Σε αυτές τις διαφάνειες ολοκληρώνονται τα μαθήματα σχετικά με το εισαγωγικό κεφάλαιο των συναρτήσεων με την έννοια της αντίστροφης μίας «1-1» συνάρτησης.
Σε αυτές τις διαφάνειες ολοκληρώνονται τα μαθήματα σχετικά με το εισαγωγικό κεφάλαιο των συναρτήσεων με την έννοια της αντίστροφης μίας «1-1» συνάρτησης.
Πρόκειται για μια σειρά ασκήσεων βασισμένη στο κεφάλαιο του Διαφορικού λογισμού για την Γ' τάξη Λυκείου ΕΠΑΛ. Περιλαμβάνει ασκήσεις κατανόησης, αποδεικτικές, ασκήσεις συμπλήρωσης κενών και απλές υπολογιστικές ασκήσεις.
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΥΠΑΡΞΗΣ ΡΙΖΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΡεβέκα Θεοδωροπούλου
Στην παρουσίαση αυτή θα δείτε μια μεθοδολογία για την ύπαρξη ριζών συνεχούς και παραγωγίσιμης συνάρτησης, με χρήση των θεωρημάτων Bolzano και Rolle. Θα βρείτε επίσης λυμένα παραδείγματα και κάποιες ασκήσεις για εξάσκηση.
The document contains questions and answers related to mathematics for senior high school. It includes questions from past national exams from 2000-2020, as well as sample questions in both the old and new testing systems. The questions cover topics like functions, limits, derivatives, and graphing. The document is authored by a mathematics teacher and intended as a review guide for students.
Πρόκειται για μια σειρά ασκήσεων βασισμένη στο κεφάλαιο του Διαφορικού λογισμού για την Γ' τάξη Λυκείου ΕΠΑΛ. Περιλαμβάνει ασκήσεις κατανόησης, αποδεικτικές, ασκήσεις συμπλήρωσης κενών και απλές υπολογιστικές ασκήσεις.
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΥΠΑΡΞΗΣ ΡΙΖΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΡεβέκα Θεοδωροπούλου
Στην παρουσίαση αυτή θα δείτε μια μεθοδολογία για την ύπαρξη ριζών συνεχούς και παραγωγίσιμης συνάρτησης, με χρήση των θεωρημάτων Bolzano και Rolle. Θα βρείτε επίσης λυμένα παραδείγματα και κάποιες ασκήσεις για εξάσκηση.
The document contains questions and answers related to mathematics for senior high school. It includes questions from past national exams from 2000-2020, as well as sample questions in both the old and new testing systems. The questions cover topics like functions, limits, derivatives, and graphing. The document is authored by a mathematics teacher and intended as a review guide for students.
Επώνυμες Ασκήσεις σε μια διδακτική Ώρα για την καλύτερη προετοιμασία των μαθητών & μαθητριών της Γ΄. Περιέχει Υποδείξεις των ασκήσεων και μικρό Συνταγολόγιο ! Για ενδοσχολική χρήση (ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΠΕΛΛΑΣ)
44 θέματα - κανόνια από τον συνάδελφο Γιώργο Μιχαηλίδη, μια ευγενής προσφορά του ιδίου και των εκδόσεων «Μαυρίδη». Οι εφ' όλης της ύλης ασκήσεις που θα δείτε, θα σας αφήσουν κάτι παραπάνω από ικανοποιημένους!
Το διάστημα 2/11-9/11 η Γ τάξη παρακολούθησε 2 διαδικτυακά μαθήματα μέσω webex. Η ύλη των μαθημάτων είναι μισή η 1.5 παράγραφος. Λύθηκαν ασκήσεις και απορίες.
2. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x1]
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να εξεταστούν ως τις τη μονοτονία οι κάτωθι συναρτήσεις H
α ) x@;@x+A : x³ ? β ) @xA +? γ )
3
x4 -
δ ) A+@ x1
e -
ε )
2x
x3
+
στ ) x + lnx
ζ )
1e
1e
x
x
+
-
2. Δίνεται η συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει
f A(x) + f(x) + x
2
1
= > (?) για κάθε x oÎ <
α ) Να αποδειχθεί ότι η f(x) είναι «?;?»<
β ) Να βρεθεί ο τύπος της f ;?(x)<
γ ) Να λυθεί η εξίσωση f ;?(xA ; x) = f ;?(A ; Ax)<
3. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) =
ae
e
x
x
+
και g (x) = ln(x+β) : όπου
α: β oÎ < Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον y΄y στο
2
1
- και η γραφική
παράσταση της g τέμνει τον x΄x στο @<
α ) Να βρεθούν οι αριθμοί α και β<
β ) Να ορίσετε την συνάρτηση f go <
γ ) Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f go με τη
γραφική παράσταση της h(x) =
4
x-
<
4. Δίνεται η συνάρτηση f H RàR για την οποία ισχύει
@f(; x) + f(x) = αe;x + ex t x : για κάθε x oÎ και α oÎ < Αν η γραφική
παράσταση της f(x) τέμνει τον άξονα y΄y στο ? <
α ) Να βρεθεί ο αριθμός α<
β ) Να βρεθεί ο τύπος της f(x)<
γ ) Να μελετηθεί η f(x) ως προς τη μονοτονία<
δ ) Να λυθεί η ανίσωση H 03222122
>-++- --
xxee xx
5. Δίνεται γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f(x) με πεδίο ορισμού το R για την
οποία ισχύει f(ex+@) + f(x+A) = x : για κάθε x oÎ <
3. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x2]
α ) Να αποδείξετε ότι η f(x) είναι αντιστρέψιμη<
β ) Να βρεθούν τα σημεία τομής της f(x) με τον x΄x<
γ ) Να λυθεί η ανίσωση H f(D ; f ;?(x@;B)) > ><
6. Δίνεται η συνάρτηση g (x) = ex + x t ?<
α ) Να μελετηθεί η g (x) ως προς τη μονοτονία<
β ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της g (x) με τον x΄x<
γ ) Δίνεται η συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει H
( fg o )(x) = x ; ? : να αποδείξετε ότι η f(x) είναι προς ?;?<
δ ) Να βρείτε το f(?)<
7. Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f H (>: +∞)à R καθώς και η
συνάρτηση g (x) = f(x) t lnx<
α ) Να αποδείξετε ότι η g (x) είναι γνησίως φθίνουσα<
β ) Να λύσετε την ανίσωση H f(ex) ; f(e@) < x t @<
8. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = xA + α x + @ : α oÎ < Η γραφική παράσταση της
f o f τέμνει τον y΄y στο ?B<
α ) Να βρεθεί ο α<
β ) Να αποδείξετε ότι η f(x) είναι αντιστρέψιμη<
γ ) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων f(x) και f ;?(x)<
δ ) Να λύσετε την ανίσωση f( f( x ;@) ; C ) < f ;?(?B)<
9. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α + ex;? : α oÎ <
α ) Να αποδείξετε ότι η f(x) είναι αντιστρέψιμη<
β ) Αν ισχύει f ;?(B) = ? : τότε να βρεθεί ο α <
γ ) Δίνεται η συνάρτηση g(x) = @ ex;A + x t @ : να αποδείξετε ότι η g (x) είναι
?;?<
δ ) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων g (x) και g;? (x)<
10. Δίνεται η συνάρτηση f(x) H RàR για την οποία ισχύει
f A(x) + @ f(x) = ?@ex : x oÎ (?)<
α ) Να αποδειχθεί ότι f(x) > > για κάθε x oÎ <
β ) Να βρείτε τα σημεία τομής της f(x) με τον y΄y<
γ ) Να αποδείξετε ότι η f(x) είναι ?;?<
δ ) Να λυθεί η εξίσωση H f( x ;A)=
2
22 1
e
lne ln
+ <
4. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x3]
11. Δίνεται η f(x) H RàR για την οποία ισχύει H f(f(x);@) = x (?)
α ) Να αποδείξετε ότι η f(x) είναι ?;?<
β ) Να αποδείξετε ότι f ;?(x) = f(x;@) : x oÎ <
γ ) Να λυθεί η εξίσωση H f(@ex ;?) = f ;?(A)<
12. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ex + e;x : g (x) = Aσυνx;?<
α ) Να αποδείξετε ότι η f(x) έχει ελάχιστο το @<
β ) Να βρεθούν τα ακρότατα της g (x)<
γ ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f(x) : g (x) <
13. Δίνεται η συνάρτηση f H (>: +∞)à R : για την οποία ισχύουν
f(?) + f(e) = @e+A και f(x) ; f(y) = ln
y
x
+@(x;y) : x : yÎ (>: +∞)<
α ) Να βρεθούν τα f(?) και f(e)<
β ) Να βρεθεί ο τύπος της f(x)<
γ ) Να αποδείξετε ότι η f(x)είναι αντιστρέψιμη<
δ ) Να λύσετε την ανίσωση H B(x@ ; ?) <
83
10
2
2
+
+
x
x
ln <
14. Δίνεται η συνάρτηση f H RàR για την οποία ισχύει H
f A(x) + Af(x) + x = > (?) : x oÎ <
α ) Να βρεθεί το f(>)
β ) Να αποδείξετε ότι η f(x)αντιστρέφεται και να βρεθεί η f ;?(x)<
γ ) Να αποδείξετε ότι η f(x) είναι γνησίως φθίνουσα<
δ ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f(x)είναι
κάτω από τον x΄x
ε ) Να λυθεί η ανίσωση H f( f( x +?) t ?A ) < @<
15. Δίνεται η συνάρτηση f(x) για την οποία ισχύει H
f(f(x)) + x = @>>B : χ RÎ (?)
Να δείξετε ότι H
α ) η f(x) είναι ?;?:
β ) f ;?(x) = ; f(x) + @>>B:
γ ) η f(x) δεν είναι γνησίως μονότονη:
δ ) f(>) + f(@>>B) = @>>B<
5. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x4]
16. Δίνεται η συνάρτηση f H Rà R για την οποία ισχύει H
f(α+β) = f(α) + f(β) : για κάθε α,β RÎ
α ) Να δείξετε ότι f(>) = >
β ) Να δείξετε ότι f(;x) = ; f(x)
γ ) Αν η f(x) = > έχει μοναδική ρίζα : να δείξετε ότι η f(x) αντιστρέφεται<
δ ) Να δειχθεί ότι H f;?(x+ψ) = f;?(x) + f;?(ψ) : x : ψ oÎ <
17. Έστω η f(x) η οποία για κάθε χ RÎ : ικανοποιεί τη σχέση H
fA(x) + Cf(x) + x = > (?)
α ) Αποδείξτε ότι η f(x) αντιστρέφεται και βρείτε την αντίστροφη της<
β ) Βρείτε τα κοινά σημεία των Cf : Cf
;?<
18. Έστω f(x) για την οποία ισχύει H f(f(x)) = x A : για κάθε χ RÎ < (?)
α ) Αποδείξτε ότι η f(x) αντιστρέφεται<
β ) Να δειχθεί ότι H f(xA) = (f(x))A ΥΠΟΔΕΙΞΗ β ) βάλε όπου χ το f(x) στην (?)
γ ) Λύστε την εξίσωση H f(x) = x<
δ ) Αποδείξτε ότι H [f(;?)]A+ [f(?)]A = f(>)<
ε ) Αν f(F) = DB : υπολογίστε το f(@)<
19. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x
x
x
-
3
2
: g (x) =
x
x3
<
α ) Εξετάστε αν είναι ίσες οι f(x) : g (x)<
β ) Σχεδιάστε τη συνάρτηση h(x) =
î
í
ì
>
£-
0
0
x),x(f
x,x
και την ευθεία
y = ;x+@ στο ίδιο καρτεσιανό σύστημα και κατόπιν να λυθούν :
ι ) η εξίσωση h(x) + x t @ = >
ιι ) η ανίσωση h(x) + x t @ ≤ >
γ ) Η γραφική παράσταση της h(x) και η ευθεία y = ? σχηματίζουν
τρίγωνο: να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν Ε του μικτόγραμμου τριγώνου
είναι Ε < ? τ< μ
Δημοσιεύτηκε στο fb την @B<>D<?F απ τον συνάδερφο Γ< Μπαρακλιανό
6. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
xR]
20. Δίνεται f(?;ex) = x : x ≥ ><
α ) Να υπολογιστεί ο τύπος και το πεδίο ορισμού της f(x)<
β ) Να αποδειχθεί ότι H f(?;π@) > f(@;π@) και ότι η f(x) έχει ελάχιστη τιμή
το ><
γ ) Δίνεται η ω(x) =
ï
î
ï
í
ì
Î
Î
Ax),x(g
Bx,
x
x3
: όπου g (x) = f(x) +f(;x) και Α,Β τα
ευρύτερα δυνατά σύνολα στο R<
ι ) Να βρεθούν τα Α και Β<
ιι ) Να δειχθεί ότι ω(;x) = ;ω(x) για κάθε x στο R<
ιιι ) Να δειχθεί ότι η καμπύλη της t(x) = x@+αx : α < > : τέμνει την
γραφική παράσταση της ω(x) σε ένα μόνο σημείο<
Δημοσιεύτηκε στο fb την A><>D<?F απ τον συνάδερφο Γ< Μπαρακλιανό
21. Δίνεται ότι f(@x+?) = @x;A : x oÎ <
α ) Να δειχθεί ότι f(x) = x;B : x oÎ <
β ) Αν Αf = [;?:@] : να βρεθούν τα πεδία ορισμού των παρακάτω
συναρτήσεων H g(x)=f(@x;?) : h(x) = f(ln(x+?)) :φ(x)=f(e;x)
γ ) Αν f(t(x)) = lnx t ? : x > > : να βρεθεί η συνάρτηση )x(t
δ ) ι ) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της w(x) = lnf(x); ))x(f(f-
ιι ) Να δειχθεί ότι w(x) ≤ lnB : για κάθε x wAÎ <
Δημοσιεύτηκε στο fb την >?<>E<?F απ τον συνάδερφο Γ< Μπαρακλιανό
22. Δίνεται η f(x) =
x1x
1
++
: x ³ ><
α ) Nα δείξετε ότι: f(x) = x1x -+
β ) να αποδείξετε ότι f(x) > > για κάθε x ³ >
γ ) να αποδείξετε ότι η f(x) αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη
της<
δ ) Nα δειχθεί ότι για κάθε x ³ > ισχύει H f(x) £ ?
