Dokumen tersebut membahas berbagai konsep dasar tentang turunan fungsi seperti kemonotonan fungsi, ekstrim fungsi, kecekungan fungsi, titik belok, dan asimtot fungsi beserta contoh soalnya.

1. 5. APLIKASI TURUNAN

2. 5.1 Menggambar Grafik Fungsi
Beberapa hal yang diperlukan untuk menggambar
grafik fungsi:
A. Titik potong dengan sumbu x dan sumbu y
Contoh:
Tentukan titik potong dengan sumbu x dan sumbu y dari kurva
y = x2
+ 5x + 4
Jawab :
• Titik potong dengan sumbu x y = 0
x2
+ 5x + 4 = 0 ( x + 4 ) ( x + 1 ) = 0
x + 4 = 0 x = – 4 , titiknya adalah: ( – 4 , 0 )
x + 1 = 0 x = – 1 , titiknya adalah: ( – 1 , 0 ).
• Titik potong dengan sumbu y , x = 0 sehingga y = 4 .
Jadi titik potongnya adalah ( 0 , 4 ).

3. Kemonotonan Fungsi
Definisi : Fungsi dikatakan monoton naik pada interval I jika
untuk
x1 < x2 , ∀ x1 , x2 ϵ I
Fungsi dikatakan monoton turun pada interval I jika untuk
x1 < x2 , ∀ x1 , x2 ϵ I
1 2( ) ( )f x f x<
1 2( ) ( )f x f x>
( )f x
( )f x

4. Teorema 1: Jika diferensiabel di selang І , maka:
• Fungsi monoton naik pada І jika >0,∀x ϵ I
• Fungsi monoton turun pada І jika <0,∀x ϵ I
Contoh 5.1:
Jawab :
• naik pada yaitu pada
• turun pada yaitu pada
'( )f x
'( )f x
( )f x
( )f x
3 2
( ) 2 3 12 7 cari dimana naik dan dimana turunf x x x x f= − − +
2
'( ) 6 6 12 6( 1)( 2)
kita perlu menentukan dimana ( 1)( 2) 0
dan dimana ( 1)( 2) 0
f x x x x x
x x
x x
= − − = + −
+ − >
+ − <
)(xf
)(xf
0)(' >xf ),2(dan)1,( ∞−−∞
0)(' <xf )2,1(−

5. Soal Latihan
Tentukan selang dimana fungsi monoton naik
dan dimana monoton turun dari fungsi berikut:
1.
2.
3.
4.

6. 5.2 EKSTRIM FUNGSI
Ekstrim fungsi adalah nilai maksimum dan minimum fungsi di
daerah
definisinya.
Definisi 2 : Misalkan kontinu pada selang І dan c ϵ I.
• disebut nilai maksimum global dari f pada І jika ≥ ∀ x ϵ І
• disebut nilai minimum global dari f pada І jika ≤ ∀ x ϵ І
• disebut nilai maksimum lokal dari f pada І jika terdapat selang buka
yang memuat c sehingga ≥ x pada selang buka tadi
• disebut nilai minimum lokal dari f pada І jika terdapat selang buka
yang memuat c sehingga ≤ ∀ x pada selang buka tadi
• nilai maksimun dan minimun fungsi disebut juga nilai ekstrem
• Titik pada daerah definisi yang menjadi calon tercapainya ekstrem
fungsi disebut titik kritis.
( )f c
( )f c
( )f c
( )f c
( )f c
( )f x
( )f c
( )f c
( )f c
( )f x
( )f x
( )f x
∀

7. Teorema 3 (teorema titik kritis).
Misalkan f terdefinisi pada selang І yang memuat c. Jika nilai ekstrim,
maka c adalah titik kritis, yakni salah satu :
1. Titik ujung selang І
2. Titik stasioner ( yaitu x = c dimana = 0 ), secara geometris :
Garis singgung mendatar dititik (c, )
3. Titik singular (x = c dimana tidak ada ), secara geometris :
terjadi patahan pada grafik f di titik (c, ).
Ketiga jenis titik kritis ini (titik ujung, titik stasioner, titik singular)
merupakan titik-titik kunci teori maksimum-minimum.
( )f c
( )f c
'( )f c
'( )f c
( )f c

