Dokumen ini membahas tentang fungsi matematis, termasuk definisi, notasi, dan contoh fungsi serta grafiknya. Penjelasan mencakup konsep variabel bebas dan tak bebas, domain, range, serta jenis fungsi seperti fungsi linear dan kuadrat. Terdapat juga penjelasan mengenai fungsi periodik, komposisi fungsi, serta sifat-sifat fungsi ganjil dan genap.

1. Oleh: Dr. Puji Lestari, S.Si., M.Pd.

2. DEFINISI:
Fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap obyek x dalam suatu himpunan,
yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik f(x) (tepat satu) dari himpunan kedua.
Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi tersebut.
x disebut variabel bebas dan y = f(x) disebut variabel tak bebas.
Notasi: 𝑓: ℝ → ℝ
𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Contoh:
𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 2𝑥 + 4
𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥
𝑓 𝑥 = 3𝑥 ; −3 < 𝑥 < 3

3. Domain/daerah asal dari 𝑓 𝑥  notasi 𝐷𝑓 yaitu 𝐷𝑓 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑓 𝑥 ∈ ℝ
Range/daerah hasil dari 𝑓(𝑥)  notasi 𝑅𝑓 yaitu 𝑅𝑓 = 𝑓 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓

4. Jika aturan suatu fungsi dinyatakan dalam persamaan berbentuk y = f
(x), maka x disebut variabel bebas (independent variable) dan y disebut
variabel tak-bebas (dependent variable).
Contoh 1:
Diberikan fungsi f : R → R dengan f (x) = x2 + 3 untuk setiap
x ∈ R.
Tentukanlah f (0), f (2), f (a), f (a + h), f (2 a + h), Rf .
f (0) = 02 + 3 = 3
f (2) = 22 + 3 = 7
f (a) = a2 + 3,
f (a + h) = (a + h)2 + 3 = a2 + 2 a h + h2 + 3,
Rf = [3, ∞).□

5. Contoh 2:
Diberikan fungsi g : Dg → R dengan g(x) = 𝑥 + 3 untuk setiap x ∈ Dg
= [0, ∞).
Tentukanlah g(−1), g(0), g(1), g(a + h), Rg .
g(−1) tidak terdefinisi karena −1 ∉ 𝐷𝑔
g(0) = 3, g(1) = 2, g(a + h) = 𝑎 + ℎ + 3;
Rg = [ 3, ∞).

6. Perhatikan ada 3 hal yang berbeda, yaitu:
1. x: masukan (input) untuk fungsi f
2. f : fungsi (aturan)
3. f (x): keluaran (output) dari fungsi f , nilai fungsi f di titik x

7. 1. Tentukan domain dan range dari :
 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 + 4
 𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥
 𝑓 𝑥 =
2
𝑥+3

8. GRAFIK
FUNGSI
Misal y = f(x), himpunan titik
{(x, y) | x Df , y  Rf }
disebut grafik fungsi f
Grafik fungsi sederhana
a. Fungsi linear
f (x)  ax  b
Grafik berupa garis lurus
Cara menggambar : tentukan titik
potong dgn sumbu x dan sumbu y
y=x+1
1
-1
Contoh
Gambarkan grafik y = x + 1
Titik potong dgn sumbu x
(-1,0)
y = 0 x = -1
Titik potong dgn sumbu y
x = 0 y=1 (0,1)

9. b. Fungsi Kuadrat
9
Grafik berupa parabola. Misal D  b2
 4ac
a>0, D>0 a>0, D=0 a>0, D<0
b
2a
x 
D
4a

10. a<0, D>0
10
a<0, D=0 a<0, D<0

11. 1. Tentukan titik potong dengan sumbu x  y=0
2. Tentukan titik potong dengan sumbu y  x=0
3. Tentukan titik puncak (x,y)=
−𝑏
2𝑎
,
𝑏2−4𝑎𝑐
−4𝑎

12. MENGGAMBAR
GRAFIK FUNGSI
DENGAN
PERGESERAN
12
 Jika diketahui grafik fungsi y = f(x), maka :
 Grafik y=f(x-h)+k diperoleh dengan cara menggeser grafik y = f(x)
(i) sejauh h satuan ke kanan jika h positif dan k satuan ke atas jika k
positif
(ii) sejauh h satuan ke kiri jika h negatif dan k satuan ke bawah jika k negatif.