ε ) Να δειχθεί ότι η μέγιστη τιμή τις f(x) είναι το ?<
στ ) Nα λύσετε την εξίσωση H
( x1x -+ )( 1)8xx7xx 33
=-++-+ [ Ευκλείδης τεύχος CF ]
7. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x6]
23. Δίνεται η f(x) = x+ 1x2
+ < Να αποδείξετε ότι H
α ) f(x) > > για κάθε x RÎ
β ) η f(x) αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη της<[ Ευκλείδης τεύχος CF ]
24. Δίνεται η f(ex) = lnx t ? : x > ?<
α ) Να βρεθεί η f(x)<
β ) Να δειχθεί ότι f( x ) < f(x+?) για κάθε x >?
γ ) Να δειχθεί ότι f;?(x) =
1+x
e
e : x oÎ <
δ ) Να υπολογιστούν τα όρια H
ι ) 2
1 1)x(
)x(f
lim
x -+
>-
ιι ) 2
1
1 1)x(
)x(f
lim
x +
-
->-
ε ) Αν g(x) = f(ex) και το Ο(>:>) και Α(e:g(e)) και Γ(x: g(x)) με x > e : να
δειχθεί ότι η γωνία ΟΑΓ είναι μεγαλύτερη των G>><
Δημοσιεύτηκε στο fb την ?E<>F<?F απ τον συνάδερφο Γ< Μπαρακλιανό
25. Έστω f H (>:+∞) και για κάθε x > > ισχύει H x)x(fe )x(f
=× (?)
α ) Να δειχθεί ότι η f(x) είναι γν.αύξουσα<
β ) Να υπολογιστεί το f(Α)<
γ ) Να λυθεί η f;?(ex) < lnB
δ ) Να βρεθεί το Π.Ο της g(x) = f(e+@συνx+?) και να λυθεί η g(x) = ?<
Δημοσιεύτηκε στο fb την ?F<>F<?F απ τον συνάδερφο Γ< Μπαρακλιανό
26. Δίνεται η συνάρτηση f H RàR για την οποία ισχύει H
x·f(x)≤ x@+Ax : x oÎ :
και το όριο )x(flim
x 0>-
υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός<
α ) Να αποδειχθεί ότι )x(flim
x 0>-
= A<
β ) Να βρεθεί το όριο
21
4132
0 -+
-+--
>- )x(f
)x(f)x(f)x(f
lim
x
<
27. Δίνεται η συνάρτηση f H RàR για την οποία ισχύει H
20
24
3
0
=
-+
+
>- x
x)x(f
lim
x
hm
Να βρεθούν : αν υπάρχουν : τα όρια H
8. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x7]
α ) )x(flim
x 0>-
β )
x
)x(f
lim
x 0>-
γ )
x
)x(f
lim
x hm0>-
δ ) 3
0
2
x
)x(f)x(f
lim
x
-
>-
28. Δίνεται η συνάρτηση f H RàR για την οποία ισχύει H
1
5
24 2
2
=
-
--
>- x
)xx)(x(f
lim
x
Να βρεθούν : αν υπάρχουν : τα όρια H
α ) )x(flim
x 2>-
β ) )x(f)x(f)x(fxlim
x
2784 2
2
-+-
>-
]<
29. Δίνεται η συνάρτηση f H RàR για την οποία ισχύει H
242
-+£- xx)x(f : για κάθε x oÎ <
Να βρεθούν τα όρια H
α ) )x(flim
x 0>-
β )
x
)x(f
lim
x 0>-
γ )
x
))x(f(
lim
x
hm
0>-
<
30. Έστω f(x) =
1
1
2
232
++
++-
xx
xx)(
l
ll
: λ oÎ <
α ) Να βρεθεί το )x(flim
x -¥>-
για κάθε λ oÎ <
β ) Αν λ = > : να υπολογιστούν H
ι ) )x(flim
x 1->-
ιι ) xx
xx
x e
)e)(x(f
lim
23
2
0 +-
+
>-
ιιι ) xx
xx
x e
)e)(x(f
lim
2
2
+
-
+¥>-
γ ) Αν λ = ? : να δειχθεί ότι H
9. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x8]
ι ) 02018
=×
+¥>-
)x)
x
)x(f
((lim
x
hm
ιι ) f(x) > ? για κάθε x στο (;@:>)
ιιι ) 3
43
43
2018
1
=
+
-
+
+
-¥>-
xx
xx
x
))(x(f
lim
δ ) Το όριο της περιμέτρου ορθ< Παραλληλογράμμου με μήκη ? μον και
f(x) μονάδες όταν xà+∞ είναι B μον< Τι μπορούμε να ισχυριστούμε για
το ορθογώνιο όταν xà+∞<
Δημοσιεύτηκε στο fb την @><>F<?F απ τον συνάδερφο Γ< Μπαρακλιανό
31. Έστω f(x) μη σταθερή συνάρτηση απ το R στο R και για κάθε x : y oÎ
ισχύει H f(x+y) = Af(x)f(y)<
α ) Να δειχθεί ότι f(>) =
3
1
<
β ) Να δειχθεί ότι f(x) > > για κάθε x oÎ <
γ ) Επίσης : f(;x) =
)x(f9
1
<
δ ) Αν 0=
+¥>-
)x(flim
x
: τότε δείξτε ότι +¥=
-¥>-
)x(flim
x
<
Δημοσιεύτηκε στο fb τον Αύγουστο του ?F απ τον συνάδερφο Γ< Βεντούρη
32. Έστω f(x) = e;x t x και f(R) = R <
α ) Να δειχθεί ότι υπάρχει η f;?(x) και να συγκριθούν οι αριθμοί f;?(@>?F) :
f;?(@>?G)<
β ) Να λυθούν οι εξισώσεις
ι ) =- 2
x
e x@ + ? ιι ) f;?(x) = >
γ ) Να λυθούν οι ανισώσεις H
ι )
2
2
2 212
e
e
xxe xx -
++³--
ιι ) tlnx + 5
1 1
51
e
)(fe xln
+-³+ --
δ ) Να υπολογιστούν τα όρια H
10. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x9]
ι ) ))x(f
x
(lim
x
-
+¥>-
hm2
1
ιι ) ]x)x(fxlim
x
2
+
+¥>-
ιιι ) )e)x(f(ln )x(f
x
lim +
-¥>-
Δημοσιεύτηκε στο fb την @C<>F<?F απ τον συνάδερφο Γ< Μπαρακλιανό
33. Έστω f H RàR με f(@x) = xx
xx
-
-
+
-
44
44
: x oÎ <
α ) Να δειχθεί ότι η f(x) =
14
14
+
-
x
x
<
β ) Να βρεθούν τα όρια )x(flim
x +¥>-
και )x(flim
x -¥>-
<
γ ) Να δειχθεί ότι η f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της<
δ ) Να βρεθεί το f(Α)<
ε ) Να υπολογιστεί η f ;?(x)<
στ ) Να βρεθούν τα όρια στα άκρα του πεδίου ορισμού της f ;?(x)<
Δημοσιεύτηκε στο fb την ?A<?><?F απ τον συνάδερφο Θ< Ξένο
34. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει H
f (
p
p
hmp 4232 -
=+- x
)x(f)e x
: για κάθε x oÎ
α ) Να αποδειχθεί ότι H f(?) + f(;?) = ;?
β ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ στο διάστημα [>:π] : τέτοιο
ώστε να ισχύει H
f(συνξ) = ;συν
2
x
35. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f H Rà(;∞ : ?) με f(>) = f(?) =
2
1
και η συνεχής συνάρτηση g (x) H Rà (
2
1
: +∞) : με g (@) =A και g (A) = ?<
Να αποδείξετε ότι H
α ) υπάρχει x? στο διάστημα (>:?) ώστε να ισχύει H f(x?) = @x?<
β ) υπάρχει x@ στο διάστημα (@:A) ώστε να ισχύει H g (x@) = x@
γ ) υπάρχει ξ oÎ : ώστε H f(ξ)g(ξ) = ξ<
11. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x10]
36. Δίνεται η συνάρτηση H f(x) = xlnxx ---1
α ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία<
β ) Να βρεθεί το f(Α)<
γ ) Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f(x) τέμνει τον άξονα x΄x
ακριβώς σε ένα σημείο<
37. Δίνεται η συνάρτηση H f(x) = xlnex x
-+-- -
1
α ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία<
β ) Να βρεθεί το f(Α)<
γ ) Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f(x) τέμνει τον άξονα x΄x
ακριβώς σε ένα σημείο<
38. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει
f @(x) ; D f(x) = x@ : για κάθε x oÎ και
επιπλέον η γραφική παράσταση της f(x) τέμνει τον y΄y στο σημείο με
τεταγμένη B<
α ) Να αποδειχθεί ότι f(x) ≠ > : για κάθε x oÎ <
β ) Να βρεθεί ο τύπος της f(x)<
γ ) Να υπολογιστούν τα όρια H
)x(f
x
lim
x
hm
+¥>-
: )x)x(f(lim
x
+
-¥>-
<
39. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει f(@) = A
και f(x)·f(f(x)) = @B : για κάθε x oÎ <
α ) Να βρεθεί η τιμή f(A)<
β ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ oÎ τέτοιο ώστε f(ξ) = D<
γ ) Να βρεθεί η τιμή f(D)<
40. Δίνεται η συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει
7
0
=
+
>- x
x)x(f
lim
x
hm
α ) Να βρεθεί το όριο )x(flim
x 0>-
<
β ) Ομοίως το όριο
x
)x(f
lim
x 30hm>-
<
12. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x11]
41. Δίνεται η συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει
ημ@x ≤ f(x) ≤ x@ : για κάθε x oÎ <
α ) Να αποδειχθεί ότι η f(x) είναι συνεχής στο ><
β ) Να βρεθεί το όριο
x
)(f)x(f
lim
x
0
0
-
>-
<
42. Δίνεται η συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει
8
110
=
-+
-
>- x
x)x(f
lim
x
Να βρεθούν τα παρακάτω όρια H
α ) )x(flim
x 0>-
β ) )
x
)x(f(lim
x
1
0
hm
>-
γ )
x
)x(f
lim
x 50hm>-
43. Δίνεται η συνάρτηση f H με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το R :
επίσης για την f(x) ισχύει H
f A(x) +Af(x) ; @x = C : για κάθε x oÎ <
α ) Να αποδειχθεί ότι η f(x) είναι ?;?<
β ) Να οριστεί η αντίστροφη της<
γ ) Να βρεθεί το όριο
x
x)x(f
lim
x hm
hm 552 1
0
++-
>-
44. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει
x·f(x)+ημAx = Bx ; Cx@ημ )
x
(
1
: για κάθε x oÎ <
α ) Να βρεθεί ο τύπος της f(x)<
β ) Να υπολογιστούν τα όρια H )x(flim
x -¥>-
και )x(flim
x +¥>-
γ ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = > έχει μια τουλάχιστον αρνητική
και μια τουλάχιστον θετική ρίζα<
13. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x12]
45. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει
x·f(x)+@xB = Ax t ημx : για κάθε x oÎ <
α ) Να βρεθεί η τιμή f(>)<
β ) Να βρεθεί το όριο )x(flim
x +¥>-
<
γ ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = > έχει μια τουλάχιστον θετική ρίζα<
46. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει
5
1
2
1
=
-
+
>- x
)x(f
lim
x
και η Cf τέμνει τον y΄y στο σημείο Μ(>:A)<
α ) Να βρεθεί η τιμή f(?)<
β ) Να δειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των f(x) : g (x) = x@;? : έχουν
ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη xο ),( 10Î
γ ) Να υπολογιστεί το όριο
12
2
1 -
++
>- x
xx)x(f
lim
x
<
47. Δίνεται η συνάρτηση f H RàR : έτσι ώστε να ισχύει H
