Πρόκειται για μια σειρά ασκήσεων βασισμένη στο κεφάλαιο του Διαφορικού λογισμού για την Γ' τάξη Λυκείου ΕΠΑΛ. Περιλαμβάνει ασκήσεις κατανόησης, αποδεικτικές, ασκήσεις συμπλήρωσης κενών και απλές υπολογιστικές ασκήσεις.

1. Τετάρτη, 21 Νοεμβρίου 2012
Κεφάλαιο 4ο
Στοιχεία Διαφορικού Λογισμού
Η έννοια της παραγώγου ως ρυθμός μεταβολής
η
Άσκηση 1 : Να συμπληρώσετε τα κενά των παρακάτω προτάσεων με λέξεις ή
μαθηματικά σύμβολα ώστε να δίνουν σωστό νόημα.
1. Μια συνάρτηση f λέγεται σε ένα σημείο x0 του πεδίου
f ( x0 h) f ( x0 )
ορισμού της, αν υπάρχει το όριο : lim και είναι
h 0 h
πραγματικός αριθμός. Τότε συμβολίζουμε το όριο με και το
ονομάζουμε παράγωγο της f στο x0 .
2. Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου
ορισμού της, αν και μόνο αν υπάρχουν τα δύο πλευρικά όρια :
f ( x0 h) f ( x0 )
lim και .
h 0 h
3. Αν μια συνάρτηση f είναι σε ένα σημείο x0 του
πεδίου ορισμού της, τότε θα είναι και στο σημείο αυτό.
η
Άσκηση 2 : Στις επόμενες συναρτήσεις να ελέγξετε τη συνέχεια στην τιμή του x
που αλλάζει τύπο η συνάρτηση.
Στη συνέχεια να πείτε αν οι συναρτήσεις είναι και παραγωγίσιμες.
2x 2 3, x 1 2x 1, x 1
α) f ( x ) β) f ( x )
2, x 1 3+ x , 0 x 1
x2 5
, x 1 x 2 2, x 1
γ) f ( x ) x 1 δ) f ( x ) .
2x+1, x 1
3, x 1
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – Μαθηματικός Σελίδα 1

2. η x 2 1, 0 x 3
Άσκηση 3 : Θεωρούμε τη συνάρτηση f με τύπο f ( x ) .
x 2, 3 x 5
Είναι η συνάρτηση f συνεχής στα σημεία x0 1, x0 2 και στα σημεία
x0 3, x0 5 ; Στη συνέχεια να πείτε αν είναι παραγωγίσιμη σε αυτά τα σημεία.
η
Άσκηση 4 : Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο x0 , όταν
x2 1 1
α) f ( x ) x 2 1 , με x0 0 , β) f ( x ) , με x0 2 και γ) f ( x ) ,
2x 3 x
με x0 4.
η
Άσκηση 5 : Αφού μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο x0 τις παρακάτω
συναρτήσεις, να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμες στο σημείο αυτό.
x 2 x 1, x 0 x 2 1, x 0
α) f ( x ) , x0 0 και β) f ( x ) , x0 0.
x 1, x 0 x3 , x 0
η
Άσκηση 6 : Να μελετήσετε αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στα σημεία
x3 , x 1
x0 1,1,2 , όπου f ( x ) .
2 x2 , x 1
Παράγωγος Συνάρτηση
η
Άσκηση 1 : Συμπληρώστε τα παρακάτω κενά με λέξεις ή μαθηματικά σύμβολα
ώστε να έχουν νόημα οι προτάσεις.
1. Μια συνάρτηση είναι σε κάθε σημείο του πεδίου
ορισμού της, αν και μόνο αν είναι σε ένα τυχαίο
σημείο που ανήκει στο πεδίο ορισμού της.
η
Άσκηση 2 : Να μελετήσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες
στα αντίστοιχα σημεία. α) f ( x ) 2x 2 3x , στο x0 2 , β) g( x ) 5x 2 6 x ,
στο x0 3 και γ) h( x ) x2 8x , στο x0 1.
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – Μαθηματικός Σελίδα 2

