SlideShare a Scribd company logo
1 of 12
Download to read offline
FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI
2
2.1 Fungsi dan Grafiknya
Definisi
Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang
memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B.
A disebut domain (daerah asal) fungsi f dan B disebut kodomain (daerah kawan).
Sedangkan himpunan semua anggota B yang mempunyai pasangan disebut range
(daerah hasil).
f
A B
Gambar 2.1 Fungsi
Definisi di atas tidak memberikan pembatasan pada domain dan kodomain.
Domain dapat berupa himpunan yang beranggotakan orang atau yang lain, demikian
pula kodomain.
Dalam uraian selanjutnya domain dan kodomain dibatasi pada himpunan-himpunan
bilangan real.
Untuk memberi nama fungsi digunakan huruf tunggal seperti f (atau g, atau F),
maka f(x) menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x. Jadi jika f(x) = x3
– 4,
maka
Fungsi dan Limit Fungsi 12
f(2) = 23
– 4 = 4
f(–1) = (–1)3
– 4 = –5
f(a) = a3
– 4
f(a + h) = (a + h)3
– 4 = a3
+ 3a2
h + 3ah2
+ h3
– 4
Contoh 1
Untuk f(x) = x2
– 2x, carilah dan sederhanakan:
a. f(4)
b. f(4 + h)
c. f(4 + h) – f(4)
d.
h
fhf )4()4( −+
dengan h ≠ 0.
Penyelesaian:
Contoh 2
Untuk f(x) = x2
– 2x dengan daerah asal {–1, 0, 1, 2, 3}, carilah daerah hasil fungsi f.
Penyelesaian:
Fungsi dan Limit Fungsi 13
Bilamana untuk sebuah fungsi daerah asalnya tidak dirinci, maka dianggap daerah
asal fungsi tersebut adalah himpunan bilangan real sehingga aturan fungsinya
bermakna dan memberikan nilai bilangan real.
Contoh 3
a. Daerah asal f(x) =
3
1
−x
adalah {x ∈ R⏐ x ≠ 3}.
b. Daerah asal g(t) = 2
9 t− adalah {t ∈ R⏐ 9 – t2
≥ 0}.
Apabila daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan himpunan
bilangan real, kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya
pada suatu bidang koordinat, dan grafik fungsi f adalah grafik dari persamaan y = f(x).
Contoh 4
Buatlah sketsa grafik dari: (a) f(x) = x2
– 4
(b) g(x) =
x
1
(c) h(x) = ⏐x⏐
Penyelesaian:
Fungsi dan Limit Fungsi 14
2.2 Operasi pada Fungsi
Jika f dan g dua fungsi maka jumlah f + g, selisih f – g, hasil kali fg, hasil bagi
f/g dan perpangkatan fn
adalah fungsi-fungsi dengan daerah asal berupa irisan dari
daerah asal f dan daerah asal g, dan dirumuskan sebagai berikut.
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(f – g)(x) = f (x) – g(x)
(f g)(x) = f (x) g(x)
(f / g)(x) =
)(
)(
xg
xf
asalkan g(x) ≠ 0
Contoh 5
Jika f(x) = x2
– 2x dan g(x) = x – 1, tentukan f + g, f – g, fg, f/g dan f 3
. Selanjutnya
gambarlah sketsa grafiknya.
Penyelesaian:
Fungsi dan Limit Fungsi 15
Selanjutnya didefinisikan komposisi fungsi sebagai berikut.
Jika f dan g dua fungsi dengan daerah asal g merupakan daerah hasil f maka
komposisi g o f memenuhi
(g o f)(x) = g (f(x))
Contoh 6
Jika f(x) = x2
– 2x dan g(x) = x – 1, tentukan g o f dan f o g. Selanjutnya gambarlah
sketsa grafiknya.
Penyelesaian:
(g o f)(x) = g (f(x))
= g (x2
– 2x)
= x2
– 2x – 1
(f o g)(x) = f (g(x))
= f (x – 1)
= (x – 1)2
– 2(x – 1)
= x2
– 2x + 1 – 2x + 2
= x2
– 4x + 3
Gambar grrafik dibiarkan untuk latihan.
2.3 Pengertian Limit
Perkataan limit berarti mendekati, seperti “Saya sudah menahan sampai
mendekati batas kesabaran saya,” atau “Janganlah kamu mendekati zina.”
Untuk memahami pengertian limit fungsi kita awali dengan fungsi berikut.
f(x) =
1
13
−
−
x
x
Fungsi tersebut tidak terdefinisi di x = 1 sebab di titik ini f(x) berbentuk 0
0
. Tetapi
dapat diselidiki mengenai nilai f(x) di titik-titik yang dekat dengan 1 (x mendekati 1).
Perhatikan nilai f(x) untuk beberapa x seperti terlihat pada daftar dan grafik y = f(x)
dapat dilihat pada gambar berikut.
Fungsi dan Limit Fungsi 16
x y = f(x)
1,25 3,813
1,1 3,310
1,01 3,030
1,001 3,003
↓ ↓
1 ?
↑ ↑
0,999 2,997
0,99 2,970
0,9 2,710
0,75 2,313
Gambar 2.2