f A(x) +@ f(x) = x + ? : για κάθε x oÎ
α ) Να δειχθεί ότι η f είναι ?;?<
β ) Να αποδειχθεί ότι το σύνολο τιμών της f είναι το o και στη συνέχεια να
βρεθεί η αντίστροφη της<
γ ) Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα<
δ ) Να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο ;?<
ε ) Να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο xο oÎ <
48. Έστω f H RàR : για την οποία ισχύουν H
· συνεχής στο R:
· (x;x@)·f(x)=ημx t x : x < >
· f@(x) + f(x) = ex·(ex t ?) : x >>
· +¥=
+¥>-
)x(flim
x
α ) Να βρεθεί η τιμή f(>)<
β ) Να βρεθεί η f(x)<
14. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x13]
γ ) Να βρεθεί το πρόσημο της f(x)<
δ ) Να βρεθεί το )x(flim
x -¥>-
<
ε ) Να δείξετε ότι η εξίσωση H 0
1
=+
xx
)x(f
sun
: έχει τουλάχιστον μια ρίζα
στο (;π : ;
2
p
)< Δημοσιεύτηκε στο fb την >A<?><?F απ τον συνάδερφο Θ< Παπανδρέου
49. Έστω η συνάρτηση H f(x) =
î
í
ì
>-
£-
11
11
2
x,)x(
x,x
α ) Είναι συνεχής στο ? I
β ) Είναι παραγωγίσιμη στο ? I
γ ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f(x)
στο (@:?)<
50. Δίνεται η συνάρτηση H f(x) =
x
4
:
α ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της f(x) στο τυχαίο Μ(xο : f(xο))
β ) Να δειχθεί ότι το τρίγωνο το οποίο σχηματίζει η προηγούμενη
εφαπτομένη με τους άξονες έχει σταθερό εμβαδόν<
γ ) Αν Α και Β τα σημεία που η εφαπτομένη στο Μ τέμνει τους άξονες : να
δειχθεί ότι το Μ είναι μέσο του ΑΒ<
51. Δίνεται η f(x) = @· 311 ++- )xln(
α ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της<
β ) Να αποδειχθεί ότι είναι ?;?<
γ ) Να οριστεί η αντίστροφη<
δ ) Να λυθεί η εξίσωση H f;?(?+x) = @<
52. Δίνεται η f(x) =
12
2
+x
x
α ) Εξετάστε τη μονοτονία της<
β ) Εξετάστε κυρτότητα και σημεία καμπής<
γ ) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της f(x) <
δ ) Να γίνει η γραφική της παράσταση<
15. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x14]
53. Δίνεται η f(x) = συν(lnx) : xÎ [?: eπ]<
α ) Να γίνει η μελέτη της < (μονοτονία-ακρότατα-σύνολο τιμών)
β ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της f(x) στο σημείο που η
γραφική παράσταση της f(x) τέμνει τον xx΄<
γ ) Εξετάστε την f(x) ως προς την κυρτότητα και τα Σ.Κ <
δ ) Υπολογίστε το Ι = ò
p
e
dx)x(f
1
<
Δημοσιεύτηκε στο fb την ?A<>F<?F απ τη συνάδερφο Ν.Ψαθά
54. Έστω f(x) παραγωγίσιμη στο διάστημα [>:@>?C] με f(>)=> και
f(@>?C)=@>?C<
Να αποδειχθεί ότι H
α ) υπάρχει ένα τουλάχιστον x> Î (>:@>?C) τέτοιο ώστε να ισχύει H
f(x>) + x> = @>?C
β ) υπάρχουν τουλάχιστον ξ? : ξ@ Î (>:@>?C) τέτοια ώστε H f ΄(ξ?)·f ΄(ξ@) = ?<
55. Δίνεται η συνάρτηση f(x) με τύπο H f(x) = B∙ 2-x
e + A<
α ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της< Μονάδες E
β ) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της< Μονάδες ?>
γ ) Να ορίσετε την f;?(x)< Μονάδες F
56. Δίνεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το R για την οποία ισχύει H
xe)x(fe x)x(f
+=+ : x oÎ <
α ) Να δείξετε ότι η f(x) είναι ?;?<
β ) Να λυθεί H f(lnx)= f(?;x@)
γ ) Να δείξετε ότι f(x) = x για κάθε x oÎ <
δ ) Να λυθεί H
2
x
e ; ex + x@ t x > > <
57. Δίνεται η f(x) = (x;?)·lnx ; ? : x > ><
α ) Να δειχθεί ότι η f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο [?:+∞) και γνησίως
φθίνουσα στο (>:?]<
β ) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση H xx;? = e@>?A : x > > : έχει ακριβώς δυο
θετικές ρίζες<
γ ) Αν x? : x@ με x? < x@ είναι οι ρίζες του β) να αποδειχθεί ότι υπάρχει
xο Î( x? : x@) : τέτοιο ώστε να ισχύει H
f ΄(xο) + f(xο) = @>?@
δ ) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την συνάρτηση
g(x) = f(x) + ? :με x > > : τον x ΄x και την ευθεία x = e<
16. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x1R]
58. Δίνεται η συνεχής f H (>:+∞) à R : και ισχύει H
f@(x) + @lnx = ln@x + ? : x > >
α ) Να βρεθούν όλοι οι τύποι της παραπάνω συνάρτησης<
β ) Αν g(x) = ; 1-xln : x > > : να μελετηθεί ως προς την
παραγωγισιμότητα t μονοτονία t ακρότατα ; κυρτότητα<
γ ) Να δειχθεί ότι η γραφική παράσταση της g έχει μοναδικό κοινό
σημείο με την ευθεία (ε) y = x;@ και να βρεθεί το κοινό σημείο<
δ ) Να γίνει η γραφική παράσταση της Cg : (ε) στο ίδιο σύστημα αξόνων<
ε ) Να βρεθεί το εμβαδόν που περικλείεται απ την Cg : την (ε) και την
ευθεία x = A<
Δημοσιεύτηκε στο fb την @C<>G<?F απ τη συνάδερφο Ν< Ψαθά
59. Δίνεται η f(x) =
î
í
ì
=
>
00
0
x,
x,xlnx
:
α ) να αποδειχθεί ότι είναι συνεχής στο ><
β ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί το σύνολο τιμών της<
γ ) Να βρεθεί το πλήθος των διαφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης H
x = x
a
e για όλες τις τιμές του πραγματικού α<
δ ) Να αποδειχθεί ότι H f ΄(x+?) > f(x+?) ; f(x): για κάθε x >><
60. Έστω η f H RàR : δυο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύουν H
· f(>) = A και f΄(>) = ?
· f(x)· f ΄΄(x) t (f ΄(x))@ = @ex : για κάθε x ÎR<
α ) Να αποδειχθεί ότι f(x) > > για κάθε x ÎR<
β ) Να αποδειχθεί ότι η f(x) είναι κυρτή στο R<
γ ) Να αποδειχθεί ότι η g(x) = ln(f(x)) είναι κυρτή στο R<
δ ) Να αποδειχθεί ότι f(x) ≥ A 3
x
e για κάθε x ÎR<
ε ) Αν α : β : γ ÎR με α+ β+ γ = > : να δειχθεί ότι H f(α)·f(β)·f(γ)≥@E<
17. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x16]
61. Δίνεται η f(x) =
x
xln
α ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα της και να δειχθεί
ότι H
x
e
xln
2
£ για κάθε x > ><
β ) Να συγκριθούν οι αριθμοί
11
10 :
10
11
γ ) Να βρεθούν οι α : β ÎR αν ισχύει ότι H
e
a
a
ea
b
b
b
4
=×
62. Δίνεται η f(x) = e@x ; B ex + A : x oÎ <
α ) Να εξεταστεί ως προς τη μονοτονία t ακρότατα<
β ) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες και το πλήθος των ριζών της εξίσωσης
f(x) = )
x
x(lim
x
p
hm×
+¥>-
γ ) Να εξεταστεί ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής η f(x) <
δ ) Να γίνει η γραφική παράσταση της<
ε ) Να λυθούν οι ανισώσεις H
ι ) e@x +@ x + A < B ex
ιι ) @(f(Ax@+?); f(@x@+C)) > f@(@x@+C); f(Ax@+?)
Δημοσιεύτηκε στο fb την @A<>G<?F απ τη συνάδερφο Ν< Ψαθά
63. Δίνεται η f(x) =
î
í
ì
=
>
00
02
x,
x,)x(lnx
:
α ) να αποδειχθεί ότι είναι συνεχής στο ><
β ) Να υπολογιστεί η f ΄(x)<
γ ) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την f(x) τον x ΄x και
τις ευθείες x =? και x = e<
64. Έστω η συνάρτηση f(x) = 2
2
2
+-
x
x
xln
<
α ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα<
β ) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης H
@lnx = xA + x(@α;B) :
για τις διάφορες τιμές του πραγματικού α<
18. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x17]
γ ) Να βρεθούν τα κ : λ : μ ώστε να ισχύει H
f(κ)+ f(λ) = A + μ@
65. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f H RàR : για την οποία ισχύει H
20052
0
=
-
>- x
x)x(f
limx
α ) Να δειχθεί ότι f(>)=> και f ΄(>)=?
β ) Να βρεθεί ο λ oÎ ώστε 3
2 22
22
0
=
+
-
>- )x(fx
)x(fx
limx
l
γ ) Αν επιπλέον f ΄(x) > f(x) για κάθε x oÎ και η f(x) είναι
παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο στο o: να δειχθεί ότι H
ι ) x·f(x) > > : για κάθε x
*
oÎ
ιι ) c ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ @>>C
66. Έστω η f H RàR : παραγωγίσιμη για την οποία ισχύουν H
· f(x) ≠ > για κάθε x >><
· 2111
=+-
)(fe )(f
·
)x(fx
)x(f
)x(f 2
+
=¢ για κάθε x > ><
α ) Να βρεθεί το f(?)<
β ) Να δειχθεί ότι f(x) = x <
γ ) Να βρεθεί το όριο για τις διάφορες τιμές του λ ÎR<
))x(f)xx(f(lim
x
22
54 ×-++
+¥>-
l
δ ) Να βρεθούν οι εφαπτομένες της f(x) που διέρχονται από το (A:@)<
67. α ) Να λυθεί η εξίσωση 0122
=-- xex
: x oÎ
β ) Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f H RàR που ικανοποιούν
τη σχέση H f @(x) = 22
1
2
)xe( x
-- : x oÎ <
γ ) Αν f(x) = 122
-- xex
: x oÎ : να δειχθεί ότι η f(x) είναι κυρτή<
δ ) Να λυθεί η εξίσωση H
f( 3+xhm ); f( xhm )= f(x+A); f(x) : x ),x +¥Î 0
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ @>?D t Θέμα Γ
19. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x18]
68. Έστω f H [>: +∞)à R μια συνάρτηση με f(?) = @e;? : η οποία είναι
συνεχής και ισχύει για κάθε x Î [>: +∞)
x@f ΄(x) ; f(x) + x
e
1
-
= > (?)
