Dokumen tersebut membahas tentang fungsi dan grafik fungsi. Secara umum dibahas tentang definisi fungsi, domain dan range fungsi, jenis-jenis fungsi seperti fungsi polinomial, rasional, genap, ganjil dan periodik, serta operasi-operasi pada fungsi seperti operasi aljabar dan komposisi fungsi.

1. Kalkulus 1 1
2. FUNGSI

2. Kalkulus 1 2
2.1 Fungsi dan Grafik
Rx∈
Definisi : Fungsi dari R (bilangan real) ke R adalah suatu aturan yang
mengaitkan (memadankan) setiap dengan tepat satu Ry ∈
Notasi : f : R → R
)(xfyx =
x disebut peubah bebas, y peubah tak bebas
Contoh
42)( 2
++= xxxf
xxf += 1)(
32,)( 2
≤≤−= xxxf
1.
2.
3.

3. Kalkulus 1 3
R R
f
f suatu fungsi
R R
f
f bukan fungsi

4. Kalkulus 1 4
Domain / daerah asal dari f(x), notasi Df , yaitu
Daerah nilai / Range dari f(x) , notasi Rf , yaitu
})(|{ RxfRxDf ∈∈=
}|)({ ff DxRxfR ∈∈=
R R
Df Rf
f

5. Kalkulus 1 5
Contoh : Tentukan daerah asal dan daerah nilai dari
42)( 2
++= xxxf
xxf += 1)(
1.
2.
Jawab : })(|{.1 RxfRxDf ∈∈=
}|42{ 2
Rxxx ∈++=
0≥
),3[ ∞=fR
}42|{ 2
RxxRx ∈++∈=
R=
}|)({ ff DxxfR ∈=
}|3)1(42{ 22
Rxxxx ∈++=++=

6. Kalkulus 1 6
xxf += 1)(2.
})(|{ RxfRxDf ∈∈=
),0[}0|{ ∞=≥∈= xRx
Karena 0untuk0 ≥≥ xx 11)( ≥+= xxf
),1[ ∞=fR
}1|{ RxRx ∈+∈=
}|)({ ff DxxfR ∈=
)},0[|1{ ∞∈+= xx
maka

7. Kalkulus 1 7
Latihan
Tentukan domain dan range dari fungsi berikut:
2
1. ( ) 4f x x x= −
1
2. ( )
3
x
f x
x
−
=
+
2
3. ( ) 4f x x= −
4. ( ) 1 4f x x= − −
2
1
5. ( )f x
x
=
Tentukan domain dari:
1. ( ) 3 4f x x= − − 2. ( ) 3 4| | 5f x x x= − − +

8. Kalkulus 1 8
Grafik Fungsi
Misal y = f(x), himpunan titik
},|),{( ff RyDxyx ∈∈
disebut grafik fungsi f
Grafik fungsi sederhana
a. Fungsi linear
baxxf +=)(
Grafik berupa garis lurus
Cara menggambar : tentukan titik
potong dgn sumbu x dan sumbu y
-1
1
y=x+1
Contoh
Gambarkan grafik y = x + 1
Titik potong dgn sumbu x
y = 0 x = -1 (-1,0)
Titik potong dgn sumbu y
x = 0 y=1 (0,1)

9. Kalkulus 1 9
b. Fungsi Kuadrat
cbxaxxf ++= 2
)(
Grafik berupa parabola. acbD 42
−=
a>0, D>0 a>0, D=0 a>0, D<0
Misal
a
b
x 2
−
=
a
D
4
−

10. Kalkulus 1 10
a<0, D>0 a<0, D=0 a<0, D<0

11. Kalkulus 1 11
Menggambar Grafik Fungsi
dengan Pergeseran
 Jika diketahui grafik fungsi y = f(x), maka :
 Grafik y=f(x-h)+k diperoleh dengan cara menggeser grafik y = f(x)
(i) sejauh h satuan ke kanan jika h positif dan k satuan ke atas jika k
positif
(ii) sejauh h satuan ke kiri jika h negatif dan k satuan ke bawah jika k negatif.

12. Kalkulus 1 12
Contoh Pergeseran
( ) 542
+−= xxxf
( ) 54442
+−+−= xx
( ) 12
2
+−= x
2
xy =
( )2
2−= xy
digeser sejauh
1. Gambarkan grafik fungsi
→
2 ke kanan
2
42
xy = ( )2
2−= xy

13. Kalkulus 1 13
( )2
2−= xy
( ) 12
2
+−= xy
Kemudian digeser sejauh 1 ke atas
maka akan terbentuk
2
4
( )2
2−= xy
( ) 12
2
+−= xy

14. Kalkulus 1 14
c. Fungsi Banyak Aturan
Bentuk umum







=
)(
.
.
)(
)(
1
xg
xg
xf
n
Contoh: Gambarkan grafik





≥+
<<
≤
=
1,2
10,
0,
)(
2
2
xx
xx
xx
xf

15. Kalkulus 1 15
2.2 Jenis-jenis Fungsi
f x a a x a x a xn
n
( ) ...= + + + +0 1 2
2
f x
p x
q x
( )
( )
( )
=
4
1
)( 2
2
−
+
=
x
x
xf
1. Fungsi polinom (suku banyak)
Fungsi suku banyak terdefinisi dimana-mana(R)
2. Fungsi Rasional :
dengan p(x) dan q(x) merupakan fungsi polinom , dan q(x) ≠0.
Fungsi rasional terdefinisi dimana-mana kecuali dipembuat nol q(x)
terdefinisi di mana2
, kecuali di x = 2, dan x = -2
contoh
}2,2{ −−= RDf

