Modul ini membahas konsep anuitas biasa dan cara menghitung nilai sekarang, nilai angsuran, jumlah periode, dan tingkat bunga untuk berbagai masalah anuitas menggunakan rumus yang diturunkan dari deret geometri. Metode numerik seperti coba-coba dan interpolasi linier digunakan untuk menentukan nilai yang tidak diketahui. Anuitas tak berhingga juga dijelaskan beserta contoh perhitungannya.

1. 41
Modul 3
ANUITAS BIASA
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari Modul 3, mahasiswa diharapkan mampu: (1)
Memahami konsep anuitas, perbedaan anuitas nilai sekarang dan nilai
akan datang, dan mampu menghitung angsuran (cicilan); dan (2)
Memahami konsep anuitas tak berhingga (perpetual annuity), dan
mampu menyelesaikan berbagai perhitungan anuitas.
KULIAH 4: ANUITAS NILAI SEKARANG
4.1 Pendahuluan
Anuitas (annuity) adalah suatu rangkaian pembayaran atau
penerimaan sejumlah uang, dengan periode waktu yang sama untuk
setiap pembayaran. Persamaan-persamaan anuitas diturunkan dengan
menggunakan asumsi perhitungan bunga majemuk. Anuitas secara
garis besarnya dapat dibagi menjadi tiga, yaitu: (i) anuitas biasa
(ordinary annuity), yaitu pembayaran atau penerimaan dilakukan
setiap akhir periode; (ii) anuitas di muka (annuity due), yaitu
pembayaran atau penerimaan dilakukan setiap awal periode; dan (iii)
anuitas ditunda (deferred annuity) yaitu pembayaran atau penerimaan
yang dilakukan setelah beberapa periode.

2. 42
Persamaan yang digunakan dalam perhitungan anuitas biasa
ada dua, yaitu: anuitas untuk nilai sekarang (present value), dan anuitas
untuk nilai yang akan datang (future value).
4.2 Anuitas Nilai Sekarang
Misalkan |na presen value atau nilai sekarang di awal periode; i
tingkat bunga per periode; n jumlah periode; dan A annuitas atau
pembayaran per periode. Anuitas nilai sekarang dapat diturunkan
sebagai berikut. Nilai sekarang dari pembayaran atau penerimaan
hingga akhir periode ke-n dapat diuraikan sebagai berikut:
Nilai sekarang pembayaran/penerimaan ke-1 1
)1( 
 iA
Nilai sekarang pembayaran/penerimaan ke-2 2
)1( 
 iA
Nilai sekarang pembayaran/penerimaan ke-3 3
)1( 
 iA
Dan seterusnya
Nilai sekarang pembayaran/penerimaan ke-( 1n )
)1(
)1( 
 n
iA
Nilai sekarang pembayaran/penerimaan ke- n n
iA 
 )1(
Sehingga akan diperoleh Anuitas nilai sekarang |na adalah
merupakan penjumlah deret geometri sebagai berikut:
nn
n iAiAiAiAiAa 
 )1()1(...)1()1()1( )1(321
|
=
1
1
)1(1
])1(1[)1(




i
iiA n
=
)1(
1)1(
])1(1[)1( 1
i
i
iiA n


 

3. 43
=
1)1(
])1(1)[1()1( 1

 
i
iiiA n
i
iA
a
n
n
])1(1[
|


 . (4.1)
Contoh 4.1 Hitungalah nilai sekarang dari uang Rp 1.000.000 yang
diterima setiap tahun selama 5 tahun mulai akhir tahun
pertama, di mana tingkat bunga yang diberikan adalah
15%.
Jawab: Ini adalah persoalan anuitas nilai sekarang, di mana A =
Rp 1.000.000; n = 5 tahun; dan i =15% = 0,15.
i
iA
a
n
n
])1(1[
|



15,0
])15,01(1[1.000.000Rp 5
|5


a = Rp 3.352.155,11
Contoh 4.2 Suatu pinjaman yang dikenakan bunga sebesar 20% p.a.
dan dapat diangsur sebanyak 12 kali angsuran masing-
masing besarnya adalah Rp 5.000.000 per tahun. Berapa
besar pinjaman tersebut ?
Jawab: Ini adalah persoalan anuitas nilai sekarang, di mana A =
Rp 5.000.000; n = 12 tahun; dan i = 20%=0,20.
i
iA
a
n
n
])1(1[
|