Berdasarkan informasi pada tabel dan pada grafik menunjukkan bahwa f(x) mendekati
3 apabila x mendekati 1. Secara matematis hal tersebut dituliskan dengan
1
1
lim
3
1 −
−
→ x
x
x
= 3
dan ini dibaca “limit (x3
– 1)/ (x – 1) untuk x mendekati 1 adalah 3.”
Dalam contoh ini kita menghubungkan limit dengan perilaku fungsi dekat dengan 1,
bukannya di 1.
Contoh 1
Dengan menggunakan beberapa nilai pendekatan x tentukan
x
x
x
sin
lim
0→
Fungsi dan Limit Fungsi 17
Penyelesaian:
x y =
x
xsin
1 0,84147
0,5 0,95885
0,1 0,99833
0,01 0,99998
↓ ↓
0 ?
↑ ↑
–0,01 0,99998
–0,1 0,99833
–0,5 0,95885
–1 0,84147
Jadi,
x
x
x
sin
lim = 1.
0→
Ingat kembali mengenai nila mutlak. Jika ε adalah sembarang bilangan positif,
maka jarak f(x) ke bilangan L kurang dari ε dapat dinyatakan dalam bentuk:
Lxf −)( < ε
dan ini ekuivalen dengan
L – ε < f(x) < L + ε
yang menunjukkan bahwa f(x) terletak pada interval terbuka (L – ε, L + ε) seperti
terlihat pada gambar 2.3 (a).
Selanjutnya misalkan δ adalah suatu bilangan positif dan x cukup dekat dengan c
sehingga jarak x ke c kurang dari δ, tetapi x ≠ c maka
0 < cx − < δ
dan ini ekuivalen dengan
c – δ < x < c + δ
yang berarti x terletak dalam interval terbuka (c – δ, c + δ) dan dapat digambarkan
seperti terlihat pada gambar 2.3 (b).
Fungsi dan Limit Fungsi 18
f(x)
L + ε
L
L – ε
x
ε<− Lxf )(
(a)
f(x)
c – δ c c + δ x
δ<−< cx0
(b)
Gambar 2.3
Gambar-gambar dalam Gambar 2.2 dan Gambar 2.3 diharapkan dapat memudahkan
kita untuk memahami definisi formal dari limit sebagai berikut.
Definisi
Limit f(x) untuk x mendekati c adalah L, ditulis
Lxf
cx
=
→
)(lim
jika dan hanya jika untuk setiap bilangan ε > 0 (betapapun kecilnya), terdapat
bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < cx − < δ berlaku Lxf −)( < ε.
Fungsi dan Limit Fungsi 19
Untuk setiap ε > 0 terdapat bilangan δ > 0 sedemikian sehingga
apabila 0 < cx − < δ berlaku Lxf −)( < ε
Gambar 2.4
Contoh 2
Buktikan bahwa 5)73(lim
4
=−
→
x
x
Analisis pendahuluan:
Misalkan ε > 0 sembarang, kita harus dapat menemukan bilangan δ > 0 sedemikian
sehingga apabila 0 < 4−x < δ berlaku 5)73( −−x < ε.
Perhatikan 5)73( −−x < ε ⇔ 123 −x < ε
⇔ )4(3 −x < ε
⇔ 43 −x < ε
⇔ 4−x <
3
ε
Fungsi dan Limit Fungsi 20
Oleh karena itu dapat dipilih δ =
3
ε
. Tentu saja dapat dipilih bilangan δ yang kurang
dari
3
ε
.
Bukti:
Ambil sembarang bilangan ε > 0. Kita pilih δ > 0, yaitu δ =
3
ε
. Apabila 0 < 4−x < δ
maka berlaku 5)73( −−x = 123 −x
= )4(3 −x
= 43 −x
= 3 4−x
< 3δ = 3.
3
ε
= ε.
Jadi, terbukti .5)73(lim
4
=−
→
x
x
Contoh 3
Buktikan bahwa 5
2
232
lim
2
2
=
−
−−
→ x
xx
x
Analisis pendahuluan:
Misalkan ε > 0 sembarang, kita harus dapat menemukan bilangan δ > 0 sedemikian
sehingga apabila 0 < 2−x < δ berlaku 5
2
232 2
−
−
−−
x
xx
< ε.
Perhatikan 5
2
232 2
−
−
−−
x
xx
< ε ⇔ 5
2
)2)(12(
−
−
−+
x
xx
< ε
⇔ 5)12( −+x < ε
⇔ )2(2 −x < ε
⇔ 22 −x < ε
⇔ 2−x <
2
ε
Oleh karena itu dapat dipilih δ =
2
ε
atau yang lebih kecil dari
2
ε
.
Fungsi dan Limit Fungsi 21
Bukti:
Ambil sembarang ε > 0 dipilih δ =
2
ε
sehingga 0 < 2−x < δ berlaku
5
2
232 2
−
−
−−
x
xx
= 5
2
)2)(12(
−
−
−+
x
xx
= 5)12( −+x
= )2(2 −x
= 22 −x
= 2−x
< δ =
2
ε
< ε
Berarti terbukti bahwa 5
2
232
lim
2
2
=
−
−−
→ x
xx
x
.
Contoh 4
Buktikan bmcbmx
cx
+=+
→
)(lim
Analisis Pendahuluan:
Untuk setiap ε > 0, akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila
0 < ⏐x – c⏐ < δ berlaku ⏐(mx + b) – (mc + b)⏐ < ε.
Perhatikan:
⏐(mx + b) – (mc + b)⏐ < ε ⇔ ⏐mx – mc⏐ < ε
⇔ ⏐m⏐⏐x – c⏐ < ε
⇔ ⏐x – c⏐ <
m
ε
asalkan m ≠ 0
Dapat dipilih δ =
m
ε
.
Bukti:
Untuk m = 0, bukti cukup jelas.
Misal m ≠ 0. Untuk setiap ε > 0 dipilih δ =
m
ε
. Oleh karenanya jika 0 < ⏐x – c⏐ < δ
maka berlaku ⏐(mx + b) – (mc + b)⏐ = ⏐(mx + b) – (mc + b)⏐
= ⏐mx – mc⏐
Fungsi dan Limit Fungsi 22
= ⏐m⏐⏐x – c⏐
< ⏐m⏐
m
ε
= ε.
Fungsi dan Limit Fungsi 23