3. η
Άσκηση 3 : Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες
στο σημείο x0 . α) f ( x ) 6 x 2 2x , β) g( x ) 2x 2 9x και γ) h( x ) 4x 2 x .
Παράγωγοι Βασικών Συναρτήσεων
η
Άσκηση 1 : Να υπολογίσετε τις παραγώγους των παρακάτω βασικών
συναρτήσεων. α) f ( x ) 3 , β) f ( x ) x και g( x ) 3x ,
γ) f ( x ) x 2 και g( x ) x3 , δ) f ( x ) 2x 2 και g( x ) 4x3 ,
ε) f ( x ) ημ( x ) και g( x ) συν( x ) και στ) f ( x ) e x και g( x ) ln( x ) .
η
Άσκηση 2 : Να υπολογίσετε τις παραγώγους των παρακάτω βασικών
συναρτήσεων. . α) f ( x ) x 3 , β) f ( x ) 2x 5 και g( x ) 5x x ,
γ) f ( x ) x2 4 και g( x ) 2x3 1 , δ) f ( x ) x2 x και g( x ) x3 3x ,
ε) f ( x ) 2ημ( x ) και g( x ) 5συν( x ) και στ) f ( x ) 4e x και
g( x ) 8ln( x ) .
η
Άσκηση 3 : Να υπολογίσετε τις παραγώγους των παρακάτω βασικών
συναρτήσεων. . α) f ( x ) x 2 3x 2 , β) f ( x ) 2x 2 6 x 1 και
g( x ) 7 x3 2x 6 , γ) f ( x ) x 2
και g( x ) x 3
1,
δ) f ( x ) 4x 2 5x 2 και g( x ) x3 3x , ε) f ( x ) ημ( x ) συν( x ) και
g( x ) 2συν( x ) ημ( x ) και στ) f ( x ) 4e x ημ( x ) και
g( x ) 2ln( x ) x 2 .
η
Άσκηση 4 : Να υπολογίσετε τις παραγώγους των παρακάτω βασικών
συναρτήσεων. α) f ( x ) 3x 2 5x 3 2x 1 , β) f ( x ) x 2 ln( x ) και
1 2 1
g( x ) , γ) f ( x ) και g( x ) x 4
, δ) f ( x ) 3x 2 5ln( x ) x
x2 x3 x 2
και g( x ) x 5
3x6 , ε) f ( x ) 2ημ( x ) 5συν( x ) και
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – Μαθηματικός Σελίδα 3

4. g( x ) 2συν( x ) e x ln( x ) και στ) f ( x ) 4e x 3συν( x ) 2x και
g( x ) 4ln( x ) 6 x3 x 2.
η
Άσκηση 5 : Να υπολογίσετε τις παραγώγους των παρακάτω βασικών
συναρτήσεων. α) f ( x ) x8 5x5 4x 2 , β) f ( x ) x και
1
g( x ) 2 x , γ) f ( x ) 4 x 5e x και g( x ) 5x 3 ,
x2
x6
δ) f ( x ) x 5x 3
2x και g( x ) , ε) f ( x ) 3ημ( x ) 7συν( x ) 2 x
x4
και g( x ) 9συν( x ) 6 ln( x ) και στ) f ( x ) 4e x 8ln( x ) και
x2
g( x ) 5ln( x ) 5 x.
x6
Κανόνες Παραγώγισης
η
Άσκηση 1 : Να συμπληρώσετε τα κενά στους τύπους ώστε να είναι σωστοί.
α) ( f g )(x) f (x) , β) ( f g )(x) g ( x ),
γ) ( c f ) ( x ) f ( x ) , δ) ( f g ) ( x ) f (x) f(x) ,
f g( x ) g (x)
ε) (x) και
g [ g( x )] 2
στ) [ g( )] g( ) f ( x ).
η
Άσκηση 2 : Να υπολογίσετε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων.
1. f ( x ) x2 ημ( x ) 4. g( x ) 3 συν( x )
2. h( x ) x3 συν( x ) 5. q( x ) ημ( x2 1)
x6
3. p( x ) 6. w( x ) συν( x 2 ) .
ημ( x )
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – Μαθηματικός Σελίδα 4

5. Κανόνες Παραγώγισης
η
Άσκηση 1 : Να υπολογίσετε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων.
α) f ( x ) 2x5 7 x3 12x 2 , β) g( x ) 2ημ( x ) , γ) h( x ) συν( x ) ημ( x ) ,
δ) p( x ) 3συν( x ) e x , ε) q( x ) ln( x ) 5x3 και στ) f ( x ) 8x3 5x 4 .
η
Άσκηση 2 : Να υπολογίσετε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων.
α) f ( x ) x4 ln( x ) , β) g( x ) e x x , γ) h( x ) ημ( x ) x,
δ) p( x ) ημ( x ) συν( x ) και ε) q( x ) x 5
ln( x ) .
η
Άσκηση 3 : Να υπολογίσετε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων.
ln( x ) ημ( x ) x
α) f ( x ) , β) g( x ) , γ) h( x ) ,
x2 συν( x ) συν( x )
ex ex
δ) p( x ) και ε) q( x ) .
ln( x ) x
η
Άσκηση 4 : Να υπολογίσετε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων.
1 3 1 6
α) f ( x ) x 2x 2 7 , β) g( x ) x 4x 3 8x 6 ,
3 5
1 8 2 3 1 3 1 2
γ) h( x ) x x 8x 2 9x 5 , δ) p( x ) x x 5x 2 και
4 3 5 2
1 6
ε) q( x ) x 4x 3 6 x 2 2x 1 .
8
η
Άσκηση 5 : Να υπολογίσετε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων.
α) f ( x ) ln( x 2 2 ) , β) g( x ) ημ( 2x 4 ) , γ) h( x ) συν( x 2 4x 3 ) ,
2
δ) p( x ) e x 2
, ε) q( x ) ln[ ημ( x )] και στ) f ( x ) συν[ln( x )] .
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – Μαθηματικός Σελίδα 5