4. 44
20,0
])20,01(1[5.000.000Rp 12
|21


a = 221.960.836,30
4.3 Menentukan Besarnya Angsuran
Bilamana dalam persoalan anuitas hanya diketahui |na , n , dan i ,
maka nilai angsuran A dapat ditentukan melalui persamaan (4.1)
sebagai berikut:
i
iA
a
n
n
])1(1[
|



Akan diperoleh:
])1(1[
|
n
n
i
ia
A


 . (4.2)
Contoh 4.3 Seseorang meminjam uang sebesar Rp 20.000.000
dengan bunga 12% p.a. Jika pinjaman tersebut harus
dilunasi dalam 24 kali angsuran bulanan, berapa besar
angsuran per bulan yang harus dibayar ?
Jawab: |na = Rp 20.000.000, n = 24 bulan, dan i =
12
%12
= 1%
=0,01
])1(1[
|
n
n
i
ia
A



=
])01,01(1[
20.000.000Rp01,0
24


= Rp 941.469,45

5. 45
4.4 Menentukan Jumlah Periode
Bilamana dalam persoalan anuitas hanya diketahui |na , A , dan i ,
maka jumlah periode n dapat ditentukan melalui persamaan (4.1)
sebagai berikut:
i
iA
a
n
n
])1(1[
|



Akan diperoleh:
A
ia
i
nn |
])1(1[  
A
iaA
A
ia
i
nnn ||
1)1(

 
|
)1(
n
n
iaA
A
i


|
|
log(loglog)1log( n
n
iaAA
iaA
A
in 










)1log(
)log(log |
i
iaAA
n
n


 . (4.3)
Contoh 4.4 Sule membeli sebuah rumah seharga Rp 220.000.000
dengan sistem angsuran. Ia membayar uang muka
sebesar Rp 10.000.000 dan sisanya akan diangsur tiap
bulan Rp 3.783.889,18 dengan tingkat bunga 18% p.a.
Berapa bulan angsuran rumah tersebut akan lunas ?

6. 46
Jawab: |na = Rp 220.000.000 – Rp 10.000.000 = Rp
210.000.000;
A = Rp 3.783.889,18; dan i =
12
%18
= 1,5% = 0,015
)1log(
)log(log |
i
iaAA
n
n



=
)015,01log(
)000.000.210015,018,889.783.3log()18,889.783.3log(


= 120 bulan atau 10 tahun.
4.5 Menentukan Tingkat Bunga
Bilamana dalam persoalan anuitas hanya diketahui |na , A , dan n ,
maka tingkat bunga i dapat ditentukan melalui persamaan (4.1)
sebagai berikut:
i
iA
a
n
n
])1(1[
|


 .
Untuk menentukan nilai i melalui persamaan ini tidak dapat dilakukan
secara analitis. Jadi harus dilakukan dengan menggunakan pendekatan
metode numerik atau coba-coba, atau menggunakan metode interpolasi
linier.
Contoh 4.5 Sebuah berlian seharga Rp 30.000.000 tunai, dapat
dibeli dengan cara mengangsur 12 kali angsuran
bulanan sebesar Rp 2.758.973,49. Tentukan tingkat
bunga yang dikenakan.

7. 47
Jawab: |na = Rp 30.000.000; A = Rp 2.758.973,49; dan n = 12,
serta misalkan
12
12j
i  .
Dicoba-coba dengan memberikan nilai 12j , sedemikian
hingga diperoleh:
0
12
12
11
)(
12
12
|12 

















































j
j
A
ajf
n
n
Hasil coba-coba adalah sebagai berkut:
12j )( 12jf
0,184 -31125,51514
0,185 -15556,89903
0,186 -0,034219984
0,187 15545,09003
0,189 46600,15981
Jika diperhatikan tabel di atas ini tampak bahwa untuk
nilai 12j = 0,186 menghasilkan nilai )( 12jf paling
mendekati 0. Berarti nilai tingkat bunga adalah 12j =
0,186=18,6% per p.a. atau i = 0,186/12 = 0,0155 =
1,55% per bulan.
Cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan tingkat
bunga per periode adalah menggunakan pendekatan interpolasi linier.

