
Είναι:
 2 2 2 2
7 7 7 7
               
          
2 2 5 2
1- ΑΒ- ΑΔ = ΑΒ- ΑΔ.
7 7 7 7
 
 
 
   
β) Είναι:

2 4 10 4
7 35 35 35
       
    
Αρκεί να αποδείξουμε ότι
υπάρχει : ΖΒ = λ ΕΖ.
 
 2
5 2 ,
35
  
 
  5 2 1 5
5 2 .
7 7 7 2
         
     
Άρα, / / , 
 
συνεπώς τα σημεία Β, Ζ και Ε είναι συνευθειακά.
20054
Θεωρούμε τα σημεία Ρ,Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση:
5 2 3 .    
  
Α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ,Λ και Μ είναι συνευθειακά. (Μονάδες 10)
Β) Για τα παραπάνω σημεία Κ, Λ και Μ να δείξετε ότι ισχύει:
2 3 2 ,          
     
όπου Α και Β είναι σημεία του επιπέδου.
(Μονάδες 15)
Λύση
Α) 5 2 3 2 3 2 3            
      
2 3
3
2 2 3 3 K / /
2
                
        
και επειδή

7.
Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου 
3
τα διανύσματα , 
 
έχουν κοινό σημείο το Λ, τα Λ,Κ,Μ είναι συνευθειακά.
Β) 2 3 2           
     
2 3 2 2                    
         
2 2 2 2              
      
3
2 2 3 2 ,
2
              
      
που ισχύει από το
προηγούμενο ερώτημα.

8.
 Μαθηματικά Κατεύθυνσης
4
1.4 Συντεταγμένες στο επίπεδο
Δεύτερο Θέμα
18605
Δίνονται τα διανύσματα: OA 2i 4j, 
  
OB 3i j, 
  
O 5i 5j,  
  
όπου i

και j

είναι τα
μοναδιαία διανύσματα των αξόνων x x και y y αντίστοιχα.
Α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των AB

και B .

(Μονάδες:12)
Β) Να εξετάσετε αν τα Α, Β, Γ μπορούν να είναι κορυφές τριγώνου. (Μονάδες:13)
Λύση
Α) Έχουμε:
    3i j 2i 4j 3i j 2ΑΒ B i 4j i 3j,           
           
άρα  ΑΒ 1, 3 . 

    5i 5j 3i j, 5i 5j 3iΒ B j 2i 6j,           
           
άρα  Β .2, 6 

Β) Για να αποτελούν τα σημεία , ,   κορυφές τριγώνου, αρκεί τα διανύσματα
,ΑΒ ΒΓ
 
να μην είναι παράλληλα, δηλαδή αρκεί να ισχύει:  det AB, 0. 
 
Έχουμε:
     
1 3
det AB, 1 6 3 2 6 6 0,
2 6

           

 
άρα / /ΑΒ Β .Γ
 
Επομένως,
τα σημεία , ,   αφού είναι συνευθειακά, δεν μπορούν να αποτελούν κορυφές
τριγώνου.
20055
Θεωρούμε τα σημεία    1,3 , ,4     και  4,5 4 , .    
α) Να βρείτε τα διανύσματα ,

.

(Μονάδες 8)
β) Να βρείτε για ποια τιμή του , τα , ,   είναι συνευθειακά. (Μονάδες 10)
γ) Αν 1,  να βρείτε αριθμό  ώστε .  
 
(Μονάδες 7)
Λύση
α) Το διάνυσμα 

έχει συντεταγμένες:
      , 1 , 4 3 1,1 .                  


9.
Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου 
5
Το διάνυσμα 

έχει συντεταγμένες:
     , 4 , 5 4 4 4 , 5 .                      

β) Τα σημεία , ,   είναι συνευθειακά, αν και μόνο αν, τα διανύσματα 

, 

είναι παράλληλα, δηλαδή, αν και μόνο αν,  det AB, 0. 
 
Έχουμε:      
1 1
det AB, 0 0 1 5 1 4 0
4 5

              
   
 
5 4 0 4 4 1.           
γ) Αν 1  τότε τα σημεία είναι:    2,3 , 1,4  και  4,9  .
Οι συντεταγμένες του 

είναι:      , 4 2, 9 3 6, 6 .                

Είναι:
 
   
 ώ 6 1
6, 6 1,1 6.
6 1
      
           
 
 
20061
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία    1,1 , 4,3 ,   2,3 .
α) Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του . (Μονάδες 9)
β) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Κ των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ,
καθώς και τις συντεταγμένες της κορυφής Β. (Μονάδες 16)
Λύση
α)        
2 2 2 2
2 1 3 1 1 2 1 4 5.           
       
2 2 2 2
2 4 3 3 2 0 4 2.          
β) Το σημείο Κ είναι μέσο του ΑΓ, άρα
1 4 1 3 5
, , 2 .
2 2 2
    
    
   
Έστω  x,y . Το σημείο Κ είναι μέσο και του ΒΔ, αφού οι διαγώνιοι του
παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ διχοτομούνται.
Οπότε:
5 x 2
5 x 2 x 32 2
,
y 3 4 y 3 y 1
2
2

    
   
     

άρα  3,1 .
20071
Θεωρούμε τα σημεία  1 2 , 4 2     και  5 1, , .     
α) Να γράψετε το AB

συναρτήσει του α και να βρείτε το α ώστε AB 10.

(Μονάδες 12)
β) Έστω 2.  Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x x ώστε το τρίγωνο  να είναι
ισοσκελές με βάση την . (Μονάδες 13)
Λύση
α) Έχουμε:
       AB 5 1 1 2 , 4 2 5 1 1 2 , 4 2                    


10.
 Μαθηματικά Κατεύθυνσης
6
 3 , 5 2 ,    οπότε:  AB 3 , 5 2 .    

 Αφού  AB 3 , 5 2 ,    

έχουμε:
     
2 2 2 2 2
AB 3 5 2 9 25 20 4 34 20 4 : 1 .                 

Είναι:
 1
2 2 2
AB 10 34 20 4 10 34 20 4 100 34 20 96 0                   

 2
17 10 48 0 : E .    
Η   είναι εξίσωση δευτέρου βαθμού με άγνωστο το .
Έχει:
διακρίνουσα    
2
10 4 17 48 100 3264 3364,         
 ρίζες
1
2
10 58 68
2
34 34
ή ,
10 58 48 24
34 34 17

    


  
     



επομένως: 2. 
β) Έστω  x,0 σημείο του άξονα x x.
Για 2,  είναι:
 5,6 ,  11, 2 , 
   5 x,6 0 5 x,6 ,     

   
2 2 2 2
5 x 6 x 10x 25 36 x 10x 61,          
   B 11 x, 2 0 11 x, 2 ,       

   
2 2 2 2
B 11 x 2 x 22x 121 4 x 22x 125,           
 
5 x 6
det MA, MB 10 2x 66 6x 8x 76.
11 x 2

       
 
 
Το τρίγωνο  είναι ισοσκελές με βάση την , επομένως ισχύει:
/ /

   
 
    2 2
8x 76 0det MA, MB 0
x 10x 61 x 22x 125
     
    
            
 
 
2 2
19
2x 194 2x 19 0 x
2
10x 22x 125 61x 10x 61 x 22x 125
12x 64

    
    
          
19
x
16 192
x ,
64 16 3 2
x
12 3


  
  

άρα
16
, 0 .
3
 
 
 

11.
Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου 
7
20073
Δίνονται τα σημεία  2,3 ,  1,5  και  2, 4   .
Α) Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο. (Μονάδες 8)
β) Να βρείτε το συμμετρικό  του  ως προς το μέσο  της . (Μονάδες 10)
γ) Τι σχήμα είναι το ΑΒΓΔ; Να αιτιολογήσετε τον ισχυρισμό σας. (Μονάδες 7)
Λύση
α) Βρίσκουμε τα διανύσματα AB

και A .

