Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com.

1. 25 Επιλεγμένα θέματα στα Διανύσματα
[2019 -2020]
1ο ΓΕΛ Ν. Ψυχικού
Μαθηματικά Β Λυκείου
14 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2019
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΚΗΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ
lisari.blogspot.com

2. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος 1ο ΓΕΛ Ν. Ψυχικό
Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 1
Θέμα 1ο
Δίνονται τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ. Να αποδείξετε την εξής ισοδυναμία:
ΑΒ ΑΓ ΑΔ ΑΕ ΒΔΓΕ    παραλληλόγραμμο
Θέμα 2ο
Δίνονται τέσσερα σημεία Α, Β, Γ, Δ. Να αποδείξετε την εξής ισοδυναμία:
ΟΒ ΟΔ ΑΒ ΔΓ Ο    μέσο του ΑΓ
Θέμα 3ο
Αν α β β γ γ α     , τότε να αποδείξετε ότι α β γ  .
Θέμα 4ο
Για τα μη μηδενικά διανύσματα α,β να αποδείξετε ότι:
α) α β α β α β     β) α β α β α β    
Θέμα 5ο
Για τα μη μηδενικά διανύσματα α,β να αποδείξετε ότι α / /β για τις παρακάτω
περιπτώσεις:
α)  α β / /β β)    α β / / α β 
Θέμα 6ο
Αν α 0 να βρείτε τα λ,μ R στις παρακάτω περιπτώσεις:
α)  λ 1 α α  β)  2 2
4λ μ 4λ 1 α 0   
Θέμα 7ο
Δίνονται τα διαφορετικά σημεία Α και Β. Για τυχαίο σημείο Γ του επιπέδου ισχύει
ότι: ΑΓ λΑΒ, λ R και ΓΒ μΑΒ, μ R. Να αποδείξετε ότι: λ μ 1  .
Θέμα 8ο
Δίνονται τα σημεία Α, Β και Γ. Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ το
διάνυσμα κΜΑ λΜΒ μΜΓ  είναι σταθερό, όπου κ λ μ 0   και κ,λ,μ  R .
Θέμα 9ο
Έστω α και β δύο μη συγγραμμικά διανύσματα και β 0 .
(i) Αν λα μβ 0  να δείξετε ότι λ μ 0  .
(ii) Αν 1 1 2 2λ α μ β λ α μ β   να δείξετε ότι 1 2λ λ και 1 2μ μ .
(iii) Να βρείτε για ποιες τιμές του x R τα διανύσματα  u x 1 α β   και
 v 2 3x α 2β   είναι συγγραμμικά.

3. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος 1ο ΓΕΛ Ν. Ψυχικό
Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 2
Θέμα 10ο
Στις παρακάτω παραστάσεις να σημειώσετε το γράμμα «Α» αν είναι αριθμός, είτε το
γράμμα «Δ» αν είναι διάνυσμα, είτε το γράμμα «Τ» αν δεν είναι τίποτα από τα
προηγούμενα.
α β ….. α β ….. λα …...  α,β …….
 λ μα ….. λα μβ …….. α α ….. α β ……
Θέμα 11ο
Στο διπλανό σχήμα έχουμε
   ΔΕ 2 ΒΕ ,ΑΒ α,ΔΓ 2α, ΔΑ β    .
α) Να γράψετε τα παρακάτω διανύσματα ως γραμμικό
συνδυασμό των διανυσμάτων α, β:
i. ΔΒ, ΓΒ
ii. ΕΒ, ΑΕ, ΕΓ
β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο.
γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Ε και Γ είναι συνευθειακά.
Θέμα 12ο
Αν ΑΒ β, ΑΓ γ,ΑΜ x   για το διπλανό σχήμα, να
αποδείξετε ότι:
   
1 2
BM 2 ΓΜ x β γ
3 3
   
Θέμα 13ο
Δίνονται τα διανύσματα ΑΒ α, ΒΓ β, ΓΔ 3α, ΔΕ 3β    όπως φαίνεται στο
παρακάτω σχήμα.
α) Να αποδείξετε ότι τα Α, Γ και Ε είναι συνευθειακά.
β) Να αποδείξετε ότι Β Δ
γ) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΓΔΕ είναι όμοια.