More Related Content

What's hot (20)

Integral tentu
Integral tentuIntegral tentu
Integral tentu
 
Kalkulus modul vi kontinuitas
Kalkulus modul vi kontinuitasKalkulus modul vi kontinuitas
Kalkulus modul vi kontinuitas
 
FUNGSI DAN GRAFIK
FUNGSI DAN GRAFIKFUNGSI DAN GRAFIK
FUNGSI DAN GRAFIK
 
kekontinuan fungsi
kekontinuan fungsikekontinuan fungsi
kekontinuan fungsi
 
kemonotonan dan kecekungan
kemonotonan dan kecekungankemonotonan dan kecekungan
kemonotonan dan kecekungan
 
Gradien garis singgung
Gradien garis singgungGradien garis singgung
Gradien garis singgung
 
Bab 2 Fungsi ( Kalkulus 1 )
Bab 2 Fungsi ( Kalkulus 1 )Bab 2 Fungsi ( Kalkulus 1 )
Bab 2 Fungsi ( Kalkulus 1 )
 
03 limit dan kekontinuan
03 limit dan kekontinuan03 limit dan kekontinuan
03 limit dan kekontinuan
 
INTEGRAL TENTU DAN PENERAPANNYA
INTEGRAL TENTU DAN PENERAPANNYAINTEGRAL TENTU DAN PENERAPANNYA
INTEGRAL TENTU DAN PENERAPANNYA
 
Bab 7
Bab 7Bab 7
Bab 7
 
INTEGRAL
INTEGRALINTEGRAL
INTEGRAL
 
Fungsi dan grafik
Fungsi dan grafikFungsi dan grafik
Fungsi dan grafik
 
Bab 6
Bab 6Bab 6
Bab 6
 
pendahuluan limit
pendahuluan limitpendahuluan limit
pendahuluan limit
 
Limit fungsi
Limit fungsiLimit fungsi
Limit fungsi
 
Komposisi dan fungsi
Komposisi dan fungsiKomposisi dan fungsi
Komposisi dan fungsi
 