Είναι:
AB (x x ,y y ) ( 1 2,5 3) ( 3,2),           

A (x x ,y y ) ( 2 2, 4 3) ( 4, 7),              

οπότε:  
3 2
det AB,A 21 8 29 0
4 7

     
 
 
.
Άρα τα AB

και A

είναι μη συγγραμμικά και επομένως τα , ,   σχηματίζουν
τρίγωνο.
β) Το σημείο Μ είναι μέσο της ΑΓ άρα
x x 2 2
x 0x x
2 2
1
y y 3 4 y
yy 2
22
 
 
  

  
     
   
       
Επομένως
1
0,
2
 
  
 
.
Έστω (x ,y )  το συμμετρικό του Β ως προς το Μ.
Το σημείο Μ είναι μέσο και της ΔΒ, οπότε:
x x
x
x x 2x x 2x x2
y y 2y y 2y yy y
y
2
 

     
      


     
    
      

x 2 0 1
x 1
.1
y 2 5 y 6
2


 
  

  
      
 
Άρα  1, 6 . 
γ) 1ος
τρόπος:
Παρατηρούμε ότι στο τετράπλευρο ΑΒΓΔ οι διαγώνιες διχοτομούνται, εφόσον το Μ

12.
 Μαθηματικά Κατεύθυνσης
8
είναι μέσο της ΑΓ και ΒΔ , άρα παραλληλόγραμμο.
2ος
τρόπος:
Υπολογίζουμε το διάνυσμα :

(x x ,y y ) ( 2 1, 4 6) ( 3,2).             

Παρατηρούμε ότι
( ) ( )
/ /
  
    
 
 
ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο.
20148
Δίνονται τα διανύσματα i 2j  
  
, 2i 5j  
  
και  7,3 

.
α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα 

, 

, 

είναι μη συγγραμμικά ανά δύο.
(Μονάδες 10)
β) Να γραφεί το διάνυσμα 

ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων 

και 

.
(Μονάδες 15)
Λύση
α) Είναι :
 i 2j 1, 2    
 
,  2i 5j 2, 5    
 
και  7,3 

με αντίστοιχους συντελεστές διεύθυνσης:
2
2
1

    ,
5 5
2 2

    και
3
.
7
 
Οι συντελεστές διεύθυνσης είναι ανά δύο διαφορετικοί, οπότε τα διανύσματα


, 

, 

είναι μη συγγραμμικά ανά δύο.
β) Αρκεί να προσδιορίσουμε πραγματικούς αριθμούς ,  ώστε να είναι: .    
  
Είναι:
           7,3 1, 2 2, 5 7,3 , 2 2 , 5                     
  
   
2 7 2 2 4 14
7,3 2 , 2 5
2 5 3 2 5 3
         
           
          
2 4 2 5 14 3 17
2 5 3 2 5 3
           
  
          
 
17 17 17 17
.
2 5 17 3 2 85 3 2 82 41
              
     
              
Επομένως 41 17 .    
  

13.
Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου 
9
1.5 Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων
Δεύτερο Θέμα
18556
Δίνονται τα διανύσματα 

και 

με
^
,
3
  
   
 
 
και 2 

, 2 2 

.
α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο . 
 
(Μονάδες 8)
β) Αν τα διανύσματα 2  
 
και   
 
είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ.
(Μονάδες 10)
γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 2 .  
 
(Μονάδες 7)
Λύση
α) Ισχύει:
^
1
, 2 2 2 4 2.
3 2
  
              
 
     
β) Αν τα διανύσματα 2  
 
και   
 
είναι κάθετα,
τότε το εσωτερικό τους γινόμενο είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή:
   
2 2
2 0 2 2 0            
       
 
 
 
     
2, 2 2
2 22 2
2
2 2 0 2 2 2 2 2 2 0
   

                 
 
 
  
 2 2 2 2 8 0 4 2 4 8 0 6 12 2.                      
γ)  
22 2 22 2
2 2 4 4 4 4 2 4 2 8 8 24.                        
         
Επομένως 2 24 2 6.    
 
18558
Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι: ΑΒ

=(-4,-6) και ΑΓ

=(2,-8).
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΑΜ

, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος του
τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 7)
β) Να αποδείξετε ότι η γωνία ˆ είναι οξεία. (Μονάδες 10)
γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των
κορυφών του Β και Γ. (Μονάδες 8)
Λύση

14.
 Μαθηματικά Κατεύθυνσης
10
α) ΑΜ διάμεσος επομένως,    4 2, 6 8 1
1
, 7
2
.
2
  
       
 

β) συν ˆ =
4 2 6 8 40
0,
16 36 4 64 52 68
     
  
     
 
  άρα η γωνία Α είναι οξεία.
γ)    B4, 6 x 3,y 1) 4, 6(        B

 B B
B B
x -3 -4 x -1
,
y -1 -6 y -5
  
 
  
άρα  B 1, 5 . 
     2, 8 x 3,y 1 2, 8       

 Γ Γ
Γ Γ
x -3=2 x =5
,
y -1=-8 y =-7
 
 
 
άρα  5, 7 . 
18581
Έστω τα διανύσματα , 
 
για τα οποία ισχύουν: 2 2 2   

και
^
, 60 .
 
   
 

 
α) Να αποδείξετε ότι 2.  

(Μονάδες 10)
β) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων   

και . 

(Μονάδες 15)
Λύση
α) Έχουμε:
2
2 2 2 ,
2 2
  
     
 


 επομένως:
1
60 2 2 2 2.
2
          
  
β) Είναι:
 
 
   
2 2222 2
22
2 2 2 2 4 2 2 14.

                     
        
Επομένως 14.   

Είναι:
 
 
   
2 2 2222
2 2
2 2 2 2 4 2 2 6.

                     
        
Επομένως 6.   

18598
Δίνονται τα διανύσματα  2
AB 6 9, 3      

και  1,6 , 

όπου . 
α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο .
 
(Μονάδες 8)

15.
Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου 
11
β) Να βρείτε τις τιμές του κ, ώστε τα διανύσματα 

και 

να είναι κάθετα.
(Μονάδες 9)
γ) Για κ = 1, να βρείτε το διάνυσμα .

(Μονάδες 8)
Λύση
α) Θα υπολογισθεί το , 
 
σε συνάρτηση του . 
Από την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου διανυσμάτων έχουμε:
x x y y   
         
 
   2 2 2
6 9 1 3 6 6 9 6 18 9.                      
 
β) Αν τα διανύσματα 

και 

είναι κάθετα, το εσωτερικό τους γινόμενο θα είναι
ίσο με μηδέν, δηλαδή:
( )
2 2
0 9 0 9 3 ή 3.

             
 
γ) Για κ = 1 το διάνυσμα 

γίνεται:  4, 2 .  

Επίσης      1,6 4, 2 3,8 .         
  
20050
Δίνονται τα διανύσματα (1,7) 

και (2,4). 

α) Να βρεθεί η προβολή του 

πάνω στο 

. (Μονάδες 10)
β) Να αναλύσετε το 

σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, από τις οποίες, η μία να
είναι παράλληλη στο .

(Μονάδες 15)
Λύση
α) Η προβολή του 

πάνω στο 0 
 
είναι ένα διάνυσμα παράλληλο με το 

.
Έτσι, έχουμε:
  / / , : 1 . 
         
   

    
(1) 2
: 2 .
               
          
Όμως,
 (1,7) (2,4) 1 2 7 4 2 28 30 : 3          
 
και d
   
222 2 2
2 4 4 16 20 : 4 .       
 
Οπότε, από τη σχέση  2 , λόγω των  3 και  4 , έχουμε:
3
30 20 .
2
     

16.
 Μαθηματικά Κατεύθυνσης
12
Τελικά από τη σχέση (1) συμπεραίνουμε ότι:
3
(2,4) (3,6).
2
   

β) Έστω  η ευθεία η παράλληλη στη διεύθυνση
του 

.
Από το πέρας  του 

φέρνουμε τις κάθετες
1 και 2 στη διεύθυνση του 

και στην
 αντίστοιχα και έστω 1 1

  

και 2 2

  

.
Από τη διανυσματική πρόσθεση έχουμε:
1 2.    
  
Επειδή 1 / / 

, υπάρχει , τέτοιο ώστε: 1 .  