α ) Να δειχθεί ότι ο τύπος της f(x) είναι H
f(x) =
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
>+
-
00
01
1 1
x,
x,e)
x
( x
β ) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική
παράσταση της f(x) τον x΄x και τις ευθείες x = ? και x = λ : όπου > < λ < ?<
γ ) Να μελετηθεί η f(x) ως προς τη μονοτονία : να βρεθούν οι ασύμπτωτες
της και να δειχθεί ότι f(x) < ? : για κάθε x ≥ > <
69. Έστω συνάρτηση f(x) ορισμένη και παραγωγίσιμη στο [>:A] : για την
οποία γνωρίζουμε ότι H
· Η γραφική παράσταση της f ΄(x) δίνεται στο παρακάτω σχήμαH
· f(>)=@ : f(?) = >
· Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής
παράστασης της f ΄(x) και των ευθειών x = > : x = A ισούται με F
τ.μ
· Η f(x) δεν ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Ε.Τ στο [>:A]<
α ) Να αποδειχθεί ότι f(A) = @ : f(@) = ;@ και να βρείτε αν υπάρχουν τα όρια
xln
)x(f
lim
x 1>-
:
20 ->- )x(f
x
lim
x
< Δικαιολογήστε< Μονάδες F
20. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x19]
β ) Προσδιορίστε τα διαστήματα στα οποία η f(x) είναι γνησίως αύξουσα :
γνησίως φθίνουσα : κυρτή : κοίλη και τις θέσεις των τοπικών ακροτάτων και
σημείων καμπής της f(x)< Μονάδες F
γ ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό xοÎ(@:A) για το οποίο δεν υπάρχει το
όριο
)x(f
lim
oxx
1
>-
< Μονάδες C
δ ) Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της f(x)< Μονάδες B
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ @>?E t Θέμα Γ
70. Δίνεται η συνάρτηση f(x) =
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
>+-
=
<£-+-
023
02
0
2
23
x,xx
x,
x,a
x
x phm
α ) Να αποδειχθεί ότι η f(x) στο διάστημα [>:@] ικανοποιεί το Θ.Μ.Τ
Αν η f(x) είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της : τότε H
β ) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού α<
γ ) Να μελετηθεί η f(x)ως προς τη μονοτονία<
δ ) Να αποδειχθεί ότι H ò
-
-<<
2
2
1
2
3
p
p
p dx)x(f
ε ) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f( )x×-
2
p
= f( )e x-
×-
2
p
έχει μοναδική
λύση στο (>:?)<
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ @>?E t Θέμα Δ
71. Δίνεται η συνάρτηση f H RàR για την οποία ισχύουν H
· είναι παραγωγίσιμη στο R:
· είναι κυρτή στο R:
· f(α)= f(β) = > : με α < β<
Δείξτε ότι H
α ) υπάρχει μοναδικό xo ÎR τέτοιο ώστε : f ΄(xo) = ><
21. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x20]
β ) η f(x) έχει ελάχιστη τιμή στο xo:
γ ) f(x) < > : για κάθε xÎ(α,β)
δ ) f(@>?E)+ f(@>@?)>@f(@>?G) ε ) +¥=
+¥>-
)x(flimx
72. Δίνεται η συνάρτηση g(x) H (>: +∞)à R : δυο φορές παραγωγίσιμη με
g΄΄(x) < > για κάθε x > > < Αν f(x) = g(x+@)+ g(@;x) και g(@) = > :
α ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f(x)<
β ) Να δειχθεί ότι η f(x) είναι άρτια<
γ ) Να εξεταστεί η f(x) ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα<
δ ) Να εξεταστεί η f(x) ως προς τη κυρτότητα και τα Σ.Κ
ε ) Αν -¥=
>-
)x(glim
x 0
: να βρεθούν οι Κ.Α της f(x)<
στ ) Αν 2<a : να δειχθεί ότι H ò ò
-
+
-
=
a
a
a
a
dx)x(gdx)x(f
2
2
2
Δημοσιεύτηκε στο fb την >@<>C<?F απ τον συνάδερφο Γ< Βεντούρη
73. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 2+x : g(x) =
3
4+x
<
α ) Να βρεθούν τα κοινά σημεία τους και η σχετική τους θέση<
β ) Να εξετάσετε αν η f παραγωγίζεται στο ;@ και στη συνέχεια να
μελετηθεί ως προς τη μονοτονία t ακρότατα t κοίλα και σύνολο τιμών<
γ ) Να γίνει η γρ< παράσταση της f<
δ ) Να βρεθεί το εμβαδόν που περικλείεται απ τις Cf : Cg<
ε ) Να εξετάσετε αν ορίζεται η f;? και να βρεθεί μαζί με το πεδίο ορισμού
της<
στ ) Να χαράξετε τις γρ< παραστάσεις των Cf : Cf
;? <
74. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(x@+?) : g(x) HRàR με g(>) = > και
g΄(x) =
1
1
2
+x
για κάθε xÎR<
α ) Μονοτονία-Ακρότατα-Κοίλα-Σ.Κ της f(x)<
β ) Έχει ασύμπτωτες η f(x): να γίνει χάραξη της<
γ ) Να αποδειχθεί ότι για κάθε α : βÎ R : ισχύει H b
b
-£
+
+
a
a
ln
1
1
2
2
<
22. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x21]
δ ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα H Ι = ò
1
0
dx)x(xf
ε ) Να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται απ τους
άξονες : την f(x) και την ευθεία x = ? είναι ίσο με Ε = @g(?) +ln@;@<
στ ) Να δειχθεί ότι η h(x) = g(x) + g(
x
1
) είναι σταθερή στο (>:+∞)<
ζ ) Να δειχθεί ότι : g(εφx) = x : για κάθε x Î(;
22
pp
, )< Υπόδειξη θέσε g(εφx)=φ(x)
75. Δίνεται η συνάρτηση f(x) =
x
x
hm
: x ÎΔ = (>:π)<
α ) Να δειχθεί ότι η φ(x) = x t @ημxσυνx + xσυν@x : είναι θετική στο Δ<
Υπόδειξη H Είναι δευτεροβάθμια ως προς συν@x : βρείτε τη Δ<
β ) Να δείξετε ότι : f ΄΄(x) =
x
)x(
3
hm
j
και η f(x) είναι κυρτή< Να βρεθούν οι
ασύμπτωτες της<
γ ) Εξετάστε τη μονοτονία t ακρότατα της f(x)< Να βρεθεί το σύνολο
τιμών της και να γίνει η γραφική της παράσταση<
δ ) Να δειχθεί ότι H )
xx
(
x -
+
+
=
- 1
1
1
1
2
1
1
1
2
ε ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα H J = ò
3
2
3
1
p
p hm
dx
x
στ ) Να δείξετε ότι H
ò
3
2
3
p
p
dx)x(f =
2
p
ò
3
2
3
p
p
dx
x
)x(f
=π·ln 3
Δημοσιεύτηκε στο fb την >B<>D<?F απ τον συνάδερφο Mπ< Στεργίου
76. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f H (>:+∞)àR για την οποία ισχύει H
(x@; x)·f ΄(x) + x·f(x) = ? : για κάθε x >>
α ) Να αποδειχθεί ότι H f(x) =
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
¹<
-
11
10
1
x,
x,
x
xln
23. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x22]
β ) Να αποδείξετε ότι H ò ò=
a
a
dt
t
)t(f
dt)t(f
1
1
1
: για κάθε α > ><
γ ) Αν η g είναι αρχική της f(x) με g(?) = > : να αποδείξετε ότι η g είναι
κοίλη <
δ ) Αν Ε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται απ την γρ< παράσταση
της g τον xx΄ και την ευθεία x = A: να αποδειχθεί ότι Ε < @<
Υπόδειξη H Χρησιμοποιήστε την κυρτότητα της g και την εφαπτομένη της στο (?:>)<
ε ) Αν Η αρχική της h(t) = tf(t) : t > > και α > > : να αποδείξετε ότι H
α·(g(α); g (
a
1
)) ≥ Η(α);Η(
a
1
)< Υπόδειξη HΠεριπτώσεις για το α<
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ @>?C t Θέμα Δ
77. Δίνεται η παραγωγίσιμη f H RàR με f(>) = ? και την ιδιότητα H
f ΄(x)·(x@+?)+ x·f(x) = ? +@x·(x+ 12
+x ) : x ÎR
α ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g H RàR με
g(x) = 12
+x ·f(x) ; x 12
+x ; x@ t ? είναι σταθερή και ότι
f(x) = x + 12
+x : xÎR<
β ) Να μελετηθεί η f(x) ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα : το σύνολο
τιμών της και το πλήθος των ριζών της εξίσωσης H 12
+x = @>?F t x<
γ ) Να μελετηθεί η f(x) ως προς τα κοίλα : να βρεθούν οι ασύμπτωτες και να
γίνει η χάραξη της<
δ ) Αν F είναι αρχική της f(x) να λυθεί η εξίσωση H F(@x)+F(Ax) =F(Bx)+ F(Cx)
ε ) Να αποδειχθεί ότι η f(x) αντιστρέφεται και ότι η αντίστροφη της είναι η
f ;?(x) =
x
x
2
12
-
<
στ ) Να λυθεί η εξίσωση H
xxxxx
e)ee)(ee( -----
=-+++ 22422
111 Υπόδειξη H Διαίρεσε όλους με e@;x<
Προτείνεται απ τον συνάδερφο Mπ< Στεργίου για τις Πανελλήνιες @>?F; Δ Θέμα
78. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = xA+ x + ? : x Î R<
24. Γε< Λ Εξαπλατάνου «Μεν< Λουντέμης» Μαθηματικά Γ ΄ Ομ< Προσανατολισμού
x23]
α ) Να αποδειχθεί ότι αντιστρέφεται και να βρεθεί το πεδίο ορισμού της
f;?<
β ) Να μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της f;?<
γ ) Να λυθεί η ανίσωση H f;?(x) ≥ x : x Î R<
δ ) Να υπολογιστεί το πρόσημο της f;?<
ε ) Να υπολογίσετε τους αριθμούς f;?(;?) : f;?(?)<
στ ) Να υπολογιστεί το όριο H )y(flim
y
1
11
-
>-
ζ ) Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της x = f;?(y) ως προς y για y=?<
η ) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ των f : f;?
και των ευθειών x = ;? : x = ?<
Γενική Άσκηση των συναδέρφων Μ.Χατζόπουλου-Β.Κακαβά-Θ.Ποδηματά-Α.Πάτση
Η λύση της είναι ΕΔΩ H httpH==lisari<blogspot<com=@>?F=>D=blog;post<html
79. Δίνεται η f(x) = x ; ,
x2
4
x
*
oÎ <
α ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία t ακρότατα
β ) Να μελετηθεί ως προς την κυρτότητα t Σ.Κ
γ ) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γρ< παράστασης της f(x)<
δ ) Να σχεδιαστεί η γρ< παράσταση της f(x)<
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ @>?F t Θέμα Β
80. Δίνεται η f(x) =
2
2 xe ax
--
: x Î R με α > ?<
α ) Να αποδειχθεί ότι για κάθε α > ? η γρ< παράσταση της f(x) έχει
ακριβώς ένα σημείο καμπής<
β ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν μοναδικά x? : x@ Î R με x? < x@ τέτοια
ώστε η f(x) να παρουσιάζει Τ.Μ στο x? και Τ.Ε στο x@ <
γ ) Να αποδειχθεί ότι f ΄(?) < > για κάθε α > ?<
δ ) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση H f(x) = f(?) είναι αδύνατη στο
διάστημα (α: x@ )<
ε ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της f(x) στο (@: f(@))<
στ ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα H ò --
3
2
222 dx)x(x <
ζ ) Να αποδειχθεί ότι H ò ->-
3
2 15
32
2dxx)x(f
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ @>?F t Θέμα Δ
27. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x1]
7/ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ
1. Να εξεταστούν ως τις τη μονοτονία οι κάτωθι συναρτήσεις 9
α | w1;1w+2 : w³ 0 β | 1w2 +0 γ |
3
x4 -
δ | 2+1 x1
e -
ε |
2x
x3
+
στ | w + kmw
ζ |
1e