8. Teorema 4 : Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal
i.Jika > 0 pada selang (b,c) dan <0 pada selang (c,d),
maka merupakan nilai maksimum lokal f.
ii.Jika < 0 pada selang (b,c) dan > 0 pada selang(c,d),
maka merupakan nilai minimum lokal .
Teorema 5: Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal.
Misalkan = 0,
i.Jika <0 maka merupakan nilai maksimum lokal dari
f.
ii.Jika >0 maka merupakan nilai minimum lokal darif.
'( )f c
'( )f c'( )f c
( )f c
( )f c
( )f c
( )f c
''( )f c
''( )f c
'( )f x'( )f x

9. Contoh 5.2:
Cari nilai ekstrim lokal dari
pada (–∞,∞)
Jawab:
Titik kritis f adalah – 1 dan 3 bila digunakan titik uji –2 , 0 dan
4
didapat pada ( – ∞, –1 ) dan (3,∞)
Dan pada ( –1,3 )
Menurut uji turunan pertama adalah nilai maksimum
lokal adalah nilai minimum lokal
)3)(1(32)(' 2
−+=−−= xxxxxf
0)3)(1( >−+ xx
3
17
)1( =−f
0)3)(1( <−+ xx
5)3( −=f

10. Teorema 6:
Misalkan kontinu pada selang І dan c ϵ І .
Jika ada dan f mencapai ekstrim lokal di c , maka
= 0 .
Bukti:
Misalkan f mencapai maksimum lokal di c , maka
≥ di sekitar c.
Karena f’(c) ada, maka
Ini menunjukan bahwa
Teorema ini tidak berlaku sebaliknya, artinya jika
( )f x
'( )f c
'( )f c
( )f c ( )f x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) lim 0 dan (c) = lim 0
f x f c f x f c
f c f
x c x c
− +
− −
= ≥ ≤
− −
( ) 0, belum tentu ( ) nilai ekstrimf c f c′ =

11. Soal Latihan
Tentukan titik-titik kritis dari fungsi berikut pada
selang yang diberikan:
1.
2.
3.
4.

12. 5.3 KECEKUNGAN FUNGSI
• Secara geometris, grafik fungsi akan cekung ke
bawah di suatu titik bila kurva terletak di bawah garis
singgung kurva di titik tersebut. Sedangkan grafik fungsi
akan cekung ke atas di suatu titik bila kurva terletak di
atas garis singgung
kurva di titik tersebut.
• Fungsi dikatakan cekung ke atas pada interval bila
naik pada interval , sedang dikatakan
cekung ke bawah bila turun pada interval .
Teorema 7: Uji turunan kedua untuk kecekungan
• Jika f ''(x) > 0, ∀ x ϵ maka cekung ke atas pada
• Jika f ''(x) < 0, ∀ x ϵ maka cekung ke bawah pada
( )y f x=
( )y f x=
I
I ( )f x
( )f x ( )f x′
( )f x′ I
I
I I
I

13. f ''(x) > 0, ∀ x f ''(x) < 0, ∀ x

14. Contoh 5.3:
Tentukan dimana
naik, turun, cekung keatas dan cekung kebawah
Penyelesaian
sedangkan
f turun pada [ –1, 3].
Demikian juga, dari didapat
f cekung ke atas di ( 1, ∞) , dan dari
didapat f cekung ke bawah di ( –∞, 1 ) .
43
3
1
)( 23
+−−= xxxxf
)3)(1(32)(' 2
−+=−−= xxxxxf
)1(222)('' +=−= xxxf
0)3)(1( >−+ xx
0)1(2 >+x
0)1(2 <+x

15. Soal Latihan
Tentukan dimana fungsi cekung keatas dan dimana
fungsi cekung ke bawah:
1.
2.
3.
4.

16. 5.4. TITIK BELOK
Definisi 3: Misalkan kontinu di x = b maka (b , f(b)) disebut
titik belok dari kurva jika terjadi perubahan kecekungan di x =b,
yaitu di sebelah kiri x = b cekung ke atas dan di sebelah kanan x = b
cekung kebawah atau sebaliknya.
Contoh 5.4: Carilah ttk belok fungsi
Penyelesaian:
maka
Bila
Untuk sehingga f cekung ke bawah
Untuk sehingga f cekung ke atas
Karena di terjadi perubahan kecekungan maka
( )f x
( )f x
12)( 3
−= xxf
2
6)(' xxf =
xxf 12)('' =
12)( 3
−= xxf
00)('' =→= xxf
0)(''0 <→< xfx
0)(''0 >→> xfx
0=x

17. Soal Latihan
1.Sketsakan grafik fungsi f(x) yang mempunyai sifat berikut:
• f kontinu di mana-mana
• f (–3) = 1
•
•
•
2.Jika f kontinu dengan f (2) = f (0) = 0 dan grafik fungsi y =
adalah sebagai berikut:
Tentukan selang kemonotonan f, selang kecekungan f,
dan sketsakan grafik fungsi f tersebut.
=