Έχουμε:
 
11 2 2 1 2
1 1 1
1 2 1 2 0 0
 
               
  
             
  
              
       
    
      
 
    
   
2 2 2 2
3 , 4
1 1 1 1
2 22 30 20 0 10 3 2 00 0

                       
   
                  
   
                     
          
      
     
2
1
3
0 ή
2


    

   


   

 

1 1
2
2
3
20
3
0 0 ή
2
3
2
 
 
       
       



 
 
 
 
 

 
 
  
  
   
   
1 1
2 2
3
20
3
0,0 ή (2,4) 3,6
2
(1,7) (1,7) 3,6 2,1
.
 
 
    
      



 
 
 
 


 
 
20052
Δίνονται τα διανύσματα , 

με  1, 2 7      
  
και 1.   

α) Να υπολογίσετε τα 2


και .

(Μονάδες 6)
β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος 2 .  

(Μονάδες 9)
γ) Να βρείτε την προβολή του 2  

στο διάνυσμα .

(Μονάδες 10)

17.
Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου 
13
Λύση
α) Είναι:

22 2
1 1.    
 
 
 1
2 2
2 7 2 7 1 2 7

                

     
2
2 2
2 8 4 4 2.          
   
β) Είναι:  
 22
2 2
2 2 4 4 1 4 ( 1) 4 4 1 4 16 13,

                       
      
άρα
2
2 13 2 13.        
  
γ) Επειδή  προβ 2 / /
   
 
και 0, 
 
υπάρχει  ώστε,  προβ 2 .
     
 
Τότε:      
 2
4
2 7
2 προβ 2 7 7 4 7 .
4
 

                       


       
Επομένως   7
προβ 2 .
4
    
 
20053
Δίνονται τα διανύσματα α, β

με β 2 α 4 
 
και α β 8.  

α) Να υπολογίσετε τη γωνία  α, β .


(Μονάδες 10)
β) Να αποδείξετε ότι β 2 α 0. 
 
(Μονάδες 15)
Λύση
α) Έστω   α, β  

και
β 4
β 2 α 4 .
α 2
 
   


 

Έχουμε ότι:
 
 
 
8
0
4, 2
α β α β συνφ 8 2 4συνφ συνφ 1 α, .β 180
 
 
            

 
    
α β
β α
β) Αφού τα διανύσματα α,β

είναι αντίρροπα, θα υπάρχει 0  τέτοιος ώστε: β λ α, 
 
επομένως τα διανύσματα β, λ α,
 
θα έχουν ίσα μέτρα, οπότε έχουμε:
     β 2 α 0 λ 0
β λ α 2 α λ α 2 λ λ 2 λ 2.
  
         
  
   
Άρα, β 2 α β 2 α 0.     
   

18.
 Μαθηματικά Κατεύθυνσης
14
20056
Έστω 

και 

δύο διανύσματα με 2, 

2, 
 
  5
,
6

  

και u 2 .   

α) Να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα 

και u
 
. (Μονάδες 16)
β) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος u

. (Μονάδες 9)
Λύση
α) Είναι:


  5
, 2 2 2 2
6 6
  
               
 
    
3
2 2 2 6.
6 2
  
             
  
2
2
u 2 2 2                
        
 
2
6 2 2 4 6.    
β) Είναι
   
2 22 22 2 2
u u 2 2 2 4 4 4                   
         
     
2
2
2 4 6 4 2 4 4 6 8 12 4 6 4 3 6           
 u 4 3 6 2 3 6.   

20057
Δίνονται τα διανύσματα , , | | 1, | | 2 , .
3

  
           
 
    
Να υπολογίσετε τα εξής:
α) Το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων , 
 
και κατόπιν την τιμή της
παράστασης
2
(2 ).   
  
(Μονάδες 10)
β) Το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων 2  
 
και 2 .  

(Μονάδες 15)
Λύση
α) Είναι: | | 1, | | 2, , , ό :
3

  
          
 
  

1
, 1 2 1,
2

   
              
  
    

22 2
(2 ) 2 1 2 1 3.            
   
β) Έχουμε:
  
22 2 22 2 2 2
2 2 4 4 4 1 4 1 4 4 2 13                        
       

19.
Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου 
15
2 13.   
 
  
22 2 22 2 2 2
2 2 4 4 4 1 4 2 4 4 1 12                        
        
2 2 3.   
 
  
2 22 2
2 2 2 2 4 2 3 2                    
          
2 2
2 1 3 1 2 2 9 , ό ί :          
  2 2 9 9 9 39 3 39
2 , 2 .
2 39 2613 2 3 2 392 2
        
          
     
   
   
   
20058
Δίνονται τα διανύσματα ( 1, 3)

   και ( 3,3).

  Να υπολογίσετε:
Α) Τη γωνία

( , ).
 
  (Μονάδες 10)
Β) Το διάνυσμα 2 2
u ( ) .      
   
(Μονάδες 15)
Λύση
Α) Είναι:
  
2
2
( 1) 3 1 3 4 2,

       
  
2
2
3 3 3 9 12 2 3,

      
 1 3 3 3 2 3.
 
       
Επομένως:
 2 3 1
( , )
22 2 3
 
 
 

      
  
 0
( , ) 60 .
 
 
Β) Είναι:
2
2 2 2
u ( ) ( )
    
           
   
2 2
2 (2 3) 4 12 4( 3,3) 12( 1, 3) (4 3,12) (12, 12 3)
   
             
(4 3 12,12 12 3). 

20.
 Μαθηματικά Κατεύθυνσης
16
20059
Δίνονται τα διανύσματα ( 1, 3)  

και
1
2, .
2
 
    
 

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u 2 .   

(μονάδες 10)
β) Να βρείτε τον θετικό αριθμό x για τον οποίο τα διανύσματα u

και  2
v x , x 1 

είναι κάθετα. (μονάδες 15)
Λύση
α)        
1
u 2 1, 3 2 2, 1, 3 4, 1 3, 4
2
 
                
 

.
β) Είναι:  
 64
2 2
u v u v 0 3 x 4 x 1 0 3x 4x 4 0

              
   
4 64 4 8 4 8 2 4 8
x x ή x 2.
2 3 6 6 3 6
       
       

Συνεπώς ο θετικός αριθμός x που ζητάμε είναι ο
2
x .
3

20069
Δίνονται τα διανύσματα  2, 3  

και
1
1, .
2
 
   
 

α) Να βρείτε την προβολή του 

πάνω στο .

(Μονάδες 10)
β) Να αναλύσετε το 

σε δυο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι
παράλληλη με το .

(Μονάδες 15)
Λύση
α) Είναι 0,β 

οπότε ισχύει ότι  : 1 .β = β προβ
β
   
  
Το διάνυσμα προβ α
β


είναι συγγραμμικό του β,

άρα υπάρχει λ τέτοιο ώστε:
 
1
1, , : 2 .
2 2
προβ
β
   
        
   
 
 
Από την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου έχουμε:
   
 
 
2
1 3 4 3 1
= 2 : 3 .
2 2 2 2
1 4 5
1 : 4 .
2 2 4 4
β = 2 1+ 3
β προβ
β

    

           

  
 




Από την  1 λόγω των  3 και  4 έχουμε:
1 5 4 2
10 4 .
2 4 10 5

       

21.
Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου 
17
Οπότε, αφού
2
,
5
  από τη σχέση  2 έχουμε: β
προβ α =
 2 1
, .
5 5
 
 
 
β) Από την αρχή  του διανύσματος   
 
φέρουμε:
 την ευθεία  παράλληλη προς το διάνυσμα ,

 την ευθεία  κάθετη προς την (ευθεία) .
Από το πέρας  του 

φέρνουμε:
   και .  
Έστω 1  
 
και 2.  
 
Από τη διανυσματική πρόσθεση
έχουμε: 1 2.          
     
Επειδή 1 / / 
 
, υπάρχει ,  τέτοιο ώστε: 1 . 
 