6. Παράγωγοι Ανώτερης Τάξης
η
Άσκηση 1 : Να υπολογίσετε την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο των
παρακάτω συναρτήσεων. α) f ( x ) x2 2x 3 , β) g( x ) 5x 2 ,
γ) h( x ) 2x3 5x 2 4x 2 , δ) p( x ) 5x5 2x4 3x 1 και
ε) q( x ) x7 3x 2 .
η
Άσκηση 2 : Να υπολογίσετε την πρώτη, τη δεύτερη και την τρίτη παράγωγο
των παρακάτω συναρτήσεων. α) f ( x ) x3 2x 2 3x 2 , β) g( x ) 5x 2 1 ,
γ) h( x ) 8x3 5x 2 6 x 5 , δ) p( x ) 9x5 6 x4 2x 3 και
ε) q( x ) 6 x7 5x 2 2x 3 .
Παράγουσα Συνάρτηση
η
Άσκηση 1 : Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις με λέξεις ή
μαθηματικά σύμβολα ώστε να προκύπτει σωστή πρόταση.
1. Έστω μια συνάρτηση f : Δ , όπου Δ διάστημα του . Αν υπάρχει
συνάρτηση F : Δ , τέτοια ώστε :
, για κάθε x Δ τότε η F λέγεται
συνάρτηση της f στο διάστημα Δ .
2. Δίνεται η f : Δ , όπου Δ διάστημα του και F μια
της f . Τότε οποιαδήποτε άλλη παράγουσα της f είναι της μορφής
, όπου c σταθερά.
η
Άσκηση 2 : Να υπολογίσετε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων.
1
α) f ( x ) 0 , β) g( x ) 1 , γ) h( x ) xα , δ) p( x ) ,
x
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – Μαθηματικός Σελίδα 6

7. 1
ε) q( x ) e x , στ) w( x ) συν( x ) , ζ) f ( x ) ημ( x ) , η) g( x )
συν 2 ( x )
1
και θ) h( x ) .
ημ ( x )
2
η
Άσκηση 3 : Να υπολογίσετε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων.
2
α) f ( x ) 5 , β) g( x ) 2x , γ) h( x ) 3x 2 , δ) p( x ) ,
x
ε) q( x ) 3e x και στ) f ( x ) συν( x ) ημ( x ) .
Μονοτονία Συνάρτησης
η
Άσκηση 1 : Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις ώστε να
προκύπτουν σωστά μαθηματικά συμπεράσματα.
Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ( α, β ) ,
1. αν f ( x ) 0 , για κάθε x ( α,β ) , τότε η f είναι γνησίως
στο ( α,β ) και
2. αν f ( x ) 0 , για κάθε x ( α,β ) , τότε η f είναι γνησίως
στο ( α,β ) .
η
Άσκηση 2 : Να εξετασθούν ως προς τη μονοτονία οι συναρτήσεις.
1
α) f ( x ) e x , β) g( x ) , γ) h( x ) x 2 και δ) f ( x ) αx 2 βx γ .
x
η
Άσκηση 3 : Να βρεθούν τα διανύσματα στα οποία η συνάρτηση
f ( x ) 2x3 3x 2 1 είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα.
η
Άσκηση 4 : Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας των παρακάτω συναρτήσεων.
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – Μαθηματικός Σελίδα 7