18. 5.5. ASIMTOT FUNGSI
Definisi 4: Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati
oleh grafik fungsi.
Ada tiga jenis asimtot fungsi yaitu :
• Asimtot tegak
Garis x = c disebut asimtot tegak dari
• Asimtot datar
Garis y = b disebut asimtot datar dari
• Asimtot miring
Garis disebut asimtot miring jika
.
x
( ) jika lim ( )
c
y f x f x
→
= = ±∞
x
( ) jika lim ( )y f x f x b
→∞
= =
y ax b= +
x x
( )
lim dan lim ( )
f x
a f x ax b
x→±∞ →±∞
= − =

19. Contoh 5.5: Tentukan asimtot dari
Penyelesaian:
• Asimtot tegak adalah karena
• Asimtot datar adalah karena
• Grafik ini tidak mempunyai asimtot miring.
Jelaskan, mengapa?
1
2
)(
−
=
x
x
xf
1=x
∞=
−
=+
→ 1
2
)(lim
1 x
x
xf
x
∞=
−
=−
→ 1
2
)(lim
1 x
x
xf
x
2
01
2
lim)(lim =
−
=
∞→∞→ xx
xf
2=y

20. Soal Latihan
1. Tentukan asimtot dari fungsi berikut:
a.
b.
c.
d.
e.

21. 2. Gambarkan grafik berikut dengan melengkapinya dengan
selang kemonotonan, kecekungan, ekstrim fungsi, titik belok,
dan asimtot
a.
b.
c.
d.
e.

22. 5.6 MASALAH MAKSIMUM MINIMUM LAINNYA
Turunan suatu fungsi dapat pula dipergunakan untuk menyelesaikan masalah
maksimum dan minimum pada kehidupan sehari-hari.
Contoh 5.6:
Suatu pelat seng yang lebarnya 50 cm akan dibuat talang air dengan melipat
kedua sisinya sama panjang. Agar talang itu dapat dialiri air sebanyak-
banyaknya, tentukan ukuran penampang tegak talang tersebut.
Jawab:
x
30 – 2x
Misalkan x = panjang sisi yang dilipat.
Maka ukuran penampang talang tersebut : panjang = 30 – 2x dan lebar = x .

23. Agar talang dapat dialiri air sebanyak-banyaknya maka
luas talang harus maksimal. Dengan p = 30 – 2x dan
l = x diperoleh luas = (30 – 2x) x.
Jadi model matematika untuk luas penampang talang :
A = – 2x2
+ 30 x
Titik kritis :
( < 0 ), berarti tercapai nilai maksimum.
Jadi agar luas penampang talang itu maksimum maka
ukurannya :
Panjang = 30 – 2(7,5) = 15 cm
Lebar = 7,5 cm.

24. Contoh 5.7:
Sebuah partikel bergerak sepanjang kurva dengan
persamaan
.
a.Tentukan saat partikel bergerak kekanan dan bergerak
ke kiri.
b.Tentukan saat partikel berhenti.
Jawab:
a.
Partikel bergerak ke kanan, jika kecepatan atau
dan partikel bergerak ke kiri,jika
b.Partikel berhenti, jika
.
..

25. Soal Latihan
1. Carilah luas persegi panjang terbesar yang dapat diletakkan di dalam setengah
lingkaran berjari-jari r
2. Sebuah kotak dengan bidang alas persegi (bujur sangkar) akan dibuat agar dapat
menampung 16 liter benda cair. Jika biaya pembuatan per satuan luas dari bidang alas
dan atas dari kotak dua kali biaya pembuatan bidang sisi tegaknya, berapakah ukuran
kotak yang biaya pembuatannya paling murah.
3. Sebuah peluru ditembakkan tegak lurus ke atas dari permukaan tanah dan pada saat t
detik ( ) tingginya adalah meter di atas permukaan
tanah
a. Tentukan kecepatan peluru setelah ditembakkan 2 detik dan 9 detik.
b. Tentukan saat peluru mencapai titik tertinggi beserta panjang lintasannya.
c. Tentukan saat peluru mencapai tanah kembali,kecepatan, dan percepatannya pada
saat itu.
4. Kota A terletak 3 km dari garis pantai yang lurus dan kota B terletak 4 km dari titik di
pantai yang terdekat dari A. Pemerintah daerah setempat akan memasang kabel telepon
dari A ke B . Jika besar biaya pemasangan kabel setiap kilometer melewati jalan laut dua
kali besar biaya pemasangan kabel lewat darat. Tentukan letak titik di pantai agar biaya
pemasangan kabel telepon dari A ke B semurah mungkin.