Έχουμε:
 
1 2 2 1 2 1
1 1 1
1 2
1 2
0 0
                  
            
  
          
        
     
    
 
 
    2 2 2
3 , 4
1 1 1
2 22 1 50 0 0
2 4
                
             
  
                  
        
     
     
 
2 2
1 1
2
2 5 0 0 ή
4 5

       

        
 
       
 
     
   
1 1
2
2
2
50
2
0 0 ή
5
(2, 3) 2
5

  
  
 
        
 
     
    

    
 
  
 
 
 1 1 1 1
2 2
2 2
2 2
5 50 0
2 1 2 1
0,0 ή 1, 0,0 ή , .
5 2 5 5
(2, 3) (2, 3)
2 1 8 16
2, 3 , ,
5 5 5 5
 
    
     
     
              
      
          
          
    
   
 
 
20070
Έστω ,



δυο διανύσματα του επιπέδου για τα οποία ισχύουν:
3 9,   
 
2 1   
 
και  
, .
3

  
 
α) Να βρείτε το μέτρο των διανυσμάτων ,



και το εσωτερικό γινόμενο . 
 

22.
 Μαθηματικά Κατεύθυνσης
18
(Μονάδες 12)
β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u 2 3 .   
  
(Μονάδες 15)
Λύση
α) Για τον υπολογισμό των μέτρων των διανυσμάτων 

,

, επιλύουμε το σύστημα:
 
3 9
: .
2 1
    
 
   
 
 
Είναι:
3 9 3 2 9 1 5 10 2
.
2 1 2 1 2 1 2 2 1 3
                      
     
                      
       
      
Επομένως το εσωτερικό γινόμενο είναι ίσο με:
1
( , ) 2 3 2 3 3.
3 2


              
     
β) Για το μέτρο του διανύσματος u 2 3 ,   
  
έχουμε:
2 2 2 22 22
u 2 3 (2 3 ) 4 12 9 4 12 9                    
          
2 2
4 2 12 3 9 3 4 4 36 9 9 16 36 81 61.             
Επομένως u 61.

Τέταρτο Θέμα
18616
Δίνονται τα διανύσματα , ,  
  
για τα οποία ισχύουν:
 2 , 1, , 60       
   
και , .
2

    
  

α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο . 
 
(Μονάδες 3)
β) Αν ισχύει: ,   
 
τότε:
i. Να αποδείξετε ότι 2.   (Μονάδες 6)
ii. Να υπολογίσετε το μέτρο του .

(Μονάδες 8)
iii. Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα: 3 2      
   
είναι κάθετα. (Μονάδες 8)
Λύση

23.
Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου 
19
α) Είναι: 0 1
, 60 2 1 1.
2
   
 
                 
 
   
β) i) Έχουμε:    
22
2 2 2
   
                    
 
        
2
1 1 2 2 2.
2

            
ii) Για κ=-2 έχουμε: .   
  
Είναι:
      
2 22 2 2 2
2                     
          
2 2
2 21
2 60 2 2 2 1 7.
2
            
   
Άρα 7. 

iii) Έχουμε:
  
22
3 2 3 3 2 2 3 3 2 2                      
           
     
2 2 2
3 1 3 2 2 7 3 3 3 2 2 14                     
         
2 2
2 2
3 3 2 14 3 3 2 1 2 1 14 0.              
  
Οπότε τα διανύσματα: 3 2      
   
είναι κάθετα.
18618
α) Να εξετάσετε πότε ισχύει καθεμιά από τις ισότητες:
u v u v  
   
και u v u v .  
   
(Μονάδες 10)
β) Δίνονται τα διανύσματα , ,  
  
για τα οποία ισχύουν:
0     
   
και .
3 4 7
  
 
  
i) Να αποδείξετε ότι   
 
και .  
 
(Μονάδες 8)
ii) Να αποδείξετε ότι: 7 3 0.   
  
(Μονάδες 7)
Λύση
α)    
22 2 2
2
u v u v u v u v u v u 2 u v v            
             
2 2 2 2
u 2uv v u 2 u v v uv u v u v.        
            
Άρα η ισότητα u v u v  
   
ισχύει όταν τα διανύσματα u v
 
είναι ομόρροπα.

24.
 Μαθηματικά Κατεύθυνσης
20
   
22 2 2
2
u v u v u v u v u v u 2 u v v            
             
2 2 2 2
u 2uv v u 2 u v v uv u v u v.         
           
Άρα η ισότητα u v u v  
   
ισχύει όταν τα διανύσματα u v
 
είναι αντίρροπα.
β) Έστω 0,  τέτοιος ώστε:
3
4 .
3 4 7
7
   
   
       

   


  


i. Είναι:  
2 2 2 2 2
0 2                          
             
2 2 2 2 2
9 2 16 49 2 24 12 3 4                     
   
,    
  
άρα .  
 
Είναι:  
2 2 2 2 2
0 2                          
             
2 2 2 2 2
49 2 16 9 2 56 28 7 4                        
   
,   
  
άρα .  
 
ii. Είναι:
3
3 4 4
 
    
 
 
και ,  
 
επομένως υπάρχει 0,  ώστε:
 0
3 3 3
0
4 4 4

 
                        
 
        
3
ή 0.
4
   

Είναι:
7
4 7 4
 
    
 
 
και ,  
 
επομένως υπάρχει 0,  ώστε:
 0
7 7 7
0
4 4 4

 
                         
 
        
7
ή 0.
4
    
 
Αν 0, 
 
τότε από τη σχέση:
3 4 7
  
 
  
συμπεραίνουμε ότι: 0,     
  
οπότε 0,     
   
συνεπώς 7 3 0.   
  
Αν 0, 
 
τότε:
3
,
4
  οπότε:
3
4
  
 
και
7
,
4
   οπότε:
7
,
4
   
 
συνεπώς:
3 7 21 21
7 3 7 3 0.
4 4 4 4
 
               
 
      

25.
Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου 
21
Κεφάλαιο 2
Ευθεία
2.1 Εξίσωση Ευθείας
Το Δεύτερο Θέμα
18575
Δίνονται τα σημεία  A 1,2 και  B 5,6 .
α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A και B.
(Μονάδες 10)
β) Να αποδείξετε ότι η μεσοκάθετος  του ευθυγράμμου τμήματος  έχει εξίσωση
την y x 7.   (Μονάδες 15)
Λύση
α) Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία  A 1,2 και  B 5,6 έχει συντελεστή
διεύθυνσης: B A
B A
y y 6 2 4
1,
x x 5 1 4

 
    
 
διότι B Ax x και αφού διέρχεται από το
σημείο  A 1,2 έχει εξίσωση:
   A AB Ay y x x y 2 1 x 1 y x 1 2              
y x 1, x .  
β) Αν  M MM x , y το μέσο του AB γνωρίζουμε ότι:
A B
M
x x 1 5
x 3
2 2
 
   και A B
M
y y 2 6
y 4,
2 2
 
   οπότε:  M 3, 4 .
Είναι     και επειδή 1 0,   ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης  της
  και ισχύει: 1 1 1 1.          
Η μεσοκάθετη   του ευθυγράμμου τμήματος , αφού:
διέρχεται από το σημείο  M 3, 4 ,
έχει συντελεστή διεύθυνσης 1,  
έχει εξίσωση:
   M My y x x y 4 1 x 3 y 4 x 3 4 y x 7.                    