8. 48
Disebut linier karena garis yang menghubungkan dua titik observasi
diasumsikan linier.
Contoh di atas, jika diselesaikan menggunakan interpolasi linier
adalah sebagai berikut:
Ambil i = 18%;
12/18,0
])12/18,01(1[49,27858973 12
%18|21



ia = Rp
30.093.517,71
Ambil i = 19%;
12/19,0
])12/19,01(1[49,27858973 12
%19|21



ia = Rp
29.937.889,81














 %)18%19(
81,889.937.2971,517.093.30
00,000.000.3071,517.093.30
%18i
= 18,6009% atau 18,6% p.a.
4.6 Anuitas Nilai Sekarang Tak Berhingga
Misalnya ada pertanyaan, berapa nilai sekarang dari uang sebesar Rp
10.000.000 setiap 4 bulan seumur hidup mulai 4 bulan yang akan
datang? Pertanyaan ini adalah contoh anuitas tak berhingga atau
anuitas perpetuitas (perpetual annuity). Perhitungan untuk
menentukan nilai sekarang dari anuitas tak berhingga adalah sebagai
berikut:
i
iA
a
n
n
])1(1[
|


 .
Untuk n , diperoleh
i
A
i
iA
a
n
n






])1(1[
lim| . (4.4)

9. 49
Contoh 4.6 Berapa nilai sekarang dari uang sebesar Rp 10.000.000
setiap empat bulan seumur hidup mulai 4 bulan yang
akan datang, bila dikenakan tingkat bunga 12% p.a.?
Jawab: A = Rp 10.000.000 dan i =
3
%12
= 4% = 0,04
0,04
10.000.000Rp
| 
i
A
a = Rp 250.000.000
KULIAH 5: ANUITAS NILAI AKAN DATANG
5.1 Anuitas Nilai Akan Datang
Misalkan |ns nilai akumulasi atau jumlah nilai di akhir periode; i
tingkat bunga per periode; n jumlah periode; dan A anuitas atau
pembayaran per periode. Anuitas nilai akan datang dapat diturunkan
sebagai berikut. Nilai akumulasi dari pembayaran atau penerimaan
hingga akhir periode ke-n dapat diuraikan sebagai berikut:
Nilai akumulasi pembayaran/penerimaan ke-1 1
)1( 
 n
iA
Nilai akumulasi pembayaran/penerimaan ke-2
2
)1( 
 n
iA
Nilai akumulasi pembayaran/penerimaan ke-3 3
)1( 
 n
iA
Dan seterusnya
Nilai akumulasi pembayaran/penerimaan ke-( 1n ) )1( iA 

10. 50
Nilai akumulasi pembayaran/penerimaan ke- n A
Sehingga akan diperoleh anuitas nilai akan datang |ns adalah
merupakan penjumlah deret geometri sebagai berikut:
1232
| )1()1()1(...)1()1( 
 nnn
n iAiAiAiAiAAs
i
iA
s
n
n
]1)1[(
|

 . (5.1)
Contoh 5.1 Tentukan nilai akan datang |ns dari tabungan tetap Rp
10.000.000 yang disetorkan setiap akhir tahun selama 6
tahun, apabila diberikan tingkat bunga 10% p.a.
diperhitungkan periode tahunan.
Jawab: A = Rp 10.000.000; n = 6 tahun; dan i = 10% = 0,10
i
iA
s
n
n
]1)1[(
|

 .
=
10,0
]10,10)[(110.000.000Rp 6

= Rp 77.156.100,00
5.2 Menentukan Besar Pembayaran Periodik
Bilamana dalam persoalan anuitas hanya diketahui |ns , n , dan i ,
maka nilai pembayaran periodik A dapat ditentukan melalui
persamaan (5.1) sebagai berikut:

11. 51
i
iA
s
n
n
]1)1[(
|

 .
Akan diperoleh:
]1)1[(
|


n
n
i
is
A . (5.2)
Contoh 5.2 Pada akhir sepuluh tahun yang akan datang seseorang
ingin memiliki tabungan sebesar Rp 1.000.000.000.
Untuk itu, ia harus menabung setiap akhir bulan ke bank
yang dipercayainya. Jika bank memberikan bunga 8%
p.a. diperhitungkan periode bunga bulanan, maka
berapakah besarnya uang yang ditabung tiap bulan ?
Jawab: n = 1210 = 120 periode bulanan; |ns = Rp
1.000.000.000; dan i =
12
%8
=0,0067
]1)1[(
|


n
n
i
is
A
=
]10,0067)[(1
0001.000.000.Rp0,0067
120


= Rp 545.3905,802
5.3 Menentukan Jumlah Periode Pembayaran
Bilamana dalam persoalan anuitas hanya diketahui |ns , A , dan i ,
maka jumlah periode pembayaran n dapat ditentukan melalui
persamaan (5.1) sebagai berikut:

12. 52
i
iA
s
n
n
]1)1[(
|

 .
Akan diperoleh:
A
isA
A
is
i
nnn ||
1)1(

 ,
AisAin n log)log()1log( |  ,
)1log(
log)log( |
i
AisA
n
n


 . (5.3)
Contoh 5.3 Seseorang menabung setiap akhir bulan sebesar Rp
1.500.000 dan suatu masa yang akan datang ingin
mendapatkan uang sebesar Rp 150.000.000. Jika bunga
yang diberikan adalah sebesar 10% p.a., berapa lama ia
harus menabung ?
Jawab: A = Rp 1.500.000; |ns = Rp 150.000.000; dan i =
12
%10
= 0,00833
)1log(
log)log( |
i
AisA
n
n



=
)00833,01log(
)000.500.1log()000.000.15000833,0000.500.1log(


=
003602689,0
176091259,6439253724,6 
= 73,05 73 bulan.

13. 53
5.4 Menentukan Tingkat Bunga
Bilamana dalam persoalan anuitas hanya diketahui |ns , A , dan n ,
maka besarnya tingkat bunga i dapat ditentukan melalui persamaan
(5.1) sebagai berikut:
i
iA
s
n
n
]1)1[(
|

 .
Untuk menentukan tingkat bunga suatu pembayaran (tabungan)
melalui persamaan ini tidak dapat dilakukan secara nalitis. Teknik
yang dapat digunakan adalah dengan metode numerik atau metode
coba-coba atau metode interpolasi linier.
Contoh 5.4 Seseorang menabung tiap akhir periode sebesar Rp
350.000 sebanyak 8 kali periode, dan pada akhir periode
ke-8 uangnya menjadi Rp 3.342.500. Berapakah tingkat
bunga per periode yang diberikan ?
Jawab: A = Rp 350.000; n = 8; dan |ns = Rp 3.342.500
a. Dengan metode numerik (coba-coba), yaitu memilih
suatu nilai i , sedemikan hingga
0
]1)1[(
)( | 







 

i
iA
sif
n
n
Hasilnya diberikan dalam tabel sebagai berikut:
i )(if
0,03001 230071,9386
0,04001 117405,8992
0,05001 192,352503
0,06001 -121738,1124
0,07001 -248560,2242

14. 54
Menggunakan cara coba-coba diperlihatkan bahwa
nilai )(if yang relative paling dekat dengan 0 adalah
apabila i = 0,05001 = 5%.
b. Dengan metode interpolasi linier akan diperoleh nilai
i yang relatif lebih tepat. Caranya adalah sebagai
berikut:
Pilih i = 4%;
didapat %4| ins = Rp 3.224.979,19
Pilih i = 6%;
didapat %6| ins = Rp 3.464.113,77
%)4%6(
19,979.224.377,113.464.3
19,979.224.300,500.342.3
%4 








i
= 0,049828843 0,05=5%
Soal Latihan dan Penyelesaian
1. Berapa uang yang harus diinvestasikan saat ini agar dapat
diterima pembayaran periodik sebesar Rp 200.000,00 pada akhir
tiap semester selama 10 tahun, jika diberikan bunga 2j = 11% .
Jawab:
A = Rp 200.000,00; n = 210 = 20; dan i =
2
%11
= 0,055
055,0
])055,01(1[200.000Rp 20
|


na
= Rp 2.390.077,00

15. 55
2. Sule meminjam uang sebesar Rp 10.000.000,00 dan ia harus
mengangsur tiap akhir bulan selama 15 tahun. Tentukan besarnya
angsuran per bulan jika dibebankan bunga 12j = 12%.
Jawab:
|na = Rp 10.000.000,00; n = 1215 = 180; dan i =
12
%12
= 0,01
])01,01(1[
10.000.000Rp01,0
180