8. x
α) f ( x ) x3 3x 4 , β) g( x ) 2x3 3x 2 12x και γ) h( x ) 2
.
x 1
η
Άσκηση 5 : Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας των παρακάτω συναρτήσεων.
2
α) f ( x ) 2x3 4x 5 , β) g( x ) x3 2x 2 9x και γ) h( x ) 2
.
x 1
Ακρότατα Συνάρτησης
η
Άσκηση 1 : Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις ώστε να
προκύπτουν σωστά μαθηματικά συμπεράσματα.
1. Μια συνάρτηση f έχει τοπικό στο σημείο x x0 , αν
υπάρχει ανοιχτό διάστημα ( α,β ) που περιέχει το x0 , τέτοιο ώστε
f ( x ) f ( x0 ) , για κάθε x ( α,β ) .
2. Μια συνάρτηση f έχει τοπικό ελάχιστο στο σημείο x x0 , αν υπάρχει
ανοιχτό διάστημα ( α,β ) που περιέχει το x0 , τέτοιο ώστε ,
για κάθε x ( α,β ) .
η
Άσκηση 2 : Να χαρακτηρίσετε με ένα (Σ) τις σωστές και ένα (Λ) τις
λανθασμένες προτάσεις που ακολουθούν.
1. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο x0 του
πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε η
f ( x0 ) 0 .
2. Πιθανή θέση τοπικού ακρότατου συνάρτησης είναι τα άκρα των
διαστημάτων που αποτελούν το πεδίο ορισμού της f .
3. Πιθανή θέση τοπικού ακρότατου συνάρτησης είναι τα εσωτερικά σημεία
του πεδίου ορισμού της f στα οποία δεν υπάρχει η παράγωγος της f .
4. Τα σημεία που αναφέρονται στο 3. ονομάζονται τριγωνικά.
5. Πιθανή θέση τοπικού ακρότατου συνάρτησης είναι τα εσωτερικά σημεία
του πεδίου ορισμού της f στα οποία υπάρχει η παράγωγος της f και
είναι ίση με μηδέν.
6. Τα γωνιακά και τα στάσιμα σημεία της f λέγονται κρίσιμα σημεία.
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – Μαθηματικός Σελίδα 8

9. η
Άσκηση 3 : Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις ώστε να
προκύπτουν σωστά μαθηματικά συμπεράσματα.
Έστω συνεχής συνάρτηση f : ( α, β ) και ένα κρίσιμο σημείο της.
1. Αν f ( x ) 0 στο ( α,x0 ) και f ( x ) 0 στο ( x0 , β ) , τότε το f ( x0 )
είναι τοπικό της f .
2. Αν f ( x ) 0 στο ( α,x0 ) και f ( x ) 0 στο ( x0 , β ) , τότε το f ( x0 )
είναι τοπικό της f .
3. Αν f ( x ) διατηρεί σταθερό πρόσημο στα διαστήματα ( α,x0 ) και ( x0 , β )
τότε το f ( x0 ) δεν είναι τοπικό και η f είναι γνησίως
σε ολόκληρο το ( α,β ) .
4. Έστω συνεχής συνάρτηση f : A και x0 ένα στάσιμο σημείο της f .
Αν η f είναι δύο φορές στο x0 , τότε παρουσιάζει
τοπικό στο x0 αν f ( x ) 0 , ενώ παρουσιάζει τοπικό
στο x0 αν f ( x ) 0 .
η
Άσκηση 4 : Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ( x ) x 1 ln( x ) ως προς τη
μονοτονία και τα ακρότατα.
η
Άσκηση 5 : Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις
παρακάτω συναρτήσεις. α) f ( x ) x3 3x 2 3x 1 , β) g( x ) x3 3x 2
και γ) h( x ) 2x3 3x2 1 .
η
Άσκηση 6 : Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις
παρακάτω συναρτήσεις. α) f ( x ) e x x και β) g( x ) x x .
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – Μαθηματικός Σελίδα 9

10. η
Άσκηση 7 : Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις
παρακάτω συναρτήσεις. α) f ( x ) 2xln( x ) x 2 4x 3 , β) g( x ) xln( x )
1 2 3
και γ) h( x ) x 2x .
2 2
Επαναληπτικές Ασκήσεις Κεφαλαίου
η
Άσκηση 1 : Να υπολογίσετε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων.
α) f ( x ) xln( x ) x 2 4x 3 , β) g( x ) ημ( x ) 2συν( x ) ,
2x
γ) h( x ) e x x , δ) p( x ) ημ( x2 2x ) ln( 3x 2 4x ) , ε) q( x ) ,
ex
1 2
στ) w( x ) συν( x )ln( x ) και ζ) ψ( x ) x 7 x 2 3ln( x ) .
2
η
Άσκηση 2 : Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις
παρακάτω συναρτήσεις. α) f ( x ) x 2 4x 3 , β) g( x ) x ln( x ) και
1 2 3
γ) h( x ) x 2x .
2 2
Δημιουργήθηκε από : Ρεβέκα Θεοδωροπούλου – Μαθηματικός Σελίδα 10