Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος αποκλειστικά για το lisari.blogspot.gr

1. Β΄ ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ , TMHMA : Γ3
ΘΕΜΑ 1ο
: (Μόρια 3x3+2x3+2x4+7=30)
Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που
αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι
λανθασμένη.
i. Αν για τις συναρτήσεις f και g ισχύει: gofD   , τότε ισχύει πάντα fD   .
ii. Αν μια συνάρτηση f είναι «1-1» και η γραφική της παράσταση τέμνει την ευθεία ( ) : y x  σε ένα
σημείο Α, τότε το σημείο αυτό είναι πάντα σημείο της γραφικής παράστασης της 1
f 
.
iii. Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να ορίζεται η fog είναι η  g fg D D .
Β. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό:
«Αν μια συνάρτηση f είναι «1-1» σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της τότε είναι και γνησίως
μονότονη σε αυτό»
i. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι
αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.
ii. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα i.
Γ. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω ερωτήσεις ( με εξήγηση )
i. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι περιττές με πεδίο ορισμού το  , τότε η συνάρτηση gof είναι:
Α. άρτια , Β. περιττή , Γ. ούτε άρτια ούτε περιττή
ii. Έστω  f x x  ,  g x x  με κοινό πεδίο ορισμού 0,
2
 
 
 
. Τότε το  1
f g(0)
είναι ίσο με
Α. 0 , Β. 1 , Γ.
2

, Δ.
4

, Ε. Δεν ορίζεται
Δ. Αν f :   είναι αντιστρέψιμη συνάρτηση και για κάθε x  ισχύει  fof (x 1) f(2x 1)   , τότε
να δείξετε ότι 1 1
f (1) f
2
  
  
 
.
ΘΕΜΑ 2ο
: (Μόρια 7+7+7+(7+7)=35)
Δίνεται συνάρτηση  f : 0,   με     f 0, 0,   για την οποία ισχύει    3 2
f x x f x x  
για κάθε x 0 .
A. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται.
Β. Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση 1
f 
.
10/20/2017 Αποκλειστικά από το lisari.blogspot.gr Page 1 of 2

2. Γ. Αν η f είναι γνησίως μονότονη να βρείτε τη
μονοτονία της και να λύσετε την ανίσωση
   2
f x f x .
Δ. Δίνεται η συνάρτηση g του διπλανού
σχήματος.
i. να βρείτε το πεδίο ορισμού της
συνάρτησης  που προκύπτει από τη
σύνθεση της g με την 1
f 
.
ii. Να λύσετε την εξίσωση
 2 2017 3 8
x 2 x x x
5
      .
ΘΕΜΑ 3ο
(Μόρια 5+10+10+10=35)
Δίνεται συνάρτηση f με τύπο   4
f x x x  και σύνολο τιμών το  0,
Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη.
Β. Δίνεται η συνάρτηση    
4
g x ln x 1  . Να αποδείξετε ότι για κάθε
1
x 0,
e
 
 
 
, ισχύει
   2
f g x ln x ln x  .
Γ. Δίνεται η συνάρτηση  k x ln x 2  . Να βρείτε συνάρτηση φ, με πεδίο ορισμού διάστημα της μορφής
 D ,    , και το α τέτοια ώστε η σύνθεση της k με τη φ να δίνουν τη συνάρτηση του
προηγούμενου ερωτήματος, δηλαδή την    2
f g x ln x ln x  ,
1
x 0,
e
 
 
 
.
Δ. Αν η συνάρτηση 1
f 
έχει την ίδια μονοτονία με την f , να λυθεί η εξίσωση      1 1
f x f x 6 f 16 
   .
  ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ 
10/20/2017 Αποκλειστικά από το lisari.blogspot.gr Page 2 of 2