1e
x
x
+
-
ΛΥΣΗ
α | Έστω w0 ; w1 : e{w0| ;e{w1|< w0
1 •w1
1 ;1w0 + 1w1 <{w0; w1|{w0+w1 • 1|
e{w0| ;e{w1| ; / : άρα γνησίως αύξουσα στο Z0:+∞|-
β | e{w0| ;e{w1| < 1w0
2 ;0 • 1w1
2 +0 < 1{w0;w1|{w0
1 + w0 w1 + w1
1| ; / :
γιατί το άλλο τριώνυμο ως προς w0 : Δ < ;2w1
1 ; / άρα ομόσημο του 0-
γ | Α < {;¥ : 3 και w0; w1 Þ ;w0 = ;w1 Þ 3; w0 = 3 ;w1 Þ e{w0| =e{w1|
δ | w0; w1 Þ 0; w0 = 0; w1 Þ d0;w0 = d0;w1 Þ e{w0| =e{w1|
ε | w ¹ ;1 άρα Α < {;¥:;1| È{;1:+ ¥| < Α0 ÈΑ1 :
§ έστω w0 ; w1Î Α0: τότε λ <
)2x)(2x(
6
21 ++
= / : γνησίως αύξουσα στο Α0
§ έστω w0 : w1 Î Α1 : τότε λ = / άρα γνησίως αύξουσα στο Α1-
§ Όμως γενικά στο Α δεν είναι τίποτα γιατί e{;4| < +4 και e{+4| < 1-4
άρα ;4;4 και e{;4| = e{+4| -
στ | γνησίως αύξουσα : γιατί :
ζ | Βρίσκω το πρόσημο της παράστασης λ <
12
12
xx
)xEf)xEf
-
-
ή μόνο το
πρόσημο της διαφοράς )xEf)xEf 12 - ή γράφω την συνάρτηση
1e
1e
x
x
+
-
ως εξής
1e
1e
x
x
+
-
<
1
21
+
-+
x
x
e
e
<0 ;
1
2
+x
e
και δουλεύω κατασκευστικά : τελικώς
προκύπτει λ = / ή )xEf)xEf 12 - = / : δηλαδή η συνάρτηση μου είναι
γνησίως αύξουσα στο Q-
28. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x2]
2. Δίνεται η συνάρτηση e 9 QàQ : για την οποία ισχύει
e 2{w| + e{w| + x
2
1
< / {0| για κάθε w oÎ -
α | Να αποδειχθεί ότι η e{w| είναι ª0;0º-
β | Να βρεθεί ο τύπος της e ;0{w|-
γ | Να λυθεί η εξίσωση e ;0{w2 ; w| < e ;0{2 ; 2w|-
ΛΥΣΗ
α | Έστω w0 : w1 ÎQ με e{w0| < e{w1| Þe2{w0| < e2{w1| {1|
Επίσης e{w0| < e{w1| {2| : προσθέτω {1|+{2| και προκύπτει μέσω της {0|
w0 < w1 άρα η e{w| είναι 0;0 και αντιστρέφεται-
β | Θεωρώ τη συνάρτηση f{w| < •1w2 ; 1w : w Î Q και f{Q| < Q-
Η f{w| είναι γνησίως φθίνουσα στο Q γιατί :
έστω w0 : w1 ÎQ με w0 ; w1 Û w0
2 ; w1
2 Û ; 1w0
2 = ;1w1
2 {3|
w0 ; w1 Û ;1w0 = ;1w1 {4| -
Προσθέτω {3|: {4| και προκύπτει f{w0 |= f{w1| : άρα 0;0-
e 2{w| + e{w| + x
2
1
< / Û w < f{e{w|| Û f;0 {w| < e{w| : w Î Q-
Οι συναρτήσεις e : f ;0 έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού και f;0 {w| < e{w| για κάθε
w Î Q άρα θα έχουν και το ίδιο σύνολο τιμών : άρα e{Q| < Q-
f;0 {w| < e{w| Û {f;0 |;0{w| < e ;0{w| Û f{w| < e ;0{w| Û
e ;0{w|< •1w2 ; 1w : wÎQ-
γ | e ;0{w2 ; w| < e ;0{2 ; 2w| Û w2; w < 2;2w Û w2 +1w • 2 < /Û
{w;0|{ w1+w+2| < / Û w < 0-
3. Δίνονται οι συναρτήσεις e{w| <
ae
e
x
x
+
και f {w| < km{w+β| : όπου
α: β oÎ - Η γραφική παράσταση της e τέμνει τον x΄x στο
2
1
- και η γραφική
παράσταση της f τέμνει τον w΄w στο 1-
α | Να βρεθούν οι αριθμοί α και β-
29. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x3]
β | Να ορίσετε την συνάρτηση e go -
γ | Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της e go με τη
γραφική παράσταση της g{w| <
4
x-
-
ΛΥΣΗ
α | e{/|<
2
1
- Û 21
2
1
1
1
=--Û-=
+
a
a
Û α < ;2
f {1| < / Û km{1+β| < km0 Û 1+β < 0 Û β < ;0
β | Η e go έχει πεδίο ορισμού το :
Α < z w Î{0:+ ∞| και km{w;0|≠km2| < z w =0 και w≠3| < {0:3|È{3:+ ∞|-
e go {w|< e{f{w|| <
4
1
31
1
31
1
-
-
=
--
-
=
--
-
x
x
x
x
e
e
)xlnE
)xlnE
-
γ | Λύνω την εξίσωση e go {w| < g{w| στο σύνολο Α-
Έχω : 04444
44
1 22
=-Û+-=-Û
-
=
-
-
xxxx
x
x
x
Û w < ° 1 : δεκτή η
λύση w < 1 που ανήκει στο Α-
Συνεπώς τα κοινό σημείο των δυο συναρτήσεων είναι το {1:
2
1
- |-
30. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x4]
4. Δίνεται η συνάρτηση e 9 QàQ για την οποία ισχύει
1e{;w| + e{w| < αd;w + dw • w : για κάθε w oÎ και α oÎ - Αν η γραφική
παράσταση της e{w| τέμνει τον άξονα x΄x στο 0 -
α | Να βρεθεί ο αριθμός α-
β | Να βρεθεί ο τύπος της e{w|-
γ | Να μελετηθεί η e{w| ως προς τη μονοτονία-
δ | Να λυθεί η ανίσωση 9 03222122
>-++- --
xxee xx
ΛΥΣΗ
α | G e{w| τέμνει τον άξονα x΄x στο 0 άρα e{/| < 0-
Θέτω στη συναρτησιακή σχέση όπου w < / και έχω 9 1e{/| + e{/| < α + 0 Û
2e{/| < α+0 Û α < 1-
β | 1e{;w| + e{w| < 1d;w + dw • w {0| για κάθε w oÎ :
θέτω όπου w το ; w στην {0| και είναι 9 1e{w| + e{;w| < 1dw + d;w + w {1|
Πολλαπλασιάζω την {1| επί ;1 : ;3e{w| ;1e{;w| < ;3dw ;1d;w ;1w {2|
Προσθέτω τις {0| και {2| και έχω 9 ;2e{w| < ;2dw • 2w Û e{w| < dw + w : w oÎ
γ | Έστω w0 : w1 ÎQ με w0 ; w1 Þ 21
21
xexe xx
+<+ Þe{w0| ; e{w1| : άρα η
e{w| είναι γν- αύξουσα στο Q-
δ | 03222122
>-++- --
xxee xx
Û xexe xx
212 21222
-+>-+ --
Û e{w1;1| = e{0;1w| Û w1;1 = 0;1w Û w1+1w;2 = / Û {w+2|{w;0|=/Û
wÎ{;∞:;2|È{0:+∞|-
5. Δίνεται γνησίως φθίνουσα συνάρτηση e{w| με πεδίο ορισμού το Q για
την οποία ισχύει e{dw+1| + e{w+2| < w : για κάθε w oÎ -
α | Να αποδείξετε ότι η e{w| είναι αντιστρέψιμη-
β | Να βρεθούν τα σημεία τομής της e{w| με τον w΄w-
γ | Να λυθεί η ανίσωση 9 e{5 ; e ;0{w1;3|| = /-
ΛΥΣΗ
α | Η e{w| είναι γν- φθίνουσα στο Q άρα 0;0 : συνεπώς αντιστρέφεται στο Q-
β | Όπου w < / : είναι e{d/+1| + e{/+2| < / Û 1e{2| < / Û e{2|</ και η e{w|
είναι γνησίως φθίνουσα άρα τέμνει τον ww΄ μοναδικά στο {2:/|-
31. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
xR]
γ | Αρχικά θα αποδείξουμε την εξής πρόταση 9 ª Αν e{w| είναι γνησίως φθίνουσα
στο Α: τότε η e;0{w| είναι γνησίως φθίνουσα στο e{Α|º-
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Έστω μια γνησίως φθίνουσα e{w| στο Α- Και ψ0 : ψ1Îe{Α| • διάστημα: με ψ0 ; ψ1 -
Υποθέτω ότι η e;0{w| δεν είναι γνησίως φθίνουσα : τότε 9
ψ0 ; ψ1 Þ e;0(ψ0| ≤ e;0(ψ1| Þ e{e;0(ψ0|| ³ e{e;0(ψ1|| διότι η e{w| γνησίως
φθίνουσα : άρα προκύπτει ψ0 ³ ψ1 Άτοπο -
Άρα η e;0{w| είναι και αυτή γνησίως φθίνουσα στο e{Α|-
Τα παραπάνω ισχύουν ΠΑΝΤΑ υπό την προϋπόθεση ότι το e{@| είναι διάστημα-
Τώρα έχω :
e{5 ; e ;0{w1;3|| = / Û e{5 ; e ;0{w1;3|| = e{2| Û 5 ; e ;0{w1;3| ; 2
Û 2 ; e ;0{w1;3| Û e;0{/| ; e ;0{w1;3| Û / = w1 • 3 Û w Î{;1:1|-
6. Δίνεται η συνάρτηση f{w| < dw + w • 0-
α | Να μελετηθεί η f{w| ως προς τη μονοτονία-
β | Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f {w| με τον w΄w-
γ | Δίνεται η συνάρτηση e 9 QàQ : για την οποία ισχύει 9 { fg o |{w| < w ; 0
να αποδείξετε ότι η e{w| είναι προς 0;0-
δ | Να βρείτε το e{0|-
ΛΥΣΗ
α | Όμοια λύση με Άσκηση 3 ερώτημα {γ|- Προκύπτει ότι η f{w| είναι γν-
αύξουσα στο Q-
β | f{/| < / και η f{w| είναι γν- αύξουσα στο Q : άρα διέρχεται απ την αρχή των
αξόνων-
γ | Αρχικά η f{w| έχει πεδίο ορισμού το Q και η e{w| έχει πεδίο ορισμού Q άρα η
f{e{w|| έχει πεδίο ορισμού το Q-
Έστω w0 : w1 ÎQ με e{w0 | < e{w1 | και η f{w| είναι γνησίως αύξουσα άρα 0;0-
Συνεπώς e{w0 | < e{w1 | Þ f{e{w0|| < f{e{w1|| Þ w0 ;0 < w1 ;0 Þ w0 < w1
δ | { fg o |{w| < w ; 0 Û { fg o |{0| < / και f{/| < / συνεπώς :
32. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x6]
{ fg o |{0| < f{/| Û e{0| < /-
7. Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση e 9 {/: +∞|à Q καθώς και η
συνάρτηση f {w| < e{w| • kmw-
α | Να αποδείξετε ότι η f {w| είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της-
β | Να λύσετε την ανίσωση 9 e{dw| ; e{d1| ; w • 1-
ΛΥΣΗ
α | Η f{w| είναι διαφορά δυο συναρτήσεων των e{w| και g{w| < kmw-
Αe < {/: +∞| και @g < {/: +∞| : άρα @f < {/: +∞|-
Για οποιαδήποτε w0 : w1 Î{/: +∞| με w0 ; w1 Þ ;kmw0 = ; kmw1 {0|
Για οποιαδήποτε w0 : w1 Î{/: +∞| με w0 ; w1 Þ e{w0 | = e{w1 | {1|
Προσθέτω {0| και {1| και προκύπτει f{w0| = f{w1| : άρα η f{w| γν- φθίνουσα στο
{/: +∞|-
β | G ανίσωση έχει πεδίο ορισμού το {/: +∞|- Είναι 9
e{dw| ; e{d1| ; w • 1 Û e{dw| • w ; e{d1| • 1 Û
e{dw| • kmdw ; e{d1| • kmd1 Û f{dw| ; f{d1| Û dw = d1 Û w = 1: Δεκτή-
8. Δίνεται η συνάρτηση e{w| < w2 + α w + 1 : α oÎ - Η γραφική παράσταση της
e o e τέμνει τον x΄x στο 03-
α | Να βρεθεί ο α-
β | Να αποδείξετε ότι η e{w| είναι αντιστρέψιμη-
γ | Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων e{w| και e ;0{w|-
δ | Να λύσετε την ανίσωση e{e{ x ;1| ; 4| ; e ;0{03|-
ΛΥΣΗ
α | Η e{w| έχει πεδίο ορισμό το Q : άρα και η e oe έχει το Q-
Η γραφική παράσταση της e o e τέμνει τον x΄x στο 03 άρα { e o e|{/| <03 Û
e{e{/||<03 και e{/| < 1 : άρα Û e{1| < 03 Û 7+1 α + 1 < 03 Û
1 α < 3 Û α < 1-
33. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x7]
β | e{w| < w2 + 1 w + 1 : είναι γνησίως αύξουσα : δοκιμάστε με τον ορισμό : και
άρα 0;0 και αντιστρέφεται-
γ | Αρχικά θα αποδείξουμε την εξής πρόταση 9 ª Αν e{w| είναι γνησίως αύξουσα
στο Α: τότε η e;0{w| είναι γνησίως αύξουσα στο e{Α|º-
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Έστω μια γνησίως αύξουσα e{w| στο Α- Και ψ0 : ψ1Îe{Α| • διάστημα: με ψ0 ; ψ1 -
Υποθέτω ότι η e;0{w| δεν είναι γνησίως αύξουσα : τότε 9
ψ0 ; ψ1 Þ e;0(ψ0| ≥ e;0(ψ1| Þ e{e;0(ψ0|| ³ e{e;0(ψ1|| διότι η e{w| γνησίως
φθίνουσα : άρα προκύπτει ψ0 ³ ψ1 Άτοπο -
Άρα η e;0{w| είναι και αυτή γνησίως αύξουσα στο e{Α|-
Τα παραπάνω ισχύουν ΠΑΝΤΑ υπό την προϋπόθεση ότι το e{@| είναι διάστημα-
Κατόπιν θα αποδείξουμε την εξής πρόταση 9
«Αν η e{w| είναι γνησίως αύξουσα : τότε e{w| < e;0{w| Û w < e{w|º-
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
{ Þ | Έστω ότι e{w| = w Þ e;0{e{w|| =e;0(χ| Þ w =e{w| Άτοπο : ομοίως αν θεωρήσω ότι e{w| ; w θα
καταλήξω σε άτοπο : άρα e{w| < w-
{ Ü | Αν e{w| < w Þ w < e;0{w| < e{w| -
Συνεπώς για να βρώ τα κοινά σημεία των e : e;0 λύνω ως προς w την :
e{w| < w Û w2 + 1 w + 1 < w Û w2 + w + 1 < / Û {w+0|{w1;w+1| < / Û
w < ;0 : αρά κοινό σημείο το {;0: ;0|-