Integral SMA Kelas XII IPA
Integral SMA Kelas XII IPAIntegral SMA Kelas XII IPA
Integral SMA Kelas XII IPA
 
INTEGRAL MATEMATIKA
INTEGRAL MATEMATIKAINTEGRAL MATEMATIKA
INTEGRAL MATEMATIKA
 
limit fungsi
limit fungsilimit fungsi
limit fungsi
 
Matematika (limit)
Matematika (limit)Matematika (limit)
Matematika (limit)
 

Viewers also liked

Viewers also liked (7)

Basic instrumentation
Basic instrumentationBasic instrumentation
Basic instrumentation
 
Art of war pdf
Art of war pdfArt of war pdf
Art of war pdf
 
Ekonomi teknik
Ekonomi teknikEkonomi teknik
Ekonomi teknik
 
Ekonomi Teknik
Ekonomi TeknikEkonomi Teknik
Ekonomi Teknik
 
Berpikir dan berjiwa besar
Berpikir dan berjiwa besarBerpikir dan berjiwa besar
Berpikir dan berjiwa besar
 
organisasi maintenance
organisasi maintenanceorganisasi maintenance
organisasi maintenance
 
Makalah bunga ekonomi teknik
Makalah bunga ekonomi teknikMakalah bunga ekonomi teknik
Makalah bunga ekonomi teknik
 

Similar to Kalkulus1

Similar to Kalkulus1 (20)

Bab 3. Limit dan Kekontinuan ( Kalkulus 1 )
Bab 3. Limit dan Kekontinuan ( Kalkulus 1 )Bab 3. Limit dan Kekontinuan ( Kalkulus 1 )
Bab 3. Limit dan Kekontinuan ( Kalkulus 1 )
 
Bab 7
Bab 7Bab 7
Bab 7
 
Limit kontinu
Limit kontinuLimit kontinu
Limit kontinu
 
Fungsi 1
Fungsi 1Fungsi 1
Fungsi 1
 
Turunan.pptx
Turunan.pptxTurunan.pptx
Turunan.pptx
 
Fungsi kelompok 4 (xi mia 4)
Fungsi kelompok 4 (xi mia 4)Fungsi kelompok 4 (xi mia 4)
Fungsi kelompok 4 (xi mia 4)
 
Fungsi dan grafik_fungsi
Fungsi dan grafik_fungsiFungsi dan grafik_fungsi
Fungsi dan grafik_fungsi
 
Fungsi dan grafik_fungsi
Fungsi dan grafik_fungsiFungsi dan grafik_fungsi
Fungsi dan grafik_fungsi
 
Meri arianti (17118002)
Meri arianti (17118002)Meri arianti (17118002)
Meri arianti (17118002)
 
limit.ppt
limit.pptlimit.ppt
limit.ppt
 
5_Kalkulus_Turunan_(1)[1].pptx
5_Kalkulus_Turunan_(1)[1].pptx5_Kalkulus_Turunan_(1)[1].pptx
5_Kalkulus_Turunan_(1)[1].pptx
 
Indra mds
Indra mdsIndra mds
Indra mds
 
Integral
IntegralIntegral
Integral
 
fungsi .pptx
fungsi .pptxfungsi .pptx
fungsi .pptx
 
Modul Kalkulus
Modul KalkulusModul Kalkulus
Modul Kalkulus
 
Modul kalkulus
Modul kalkulusModul kalkulus
Modul kalkulus
 
3. Limit dan Kekontinuan .pdf
3. Limit dan Kekontinuan .pdf3. Limit dan Kekontinuan .pdf
3. Limit dan Kekontinuan .pdf
 
3. Limit dan Kekontinuan .pdf
3. Limit dan Kekontinuan .pdf3. Limit dan Kekontinuan .pdf
3. Limit dan Kekontinuan .pdf
 
Bab 7
Bab 7Bab 7
Bab 7
 
Limit
LimitLimit
Limit
 

Recently uploaded

Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi IbrahimpptxNasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi IbrahimpptxSuGito15
 
Powerpoint tentang Kebutuhan Manusia kelas X
Powerpoint tentang Kebutuhan Manusia kelas XPowerpoint tentang Kebutuhan Manusia kelas X
Powerpoint tentang Kebutuhan Manusia kelas Xyova9dspensa
 
Permohonan Pembatalan Keputusan Komisi Pemilihan Umum No. 360 Tahun 2024.pdf
Permohonan Pembatalan Keputusan Komisi Pemilihan Umum No. 360 Tahun 2024.pdfPermohonan Pembatalan Keputusan Komisi Pemilihan Umum No. 360 Tahun 2024.pdf
Permohonan Pembatalan Keputusan Komisi Pemilihan Umum No. 360 Tahun 2024.pdfDadang Solihin
 