26. 5.7 MENGHITUNG LIMIT FUNGSI DENGAN
ATURAN L’HOPITAL
Dalam perhitungan limit fungsi sering kali dijumpai
bentuk tak tentu dari limit yaitu :
Empat bentuk pertama dapat diselesaikan dengan
menggunakan cara yang dikenalkan oleh L’Hopital.
0 00
, ,0. , ,0 , , dan 1 .
0
∞∞
∞ ∞−∞ ∞
∞

27. 1. Aturan L’Hopital untuk bentuk
Teorema 8:
2. Aturan L’Hopital bentuk
Teorema 9:
Akibat dari aturan ini akan didapat
0
0
∞
∞
( ) '( ) ''( )
lim lim lim ......
( ) '( ) ''( )
f x f x f x
g x g x g x
= =

28. • Contoh 5.8:
Hitung limit berikut
• Penyelesaian






∞
∞
+
+
=
→
bentuk
x
xx
xf
x 1
2
)(lim.b 4
3
0
2
2
2cos4
lim
2
2sin2
lim
2cos1
)(lim.a
0020
===
−
=
→→→
x
x
x
x
x
xf
xxx
0
24
6
lim
12
6
lim
4
23
lim
1
2
)(lim.b 23
2
4
3
===
+
=
+
+
=
∞→∞→∞→∞→ xx
x
x
x
x
xx
xf
xxxx
)
0
0
(
2cos1
)(lim.a 20
bentuk
x
x
xf
x
−
=
→

29. Contoh 5.9 :
Hitung limit berikut :
a. (bentuk )
b. (bentuk )
Jawab :
a.
b.

30. 3. Bentuk
Misalkan
maka merupakan bentuk
Untuk menyelesaikannya kita ubah menjadi
bentuk yaitu dengan cara :
Begitu pula jika sehingga
merupakan bentuk
Untuk menyelesaikannya diubah menjadi bentuk
.

31. Contoh 5.10:
Hitung limit berikut :
Jawab:
b.

32. 4. Bentuk
Misalkan .
maka lim [f(x) – g(x)] merupakan bentuk
Untuk menyelesaikannya dilakukan penyederhanaan
bentuk [f(x) – g(x)] sehingga dapat dikerjakan
menggunakan cara yang sudah dikenal sebelumnya.
Contoh 5.11:
Hitung ( bentuk )
Jawab:
.

33. Perlu dicatat bahwa tidak semua bentuk limit tak tentu
dapat diselesaikan menggunakan aturan L’ Hôpital.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.
Contoh 5.12:
Hitung limit berikut : a.
b.
Jawab:
Kalau dengan aturan L’ Hôpital maka di dapat

34. Disini terlihat bahwa limit pembilang tidak ada, sehingga
aturan L’ Hôpital tidak dapat dilanjutkan. Untuk itu
digunakan cara berikut :
.
b.
Untuk tiga bentuk tak tentu lainnya akan diselesaikan
dengan bantuan fungsi transenden yang akan dibahas
pada bab selanjutnya.
.

35. Soal Latihan
Hitung limit berikut (jika ada):
1. 7.
2. 8.
3. 9.
4. 10.
5. 11.
6. 12.

36. 5.8. TEOREMA ROLLE
Teorema 5.10 Misalkan f(x) kontinu pada [a,b], f(x) diferensiabel pada
(a,b), dan f(a)=f(b), maka terdapat
Perhatikan gambar berikut:
Teorema ini menunjukkan eksistensi c sehingga garis singgung
fungsi f di titik (c,f(c)) mendatar.

37. 5.9. TEOREMA NILAI RATA-RATA

38. Contoh 5.13:
Cari semua nilai c yang memenuhi teorema nilai rata-rata untuk
pada [–1 , 2].
Jawab :
Karena itu, yang harus diselesaikan:
.
Ini menghasilkan dan
Kedua titik tersebut berada pada (–1 , 2) maka memenuhi
teorema nilai rata-rata.

39. Soal Latihan
1.Cari semua nilai c yang memenuhi teorema nilai
rata-rata untuk pada [0 , 2].
2. Andaikan f (0) = –3 dan untuk semua
nilai x. Seberapa besarkah nilai f (2) yang
mungkin?