δ | Η ανίσωση έχει πεδίο ορισμού το Q-
e{e{ x ;1| ; 4| ; e ;0{03| Û e{e{ x ;1| ; 4| ; 1 Û e{e{ x ;1| ; 4| ; e{/|
Û e{ x ;1| ; 4 ; / Û e{ x ;1| ; 4 Û e{ x ;1| ; e{0| Û x ;1 ; 0 Û
x ; 2 Û ;2 ; w ; 2-
9. Δίνεται η συνάρτηση e{w| < α + dw;0 : α oÎ -
α | Να αποδείξετε ότι η e{w| είναι αντιστρέψιμη-
34. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x8]
β | Αν ισχύει e ;0{3| < 0 : τότε να βρεθεί ο α -
γ | Δίνεται η συνάρτηση f{w| < 1dw;2 + w • 1 : να αποδείξετε ότι η f {w| είναι
0;0-
δ | Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων f {w| και f;0 {w|-
ΛΥΣΗ
Περιέχει όμοια ερωτήματα με τις ασκήσεις 0;7- Δοκιμάστε να τη λύσετε- Για απορίες ΜΗ
διστάσετε- Μπορείτε να στείλετε τις απορίες σας στο μειλ 9 hnqc`mhrjnr?rbg-fq
10. Δίνεται η συνάρτηση e{w| 9 QàQ για την οποία ισχύει
e 2{w| + 1 e{w| < 01dw : w oÎ {0|-
α | Να αποδειχθεί ότι e{w| = / για κάθε w oÎ -
β | Να βρείτε τα σημεία τομής της e{w| με τον x΄x-
γ | Να αποδείξετε ότι η e{w| είναι 0;0-
δ | Να λυθεί η εξίσωση 9 e{ x ;2|<
2
22 1
e
lne ln
+ -
ΛΥΣΗ
α | e 2{w| + 1 e{w| < 01dw Û {e 1{w| + 1|e{w| < 01dw Απ τη σχέση αυτή
προκύπτει ότι e{w| = / για κάθε w oÎ -
β | Για w < / στην παραπάνω σχέση και έχω 9 e 2{/| + 1e{/| < 01 Û
{e 1{/| + 1 e{/|+5|{ e{/|;1|< / Û e{/| < 1 : άρα τέμνει τον xx΄ στο {/:1|-
γ | Έστω w0 : w1 oÎ με e{w0| < e{w1| Þ e2{w0| < e2{w1| {0|
Επίσης 1e{w0| < 1e{w1| {1| : από πρόσθεση των {0| και {1| κατά μέλη έχω 9
e 2{w0| + 1e{w0| < e 2{w1| + 1e{w1| Þ „„-- w0 < w1 άρα η e{w| είναι 0;0-
δ | Πεδίο ορισμού της εξίσωσης είναι το Q- Είναι 9
e{ x ;2|<
2
22 1
e
lne ln
+ Û e{ x ;2|< 24 - Û e{ x ;2|<1 Û e{ x ;2|< e{/|
Û x ;2</ Û w < °2-
11. Δίνεται η e{w| 9 QàQ για την οποία ισχύει 9 e{e{w|;1| < w {0|
α | Να αποδείξετε ότι η e{w| είναι 0;0-
β | Να αποδείξετε ότι e ;0{w| < e{w;1| : w oÎ -
35. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x9]
γ | Να λυθεί η εξίσωση 9 e{1dw ;0| < e ;0{2|-
ΛΥΣΗ
Περιέχει όμοια ερωτήματα με τις ασκήσεις 0;0/- Δοκιμάστε να τη λύσετε- Για απορίες
ΜΗ διστάσετε- Μπορείτε να στείλετε τις απορίες σας στο μειλ 9 hnqc`mhrjnr?rbg-fq
12. Δίνονται οι συναρτήσεις e{w| < dw + d;w : f {w| < 2συνw;0-
α | Να αποδείξετε ότι η e{w| έχει ελάχιστο το 1-
β | Να βρεθούν τα ακρότατα της f {w|-
γ | Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των e{w| : f {w| -
ΛΥΣΗ
α | Είναι Α < Q : για w </ είναι e{/| < 1- Συνεπώς η e{w| παίρνει την τιμή 1-
Αρκεί να δείξω ότι 9 e{w| ≥ 1 για κάθε w στο Α-
Είναι e{w|≥1 Û dw + d;w ≥1 Û d1w + 0 ≥ 1dw Û {dw • 0|1 ≥ / : που ισχύει-
β | Η f{w| έχει πεδίο ορισμού το Q και περίοδο 1π: είναι μια μετατόπιση της
3συνw μια θέση προς τα κάτω- Επίσης έχω :
;0 ≤ συνw ≤0 Û ;2≤3συνx≤2 Û ;3 ≤ 2συνw • 0 ≤ 1 : ακρότατες τιμές το ;3
για w <{1λ;0|π και 1 για w <1κπ : κ: λ wÎ -
γ | Από {α| και {β| προκύπτει ότι οι δυο συναρτήσεις τέμνονται μόνο στο {/:1|-
36. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x10]
13. Δίνεται η συνάρτηση e 9 {/: +∞|à Q : για την οποία ισχύουν
e{0| + e{d| < 1d+2 και e{w| ; e{x| < km
y
x
+1{w;x| : w : xÎ {/: +∞|-
α | Να βρεθούν τα e{0| και e{d|-
β | Να βρεθεί ο τύπος της e{w|-
γ | Να αποδείξετε ότι η e{w|είναι αντιστρέψιμη-
δ | Να λύσετε την ανίσωση 9 3{w1 ; 0| ;
83
10
2
2
+
+
x
x
ln -
ΛΥΣΗ
α | e{0| + e{d| < 1d+2 {0| και θέτω στην άλλη σχέση όπου w<0 και x<d-
Είναι: e{0| ; e{d| < ;0+1{0;d| Û e{0| ; e{d| < 0;1d {1|
Προσθέτω τις {0| και {1| και προκύπτει 1e{0| <3 Û e{0| < 1 και e{d| < 1d+0-
β | e{w| ; e{x| < km
y
x
+1{w;x| {2| : w : xÎ {/: +∞|- Στην {2| θέτω όπου x<0 και
προκύπτει 9 e{w| ; e{0| < km x +1{w;0| Þ e{w| < kmw + 1w : w =/-
γ | Είναι γν.αύξουσα στο {/:+∞| - Δες Άσκηση 0 στ|- Άρα 0;0-
δ | Sn πεδίο ορισμού της ανίσωσης είναι το Q-
3{w1 ; 0| ;
83
10
2
2
+
+
x
x
ln Û km{w1 + 0/| + 1{w1 +0/| = km{2w1+7| + 1{2w1+7|Û
e{w1+0/| = e{2w1+7| Û w1+0/ = 2w1+7 Û w1 • 0 ; / Û ;0; w ;0-
37. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x11]
14. Δίνεται η συνάρτηση e 9 QàQ για την οποία ισχύει 9
e 2{w| + 2e{w| + w < / {0| : w oÎ -
α | Να βρεθεί το e{/|
β | Να αποδείξετε ότι η e{w|αντιστρέφεται και να βρεθεί η e ;0{w|-
γ | Να αποδείξετε ότι η e{w| είναι γνησίως φθίνουσα-
δ | Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της e{w|είναι
κάτω από τον w΄w
ε | Να λυθεί η ανίσωση 9 e{ e{ x +0| • 02 | ; 1-
ΛΥΣΗ
Περιέχει όμοια ερωτήματα με τις ασκήσεις 0;02- Δοκιμάστε να τη λύσετε- Για απορίες
ΜΗ διστάσετε- Μπορείτε να στείλετε τις απορίες σας στο μειλ 9 hnqc`mhrjnr?rbg-fq
15. Δίνεται η συνάρτηση e{w| για την οποία ισχύει 9
e{e{w|| + w < 1//3 : w oÎ {0|
Να δείξετε ότι 9
α | η e{w| είναι 0;0:
β | e{Q| < Q και κατόπιν ότι 9 e ;0{w| < ; e{w| + 1//3:
γ | η e{w| δεν είναι γνησίως μονότονη:
δ | e{/| + e{1//3| < 1//3-
ΛΥΣΗ
α | Έστω w0 : w1 ÎQ με e{w0| < e{w1| Þ {eoe|{w0| < {eoe|{w1| Þ
1//3 ; w0 < 1//3 ; w1 Þ w0 < w1 : άρα 0;0-
β | Έστω τυχαίο xn ÎQ : αν θεωρήσουμε το wο < e{1//3 ; xn| έχουμε
Þ e{wο| < e{e{1//3 ; xn|| < 1//3 • 1//3 + xn < xn : άρα e{Q| < Q-
{e oe|{w| < 1//3 ; w : θέτω όπου w < e ;0{w| :
{e oe|{ e ;0{w|| < 1//3 ; e ;0{w| Û e{w| < 1//3 ; e ;0{w| Û
e ;0{w| < ; e{w| + 1//3-
γ | Έστω ότι η e{w| είναι γν- μονότονη και συγκεκριμένα γν- αύξουσα : τότε για
κάθε
w0 : w1 ÎQ με w0 ; w1 Þ e{w0| ; e{w1| Þ {eoe|{w0| ; {eoe|{w1| Þ
1//3 ; w0 ; 1//3 ; w1 Þ w0 = w1 : ΑΤΟΠΟ : ομοίως για e{w| γν- φθίνουσα-
38. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x12]
δ | Θέτω στην {0| w < / : τότε e{e{/||< 1//3 Û e;0 {1//3| < e{/| {1|
Θέτω w < 1//3 στην σχέση β| και έχω 9 e ;0{1//3| < ; e{1//3| + 1//3 : η οποία
μέσω της {1| γίνεται e{/| < ; e{1//3| + 1//3 Û η ζητούμενη σχέση-
16. Δίνεται η συνάρτηση e 9 Qà Q για την οποία ισχύει 9
e{α+β| < e{α| + e{β| : για κάθε α: β oÎ
α | Να δείξετε ότι e{/| < /
β | Να δείξετε ότι e{;w| < ; e{w|
γ | Αν η e{w| < / έχει μοναδική ρίζα : να δείξετε ότι η e{w| αντιστρέφεται-
δ | Να δειχθεί ότι 9 e;0{w+ x| < e;0{w| + e;0{x| : w : x oÎ -
ΛΥΣΗ
α | α < β < / στη σχέση και e{/| < 1 e{/| Û e{/| < /-
β | α < w και β < ; w στη σχέση και e{/| < e{w| + e{;w| Û ;e{w| < e{;w|-
γ | Αν η e{w| < / έχει μοναδική ρίζα και από {α| είναι w < /-
Έστω w0: w1 oÎ με e{w0| < e{w1| Þ e{w0| ; e{w1| < / Þ e{w0| + e{;w1| < / Þ
e{w0; w1| < / Þ w0 ; w1 < / Þ w0 < w1 άρα η e{w| 0;0-
δ | Έστω ότι w < e{α| και x < e{β| : w : x oÎ .Τότε e ;0{w| < α και e ;0{x| < β-
Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω είναι 9 e ;0{w| + e ;0{x| < α + β {0|-
Επίσης e{α+β| < e{α| + e{β| Û e{α+β| < w + x Û α+β < e ;0{w+ x| {1|-
Από {0| : {1| προκύπτει το ζητούμενο-
17. Έστω ότι υπάρχει e{w|: η οποία για κάθε w oÎ : ικανοποιεί τη σχέση 9
e2{w| + 4e{w| + w < / {0|
α | Αποδείξτε ότι η e{w| αντιστρέφεται και βρείτε την αντίστροφη της-
β | Βρείτε τα κοινά σημεία των Be : Be
;0-
ΛΥΣΗ
α | Όμοια με Άσκηση 1 α| και β|- Η e;0{w| < ; w2 ; 4 w : w oÎ -
39. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x13]
β | | Αν θέλουμε να βρούμε τα κοινά σημεία των e;0{w| : e{w| : τότε λύνουμε το
(Σ| 9
î
í
ì
=
=
-
)x(fy
)x(fy
1
: το οποίο είναι ισοδυναμεί
με το {Σ1| 9
î
í
ì
=
=
-
-
)x(fy
)y(fx
1
1
: μιας και γνωρίζω μόνο την e;0{w|
î
í
ì
=
=
-
-
)x(fy
)y(fx
1
1
Û
î
í
ì
--=
--=
xxy
yyx
5
5
3
3
Û
î
í
ì
-+-=-
--=
)xyExyxy
yyx
5
5
33
3
Û
î
í
ì
-+-=
--=
)xyExy
yyx
40
5
33
3
Û
î
í
ì
+++-=
--=
)xxyy)ExyE
yyx
40
5
22
3
Û
î
í
ì
=
--=
xy
yyx 53
Û
î
í
ì
=
--=
xy
xx 60 3
Û
î
í
ì
=
+=
xy
x)xE 60 2
Û
î
í
ì
=
=
0
0
y
x
-
Άρα μοναδικό σημείο τομής των Be : Be
;0 : το {/:/|-
18. Έστω e{w| για την οποία ισχύει 9 e{e{w|| < w 2 : για κάθε χ oÎ - {0|
α | Αποδείξτε ότι η e{w| αντιστρέφεται-
β | Να δειχθεί ότι 9 e{w2| < {e{w||2 ΥΠΟΔΕΙΞΗ β | βάλε όπου χ το e{w| στην {0|
γ | Λύστε την εξίσωση 9 e{w| < w-
δ | Αποδείξτε ότι 9 Ze{;0|2+ Ze{0|2 < e{/|-
ε | Αν e{7| < 53 : υπολογίστε το e{1|-
ΛΥΣΗ
Περιέχει όμοια ερωτήματα με τις ασκήσεις 0;06- Δοκιμάστε να τη λύσετε- Για απορίες
ΜΗ διστάσετε- Μπορείτε να στείλετε τις απορίες σας στο μειλ 9 hnqc`mhrjnr?rbg-fq
19. Δίνονται οι συναρτήσεις e{w| < x
x
x
-
3
2
: f {w| <
x
x3
-
α | Εξετάστε αν είναι ίσες οι e{w| : f {w|-
β | Σχεδιάστε τη συνάρτηση g{w| <
î
í
ì
>
£-
0
0
x)IxEf
xIx
και την ευθεία
x < ;w+1 στο ίδιο καρτεσιανό σύστημα και κατόπιν να λυθούν :
40. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x14]
ι | η εξίσωση g{w| + w • 1 < /
ιι | η ανίσωση g{w| + w • 1 ≤ /
γ | Η γραφική παράσταση της g{w| και η ευθεία x < 0 σχηματίζουν
τρίγωνο: να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν Ε του μικτόγραμμου τριγώνου
είναι Ε ; 0 τ- μ
Δημοσιεύτηκε στο ea την 13-/5-07 απ τον συνάδερφο Γ- Μπαρακλιανό
ΛΥΣΗ
α | Αe < {/:+∞| : @f < {/:+∞| : έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού-
Και για κάθε wÎ{/:+∞| είναι 9 e{w| < x
x
x
-
3
2
< x : f {w| <
x
x3
< x -
Άρα και το ίδιο τύπο για κάθε w στο Α συνεπώς είναι ίσες-
β |
ι | Για την εξίσωση g{w| + w • 1 < / Û g{w| < ; w + 1 : μας ζητάει τα κοινά
σημεία των 1 συναρτήσεων g{w| και της ευθείας x < ; w +1-
41. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x1R]
Σύμφωνα με το σχήμα βλέπουμε ότι είναι ένα και μοναδικό !