2

a

a
Β
Ε
Δ
Γ
A





x
Β
Μ
Γ
A

4. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος 1ο ΓΕΛ Ν. Ψυχικό
Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 3
3

3

a



a
Ε
Δ
Γ
Β
Α
Θέμα 14ο
Τα σημεία Α, Β, Γ και Δ ενός επιπέδου έχουν διανύσματα θέσεως α,β,5α και 3β
αντιστοίχως, όπου τα διανύσματα α και β είναι μη συγγραμμικά. Να βρείτε το
διάνυσμα θέσεως r του σημείου τομής των ευθειών ΑΒ και ΓΔ.
Θέμα 15ο
Δίνεται το τραπέζιο ΑΒΓΔ με    ΑΒ 2 ΓΔ και ΑΒ/ /ΓΔ . Αν οι διαγώνιες του
τραπεζίου ΑΒΓΔ τέμνονται στο σημείο Κ, τότε να αποδείξετε ότι:
α)
1
KΓ ΚΑ
2
  και
1
ΚΔ ΚΒ
2
  .
β) τα σημεία Ι, Κ, Λ είναι συνευθειακά, όπου Ι μέσο του ΔΓ και ΚΑΛΒ παραλληλόγραμμο.
Λύση
α) Α΄ τρόπος (Αποκλειστικά με διανύσματα)
Έχουμε,

5. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος 1ο ΓΕΛ Ν. Ψυχικό
Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 4
KΓ / /ΚΑ KΓ λΚΑ, λ  R και ΚΔ / /ΚΒ ΚΔ μΚΒ, μ  R
Άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι:
1
λ μ
2
  
Έχουμε,
   
 
 
   
ΚΑ //
ΑΒ 2 ΓΔ ΑΒ 2ΔΓ
ΚΒ ΚΑ 2 ΚΓ ΚΔ
ΚΒ ΚΑ 2 λΚΑ μΚΒ
1 2μ ΚΒ 1 2λ ΚΑ 0
  
   
   
     

ΚΒ
1 2μ 0 και 1 2λ 0
1
μ λ
2
    
   
Β΄ τρόπος (Αποκλειστικά με γεωμετρικές γνώσεις)
Έστω Ε και Ζ τα μέσα των ΚΑ και ΚΒ αντίστοιχα. Αρκεί να αποδείξουμε
ΚΕ ΚΓ και ΚΖ ΚΔ .
Από το τρίγωνο ΚΑΒ έχουμε ότι το Ε είναι μέσο του ΚΑ, το Ζ είναι μέσο του ΚΒ,
άρα
// ΑΒ 2ΓΔ
ΕΖ ΓΔ
2 2
  
οπότε το τετράπλευρο ΕΖΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, διότι έχει δύο απέναντι
πλευρές ίσες και παράλληλες.
Επομένως, οι διαγώνιές του διχοτομούνται άρα ΚΕ ΚΓ και ΚΖ ΚΔ .
Γ΄ τρόπος (Γεωμετρία + διανύσματα)
Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΚΔΓ και ΑΒΚ είναι όμοια (δύο γωνίες ίσες), άρα
ΚΓ ΚΔ ΓΔ
ΚΑ ΚΒ ΑΒ
  (1)
όμως
ΓΔ 1
ΑΒ 2ΓΔ
ΑΒ 2
   οπότε η σχέση (1) γίνεται:

6. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος 1ο ΓΕΛ Ν. Ψυχικό
Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 5
1
ΚΓ ΚΑ
2
 και
1
ΚΔ ΚΒ
2