26.
 Μαθηματικά Κατεύθυνσης
22
18600
Θεωρούμε την ευθεία 1 που τέμνει τους άξονες x x και y y στα σημεία  A 3,0 και
 B 0,6 αντίστοιχα.
α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας 1. (Μονάδες 8)
β) Αν 2 είναι η ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη
στην 1 τότε να βρείτε:
i) Την εξίσωση της ευθείας 2. (Μονάδες 9)
ii) Τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών 1 και 2. (Μονάδες 8)
Λύση
α) Η ευθεία 1, εφόσον διέρχεται από τα σημεία  A 3,0 ,  B 0,6 και
B Ax 0 3 x ,   έχει συντελεστή διεύθυνσης  B
1
A
B A
6 0
2 0 :
y
x x
y
1
0 3

    



 και
αφού διέρχεται από το σημείο  A 3,0 έχει εξίσωση:
     A 1 Ay y x x y 0 2 x 3 y 2x 6, : 2 .              
β) i) Η ευθεία 2 :
αφού είναι κάθετη στην 1 και λόγω της  1 είναι 1 2 0,    συμπεραίνουμε ότι
ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσής της 2 και ισχύει:
1 2 2 2 2
1
1 2 1 2 1 ,
2
              
αφού διέρχεται από την αρχή των αξόνων  0,0 και έχει συντελεστή διεύθυνσης
2
1
,
2
  έχει εξίσωση:    
1 1
y 0 x 0 y x, : 3 .
2 2
    
ii) Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών 1 και 2 ,
επιλύουμε το σύστημα των εξισώσεών τους.
Από τις σχέσεις  2 και  3 , έχουμε:
12
12x x
y 2x 6 x 4x 12 5x 12 x2x 6 5
52
.x x x 12
x 6y y y
y y52 2 2 y2 5
2

                   
         
             

Αν  M MM x , y το σημείο τομής των ευθειών 1 και 2 , είναι
12 6
M , .
5 5
 
 
 
οπότε:
η τετμημένη του Μ είναι M
12
x
5
 και η τεταγμένη του Μ είναι η M
6
y .
5


27.
Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου 
23
18601
Έστω  M 3, 5 το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος AB με  A 1,1 .
Α) Να βρείτε:
i) Τις συντεταγμένες του σημείου B. (Μονάδες 6)
ii) Την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A και B. (Μονάδες 7)
Β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Κ του άξονα x x έτσι ώστε να ισχύει:
   .   (Μονάδες 12)
Λύση
Α) i) Για τις συντεταγμένες του μέσου  M MM x , y ενός ευθυγράμμου τμήματος με
άκρα τα σημεία  A AA x , y και  B BB x , y γνωρίζουμε ότι: A B
M
x x
x
2

 και
A B
M
y y
y ,
2

 οπότε για το μέσο  M 3, 5 του ευθύγραμμου τμήματος AB με
 A 1,1 και  B BB x , y έχουμε:
B
B B
2 22
1 x
3
1 x 6 x 52
,
1 y 10 y 91 y
5
2

    
   
     

άρα  B 5, 9 .
ii) Επειδή B Ax x 5 1 4 0,     ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας
  που διέρχεται από τα σημεία  A 1,1 και  B 5, 9 και ισχύει:
 
y y 9 1 8
2.
x x 5 1 4
 

 
 
      
 
Επειδή η ευθεία  :
διέρχεται από το σημείο  A 1,1 ,
έχει συντελεστή διεύθυνσης   2,
 
έπεται ότι έχει εξίσωση:
     A Ay y x x y 1 2 x 1 y 2x 1, x,y .
           
Β) Έστω  K x, y x,y , το ζητούμενο σημείο. Επειδή το  K x, y ανήκει στον
άξονα x x θα έχει τεταγμένη y 0, οπότε  K x, 0 , x,y .
Ισχύει:      
22 2 2
(1 x) 1 0 (5 x) (9 0)           
   
2 2
2 2 2 2
(1 x) 1 (5 x) 81 1 2x x 1 25 10x x 81             
104
8x 104 x x 13.
8
     Άρα  K 13, 0 .

28.
 Μαθηματικά Κατεύθυνσης
24
20060
Δίνονται τα διανύσματα  1, 1  

και  3,0 . 

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος
1
u 4 .
3
   

(Μονάδες 10)
β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που έχει συντελεστή διεύθυνσης
2
u
5

και
διέρχεται από το σημείο  A 1, 2 . 

(Μονάδες 15)
Λύση
α) Έστω  u x, y , x,y . 


Έχουμε:        
1 1
u 4 4 1, 1 3,0 4, 4 1,0
3 3
           

 3, 4 , επομένως είναι:
   u x, y 3, 4 , x,y x 3 y 4.      


β) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ζητούμενης ευθείας είναι:
 
2 222
u 3 4u 9 16 25
5.
5 5 5 5 5
  
      
Γνωρίζουμε ότι  A 1, 2 .  

Είναι:  1 3 1 0 3,       

συνεπώς έχουμε:
2 3 2 5,    

οπότε  1, 5 ,
Επομένως η ζητούμενη ευθεία, αφού:
έχει συντελεστή διεύθυνσης 5, 
διέρχεται από το σημείο  1, 5 ,
έχει εξίσωση:  y 5 5 x 1 y 5x 5 5 y 5x,         x,y .
20063
Θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα  με μέσο M και  A 1, 2 ,  M 2,5 .
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου . (Μονάδες 10)
β) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκάθετης  του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, καθώς
και τα κοινά σημεία αυτής με τους άξονες x'x και y'y. (Μονάδες 15)
Λύση
α) Επειδή το σημείο Μ είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, έχουμε:
A B
M
M A B B M A
M A B B M AA B
M
x x
x
2x x x x 2x x2
2y y y y 2y yy y
y
2

     
    
      

 
 
B
B
x 2 2 1
y 2 5 2
   

   
B
B
x 5
.
y 12
 


Άρα  B 5,12 .
β) Είναι:  A Bx x 1 5 1 5 6 0,        οπότε ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας
που διέρχεται από τα Α και Β είναι:
 
 A B
A B
y y 2 12 14 7
0 : 1 .
x x 1 5 6 3

   
      
  
Η μεσοκάθετος   του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ:
είναι κάθετη στο  και επειδή
7
0,
3
    ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης

29.
Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου 
25
 
 της   και ισχύει:      
7 3
1 1 .
3 7
  
 
             
 
διέρχεται από το μέσο  M 2,5 του ΑΒ.
Οπότε η εξίσωση της μεσοκάθετης   του ευθυγράμμου τμήματος AB, είναι:
     M M
3
y y x x y 5 x 2
7
        
 
3 6
x 5 y 0 3x 7y 6 35 0 3x 7y 41 0 : .
7 7
             
Επειδή όλα τα σημεία του άξονα x'x έχουν τεταγμένη 0, η  : 3x 7y 41 0   
τέμνει τον x'x σε ένα σημείο  K x ,0 , οπότε, ισχύει:
K K K
41
3x 7 0 41 0 3x 41 x ,
3
          επομένως η (ε) τέμνει τον άξονα x'x
στο σημείο
41
K ,0 .
3
 
 
 
Επειδή όλα τα σημεία του άξονα y y έχουν τετμημένη 0, η   τέμνει τον y y σε
ένα σημείο  0,y , οπότε, ισχύει:
41
3 0 7y 41 0 7y 41 y ,
7
          επομένως η (ε) τέμνει τον άξονα y'y
στο σημείο
41
0, .
7
 
 
 
20066
Δίνεται τρίγωνο  με κορυφές τα σημεία      3,1 , 1,1 2,4 .    
α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς . (Μονάδες 7)
β) Να βρείτε τις εξισώσεις του ύψους  και της διαμέσου . (Μονάδες 18)
Λύση
α) Είναι x x 2 3 1 0,       οπότε ο συντελεστής διεύθυνσης της πλευράς ,
είναι: A
A
y y 4 1 3
3
x x 2 3 1



 
     
  
, συνεπώς η πλευρά  έχει εξίσωση:
 y 1 3 x 3 y 1 3x 9 3x y 10 0.            
β) Επειδή    και 3 0,    ισοδύναμα έχουμε:
 
1
1 3 1 .
3
               
Αφού το ύψος ΒΔ:
διέρχεται από το σημείο  1,1 , 
έχει συντελεστή διεύθυνσης
1
,
3
 

30.
 Μαθηματικά Κατεύθυνσης
26
έχει εξίσωση:   1
y 1 x 1 3y 3 x 1 x 3y 4 0,
3
            x,y .
Το Μ είναι μέσο του , οπότε:
x x 1 2 1
x x x
2 2 2
.
y y 1 4 5
y yy
2 22
 
  
 
 
    
      
   
    
   
Άρα
1 5
, .
2 2
 
 
 
Είναι
5 3
1
3 2 32 2
1 5 5 2 53
2 2



      
 
, οπότε η διάμεσος  θα έχει εξίσωση:
 
3
y 1 x 3 5y 5 3x 9 3x 5y 14 0,
5
             x,y .
20068
Δίνεται τρίγωνο 

με      5,4 , 1,6 , 4,1     και σημείο  της πλευράς 
για το οποίο ισχύει:
1
4
.  
 