13. 13
2
 x  2  1
y  x  22
1. Gambarkan grafik fungsi
f x x2
 4x  5
 x2
 4x  4 4  5
 y  x2
digeser sejauh
2 ke kanan
2
4
y  x2
y  x  22

14. 14
digeser sejauh 1 ke atas
y  x  22
 1
Kemudian
maka akan terbentuk
4
y  x  22
2
y  x  22
 1

15. 15
Contoh Gambarkan grafik
f(x)=
𝑥2
, 𝑥 ≤ 0
𝑥, 0 < 𝑥 < 1
2 + 𝑥2, 𝑥 ≥ 1

16. Untuk x  0
f (x)  x2
Grafik: parabola
Untuk 0<x<1
f(x)=x
Grafik:garis lurus
Untuk x  1
f (x)  2 x2
Grafik: parabola
3
º
1
16

17. 17
1. Fungsi polinom (suku banyak)
f (x)  a0  a1x  a2 x2...an xn
Fungsi suku banyak terdefinisi dimana-mana(R)
2. Fungsi Rasional :
f (x) 
p(x)
 4
1
f (x) 
x2
x2
q(x)
dengan p(x) dan q(x) merupakan fungsi polinom , dan q(x) ≠0.
Fungsi rasional terdefinisi dimana-mana kecuali dipembuat nol q(x)
contoh
terdefinisi di mana2 , kecuali di x = 2, dan x = -2
Df  R {2,2}

18. 18
3. Fungsi genap dan fungsi ganjil
Definisi : Fungsi f disebut fungsi ganjil jika f(-x) = - f(x)
Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal
Contoh:
Fungsi f disebut fungsi genap jika f(-x) = f(x)
Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu y
contoh
ganjil karena
f (x)  x3
f (x)  (x)3
 x3
  f (x)
f (x)  x2
f (x)  (x)2
 x2
 f (x)
genap karena

19. Fungsi f dikatakan fungsi genap (even function) jika
f (x) = f (−x) untuk setiap x.
Ciri grafik fungsi genap: simetri terhadap sumbu y.
Grafik fungsi genap (kurva biru). Df = R, Rf = (−∞, 5].
Kalkulus 1 (SCMA601002) 19/23
0.5 Fungsi dan grafiknya

20. Fungsi f dikatakan fungsi ganjil (odd function) jika
f (−x) = −f (x) untuk setiap x.
Ciri grafik fungsi ganjil: simetri terhadap titik asal (0,0).
Grafik fungsi ganjil (kurva biru). Df = R, Rf = R.
20/23
0.5 Fungsi dan grafiknya

21. LATIHAN
 Periksa apakah fungsi berikut adalah fungsi ganjil, genap atau bahkan bukan
keduanya
a) 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥4
b) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 𝑥2

22.  Fungsi f(x) disebut periodik dengan perioda p jika f(x+p) = f(x).
 Contoh
f(x) = sin x fungsi periodik dengan perioda 2п karena
f(x+2п) = sin(x+2п) = sinx cos(2п) + cosx sin2п) = sinx = f(x)
22

23. 5. Fungsi Bilangan Bulat T
erbesar
𝑓 𝑥 = 𝑥
yaitu bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x.
f (x)  x
Contoh:
5,9 = 6; 1 = 1; −2,6 = −3; −0.9 = −1
Notasi lain :
23

24. 24
A. Operasi aljabar
 Definisi: Misalkan fungsi f(x) dan g(x) mempunyai daerah asal Df dan Dg ,
maka
 ( f  g)(x)  f (x)  g(x),
 ( f .g)(x)  f (x).g(x),
 Df  Dg
 D f  Dg
D f  g
D f .g
 (
f
)(x) 
f (x)
g g(x)
, g(x)  0 ,  Df  Dg {x | g(x)  0}
Df / g

25. B. Fungsi Komposisi
Definisi: Komposisi dari fungsi f(x) dengan g(x) didefinisikan sebagai
( f ∘g)(x)  f (g(x))
Syarat yang harus dipenuhi agar f o g ada (terdefinisi) adalah Rg ∩Df 
R R R
g f
f○
g
Dg
Rg Rf
Df
25

26. SIFAT-SIFATFUNGSI
KOMPOSISI :
26
 f o g  g o f .
D f ∘g  {x Dg | g(x)  D f }
 Contoh:
Diketahui
Tentukan (jika ada),
f (x)  x dan g(x)  x2
1
 {y  Rf | y  f (t), t  Rg }
Rf ∘g
, Rf ∘
g
f ∘g dan Df ∘
g

27. Jawab :
f (x)  x
g(x)  x2
1
27
 0,
Dg  R , Rg  1,
  1, 0, 0, 
Karena
Rg  Df
maka f o g terdefinisi, dan
x2
( f ∘g)(x)  f (g(x))  f (x2
1)  1

28.  
x  R | x2
1  0 x  R | (x 1)(x 1)  0
 (,1]  [1,).
 
x  D | g(x)  D   
x  R | x2
g f
D f ∘g
1 0,
f
R  
y R | y  f (t) , t  R 
f ∘
g g
t , t  1
[0,).
28
 
y  0 | y 

29.  Tentukan f o g, g o f dan f o f beserta daerah asalnya, jika :
1. 𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑑𝑎𝑛 𝑔 𝑥 = 𝑥
2. 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
dan g x = x + 1