Sertifikat PMM aksi nyata "mengapa kurikulum perlu berubah".pdf
Sertifikat PMM aksi nyata "mengapa kurikulum perlu berubah".pdfSertifikat PMM aksi nyata "mengapa kurikulum perlu berubah".pdf
Sertifikat PMM aksi nyata "mengapa kurikulum perlu berubah".pdfWahyuHid3
 
materi PPT tentang cerita inspiratif kelas 9 smp
materi PPT tentang cerita inspiratif kelas 9 smpmateri PPT tentang cerita inspiratif kelas 9 smp
materi PPT tentang cerita inspiratif kelas 9 smpAanSutrisno
 
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUTeric214073
 
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptxfurqanridha
 
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASIBMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASIwanalifhikmi
 
Jurnal Refleksi Dwi Mingguan Modul.1.1.pdf
Jurnal Refleksi Dwi Mingguan Modul.1.1.pdfJurnal Refleksi Dwi Mingguan Modul.1.1.pdf
Jurnal Refleksi Dwi Mingguan Modul.1.1.pdfIndri117648
 
power point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuran
power point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuranpower point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuran
power point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuranapriandanu
 
UTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptx
UTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptxUTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptx
UTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptxYusufAmirudin3
 
PPT IPS KD 3.4 Sejarah Kerajaan-Kerajaan di Indonesia part 2.pptx
PPT IPS KD 3.4 Sejarah Kerajaan-Kerajaan di Indonesia part 2.pptxPPT IPS KD 3.4 Sejarah Kerajaan-Kerajaan di Indonesia part 2.pptx
PPT IPS KD 3.4 Sejarah Kerajaan-Kerajaan di Indonesia part 2.pptxfradillachorysofa14
 
Jalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptx
Jalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptxJalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptx
Jalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptxPutriSoniaAyu
 
Paparan Model Kompetensi Kepala Sekolah.pptx
Paparan Model Kompetensi Kepala Sekolah.pptxPaparan Model Kompetensi Kepala Sekolah.pptx
Paparan Model Kompetensi Kepala Sekolah.pptxagunk4
 
PAI SD 1_BAB 9. pendidikan agama islam tentang bersuci
PAI SD 1_BAB 9.  pendidikan agama islam tentang bersuciPAI SD 1_BAB 9.  pendidikan agama islam tentang bersuci
PAI SD 1_BAB 9. pendidikan agama islam tentang bersucietiernawati20
 
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdfMakna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdfAdindaRizkiThalia
 
Fungsi Manajemen Public Relations dan Terapannya
Fungsi Manajemen Public Relations dan TerapannyaFungsi Manajemen Public Relations dan Terapannya
Fungsi Manajemen Public Relations dan TerapannyaAdePutraTunggali
 
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrahmateri pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrahkrisdanarahmatullah7
 

Recently uploaded (20)

ELEMEN KOMPOL (PESAN BAHASA POLITIK).pptx
ELEMEN KOMPOL (PESAN BAHASA POLITIK).pptxELEMEN KOMPOL (PESAN BAHASA POLITIK).pptx
ELEMEN KOMPOL (PESAN BAHASA POLITIK).pptx
 
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi IbrahimpptxNasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
 
Powerpoint tentang Kebutuhan Manusia kelas X
Powerpoint tentang Kebutuhan Manusia kelas XPowerpoint tentang Kebutuhan Manusia kelas X
Powerpoint tentang Kebutuhan Manusia kelas X
 
Permohonan Pembatalan Keputusan Komisi Pemilihan Umum No. 360 Tahun 2024.pdf
Permohonan Pembatalan Keputusan Komisi Pemilihan Umum No. 360 Tahun 2024.pdfPermohonan Pembatalan Keputusan Komisi Pemilihan Umum No. 360 Tahun 2024.pdf
Permohonan Pembatalan Keputusan Komisi Pemilihan Umum No. 360 Tahun 2024.pdf
 
Sertifikat PMM aksi nyata "mengapa kurikulum perlu berubah".pdf
Sertifikat PMM aksi nyata "mengapa kurikulum perlu berubah".pdfSertifikat PMM aksi nyata "mengapa kurikulum perlu berubah".pdf
Sertifikat PMM aksi nyata "mengapa kurikulum perlu berubah".pdf
 
materi PPT tentang cerita inspiratif kelas 9 smp
materi PPT tentang cerita inspiratif kelas 9 smpmateri PPT tentang cerita inspiratif kelas 9 smp
materi PPT tentang cerita inspiratif kelas 9 smp
 