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος .

(Μονάδες 6)
β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου . (Μονάδες 9)
γ) Αν το σημείο  έχει συντεταγμένες
9
4, ,
2
 
  
 
να υπολογίσετε την εξίσωση της
ευθείας που διέρχεται από τα σημεία , .  (Μονάδες 10)
Λύση
α) Είναι:     1 5 , 6 4 4,2 .        
 
β) Αν  x,y , x,y ,  θα είναι:
      M A M Ax x , y y x 5 , y 4 x 6, y 4 ,         

οπότε από τη δεδομένη
σχέση
1
4
,  
 
διαδοχικά και ισοδύναμα έχουμε:
     
1 1 1
x 5,y 4 4,2 x 5,y 4 1,
4 4 2
 
            
 
 

31.
Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου 
27
x 5 1 x 4
.
1 9
y 4 y
2 2
 
    
 
   
 
   
 
Άρα
9
4, .
2
 
  
 
γ) Είναι
9
4,
2
 
  
 
και  4,1 , οπότε η κλίση της ευθείας  εκφράζεται από τον
αριθμό:
 M M M
9 7
1
72 2 .
4 4 8 16
  
 
        
 
Η εξίσωση της ευθείας M είναι:
   M
7 7 7 7 11
y y x x y 1 x 4 y 1 x y x .
16 16 4 16 4
                   
Σχόλιο
Στην εκφώνηση του γ ερωτήματος αντί της έκφρασης
«να υπολογίσετε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Μ,Γ»,
θα ήταν προτιμότερη η έκφραση:
«να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Μ,Γ».
20072
Θεωρούμε μια ευθεία   και ένα σημείο Α(6, -1) εκτός της .
Έστω  2,1 η προβολή του Α στην  . Να βρείτε:
α) Την εξίσωση της ευθείας  . (Μονάδες 13)
β) Το συμμετρικό του Α ως προς την  . (Μονάδες
12)
Λύση
α) Είναι:
 1 1 2 1
.
2 6 4 2

 
    
 
Επειδή το σημείο Μ είναι η προβολή του Α στην ευθεία (ε) είναι:   ,   οπότε:
1
1 1 2.
2
   
 
             
 
Συνεπώς, αφού η ευθεία   διέρχεται από το σημείο  2,1 και έχει συντελεστή
διεύθυνσης 2,  έχει εξίσωση:  y 1 2 x 2 y 2x 4 1 y 2x 3.         
β) Αν  x,y  το συμμετρικό του  ως προς την ευθεία  , είναι:
        2 6,1 1 x 2, y 1 4, 2 x 2, y 1               
 
x 2 4 x 2
.
y 1 2 y 3
     
 
   

32.
 Μαθηματικά Κατεύθυνσης
28
Επομένως:  2,3 . 

33.
Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου 
29
Το Τέταρτο Θέμα
18606
Δίνονται τα διανύσματα  ΟΑ = 4, 2

και  ΟΒ = 1,2 ,

όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων.
α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα ΟΑ

και ΟΒ

είναι κάθετα. (Μονάδες 4)
β) Αν  ,   είναι σημείο της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β, τότε:
i. Nα αποδείξετε ότι:  3,4  

και  4, 2 .    

(Μονάδες 5)
ii. Nα αποδείξετε ότι: 4 3 10.    (Μονάδες 6)
iii. Aν επιπλέον, τα διανύσματα 

και 

είναι κάθετα, να βρείτε τις
συντεταγμένες του σημείου Γ. (Μονάδες 10)
Λύση
α) Είναι:  4 1 2 2 4 4 0,       
 
οπότε, αφού 0, 
 
έπεται ότι:
.  
 
β) i) Είναι: (4,-2), 

επομένως  4, 2 . 
(1,2) 

επομένως  1,2 .
Άρα:    B A Ax x ,y y 1( 4,2 2 3) ,4 .        B

 A Ax x ,y y 4,) 2( .         

ii) Είναι B Ax x 1 4 3 0,      οπότε:
 B A
B A
2 2y y 4 4
.
x x 1 4 3 3

 
     
  
Σχόλιο:
Μας ζητείται να αποδείξουμε ότι 4 3 10,    οπότε αρκεί να εργασθούμε με
συνεπαγωγές, όμως για τις ανάγκες του υποερωτήματος iii θα εργασθούμε με ισοδυναμίες.
Αφού η ευθεία AB διέρχεται από το σημείο  4, 2  και έχει συντελεστή
διεύθυνσης
4
,
3
   έχει εξίσωση:
   A AB A
4
y y x x y 2 x 4 3y 6 4x 16 4x 3y 10 0.
3
                
Επειδή  ,   σημείο της ευθείας AB ισχύει:
 :4 3 10 0 4 3 E10 .         
iii) Είναι:  ,   

και επειδή 

 

ισοδύναμα έχουμε:
 0 :3 4 0 .        
 

34.
 Μαθηματικά Κατεύθυνσης
30
Επιλύουμε το σύστημα των   και   και έχουμε:
4 3 10 12 9 30 12 9 -12 16 30 0
-3 4 0 -12 16 0 -3 4 0
                 
    
             
30 6 6 6
25 30 25 5 5 5
.
-3 4 0 6 24 8
-3 4 0 -3
5 5 5
  
            
     
              
    
Άρα:
8 6
, .
5 5
 
 
 
20147
Δίνονται τα σημεία  1, 1 ,      2, 2 και  4,6 , .
α) Να βρείτε την μεσοκάθετη του τμήματος ΒΓ. (Μονάδες 7)
β) Αν το σημείο  ισαπέχει από τα σημεία  και , να βρείτε την τιμή του λ.
(Μονάδες 8)
γ) Για 4  , να βρείτε σημείο  ώστε το τετράπλευρο  να είναι ρόμβος.
Μονάδες 10)
Λύση
α) Έστω  M Mx , y το μέσο του , οπότε διαδοχικά έχουμε ότι:
B
M M
B
MM
x x 2 4
x x 3
2 2
,
y y 2 6
y 4y
22


 
  
 
 





 

άρα  .3,4
Επειδή x x 2 4 2 0,       ο συντελεστής διεύθυνσης της  είναι:
y y 2 6 4
2 0.
x x 2 4 2
 

 
  
     
  
Έστω  η μεσοκάθετος του τμήματος . Επειδή    και 2 0,   ορίζεται
ο συντελεστής διεύθυνσης  της μεσοκάθετης  και ισχύει:
1
1 2 1
2
                 .
Οπότε η εξίσωση της μεσοκάθετης , είναι:  M My y x x    
 
1 1 3
y 4 x 3 y 4 x 2y 8 x 3 x 2y 11 0.
2 2 2
                 

35.
Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου 
31
β) Το  ισαπέχει από τα άκρα του , αν και μόνο αν, ανήκει στη μεσοκάθετη μ του
ευθυγράμμου τμήματος . Αυτό συμβαίνει, όταν και μόνο όταν, οι συντεταγμένες
του  επαληθεύουν την εξίσωσή της , δηλαδή:   A Ax 2y 11 0      
 1 2 1 11 0 3 12 0 3 12 4.             + -
γ) Για 4  έχουμε  5,3 .
Αφού το τετράπλευρο  είναι ρόμβος, οι διαγώνιοί του  και 
διχοτομούνται και είναι κάθετες.
Αφού οι διαγώνιοι διχοτομούνται, το σημείο M είναι μέσο του , οπότε
διαδοχικά έχουμε:
M
M
x x 5 x
x 3
x 3 5 x2 2 ,
y 4 3
2 1
2 yy y 3 y
4
5
y
22
 
 
  


 
   
    
  

  







 

άρα  .1,5
Για να είναι αποδεκτό ότι  ,1,5 αρκεί
οι διαγώνιοι του  να τέμνονται
κάθετα, δηλαδή αρκεί οι συντεταγμένες
του  να επαληθεύουν την εξίσωση της
ευθείας .
Έχουμε:   x 2y 11 0       
1 2 5 11 0 11 11 0,     - που ισχύει.
Σχόλιο 1
Το δεδομένο, ότι το τετράπλευρο ΑΒΔΓ είναι ρόμβος, μπορούσε να αντικατασταθεί με το
ΑΒΔΓ είναι παραλληλόγραμμο και να ζητείται να αποδειχθεί ότι είναι ρόμβος.
Σχόλιο 2
Μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο ΑΒΔΓ είναι τετράγωνο.

