Κορυφώνεται η αγωνία των μαθητών καθώς ξεκινάνε σε λίγες μέρες οι Πανελλήνιες 2024. Ένα από τα πιο δύσκολα μαθήματα είναι τα μαθηματικά όπου δυσκολεύει αρκετούς μαθητές που έχουν να διαχειριστούν και το άγχος τους. Πέρσι, δηλαδή στις Πανελλήνιες 2023, μαθηματικά έδιναν την Τρίτη 6 Ιουνίου.

1. Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ’ Λυκείου
11:30

2. Σελίδα 2 από 8

3. Σελίδα 3 από 8
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΘΕΜΑ Α
Α.1. Θεωρία, σχ. βιβλίο σελ. 111
Α.2. Θεωρία, σχ. βιβλίο σελ. 104
Α.3. Θεωρία, σχ. βιβλίο σελ. 128
Α.4. α. Λ β. Λ γ. Λ δ. Σ ε. Σ

4. Σελίδα 4 από 8
ΘΕΜΑ Β
 
2
4 x
x
e
g x
e

 , g
D  και   ln
h x x
 ,  
0,
h
D  
Β.1.
 
 
0
0,
ln
h
f g h
g
x D x
D D
h x D x

  
 
 
    
   
 
   
 
      
 
2
2ln ln 2
ln ln
4 4 4
, 0
x x
x x
e e x
f x g h x g h x x
e e x
  
     
Άρα  
2
4
, 0
x
f x x
x

 
Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο  
0,
Β.2. i)  
   
2 2
2 2 2
2 2 2
2 4 4
4 2 4
0
x x x x
x x x
f x
x x x x
      
 
   
     
 
 
στο  
0,
Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο  
0,
ii)    
2
2 2 2
4 0
2
4 4 4
4
f
e e
f f e e
e e e
  
 

 
  
      

που ισχύει
Β.3. Η f είναι συνεχής στο  
0,
f
D   ως ρητή
Κατακόρυφη ασύμπτωτη
   
2
0 0
1
lim lim 4
x x
f x x
x
 
 
 
   
 
 
αφού  
2
0
lim 4 4 0
x
x


  
0
lim 0, 0
x
x x


  άρα
0
1
lim
x x


 
Επομένως η 0
x  κατακόρυφη ασύμπτωτη της f
C
Πλάγια ασύμπτωτη
 
2
2 2
2 2
4
4
lim lim lim lim 1
1
x x x x
x
f x x x
x
x
x x x

   

 
     
   
 
2 2 2
2
4 4 4
lim 1 lim lim lim 0
x x x x
x x x
f x x x
x x x

   
 
  
       
 
 
Επομένως η ευθεία : y x
   είναι πλάγια ασύμπτωτη της f
C στο 

5. Σελίδα 5 από 8
Β.4.
 
 
 
2 2
2
2
1 1
lim lim
4
x x
x x
x
f x
x
 
 
 


   
2
2
2 2
2 2
2 2 2
1
1 1
4 4
4 4
x
x x
x x
x x
x x x

 

  
  
 
αφού x  
 
 
2
2 2
1
4 4
x
x x
x f x x
 
  
   
 
 
2
2 2
2 2
1
lim lim lim 0
1
4
lim 0
1
lim lim lim 0
4
ή
x x x
x
ή
x x x
x x
x
x x x
f x
x x
x x x
 
 

  

  

 
  
   
 
  
 

  
     
  
 
  

6. Σελίδα 6 από 8
ΘΕΜΑ Γ
Γ.1.    
 
2
3 3 3 3
2 2 2 2
3
2
2
1
1 1 1 1 1
2
9
1 3 2 2 1 3
2 2
x
x f x dx x dx x dx x dx
x
x
x

 
 


 
 
           
 
 
   
 
        
 
 
   
9
2
2

  2 1

 
9 4 0 5 0 0
   

      
Γ.2. Αφού 0
  η συνάρτηση γίνεται  
2
3 3, 1
1
, 1
x x x
f x
x
x
   

 



με  
,
f
D
    
i)
      
 
2
1 1 1 1
1 1 2
3 3 1
lim lim lim lim 2 1
1 1 1
x x x x
f x f x x
x x
x
x x x
   
   
  
  
     
  
     
 
1 1 1 1
1
1
1 1 1
lim lim lim lim 1
1 1 1
x x x x
f x f x
x
x x x x x
   
   

    
     
 
    
Επομένως f παραγωγίσιμη στο 0 1
x  με  
1 1
f    άρα και f συνεχής στο 0 1
x 
Επομένως ορίζεται η εφαπτομένη στο 1.
ii) Η εφαπτομένη της f
C στο 0 1
x  έχει εξίσωση
      
1 1 1 1 1 1 2
y f f x y x y x

           
και  
 
0,
3
1 1
4 4 4
f
 
  
      

 
           
 
 
 
135
Γ.3. Για 1
x  :
  2 3
f x x
  
 
1 2 2 2 2 0 2 2 1 1 1 0
x x x x f x

              
Άρα   0
f x
  στο  
,1
 άρα f 2 στο  
,1

Για 1
x  :
  2
1
0
f x
x
    άρα   0
f x
  άρα f 2 στο  
1,
Και επειδή f συνεχής στο 1, έχουμε ότι f γνησίως φθίνουσα στο .
Επομένως "
"
: 1 1
f  στο
     
   
lim , lim 0,
x x
f f x f x
 
   
 
   
   
2 2
1
lim lim 0
0,
lim lim 3 3 lim
x x
x x x
f x
x f
f x x x x
 
  

  
   


     


7. Σελίδα 7 από 8
Γ.4. Για 1
x  ,      
2 3
1 1 2
, , 0
f x f x f x
x x x
 
    
Άρα f κυρτή στο  
1, , επομένως    
f x g x
 , όπου   2,
g x x x
   
H f είναι συνεχής στο  
1,e ως ρητή
Η g είναι συνεχής στο  
1,e ως πολυωνυμική
   
1
, 2,
f x g x x
x
      0
h x  (άξονας x x
 )
     
   
2
1 2
2
1 2
2
2
3
2
1
1 1
2
ln 2 ln
2
1
ln 2 2 4 2 ln ln 2
2
1 1
1 . .
2 2
e
e
f x g x dx f x dx
x dx dx
x x
x
x x x
e
 
     
 
    
 
 
 
      
   
 
       
  
 
 
β’ τρόπος
   
1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 ln ln1 1
2 2 2 2 2
e e e
f x dx f x dx dx e
x
 
 
                 
   
   
  

11. ( 0 , 2 )