Αποκλειστικά από το lisari.blogspot.gr

1. ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ στο lisari.blogspot.gr
ΛΕΟΝΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΗΣΙΩΝ (18/4/20106)
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ – ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και 0x ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η
f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0x και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό να αποδείξετε ότι:
 0f΄ x 0
Μονάδες 8
Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε θα λέμε ότι η f είναι συνάρτηση 1 – 1;
Μονάδες 3
Α3. Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο . Πότε η ευθεία y λx β  λέγεται ασύμπτωτη της
γραφικής παράστασης της f στο  ;
Μονάδες 4
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές (Σ) ή Λανθασμένες (Λ):
α. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο 0x τότε η σύνθεση τους g f είναι συνεχής στο
0x .
β. Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο σημείο 0x , τότε δεν είναι και παραγωγίσιμη στο
0x
γ. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε  f x 0  για κάθε
x Δ .
δ. Το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα μιας συνάρτησης είναι το ολικό της ελάχιστο.
ε. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο , τότε η fC δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη.
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση      x
f x e 1 ln x 1 , x 1,      
B1. Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή.
Μονάδες 5
Β2. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

2. ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ στο lisari.blogspot.gr
Μονάδες 6+4=10
B3. Να λύσετε την εξίσωση  f x 0
Μονάδες 4
B4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της
συνάρτησης f , τον άξονα x’x και την ευθεία x 1
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :  για την οποία ισχύουν:
  2 6
f x x για κάθε x
    f 2 0 f 2  
Γ1. Να αποδείξετε ότι   3
f x x ,x 
Μονάδες 7
Γ2. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε τη συνάρτηση 1
f 
Μονάδες 5
Γ3. Να αποδείξετε ότι:
α) η εφαπτομένη της fC στο σημείο   Μ α,f α με α 0 έχει με τη fC και άλλο κοινό
σημείο, το Ν.
β) η κλίση της fC στο σημείο Ν είναι τετραπλάσια της κλίσης της fC στο Μ
Μονάδες 3+2=5
Γ4. Ένα σημείο  Σ x, y με x 0 κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης   3
f x x
και έστω Α η προβολή του Σ στον άξονα x’x. Το σημείο απομακρύνεται από την αρχή των
αξόνων Ο(0,0) με ρυθμό cm1
s
. Τη χρονική στιγμή 0t που η τετμημένη του Σ είναι 2 να
βρείτε το ρυθμό μεταβολής.
α) της απόστασης ΑΣ
β) της γωνίας ΣΟΑ
Μονάδες 3+5=8

3. ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ στο lisari.blogspot.gr
ΘΕΜΑ Δ
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :  με  f 0 1 , η οποία ικανοποιεί τη σχέση
    f x 1 2x f x x για κάθε x     .Θεωρούμε επίσης συνάρτηση
     g x F x F 2 x ,x    όπου F είναι αρχική της f.
Δ1. Να αποδείξετε ότι :  
2
x
f x e x, x  
Μονάδες 6
Δ2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή και ότι η        3 4 2
e 1 f e f e ef e  
Μονάδες 2+3=5
Δ3. Να λύσετε στο διάστημα  0, την εξίσωση
4 2
x x
2
x
e
x


Μονάδες 5
Δ4. Να μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
Μονάδες 4
Δ5. Να αποδείξετε ότι    
3
2
4
1
0
4
4 f 2t dt f t dt  
Μονάδες 5