36.
 Μαθηματικά Κατεύθυνσης
32
2.2 Γενική Εξίσωση Ευθείας
Το Δεύτερο Θέμα
18584
Δίνονται οι παράλληλες ευθείες 1 :x 2y 8 0,    , 2 :2x 4y 10 0    και το σημείο Α
της 1 που έχει τετμημένη το 4.
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α. (Μονάδες 5)
β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας  η οποία διέρχεται από το σημείο Α και είναι
κάθετη στην ευθεία 1. (Μονάδες 10)
γ) Αν Β είναι το σημείο τομής των ευθειών 2και ,  να βρείτε τις συντεταγμένες του Β.
(Μονάδες 10)
Λύση
α) Αν , η τεταγμένη του σημείου Α, θα έχουμε  .4, 
Αφού το  4,  είναι σημείο της 1 :x 2y 8 0,    οι συντεταγμένες του
επαληθεύουν την εξίσωση της 1, συνεπώς ισχύει:
4 2 8 0 2 4 2,          άρα  4, 2 . 
β) Ο συντελεστής διεύθυνσης της 1 :x 2y 8 0    είναι 1
1 1
.
2 2
 
    
 
Αν λ ο συντελεστής διεύθυνσης της , επειδή 1,  ισχύει:
1
1
1 1 2.
2
            Άρα η ευθεία ε αφού:
διέρχεται από το σημείο  4, 2 , 
έχει συντελεστή διεύθυνσης 2,  
έχει εξίσωση:
     A Ay y x x y 2 2 x 4 y 2 2x 8 2x y 6 0.                  
γ) Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής B των ευθειών 2και ,  θα
επιλύσουμε το σύστημα των εξισώσεών τους, :2x y 6 0    και
2 :2x 4y 10 0.   
Έχουμε:
2x y 6 0 2x y 6 2x y 6 2x y 6
2x 4y 10 0 2x 4y 10 2x y 2x 4y 10 6 5y 16
           
      
              
16 14 7
2x y 6 10x 16 30 10x 142x 6 x
5 10 5
,16 16 16
16 16y y y
y y5 5 5
5 5
 
              
       
           

37.
Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου 
33
επομένως
7 16
B , .
5 5
 
 
 
18587
Δίνονται οι ευθείες 1 :x 8y 16 0    και 2 :2x y 15 0    οι οποίες τέμνονται στο
σημείο Μ. Αν οι ευθείες 1 και 2 τέμνουν τον άξονα y y στα σημεία Α και B
αντίστοιχα, τότε:
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Μ, A και B. (Μονάδες 10)
β) Αν Κ είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ, να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης του
διανύσματος MK.

(Μονάδες 15)
Λύση
α) Εύρεση του σημείου Μ:
Το Μ είναι το σημείο τομής των ευθειών 1 2, ,  οπότε επιλύουμε το σύστημα των
δυο εξισώσεών τους  
x 8y 16 0
: .
2x y 15 0
  
 
  
Έχουμε:
x 8y 16 0 x 8y 16 2x 16y 32
2x y 15 2x y 152x y 15 0
          
    
         
2x 16y 2x y 32 15 17y 17 y 1 y 1
2x y 15 2x y 15 2x 1 15 2x 16
           
      
             
y 1
,
x 8


 
άρα:  M 8,1 .
Εύρεση των συντεταγμένων των σημείων Α, Β:
Κάθε σημείο  M x, y του άξονα yy έχει τετμημένη x 0, οπότε έχουμε:
 AA 0, y και  BB 0, y .
Επειδή το σημείο  AA 0, y ανήκει στην ευθεία 1 :x 8y 16 0,    ισχύει:
A A A0 8y 16 0 8y 16 y 2,        άρα  A 0,2 .
Επειδή το σημείο  BB 0, y ανήκει στην ευθεία 2 :2x y 15 0    ισχύει:
B B2 0 y 15 0 y 15,      άρα  B 0, 15 .
β) Επειδή το σημείο Κ είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ, έχει συντεταγμένες:
A B
K
x x 0 0
x 0,
2 2
 
  
 A B
K
2 15y y 2 15 13
y ,
2 2 2 2
  
     άρα:
13
K 0, .
2
 
 
 
Οπότε ο συντελεστής διεύθυνσης λ του MK,

είναι:

38.
 Μαθηματικά Κατεύθυνσης
34
 
MK K M
K MMK
13 13 2
1y y y 152 2 2 .
x x x 0 8 8 16
   

      
  


18589
Δίνονται οι ευθείες: 1 2:8x y 28 0 :x y 1 0,         οι οποίες τέμνονται στο
σημείο Μ.
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ και στη συνέχεια να βρείτε την εξίσωση
της ευθείας που διέρχεται από το Μ και είναι κάθετη στον άξονα x x. (Μονάδες 10)
β) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες που διέρχονται από το Μ και έχουν συντελεστή
διεύθυνσης λ έχουν εξίσωση: x y 3 4 0, .      (Μονάδες 15)
Λύση
α) Επειδή το Μ είναι το σημείο τομής των ευθειών 1 και 2 , επιλύνοντας το σύστημα
των εξισώσεών τους, υπολογίζουμε τις συντεταγμένες του Μ.
Διαδοχικά και ισοδύναμα έχουμε:
8x y 28 0 8x y 28 8x x 1 28 9x 27 x 3
,
x y 1 0 y x 1 y x 1 y x 1 y 4
             
       
             
επομένως:  3,4 .
Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο  3,4 και είναι κάθετη στον άξονα x x
έχει εξίσωση: x 3, x .
β) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο  3,4 και έχει συντελεστή
διεύθυνσης , είναι:
   M My y x x y 4 x 3 x y 3 4 0,                x,y, .
18592
Δίνονται οι ευθείες 1 :x 3y 5 0    και 2 :3x y 5 0.   
α) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες 1 και 2 είναι κάθετες μεταξύ τους. (Μονάδες 9)
β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών 1 και 2 . (Μονάδες
9)
γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α και την αρχή Ο
των αξόνων. (Μονάδες 7)
Λύση
α) Κάθε εξίσωση της μορφής: Ax By 0,    x,y , με πραγματικούς

39.
Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου 
35
συντελεστές A,B, και 0,  έχει συντελεστή διεύθυνσης: .

  

Είναι:
 1 :x 3y 5 0,    οπότε ο συντελεστής διεύθυνσης της 1 είναι 1
1
.
3
 
 2 :3x y 5 0,    οπότε ο συντελεστής διεύθυνσης της 2 είναι 2 3.  
Έχουμε:  1 2
1
3 1,
3
       οπότε 1 2. 
β) Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α, των ευθειών 1 και 2 ,
επιλύνουμε το σύστημα των εξισώσεων τους.
Διαδοχικά και ισοδύναμα έχουμε:
 
x 3y 5x 3y 5 0 x 3y 5 x 3 2 5 x 1
.
3 3y 5 y 53x y 5 0 10y 20 y 2 y 2
            
       
          
Άρα,  1,2 .
γ) Επειδή η ζητούμενη ευθεία   διέρχεται:
από την αρχή  0, 0 των αξόνων,
από το σημείο  A 1,2 ,
έχει συντελεστή διεύθυνσης: A O
A O
y y 2 0
2
x x 1 0
 
     
 