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT
1.-Materi-Prof.-Bambang-1.ppt PENYEBAB GAGAL GINJAL AKUT
 
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
 
Persiapandalam Negosiasi dan Loby .pptx
Persiapandalam  Negosiasi dan Loby .pptxPersiapandalam  Negosiasi dan Loby .pptx
Persiapandalam Negosiasi dan Loby .pptx
 
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASIBMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
 
Jurnal Refleksi Dwi Mingguan Modul.1.1.pdf
Jurnal Refleksi Dwi Mingguan Modul.1.1.pdfJurnal Refleksi Dwi Mingguan Modul.1.1.pdf
Jurnal Refleksi Dwi Mingguan Modul.1.1.pdf
 
power point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuran
power point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuranpower point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuran
power point mengenai akhlak remaja: menghindari tawuran
 
UTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptx
UTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptxUTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptx
UTS CT (ppg prajabatan gelombang 1 tahun 2023).pptx
 
PPT IPS KD 3.4 Sejarah Kerajaan-Kerajaan di Indonesia part 2.pptx
PPT IPS KD 3.4 Sejarah Kerajaan-Kerajaan di Indonesia part 2.pptxPPT IPS KD 3.4 Sejarah Kerajaan-Kerajaan di Indonesia part 2.pptx
PPT IPS KD 3.4 Sejarah Kerajaan-Kerajaan di Indonesia part 2.pptx
 
Jalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptx
Jalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptxJalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptx
Jalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptx
 
Paparan Model Kompetensi Kepala Sekolah.pptx
Paparan Model Kompetensi Kepala Sekolah.pptxPaparan Model Kompetensi Kepala Sekolah.pptx
Paparan Model Kompetensi Kepala Sekolah.pptx
 
PAI SD 1_BAB 9. pendidikan agama islam tentang bersuci
PAI SD 1_BAB 9.  pendidikan agama islam tentang bersuciPAI SD 1_BAB 9.  pendidikan agama islam tentang bersuci
PAI SD 1_BAB 9. pendidikan agama islam tentang bersuci
 
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdfMakna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
Makna, hukum, hikmah dan keutamaan puasa.pdf
 
Fungsi Manajemen Public Relations dan Terapannya
Fungsi Manajemen Public Relations dan TerapannyaFungsi Manajemen Public Relations dan Terapannya
Fungsi Manajemen Public Relations dan Terapannya
 
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrahmateri pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
 