A
= 120.017,00
3. Seseorang memasuki masa pension dari suatu perusahaan dengan
memperoleh pesangon sebesar Rp 500.000.000,00. Uang tersebut
lalu disimpan di bank dengan bunga nominal 12j = 12%. Untuk
biaya hidup, ia ingin menerima uang sebesar Rp 7.500.000,00 per
bulan. Berapa lama ia akan menerima uang itu hingga habis
simpanannya?
Jawab :
|na = Rp 500.000.000,00; i =
12
%12
= 0,01; dan A = Rp
7.500.000,00
)01,01log(
)000.000.50001,0000.500.7log()000.500.7log(


n

16. 56
= 110,41 bulan
4. Tentukan nilai akumulasi dari uang sebesar Rp 120.000,00 yang
ditabung pada setiap akhir semester selama 6 tahun dengan bunga
nominal 2j = 11%.
Jawab :
A = Rp 120.000,00; n = 26 = 12; dan i =
2
%11
= 0,055
055,0
]10,055)120.000[(1Rp 12
|

ns = 1.966.271,00
5. Seseorang setelah 5 tahun mendatang ingin mendapatkan uang
tabungan sebesar Rp 9.000.000,00. Berapa besarnya setoran
tabung tetap per bulan, bilamana bank memberikan bunga 12%
p.a. ?
Jawab:
n = 125 = 60; |ns = Rp 9.000.000,00; dan i = 12%/12 = 0,01
]10,01)[(1
9.000.000Rp01,0
60


A = Rp 227.017,00
Soal Latihan dan Kunci Jawaban
1. Hitung nilai sekarang dari suatu anuitas sebesar Rp 50 juta yang
dibayarkan setiap akhir tahun untuk selama 20 tahun, jika tingkat
bunga efektif 5% p.a.

17. 57
Kunci jawaban : Rp 623.110.000,00
2. Seseorang meminjam uang sebesar Rp 200.000.000,00 pada
suatu bank, dan setuju mengangsur tiap akhir bulan sebesar Rp
1.000.000,00, Jika bank membebankan tingkat bunga 20% p.a.,
berapa kali angsuran harus dibayarkan ?
Kunci jawaban : n = 147,24 bulan atau dibulatkan menjadi 147
bulan.
3. Seseorang menabung Rp 25.000,00 pada tiap akhir bulan selama
jangka waktu 20 tahun di suatu bank. Berapakah ia akan
menerima pada akhir jangka waktu tersebut, jika bank
memberikan bunga bulanan 3%.
Kunci jawaban : Rp 8.207.520,00
4. Berapa jumlah yang harus disimpan pada 1 Juni2012 dalam suatu
simpanan dengan bunga 4% yang diakumulasikan setengah
tahunan, agar dapat sama dengan simpanan sebesar Rp 500,00
tiap pembayaran yang dimulai 2017 dan berakhir 1 Desember
2042.
Kunci jawaban : Rp 6.607,65
5. Pada 4 tahun yang akan datang seseorang ingin memperoleh uang
sebesar Rp 5.000.000,00. Untuk itu ia berencana menabung

18. 58
sebesar Rp 250.000,00 setiap akhir 3 bulanan pada suatu bank.
Berapakah bank harus memberikan tingkat bunga ?
Kunci jawaban : 4j = 11,6% atau i = 2,9%
Daftar Pustaka
Badrudin, R. & Algifari. (1997). Matematika Bisnis. Edisi Pertama.
Penerbit : BPFE, Yogyakarta.
Capinski, M. & Zastawniak, T. (2004). Mathematics for Finance : An
Introduction to FinanciL Engineering. Springer-Verlag London
Limited.
Frensidy, B. (2010). Matematika Keuangan. Edisi 3. Penerbit: Salemba
Empat, Jakarta.
Kellison, S.G. (1970). The Theory of Interest. Richard D. Irwin, Inc.,
Homewood, Illinois 60430.
Kellison, S.G. (1991). The Theory of Interest. Second Edition. IRWIN,
Burr Ridge, Illinois.
Sembiring, L., Wirasasmita, R., Yogia, S.M. & Yance, L.M. (1997).
Matematika Keuangan. Penerbit : M2S, Bandung.
Van Horne, J.C. (1992). Financial Management and Policy. Ninth
Edition. Prentice-Hall International Editions. London.