Αλγεβρικά λοιπόν :
Για / ; w ; 1 είναι x < 1 • w Û w < 3 ; 3w + w1 Û / < 3 ; 4w + w1 Û
w < 0 ή w < 3 {Απορρίπτεται απ τον περιορισμό / ; w ; 1|-
Άρα μοναδικό σημείο τομής το {0 : 0|-
ιι | Για την ανίσωση g{w| + w • 1 ≤ / Û g{w| ≤ ; w + 1 μας ζητάει τις τιμές του
w για τις οποίες η g{w| είναι ΚΑΤΩ απ την ευθεία x < ; w +1-
Σύμφωνα με το σχήμα είναι ; ∞ ; w ≤ 0 : γιατί:
γ |
Το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου Ε : είναι αυστηρά μικρότερο απ το
εμβαδόν του τριγώνου {ΟΒΓ| < 0 τ.μ : άρα Ε ; 0-
20. Δίνεται e{0;dw| < w : w ≥ /-
α | Να υπολογιστεί ο τύπος και το πεδίο ορισμού της e{w|-
β | Να αποδειχθεί ότι 9 e{0;π1| = e{1;π1| και ότι η e{w| έχει ελάχιστη τιμή
το /-
γ | Δίνεται η ω{w| <
ï
î
ï
í
ì
Î
Î
Ax)IxEg
BxI
x
x3
: όπου f {w| < e{w| +e{;w| και Α,Β τα
ευρύτερα δυνατά σύνολα στο Q-
ι | Να βρεθούν τα Α και Β-
ιι | Να δειχθεί ότι ω{;w| < ;ω{w| για κάθε w στο Q-
42. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x16]
ιιι | Να δειχθεί ότι η καμπύλη της s{w| < w1+αw : α ; / : τέμνει την
γραφική παράσταση της ω{w| σε ένα μόνο σημείο-
Δημοσιεύτηκε στο ea την 2/-/5-07 απ τον συνάδερφο Γ- Μπαρακλιανό
ΛΥΣΗ
α | e{0;dw| < w : w ≥ / Û e{f{w|| < w: w ≥ / : όπου f{w| < 0 • dw : @f < Z/:+∞|-
t < f{w| < 0 • dw Û 0 • t < dw Û km{0;t| < w : w≥/ και t ≤ /-
Άρα e{f{w|| < w Û e{t| < km{0;t| Û e{w| < km{0;w| : @e<{;∞:/-
β | Η e{w| είναι γν- φθίνουσα συνάρτηση στο Αe- Άρα
e{0;π1| = e{1;π1| Û 0;π1 ; 1;π1 Û 0 ; 1 που ισχύει-
Η e{w| είναι γν- φθίνουσα συνάρτηση στο Αe : άρα e{Α| < Ze{/| : ))xEflim
x -¥>-
<
Z/: +∞|- Η ελάχιστη τιμή της είναι το / για w < /-
γ | ι| Η e{;w| έχει πεδίο ορισμού το Γ0 < z w oÎ και ; w≤/| < Z/:+∞|
Η e{w| έχει πεδίο ορισμού το {;∞:/-
Η f{w| < e{w|+ e{;w| έχει πεδίο ορισμού την τομή των παραπάνω : άρα το
μονοσύνολο z/|-
Συνεπώς Α < z/|- Το Β < Q*- Και :
ω{w| <
ï
î
ï
í
ì
==
+¥È-¥Î
00
00
3
xI)xEg
)IE)IExI
x
x
43. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x17]
ιι| Απλό : προσπαθήστε το : αν δεν τα καταφέρετε : μη διστάσετε-
ιιι | ω{w|< s{w| Û axx
x
x
+= 2
3
Û Για w = / είναι α w < / Αδύνατη-
Για w ; / είναι 9 ; w1 < w1 +α w Û / < w{w+α| Û w < ;α Αδύνατο-
Για w < / είναι / < w1 +α w Û / < w{w+α| Û w < ;α ή w < /-
Η καμπύλη της s{w| < w1+αw : α ; / : τέμνει την γραφική παράσταση της ω{w| σε
ένα μόνο σημείο το {/ : /|-
21. Δίνεται ότι e{1w+0| < 1w;2 : w oÎ -
α | Να δειχθεί ότι e{w| < w;3 : w oÎ -
β | Αν Αe < Z;0:1 : να βρεθούν τα πεδία ορισμού των παρακάτω
συναρτήσεων 9 f{w|<e{1w;0| : g{w| < e{km{w+0|| :φ{w|<e{d;w|
γ | Αν e{s{w|| < kmw • 0 : w = / : να βρεθεί η συνάρτηση )xEt
δ | ι | Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της v{w| < kme{w|; ))xEfEf-
ιι | Να δειχθεί ότι v{w| ≤ km3 : για κάθε w wAÎ -
Δημοσιεύτηκε στο ea την /0-/6-07 απ τον συνάδερφο Γ- Μπαρακλιανό
ΛΥΣΗ
α | θέτω t < 1w+0 Û w <
2
1-u
: τότε e{1w+0| < 1w;2 Û e{t| < 1
2
1-u
;2
44. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x18]
Û e{t| < t;3 ή e{w| < w • 3 : w oÎ .
β | Αf < z w oÎ . ;0≤1w;0≤1 | < Z/:
2
1
Αg < z w = ;0 . ;0 ≤ km{w+0| ≤ 1 | < z w = ;0 . kmd;0 ≤ km{w+0|≤ kmd1 | <
z w = ;0 . d;0 • 0 ≤ w ≤ d1 ; 0 | < Zd;0 • 0 : d1 • 0 -
@φ < z w oÎ . ;0≤ d;w ≤ 1 | < z w oÎ . / ; d;w ≤ 1 | <
< z w oÎ . -w ≤ km1| < Zkm1:+∞|-
γ | e{s{w|| < kmw • 0 : w = /
e{s{w|| < s{w| • 3 : και απ αυτές τις δυο σχέσεις προκύπτει ότι 9
s{w| < kmw+2 : w = /
Άρα )xEt < 3+xln : με πεδίο ορισμού το παρακάτω διάστημα-
Β < z w = / και kmw+2 ≥ / | < z w = / και kmw ≥ ;2 | < z w = / και w ≥ d;2 | <
< Zd;2 : +∞ |-
δ ι | Είναι e{e{w|| < w • 3 • 3 < w • 7 Û ; e{e{w|| < 7 • w : w oÎ
Αv < z e{w| = / και 7 • w ≥ / | < z w;3 = / και w ≤ 7| < {3:7-
ιι | v{w| < km{w;3| ; x-8 : w wAÎ -
G συνάρτηση αυτή είναι γνησίως αύξουσα : γιατί :
w0 : w1 wAÎ με w0 ; w1 Þ km{w0 ;3| ; km{w1 ;3| {0|
w0 : w1 wAÎ με w0 ; w1 Þ ; 21 88 xx --<- {1|
Προσθέτοντας {0| +{1| προκύπτει v{w0| ; v{w1| : για κάθε w0 : w1 wAÎ -
Η μέγιστη τιμή της είναι η v{7| < km3 :άρα ισχύει το ζητούμενο-
22. Δίνεται η e{w| <
x1x
1
++
: w ³ /-
α | Mα δείξετε ότι: e{w| < x1x -+
45. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x19]
β | να αποδείξετε ότι e{w| = / για κάθε w ³ /
γ | να αποδείξετε ότι η e{w| αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη
της-
δ | Mα δειχθεί ότι για κάθε w ³ / ισχύει 9 e{w| £ 0
ε | Να δειχθεί ότι η μέγιστη τιμή τις e{w| είναι το 0-
στ | Mα λύσετε την εξίσωση 9
{ x1x -+ |{ 1)8xx7xx 33
=-++-+ Z Ευκλείδης τεύχος 47
ΛΥΣΗ
α | Απλό: κάντε συζυγή παράσταση-
β | Α < Z/:+ ¥| και e{w| < x1x -+ = xx - < / άρα e{w| = /
γ | e{w0|< e{w1| Û 1x1x 21 +-+ < 21 xx - Û συζυγή παράσταση και
μετά χιαστί πολλαπλασιασμός και καταλήγω στο
{w0 ;w1| Ze{w0| +e{w1| < / Û η δεύτερη ποσότητα είναι =/ και προκύπτει sn
ζητούμενο-
x < e{w| Û x = / και x < x1x -+ Û x + =x 1x + Û υψώνω στο
τετράγωνο και 1 x x < 0;x1 Û x < {0;x1| . 1x και πρέπει να ισχύει
/;x£ 0 και τελικώς βρίσκω την αντίστροφη-
δ | e{/| < 0 και έστω ότι e{w| £ 0 Û x1x -+ £ 0 Û
1x1x +£+ και υψώνω στο τετράγωνο και καταλήγω στο 1 0x ³ που
ισχύει για κάθε w ³ /-
46. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x20]
ε | Για κάθε w ³ / : ισχύει e{w| £ e{/| : άρα„„
στ | Διαιρώ με τη δεύτερη παρένθεση και τα δυο μέλη και μετά κάνω συζυγή
παράσταση μόνο στο δεύτερο μέλος και προκύπτει 9 e{w| < e{w2+w;7| Û w < 1-
23. Δίνεται η e{w| < w+ 1x2
+ - Να αποδείξετε ότι 9
α | e{w| = / για κάθε χ oÎ
β | η e{w| αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη της-
Z Ευκλείδης τεύχος 47
ΛΥΣΗ
α | e{w| < w+ 1x2
+ = w + x ³ / : γιατί ;w £ x £ w : για κάθε w
β | e{w0| < e{w1| Û και μετά από συζυγή παράσταση και προκύπτει 9
w0 ; -=+ 2
2
1 x1x 1x2
2 + {0| και επειδή ισχύει και η e{w0| <e{w1| {0| : τότε
προσθέτοντας κατά μέλη θα προκύψει w0 < w1-
x <e{w| Û x < w+ 1x2
+ : x = / γιατί το e{w| = / -
Και κάνω πάλι συζυγή και βγαίνει 9 x <
1xx
1
2
+-
-
Û 0.x < 1x2
+ ;w
0.x • x < 1x2
+ ;w;x Û 0.x •x < ;1wÛ x ;0.x < 1wÛ w <
y
y
2
12
-
w = /-
24. Δίνεται η e{dw| < kmw • 0 : w = 0-
α | Να βρεθεί η e{w|-
47. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x21]
β | Να δειχθεί ότι e{ x | ; e{w+0| για κάθε w =0
γ | Να δειχθεί ότι e;0{w| <
1+x
e
e : w oÎ -
δ | Να υπολογιστούν τα όρια 9
ι | 2
1 1)xE
)xEf
lim
x -+
>-
ιι | 2
1
1 1)xE
)xEf
lim
x +
-
->-
ε | Αν f{w| < e{dw| και το Ο{/:/| και Α{d:f{d|| και Γ{w: f{w|| με w = d : να
δειχθεί ότι η γωνία ΟΑΓ είναι μεγαλύτερη των 8//-
Δημοσιεύτηκε στο ea την 06-/7-07 απ τον συνάδερφο Γ- Μπαρακλιανό
ΛΥΣΗ
α | θέτω t < dw Û w < kmt : τότε e{t| < km{kmt|;0 : w = 0
Û e{w| < km{kmw| •0 : w oÎ .
