Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

1. Μαθηματικά Β Λυκείου Θετική Κατεύθυνση
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
1.5: Εσωτερικό γινόμενο
Οι παρακάτω ασκήσεις στο εσωτερικό γινόμενο δεν είναι εκτός ύλης και ας τις
παρουσιάζει το σχολικό βιβλίο με την προβολή διανύσματος που είναι εκτός ύλης!
Προτείνω να τις λύνουμε!
Κάθε χρόνο που τις διδάσκω στους μαθητές μου έχω διαπιστώσει ότι δυσκολεύονται
αρκετά. Ο λόγος; Ενώ βρίσκουν τις σχέσεις που πρέπει να χρησιμοποιήσουν τελικά
καταλήγουν σε ένα σύστημα τεσσάρων εξισώσεων με τέσσερις αγνώστους και
προφανώς χάνονται. Όσοι τη λύσουν τις περισσότερες φορές έχουν κάνει κάποιο λάθος
λόγω των αρκετών πράξεων.
Εφαρμογή
Δίνονται τα διανύσματα  α 3,1 και  ν 1,2 . Να αναλυθεί το ν σε δύο κάθετες
συνιστώσες, από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο α .
Λύση
Έστω ε η ευθεία η κάθετη στη διεύθυνση του α . Από το πέρας Μ του ν φέρνουμε τις
κάθετες 1ΜΜ και 2ΜΜ στη διεύθυνση του α και στην ε αντιστοίχως και έστω
1 1ΟΜ ν και 2 2ΟΜ ν .
Έχουμε,
  1 1ν / /α ν λα 3λ,λ , λ   R
      1 2 2 1ν ν ν ν ν ν 1,2 3λ,λ 1 3λ,2 λ         
    2 2
1
ν α ν α 0 1 3λ,2 λ 3,1 0 3 9λ 2 λ 0 λ
2
               
άρα
1
3 1
v ,
2 2
 
  
 
και 2
3 1 1 3
ν 1 ,2 ,
2 2 2 2
   
       
   
.
13.12.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 2

2. Άσκηση 12 / Α΄ ομάδας
Δίνονται τα διανύσματα  α 2, 4  και  β 8,5  . Να αναλύσετε το β σε δύο
κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη προς το α .
Λύση
Έστω ε η ευθεία η κάθετη στη διεύθυνση του α . Από το πέρας Μ του β φέρνουμε τις
κάθετες 1ΜΜ και 2ΜΜ στη διεύθυνση του α και στην ε αντιστοίχως και έστω
1 1ΟΜ β και 2 2ΟΜ β .
Έχουμε,
  1 1β / /α β λα 2λ, 4λ , λ    R
      1 2 2 1β β β β β β 8,5 2λ, 4λ 8 2λ,5 4λ            
    2 2
9
β α β α 0 8 2λ,5 4λ 2, 4 0 16 4λ 20 16λ 0 λ
5
                   
άρα
1
18 36
β ,
5 5
 
  
 
και 2
18 36 22 11
β 8 ,5 ,
5 5 5 5
   
         
   
.
13.12.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 2