Kalkulus1

  • 1. FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2 2.1 Fungsi dan Grafiknya Definisi Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B. A disebut domain (daerah asal) fungsi f dan B disebut kodomain (daerah kawan). Sedangkan himpunan semua anggota B yang mempunyai pasangan disebut range (daerah hasil). f A B Gambar 2.1 Fungsi Definisi di atas tidak memberikan pembatasan pada domain dan kodomain. Domain dapat berupa himpunan yang beranggotakan orang atau yang lain, demikian pula kodomain. Dalam uraian selanjutnya domain dan kodomain dibatasi pada himpunan-himpunan bilangan real. Untuk memberi nama fungsi digunakan huruf tunggal seperti f (atau g, atau F), maka f(x) menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x. Jadi jika f(x) = x3 – 4, maka Fungsi dan Limit Fungsi 12
  • 2. f(2) = 23 – 4 = 4 f(–1) = (–1)3 – 4 = –5 f(a) = a3 – 4 f(a + h) = (a + h)3 – 4 = a3 + 3a2 h + 3ah2 + h3 – 4 Contoh 1 Untuk f(x) = x2 – 2x, carilah dan sederhanakan: a. f(4) b. f(4 + h) c. f(4 + h) – f(4) d. h fhf )4()4( −+ dengan h ≠ 0. Penyelesaian: Contoh 2 Untuk f(x) = x2 – 2x dengan daerah asal {–1, 0, 1, 2, 3}, carilah daerah hasil fungsi f. Penyelesaian: Fungsi dan Limit Fungsi 13
  • 3. Bilamana untuk sebuah fungsi daerah asalnya tidak dirinci, maka dianggap daerah asal fungsi tersebut adalah himpunan bilangan real sehingga aturan fungsinya bermakna dan memberikan nilai bilangan real. Contoh 3 a. Daerah asal f(x) = 3 1 −x adalah {x ∈ R⏐ x ≠ 3}. b. Daerah asal g(t) = 2 9 t− adalah {t ∈ R⏐ 9 – t2 ≥ 0}. Apabila daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan himpunan bilangan real, kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat, dan grafik fungsi f adalah grafik dari persamaan y = f(x). Contoh 4 Buatlah sketsa grafik dari: (a) f(x) = x2 – 4 (b) g(x) = x 1 (c) h(x) = ⏐x⏐ Penyelesaian: Fungsi dan Limit Fungsi 14
  • 4. 2.2 Operasi pada Fungsi Jika f dan g dua fungsi maka jumlah f + g, selisih f – g, hasil kali fg, hasil bagi f/g dan perpangkatan fn adalah fungsi-fungsi dengan daerah asal berupa irisan dari daerah asal f dan daerah asal g, dan dirumuskan sebagai berikut. (f + g)(x) = f (x) + g(x) (f – g)(x) = f (x) – g(x) (f g)(x) = f (x) g(x) (f / g)(x) = )( )( xg xf asalkan g(x) ≠ 0 Contoh 5 Jika f(x) = x2 – 2x dan g(x) = x – 1, tentukan f + g, f – g, fg, f/g dan f 3 . Selanjutnya gambarlah sketsa grafiknya. Penyelesaian: Fungsi dan Limit Fungsi 15
  • 5. Selanjutnya didefinisikan komposisi fungsi sebagai berikut. Jika f dan g dua fungsi dengan daerah asal g merupakan daerah hasil f maka komposisi g o f memenuhi (g o f)(x) = g (f(x)) Contoh 6 Jika f(x) = x2 – 2x dan g(x) = x – 1, tentukan g o f dan f o g. Selanjutnya gambarlah sketsa grafiknya. Penyelesaian: (g o f)(x) = g (f(x)) = g (x2 – 2x) = x2 – 2x – 1 (f o g)(x) = f (g(x)) = f (x – 1) = (x – 1)2 – 2(x – 1) = x2 – 2x + 1 – 2x + 2 = x2 – 4x + 3 Gambar grrafik dibiarkan untuk latihan. 2.3 Pengertian Limit Perkataan limit berarti mendekati, seperti “Saya sudah menahan sampai mendekati batas kesabaran saya,” atau “Janganlah kamu mendekati zina.” Untuk memahami pengertian limit fungsi kita awali dengan fungsi berikut. f(x) = 1 13 − − x x Fungsi tersebut tidak terdefinisi di x = 1 sebab di titik ini f(x) berbentuk 0 0 . Tetapi dapat diselidiki mengenai nilai f(x) di titik-titik yang dekat dengan 1 (x mendekati 1). Perhatikan nilai f(x) untuk beberapa x seperti terlihat pada daftar dan grafik y = f(x) dapat dilihat pada gambar berikut. Fungsi dan Limit Fungsi 16