β | x ; w : για κάθε w = 0 : άρα x ; w + 0 Û „„„„
γ | x < e{w| Û „„„„ και λύνω ως προς w-
δ | ι | ;∞ ιι | +∞
ε | δείχνω ότι 9 0=× AGAO
25. Έστω e 9 {/:+∞| και για κάθε w = / ισχύει 9 x)xEfe )xEf
=× {0|
α | Να δειχθεί ότι η e{w| είναι γν.αύξουσα-
β | Να υπολογιστεί το e{Α|-
γ | Να λυθεί η e;0{dw| ; km3
δ | Να βρεθεί το Π.Ο της f{w| < e{d+1συνw+0| και να λυθεί η f{w| < 0-
Δημοσιεύτηκε στο ea την 07-/7-07 απ τον συνάδερφο Γ- Μπαρακλιανό
26. Δίνεται η συνάρτηση e 9 QàQ για την οποία ισχύει 9
w¶e{w|≤ w1+2w : w oÎ :
και το όριο )xEflim
x 0>-
υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός-
α | Να αποδειχθεί ότι )xEflim
x 0>-
< 2-
β | Να βρεθεί το όριο
21
4132
0 -+
-+--
>- )xEf
)xEf)xEf)xEf
lim
x
-
48. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x22]
ΛΥΣΗ
α |
Ø Για κάθε w = / ισχύει e{w|≤ w+2 {0| Þ )xEflim
x +
>- 0
≤ 2 {1|
Ø Για κάθε w ; / ισχύει e{w|≥ w+2 {2| Þ )xEflim
x -
>- 0
≥ 2 {3|
Από {1| : {3| επειδή το όριο )xEflim
x 0>-
υπάρχει : τα πλευρικά θα υπάρχουν και
θα είναι ίσα με αυτό άρα )xEflim
x 0>-
< 2-
β | 14
0
-=-
>-
))xEfElim
x
; / Þ κοντά στο / ισχύει )xEf)xEf -=- 44
Το ζητούμενο όριο γίνεται 9
21
4132
0 -+
-+--
>- )xEf
)xEf)xEf)xEf
lim
x
<
))xEfE
))xEf)E)xEf)E)xEfE
lim
)xEf
)xEf)xEf
xx
lim
3
2113
0
0
21
34
0
2
0 -
++--
==
-+
+-
>->-
< 7-
27. Δίνεται η συνάρτηση e 9 QàQ για την οποία ισχύει 9
20
24
3
0
=
-+
+
>- x
x)xEf
lim
x
hm
Να βρεθούν : αν υπάρχουν : τα όρια 9
α | )xEflim
x 0>-
β |
x
)xEf
lim
x 0>-
γ |
x
)xEf
lim
x hm0>-
δ | 3
0
2
x
)xEf)xEf
lim
x
-
>-
ΛΥΣΗ
α | Θεωρώ τη συνάρτηση : f{w| <
24
3
-+
+
x
x)xEf hm
: με πεδίο ορισμού το
Α<{;3:/| )IE +¥È 0 -
49. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x23]
Είναι: f{w| <
24
3
-+
+
x
x)xEf hm
Û e{w| < x)xEg)xE 324 hm--+ :
Άρα )xEflim
x 0>-
< / από ιδιότητες ορίων-
β | Για w ≠ / : είναι
x
x
)xEg
x
x
x
)xEf 324 hm
-×
-+
=
Υπάρχουν όλα τα επιμέρους όρια : άρα από ιδιότητες ορίων προκύπτει 9
x
)xEf
lim
x 0>-
<4 • 2 < 1
γ |
x
)xEf
lim
x hm0>-
< 2
1
2
0
==
>-
x
x
x
)xEf
lim
x hm
-
δ | 3
0
2
x
)xEf)xEf
lim
x
-
>-
< =
-
=
-
>->-
2
0
3
0
2
2
2
2
x
x
)xEf
x
)xEf
x
x
x
)xEf)xEf
limlim
xx
<{1;3|{+∞| < ;∞-
28. Δίνεται η συνάρτηση e 9 QàQ για την οποία ισχύει 9
1
5
24 2
2
=
-
--
>- x
)xx)ExEf
lim
x
Να βρεθούν : αν υπάρχουν : τα όρια 9
α | )xEflim
x 2>-
β | )xEf)xEf)xEfxlim
x
2784 2
2
-+-
>-
-
ΛΥΣΗ
Περιέχει όμοια ερωτήματα με τις ασκήσεις 0;14- Δοκιμάστε να τη λύσετε- Για απορίες
ΜΗ διστάσετε- Μπορείτε να στείλετε τις απορίες σας στο μειλ 9 hnqc`mhrjnr?rbg-fq
29. Δίνεται η συνάρτηση e 9 QàQ για την οποία ισχύει 9
242
-+£- xx)xEf : για κάθε w oÎ -
Να βρεθούν τα όρια 9
50. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x24]
α | )xEflim
x 0>-
β |
x
)xEf
lim
x 0>-
γ |
x
))xEfE
lim
x
hm
0>-
-
ΛΥΣΗ
Περιέχει όμοια ερωτήματα με τις ασκήσεις 0;15- Δοκιμάστε να τη λύσετε- Για απορίες
ΜΗ διστάσετε- Μπορείτε να στείλετε τις απορίες σας στο μειλ 9 hnqc`mhrjnr?rbg-fq
30. Έστω e{w| <
1
1
2
232
++
++-
xx
xx)E
l
ll
: λ oÎ -
α | Να βρεθεί το )xEflim
x -¥>-
για κάθε λ oÎ -
β | Αν λ < / : να υπολογιστούν 9
ι | )xEflim
x 1->-
ιι | xx
xx
x e
)e)ExEf
lim
23
2
0 +-
+
>-
ιιι | xx
xx
x e
)e)ExEf
lim
2
2
+
-
+¥>-
γ | Αν λ < 0 : να δειχθεί ότι 9
ι | 02018
=×
+¥>-
)x)
x
)xEf
EElim
x
hm
ιι | e{w| = 0 για κάθε w στο {;1:/|
ιιι | 3
43
43
2018
1
=
+
-
+
+
-¥>-
xx
xx
x
))ExEf
lim
δ | Το όριο της περιμέτρου ορθ- Παραλληλογράμμου με μήκη 0 μον και
e{w| μονάδες όταν wà+∞ είναι 3 μον- Τι μπορούμε να ισχυριστούμε για
το ορθογώνιο όταν wà+∞-
Δημοσιεύτηκε στο ea την 1/-/7-07 απ τον συνάδερφο Γ- Μπαρακλιανό
31. Έστω e{w| μη σταθερή συνάρτηση απ το Q στο Q και για κάθε w : x oÎ
ισχύει 9 e{w+x| < 2e{w|e{x|-
α | Να δειχθεί ότι e{/| <
3
1
-
β | Να δειχθεί ότι e{w| = / για κάθε w oÎ -
51. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x2R]
γ | Επίσης : e{;w| <
)xEf9
1
-
δ | Αν 0=
+¥>-
)xEflim
x
: τότε δείξτε ότι +¥=
-¥>-
)xEflim
x
-
Δημοσιεύτηκε στο ea τον Αύγουστο του 07 απ τον συνάδερφο Γ- Βεντούρη
32. Έστω e{w| < d;w • w και e{Q| < Q -
α | Να δειχθεί ότι υπάρχει η e;0{w| και να συγκριθούν οι αριθμοί e;0{1/07| :
e;0{1/08|-
β | Να λυθούν οι εξισώσεις
ι | =- 2
x
e w1 + 0 ιι | e;0{w| < /
γ | Να λυθούν οι ανισώσεις 9
ι |
2
2
2 212
e
e
xxe xx -
++³--
ιι | •kmw + 5
1 1
51
e
)Efe xln
+-³+ --
δ | Να υπολογιστούν τα όρια 9
ι | ))xEf
x
Elim
x
-
+¥>-
hm2
1
ιι | ]x)xEfxlim
x
2
+
+¥>-
ιιι | )e)xEfEln )xEf
x
lim +
-¥>-
Δημοσιεύτηκε στο ea την 14-/7-07 απ τον συνάδερφο Γ- Μπαρακλιανό
33. Έστω e 9 QàQ με e{1w| < xx
xx
-
-
+
-
44
44
: w oÎ -
α | Να δειχθεί ότι η e{w| <
14
14
+
-
x
x
-
β | Να βρεθούν τα όρια )xEflim
x +¥>-
και )xEflim
x -¥>-
-
γ | Να δειχθεί ότι η e{w| είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της-
δ | Να βρεθεί το e{Α|-
ε | Να υπολογιστεί η e ;0{w|-
στ | Να βρεθούν τα όρια στα άκρα του πεδίου ορισμού της e ;0{w|-
Δημοσιεύτηκε στο ea την 02-0/-07 απ τον συνάδερφο Θ- Ξένο
52. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x26]
34. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση e 9 QàQ : για την οποία ισχύει 9
e {
p
p
hmp 4232 -
=+- x
)xEf)e x
: για κάθε w oÎ
α | Να αποδειχθεί ότι 9 e{0| + e{;0| < ;0
β | Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ στο διάστημα Z/:π : τέτοιο
ώστε να ισχύει 9 e{συνξ| < ;συν
2
x
35. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση e 9 Qà{;∞ : 0| με e{/| < e{0| <
2
1
και η συνεχής συνάρτηση f {w| 9 Qà {
2
1
: +∞| : με f {1| <2 και f {2| < 0-
Να αποδείξετε ότι 9
α | υπάρχει w0 στο διάστημα {/:0| ώστε να ισχύει 9 e{w0| < 1w0-
β | υπάρχει w1 στο διάστημα {1:2| ώστε να ισχύει 9 f {w1| < w1
γ | υπάρχει ξ oÎ : ώστε 9 e{ξ|f{ξ| < ξ-
ΛΥΣΗ
α | Η συνάρτηση ρ{w| < e{w| ; 1w είναι συνεχής στο Z/:0 και ρ{/|<
2
1
=/ρ{0| <
2
1
;1 < ;
2
3
;/ : άρα από Θ- Μπολζάνο υπάρχει ένα τουλάχιστον w0 στο {/:0| για
το οποίο ισχύει ρ{w0| < / ή e{w0| < 1w0-
β | Ομοίως εφαρμόζω Θ- Μπολζάνο για την συνάρτηση f {w| • w στο Z1:2-
Είναι συνεχής στο Z1:2 και f {1| • 1 < 0 =/ και f {2| • 2 < ;1 ; /: άρα υπάρχει
τουλάχιστον ένα w1 στο {1:2| τέτοιο ώστε f {w1| < w1-
γ | Ομοίως εφαρμόζω Θ- Μπολζάνο για την συνάρτηση κ{w| < e{w|f {w| • w στο
Zw0: w1 με w0 : w1 = /-
Είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών και
κ{w0| < 1w0 f {w0| • w0 < w0{1f {w0| • 0| = / γιατί :
κ{w1| < e{w1| w1 • w1 < w1{e{w1| • 0| ; / γιατί :
Συνεπώς υπάρχει ξ o)xIxE ÌÎ 21 : ώστε 9 κ(ξ|< / ή e{ξ|f{ξ| < ξ-
53. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x27]
36. Δίνεται η συνάρτηση 9 e{w| < xlnxx ---1
α | Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία-
β | Να βρεθεί το e{Α|-
γ | Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της e{w| τέμνει τον άξονα x΄w
ακριβώς σε ένα σημείο-
ΛΥΣΗ
Πρέπει και αρκεί 9 0; w≥/ ΚΑΙ w≥/ ΚΑΙ w = / Û wÎ{/:0
Η e{w| συνεχής στο πεδίο ορισμού της ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων :
δηλαδή στο Δ < {/:0-
α | e ΄{w| < 0
1
2
1
12
1
<--
-
-
xxx
: για κάθε wÎ{/:0|
Þ e{w| γνησίως φθίνουσα στο {/:0-
β | Δ < {/:0 και e{w| γνησίως φθίνουσα στο Δ : άρα
e{Δ| < Z e{0| : ))xEflim
x +
>- 0
- e{0| < ;0
+¥=---= ++
>->-
)xlnxxE)xEf limlim
xx
1
00
Άρα e{Δ| < Z ;0 : +∞|
γ | Το /Îe{Δ| και η e{w| γνησίως φθίνουσα στο Δ: άρα η
γραφική παράσταση της e{w| τέμνει τον άξονα w΄w
ακριβώς σε ένα σημείο-
37. Δίνεται η συνάρτηση 9 e{w| < xlnex x
-+-- -
1
α | Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία-
β | Να βρεθεί το e{Α|-
γ | Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της e{w| τέμνει τον άξονα x΄w
ακριβώς σε ένα σημείο-
38. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση e 9 QàQ : για την οποία ισχύει
e 1{w| ; 5e{w| < w1 : για κάθε w oÎ και
επιπλέον η γραφική παράσταση της e{w| τέμνει τον x΄x στο σημείο με
τεταγμένη 5-
α | Να αποδειχθεί ότι e{w| ≠ / : για κάθε w oÎ -
54. Γε- Λ Εξαπλατάνου ªΜεν- Λουντέμηςº Μαθηματικά Γ ΄ Ομ- Προσανατολισμού
x28]
β | Να βρεθεί ο τύπος της e{w|-
γ | Να υπολογιστούν τα όρια 9
)xEf
x
lim
x
hm
+¥>-
: )x)xEfElim
x
+
-¥>-
-
ΛΥΣΗ
α | Έστω ότι υπάρχει wο ÎQ : τέτοιο ώστε e{wο | < /-
Αντικαθιστώ όπου w το wο στη συναρτησιακή σχέση και έχω 9
e 1{wο| ; 5e{wο| < 2
ox Û / < wο : άρα e{/| < / : όμως απ τα δεδομένα της
άσκησης ισχύει e{/|<5: Άτοπο απ το ορισμό της συνάρτησης- Άρα
e{w| ≠ / : για κάθε wÎ Q-
β | e 1{w| ; 5e{w| < w1 Û e 1{w| ; 5e{w| +8 < w1 +8 Û
{e{w| ;2|1 < w1 +8 : θέτω e{w| • 2 < f{w| : άρα f1 {w| < w1 + 8 {0|
Η f{w| είναι συνεχής στο Q και για κάθε w Î Q είναι f{w| ≠/ από {0|
Επίσης f{/| < e{/| • 2 < 5 • 2 < 2 =/
Άρα f{w| = / για κάθε w Î Q : και από {0| προκύπτει ότι 9
f{w| < 939 22
++=Þ+ x)xEfx : w Î Q-
γ |
)xEf
x
lim
x
hm
+¥>-
<
x
x
x
x
x
)xEf
x
x
limlim
xx 93 2
++
=
+¥>-+¥>-
hmhm
{1|
Το όριο 1
9
1
3
93 22
=
++
=
++
+¥>-+¥>- x
)
xx
Ex
x
x
limlim
xx
Επίσης 0=
+¥>- x
x
lim
x
hm
απ το Κριτήριο Παρεμβολής: άρα από {1| προκύπτει 9
)xEf
x
lim
x
hm
+¥>-
< /- )x)xEfElim
x
+
-¥>-
<
)
xx
E)xxE limlim
xx
3
9
9
39
2
2
+
-+
=¥-+¥=+++
-¥>--¥>-
<2
39. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση e 9 QàQ : για την οποία ισχύει e{1| < 2
και e{w|¶e{e{w|| < 13 : για κάθε w oÎ -