 και εξίσωση:
y x y 2x,    x .
18595
Δίνονται οι ευθείες 1 :3 3 0      και 2 : 2 4 0.     
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής  των ευθειών 1 και 2 .
(Μονάδες 8)
β) Αν η ευθεία 1 τέμνει τον άξονα   στο σημείο B και η ευθεία 2 τέμνει τον
άξονα   στο σημείο , τότε:
i) Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων B και . (Μονάδες 8)
ii) Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία B και  έχει εξίσωση
την 3 4 12 0.   (Μονάδες 9)
Λύση
α) Οι συντεταγμένες του σημείου τομής , των ευθειών 1 και 2 αποτελούν τη λύση
του συστήματος των εξισώσεων τους:  
3 3 0
: .
2 4 0
    
 
    
Διαδοχικά και ισοδύναμα έχουμε:
 3 3 0 3 3 ( 2) 6 2 6 5 10
2 4 0 2 4 2 4 2 4

                      
      
                   

40.
 Μαθηματικά Κατεύθυνσης
36
2 2
.
2 2 4 3
      
 
      
Επομένως:  3 .2, 
β) i) Για 0  στην εξίσωση της 1 έχουμε: 3 0 3 0 3,      άρα
 0, 3 . 
Για 0  στην εξίσωση της 2 έχουμε: 2 0 4 0 4,      άρα  .4, 0
ii) Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία B και  έχει συντελεστή διεύθυνσης:
0 ( 3) 3
.
4 0 4
 

 
    
   
   
Η εξίσωση της ευθείας  είναι η           , οπότε:
 
3
0 ( 4) 4 3 ( 4) 4 3 12
4
                           
3 4 12 0.  
18602
Δίνεται η ευθεία  ε : y x 1  και το σημείο  A 2, 4 .
α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στην (ε).
(Μονάδες 10)
β) Να βρείτε την προβολή του σημείου Α πάνω στην ευθεία  . (Μονάδες
15)
Λύση
α) Η ευθεία  ε : y x 1  ισοδύναμα γράφεται  ε : y x 1,   επομένως έχει
συντελεστή διεύθυνσης 1 0.   
Η ευθεία  ε της οποίας αναζητάμε την εξίσωση, αφού:
είναι κάθετη στην  ε θα έχει συντελεστή διεύθυνσης, έστω , για τον οποίο ισχύει:
 1 1 1 1,              
διέρχεται από το σημείο  A 2, ,4
έχει εξίσωση:
       : y y λ΄ χ χ y 4 =1 x 2 y+4 x 2 y x 2 4                 
y x 6,  x,y .
β) Η προβολή Β του σημείου Α πάνω στην ευθεία   είναι
το σημείο τομής των ευθειών  ε ,  . Για να βρούμε
τις συντεταγμένες του Β, λύνουμε το σύστημα:
y x 1 x 6 x 1 2x 7
y x 6 y x 6 y x 6
         
    
       

41.
Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου 
37
7 7
x x
2 2
.
7 5
y 6 y
2 2
 
   
 
    
  
Άρα η προβολή του σημείου Α πάνω στην ευθεία   είναι το σημείο
7 5
, .
2 2
 
  
 
20062
Δίνονται τα σημεία  1, 2  και  2,3 .
α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία Α, Β.
(Μονάδες 11)
β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΚΛ, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων
και Κ, Λ είναι τα σημεία τομής της ε με τους άξονες x x και y y αντίστοιχα.
(Μονάδες 14)
Λύση
α) Η ευθεία ε:
έχει συντελεστή διεύθυνσης:
 B A
B A
3 2y y 5
5,
x x 2 1 1
 
    
 
διέρχεται από το σημείο  1, 2 , 
οπότε η εξίσωση της ευθείας  είναι:
       A Ay y x x y 2 5 x 1 y 2 5x 5 5x y 7 0 : .                 
β) Η ευθεία ε τέμνει τον άξονα x x στο σημείο  K x, 0 ,
οπότε από την  E έχουμε:
7
5x 0 7 0 5x 7 x ,
5
      
άρα στο
7
K ,0
5
 
 
 
.
Η ευθεία ε τέμνει τον άξονα y y στο σημείο  0, y ,
οπότε από την  E έχουμε:
5 0 y 7 0 y 7,       άρα στο  0, 7 . 
Είναι:
7
K ,0
5
 
   
 

και  0, 7 ,  

επομένως:
 
7
0 49
det OK,O .5
5
0 7
   

 
Το τρίγωνο ΟΚΛ έχει εμβαδόν:
   1
det OK,O
2
   
  1 49 49
4,9
2 5 10
   τ.μ.

42.
 Μαθηματικά Κατεύθυνσης
38
2ος
τρόπος
(ΟΚΛ)=
1
2
(ΟΚ)(ΟΛ)=
1 7 49
7
2 5 10
   τ.μ.
20065
Δίνεται η ευθεία ε: x y 2 0   και το σημείο  A 5,1 .
α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας 1, η οποία διέρχεται από το Α και είναι κάθετη
προς την ευθεία . (Μονάδες 9)
β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας 2, που διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη
προς τον άξονα x΄x. (Μονάδες 7)
γ) Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών 1 και 2 και την απόστασή του από την
αρχή των αξόνων. (Μονάδες 9)
Λύση
α) Γνωρίζουμε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας x By 0, 0,       είναι:
,

  

άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε είναι:
1
–1 0.
1
    
Αφού η ευθεία 1 είναι κάθετη στην  και –1 0,   ορίζεται ο συντελεστής
διεύθυνσής 1 και ισχύει: 1 1
1 1.        
Η ευθεία 1, εφόσον:
διέρχεται από το σημείο  A 5,1 και έχει συντελεστή διεύθυνσης 1
1,  έχει
εξίσωση:    1Ay –y x –x y –1 1 x –5 y –1 x –5 x –y –4 0.         
β) Η ευθεία 2, η οποία διέρχεται από το  και είναι παράλληλη προς τον άξονα x΄x,
είναι της μορφής:  2 : y y y 1.   
γ) Είναι:
1
1 2
2
1
,
0

 

 
   
 
οπότε οι
ευθείες 1, 2 τέμνονται και έχουν
μοναδικό σημείο τομής, που είναι το
. Η απόσταση του σημείου  από
την αρχή των αξόνων είναι:
2 2 2 2
A AOA x y 5 1 26.    

43.
Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου 
39
20140
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(3,2), Β(-3,1) και Γ(4,0 ).
Α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ. (Μονάδες 9)
Β) Να υπολογίσετε το μήκος του ύψους ΓΔ καθώς και την εξίσωση της ευθείας πάνω
στην οποία βρίσκεται αυτό. (Μονάδες 16)
Λύση
Α) Έχουμε εξίσωση ευθείας που ορίζεται από δύο σημεία και επειδή x x  , θα
πάρουμε:
y y 1 2 1 1
x x 3 3 6 6
 

 
  
    
   
, οπότε έχουμε:
   
1
( ):y y x x y 2 x 3 6y 12 x 3 x 6y 9 0.
6
                    
Β) Το μήκος (ΓΔ) είναι η απόσταση του σημείου Γ από την ευθεία ΑΒ, οπότε:
2 2
4 1 6 0 9 13 13 37
( ) d( , ) .
37371 ( 6)
   
      
 
Για την εξίσωση της ευθείας ΓΔ έχουμε:
1
1 1 6.
6
                   
Επομένως η ευθεία ΓΔ έχει εξίσωση:
y y (x x ) y 0 6(x 4) y 6x 24.               
Το Τέταρτο Θέμα
18612
Δίνεται η εξίσωση: 2 2
2 6 6 8 0.          
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει γεωμετρικά δύο ευθείες γραμμές ε1 και ε2 οι
οποίες είναι παράλληλες μεταξύ τους. (Μονάδες 7)
β) Αν ε1 : 2 0  και ε2 : 4 0  , να βρείτε την εξίσωση της
μεσοπαράλληλης  των ε1 και ε2. (Μονάδες 8)
γ) Αν Α είναι σημείο της ευθείας ε1 με τεταγμένη 2 και Β σημείο της ευθείας ε2 με
τετμημένη το 1, τότε :
i) Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β. (Μονάδες 2)
ii) Να βρείτε τις συντεταγμένες δύο σημείων Γ και Δ της ευθείας ε έτσι, ώστε το
τετράπλευρο ΑΓΒΔ να είναι τετράγωνο (Μονάδες 8)