  • 6. x y = f(x) 1,25 3,813 1,1 3,310 1,01 3,030 1,001 3,003 ↓ ↓ 1 ? ↑ ↑ 0,999 2,997 0,99 2,970 0,9 2,710 0,75 2,313 Gambar 2.2 Berdasarkan informasi pada tabel dan pada grafik menunjukkan bahwa f(x) mendekati 3 apabila x mendekati 1. Secara matematis hal tersebut dituliskan dengan 1 1 lim 3 1 − − → x x x = 3 dan ini dibaca “limit (x3 – 1)/ (x – 1) untuk x mendekati 1 adalah 3.” Dalam contoh ini kita menghubungkan limit dengan perilaku fungsi dekat dengan 1, bukannya di 1. Contoh 1 Dengan menggunakan beberapa nilai pendekatan x tentukan x x x sin lim 0→ Fungsi dan Limit Fungsi 17
  • 7. Penyelesaian: x y = x xsin 1 0,84147 0,5 0,95885 0,1 0,99833 0,01 0,99998 ↓ ↓ 0 ? ↑ ↑ –0,01 0,99998 –0,1 0,99833 –0,5 0,95885 –1 0,84147 Jadi, x x x sin lim = 1. 0→ Ingat kembali mengenai nila mutlak. Jika ε adalah sembarang bilangan positif, maka jarak f(x) ke bilangan L kurang dari ε dapat dinyatakan dalam bentuk: Lxf −)( < ε dan ini ekuivalen dengan L – ε < f(x) < L + ε yang menunjukkan bahwa f(x) terletak pada interval terbuka (L – ε, L + ε) seperti terlihat pada gambar 2.3 (a). Selanjutnya misalkan δ adalah suatu bilangan positif dan x cukup dekat dengan c sehingga jarak x ke c kurang dari δ, tetapi x ≠ c maka 0 < cx − < δ dan ini ekuivalen dengan c – δ < x < c + δ yang berarti x terletak dalam interval terbuka (c – δ, c + δ) dan dapat digambarkan seperti terlihat pada gambar 2.3 (b). Fungsi dan Limit Fungsi 18
  • 8. f(x) L + ε L L – ε x ε<− Lxf )( (a) f(x) c – δ c c + δ x δ<−< cx0 (b) Gambar 2.3 Gambar-gambar dalam Gambar 2.2 dan Gambar 2.3 diharapkan dapat memudahkan kita untuk memahami definisi formal dari limit sebagai berikut. Definisi Limit f(x) untuk x mendekati c adalah L, ditulis Lxf cx = → )(lim jika dan hanya jika untuk setiap bilangan ε > 0 (betapapun kecilnya), terdapat bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < cx − < δ berlaku Lxf −)( < ε. Fungsi dan Limit Fungsi 19
  • 9. Untuk setiap ε > 0 terdapat bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < cx − < δ berlaku Lxf −)( < ε Gambar 2.4 Contoh 2 Buktikan bahwa 5)73(lim 4 =− → x x Analisis pendahuluan: Misalkan ε > 0 sembarang, kita harus dapat menemukan bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < 4−x < δ berlaku 5)73( −−x < ε. Perhatikan 5)73( −−x < ε ⇔ 123 −x < ε ⇔ )4(3 −x < ε ⇔ 43 −x < ε ⇔ 4−x < 3 ε Fungsi dan Limit Fungsi 20
  • 10. Oleh karena itu dapat dipilih δ = 3 ε . Tentu saja dapat dipilih bilangan δ yang kurang dari 3 ε . Bukti: Ambil sembarang bilangan ε > 0. Kita pilih δ > 0, yaitu δ = 3 ε . Apabila 0 < 4−x < δ maka berlaku 5)73( −−x = 123 −x = )4(3 −x = 43 −x = 3 4−x < 3δ = 3. 3 ε = ε. Jadi, terbukti .5)73(lim 4 =− → x x Contoh 3 Buktikan bahwa 5 2 232 lim 2 2 = − −− → x xx x Analisis pendahuluan: Misalkan ε > 0 sembarang, kita harus dapat menemukan bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < 2−x < δ berlaku 5 2 232 2 − − −− x xx < ε. Perhatikan 5 2 232 2 − − −− x xx < ε ⇔ 5 2 )2)(12( − − −+ x xx < ε ⇔ 5)12( −+x < ε ⇔ )2(2 −x < ε ⇔ 22 −x < ε ⇔ 2−x < 2 ε Oleh karena itu dapat dipilih δ = 2 ε atau yang lebih kecil dari 2 ε . Fungsi dan Limit Fungsi 21
  • 11. Bukti: Ambil sembarang ε > 0 dipilih δ = 2 ε sehingga 0 < 2−x < δ berlaku 5 2 232 2 − − −− x xx = 5 2 )2)(12( − − −+ x xx = 5)12( −+x = )2(2 −x = 22 −x = 2−x < δ = 2 ε < ε Berarti terbukti bahwa 5 2 232 lim 2 2 = − −− → x xx x . Contoh 4 Buktikan bmcbmx cx +=+ → )(lim Analisis Pendahuluan: Untuk setiap ε > 0, akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila 0 < ⏐x – c⏐ < δ berlaku ⏐(mx + b) – (mc + b)⏐ < ε. Perhatikan: ⏐(mx + b) – (mc + b)⏐ < ε ⇔ ⏐mx – mc⏐ < ε ⇔ ⏐m⏐⏐x – c⏐ < ε ⇔ ⏐x – c⏐ < m ε asalkan m ≠ 0 Dapat dipilih δ = m ε . Bukti: Untuk m = 0, bukti cukup jelas. Misal m ≠ 0. Untuk setiap ε > 0 dipilih δ = m ε . Oleh karenanya jika 0 < ⏐x – c⏐ < δ maka berlaku ⏐(mx + b) – (mc + b)⏐ = ⏐(mx + b) – (mc + b)⏐ = ⏐mx – mc⏐ Fungsi dan Limit Fungsi 22
  • 12. = ⏐m⏐⏐x – c⏐ < ⏐m⏐ m ε = ε. Fungsi dan Limit Fungsi 23