και να τις σχέσεις τις γράψουμε διανυσματικές προκύπτει το ζητούμενο.
β) Α΄ τρόπος (Αποκλειστικά με διανύσματα)
Είναι,
 ΚΓ ΚΔ 1 ΚΑ ΚΒ 1 1
ΚΙ ΚΑ ΚΒ ΚΛ
2 2 2 4 4
 
         ,
άρα
ΚΙ / /ΚΛ Κ,Ι,Λ συνευθειακά σημεία.
Β΄ τρόπος (Αποκλειστικά με γεωμετρικές γνώσεις)
Έστω Μ το μέσο της πλευράς ΑΒ. Αρκεί να αποδείξουμε ότι τα σημεία Ι, Κ και Μ
είναι συνευθειακά.
Τα τρίγωνα ΚΙΓ και ΚΑΜ είναι όμοια, διότι
 ΓΑΒ ΑΓΔ

ΑΚ ΑΜ 2
ΚΓ ΙΓ 1
 
άρα 1 2Κ Κ οπότε
0
2 1ΙΚΜ Κ ΓΚΒ ΛΚΒ Κ ΓΚΒ ΛΚΒ ΓΚΑ 180       
Γ΄ τρόπος (Γεωμετρία + διανύσματα)
Τα τρίγωνα ΚΙΓ και ΜΑΚ είναι όμοια (δείτε εξήγηση στον προηγούμενο τρόπο), άρα
   
ΑΚ ΑΜ ΚΜ 2
ΚΜ 2 ΙΚ ΚΜ 2 ΙΚ ΚΜ / /ΙΚ
ΚΓ ΙΓ ΙΚ 1
         
άρα τα σημεία Ι,Κ,Μ είναι συνευθειακά.
Θέμα 16ο – Συμπλήρωσης κενών
Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα α,β , τότε σχηματίζουν τη γωνία  α,β

. Να
συμπληρώσετε κατάλληλα τα παρακάτω κενά έτσι ώστε να λάβουμε τις ιδιότητες
της γωνίας  α,β

:

7. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος 1ο ΓΕΛ Ν. Ψυχικό
Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 6
i)    α,β ..... β,α
 
ii)  α,α .....

 iii)  .... α,β ...

 
iv)  α,β ...... α β

   v)  α,β .... α β

   vi)  α,β .... α β

  
Θέμα 17ο - Θεωρία
Σύμφωνα με τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου δύο μη μηδενικών διανυσμάτων
α,β να αποδείξετε τις παρακάτω ιδιότητες:
 Ιδ. 1η (Αντιμεταθετική ιδιότητα): α β β α  
 Ιδ. 2η (διάνυσμα 2
α ):
22
α α
 Ιδ. 3η (ομόρροπα διανύσματα): α β α β α β    
 Ιδ. 4η (αντίρροπα διανύσματα): α β α β α β     
 Ιδ. 5η (1η συνθήκη καθετότητας διανυσμάτων): α β α β 0   
Θέμα 18ο - Θεωρία
Σύμφωνα με την πρόταση: «Αν    1 1 2 2α x , y ,β x , y  , τότε 1 2 1 2α β x x y y   » να
αποδείξετε τις παρακάτω ιδιότητες:
 Ιδ. 6η (προσεταιριστική ιδιότητα αριθμού):      λ α β λα β α λβ    
 Ιδ. 7η (επιμεριστική ιδιότητα):  α β γ α β α γ     
 Ιδ. 8η (2η συνθήκη καθετότητας): 1 2α β λ λ 1     , όπου 1λ ο συντελεστής
διεύθυνσης του διανύσματος  1 1 1α x , y ,x 0  και 2λ ο συντελεστής
διεύθυνσης του διανύσματος  2 2 2β x , y ,x 0  .
Θέμα 19ο – Συμπλήρωσης κενών
Ως προεκτάσεις των ιδιοτήτων του 18ου θέματος να συμπληρώσετε κατάλληλα τα
παρακάτω κενά:
 Ιδ. 6β:    λα μβ ..................... 
 Ιδ. 7β:  α β γ ........................  
 Ιδ. 7γ:    α β γ δ ..........................   
 Ιδ. 7δ:  
2
α β .............................. 
 Ιδ. 7ε:    α β α β ..................................   

8. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος 1ο ΓΕΛ Ν. Ψυχικό
Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 7
Θέμα 20ο
Δίνονται τα διανύσματα  α 3,1 και  ν 1,2 . Να αναλυθεί το ν σε δύο κάθετες
συνιστώσες, από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο α .
Λύση
Έστω ε η ευθεία η κάθετη στη διεύθυνση του α . Από το πέρας Μ του ν φέρνουμε τις
κάθετες 1ΜΜ και 2ΜΜ στη διεύθυνση του α και στην ε αντιστοίχως και έστω
1 1ΟΜ ν και 2 2ΟΜ ν .
Έχουμε,
  1 1ν / /α ν λα 3λ,λ , λ   R
      1 2 2 1ν ν ν ν ν ν 1,2 3λ,λ 1 3λ,2 λ         
    2 2
1
ν α ν α 0 1 3λ,2 λ 3,1 0 3 9λ 2 λ 0 λ
2
               
άρα
1
3 1
v ,
2 2
 
  
 
και 2
3 1 1 3
ν 1 ,2 ,
2 2 2 2
   
       
   
.
Θέμα 21ο
Δίνονται τα διανύσματα  α 2, 4  και  β 8,5  . Να αναλύσετε το β σε δύο
κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη προς το α .
Λύση
Έστω ε η ευθεία η κάθετη στη διεύθυνση του α . Από το πέρας Μ του β φέρνουμε τις
κάθετες 1ΜΜ και 2ΜΜ στη διεύθυνση του α και στην ε αντιστοίχως και έστω
1 1ΟΜ β και 2 2ΟΜ β .
Έχουμε,
  1 1β / /α β λα 2λ, 4λ , λ    R
      1 2 2 1β β β β β β 8,5 2λ, 4λ 8 2λ,5 4λ            
    2 2
9
β α β α 0 8 2λ,5 4λ 2, 4 0 16 4λ 20 16λ 0 λ
5
                   
άρα

9. Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος 1ο ΓΕΛ Ν. Ψυχικό
Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 8
1
18 36
β ,
5 5
 
  
 
και 2
18 36 22 11
β 8 ,5 ,
5 5 5 5
   
         
   
.
Θέμα 22ο
Δίνεται το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με    ΑΒ ΑΓ 1  και Μ μέσο
της πλευράς ΒΓ. Να υπολογίσετε τα εξής εσωτερικά γινόμενα:
α) ΑΒ ΑΓ β) ΒΑ ΒΓ γ) ΑΓ ΓΒ
δ) ΑΜ ΒΓ ε) ΑΜ ΑΒ ζ) ΒΜ ΓΜ
Θέμα 23ο
Δίνεται το τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α και κέντρο Ο. Να υπολογίσετε τα εξής
εσωτερικά γινόμενα:
α) ΑΒ ΒΓ β) ΑΒ ΔΓ γ) ΑΔ ΓΒ
δ) ΑΓ ΔΒ ε) ΑΟ ΟΒ στ) ΑΟ ΑΒ
Θέμα 24ο
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Μ μέσο της ΒΓ. Αν ισχύει
   ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΜ ΒΓ ΑΓ    
να αποδείξετε ότι 0
Β Γ 45  .
Θέμα 25ο
Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα ΟΑ α και ΟΒ β . Αν  α,β ω τότε να
βρείτε τις παρακάτω γωνίες:
α)  α, β .............................   β)  ΟΑ,ΒΟ .............................
γ)  λα,β ............................., λ 0  δ)  α,μβ ............................., μ 0 
ε)  λα,μβ ............................., λμ 0  στ)  λα,μβ ............................., λμ 0 