16. Kalkulus 1 16
Untuk 0≤x
2
)( xxf =
Grafik: parabola
Untuk 0<x<1
f(x)=x
Grafik:garis lurus
Untuk 1≥x
2
2)( xxf +=
Grafik: parabola
1
3
º

17. Kalkulus 1 17
3. Fungsi genap dan fungsi ganjil
Definisi : Fungsi f disebut fungsi ganjil jika f(-x) = - f(x)
Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal
Fungsi f disebut fungsi genap jika f(-x) = f(x)
Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu y
contoh
3
)( xxf = ganjil karena )()()( 33
xfxxxf −=−=−=−
contoh
2
)( xxf = )()()( 22
xfxxxf ==−=−genap karena

18. Kalkulus 1 18
4. Fungsi periodik
Fungsi f(x) disebut periodik dengan perioda p jika f(x+p) = f(x).
Contoh
f(x) = sinx fungsi periodik dengan perioda
= sinx = f(x)
2π
( 2 ) sin( 2 ) sin cos2 cos sin2f x x x xπ π π π+ = + = +

19. Kalkulus 1 19
5. Fungsi Bilangan Bulat Terbesar
yaitu bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x.
||||)( xxf =
[ ]xxf =)(
Contoh :
||5,9|| = 5
Notasi lain :
, ||-2,6|| = -3 ,||-0,9|| = -1 ,||1||=1

20. Latihan
Gambarkan fungsi berikut:
Kalkulus 1
2
, 1
1. ( )
1, 1
x x
f x
x x
< −
= 
+ ≥ −
1 1
2. ( ) 2 , 1 1
, 1
x x
f x x x
x x
 + < −

= − ≤ <

≥
2
, 2
3. ( ) 5, 2 3
, 3
x x
f x x
x x
− < −

= − ≤ ≤
 >
32)(.5 +−= xxf
4. ( ) | | 2f x x x= −

21. Kalkulus 1 21
2.3 Operasi Fungsi
A. Operasi aljabar
 Definisi: Misalkan fungsi f(x) dan g(x) mempunyai daerah asal Df dan Dg ,
maka



gfgf DDD ∩=±
,)()())(( xgxfxgf ±=±
,)().())(.( xgxfxgf = gfgf DDD ∩=.
,0)(,
)(
)(
))(( ≠= xg
xg
xf
x
g
f
}0)(|{/ =−∩= xgxDDD gfgf

22. Kalkulus 1 22
B. Fungsi Komposisi
Definisi: Komposisi dari fungsi f(x) dengan g(x) didefinisikan sebagai
))(())(( xgfxgf =
Syarat yang harus dipenuhi agar f o g ada (terdefinisi) adalah ∅≠fg DR 
R R R
g f
f○g
Dg
Rg Rf
Df

23. Kalkulus 1 23
Sifat-sifat fungsi komposisi :
 f o g ≠ g o f .
 Contoh:
Diketahui
Tentukan (jika ada),
1)(dan)( 2
−== xxgxxf
})(|{ fggf DxgDxD ∈∈=
},)(|{ gfgf RttfyRyR ∈=∈=
gfgf RDgf  ,dan

24. Kalkulus 1 24
Jawab :
xxf =)(
1)( 2
−= xxg
[ )∞= ,0fD [ )∞= ,0, fR
RDg = [ )∞−= ,1, gR
[ ) [ ) [ ) φ≠∞=∞∩∞−=∩ ,0,0,1fg DR
maka f o g terdefinisi, dan
1)1())(())(( 22
−=−== xxfxgfxgf 
Karena

25. Kalkulus 1 25
{ } { }0)1)(1(|01| 2
≥+−∈=≥−∈= xxRxxRx
{ }fggf DxgDxD ∈∈= )(|
[ ){ }∞∈−∈= ,01| 2
xRx
).,1[]1,( ∞∪−−∞=
{ }gfgf RttfyRyR ∈=∈= ,)(|
{ } ).,0[1,|0 ∞=−≥=≥= ttyy

26. Latihan
1. Tentukan )(,))(( x
g
f
xfg 





2)(,1)(. 2
+=+= xxgxxfa
2
)(,1)(. xxgxxfb =−=
serta domainnya dari fungsi f dan g berikut :
2)(,sin)(. −== xxgxxfc
2. Tulis fungsi xxf += 1sin)( sebagai komposisi dua dan tiga fungsi.
sebagai komposisi dua dan tiga fungsi.3. Tulis fungsi xxf 2
cos1)( +=

27. Soal Latihan
Untuk setiap fungsi f dan g yang diberikan, tentukan (jika ada)
gfgf RDxgf  ,,))((
fgfg RDxfg  ,,))((
x
xgxxf
2
)(,1)(.1 =−=
dan
1)(,1)(.2 2
+=−= xxgxxf
3
2
)(,)(.3 2
+
=+=
x
xgxxxf
xxgxxf +== 1)(,cos)(.4
xxgxxf sin)(,3)(.5 =−=
1
)(,3)(.6
−
=−=
x
x
xgxxf
2
4)(,1
1
)(.7 xxg
x
xf −=−=
xxgxxf −== 16)(,)(.8 2
Kalkulus 1