Fungsi beberapa varibel peubah banyak

1. Fungsi Beberapa Variabel (Perubah)
Contoh2 :
- Volume silinder (V) sebagai fungsi dari jari-jari ( r ) dan
tinggi (h): V = π r2
h.
- f merupakan fungsi dari 2 variabel(perubah) x dan y:
f(x,y) = x + y, x, y, f(x,y) ∈ R
- Fungsi 4 perubah: Sejumlah panas (A) dilepaskan ke
udara pada waktu t=0 dalam suatu medium dg difusi k,
maka suhu (T) di titik (x,y,z) pada saat t > 0 adalah
( )
konstantadan,
4
exp
4
),,,(
222
2/3
kA
kt
zyx
kt
A
tzyxT 




 ++
−=
π

2. Definisi:
Fungsi dua variabel terdefinisi pada bidang
domain D adalah suatu aturan pemetaan
dimana setiap titik (x,y) di dalam D berasosiasi
dengan satu bilangan real(nyata) z=f(x,y) ∈R.
Contoh1:
Tentukan domain fungsi
22
25),( yxyxf −−= { }25|),( 222
≤+∈= yxRyxD
1
2
),(
−
=
y
x
yxf { }}1{,0|),( −∈≥= RyxyxD

3. Soal: Gambarkanlah pd bidang-xy domain dari
Menentukan domain:
- hindari akar bilangan negatif
- hindari pembagian dengan 0
Range dari fungsi dua perubah membentuk
suatu permukaan.
( ))2)(1(
),(.3
sin),(.2
/),(.1
2
−−
−
=
+=
+=
yx
xy
yxh
yxyxg
xyxyyxf

4. Fungsi2 dua variable umum diketahui dan
dikenal:
Tekanan atmosfir disekitar suatu pulau
adalah fungsi dari longitudinal dan
ketinggian di atas permukaan air laut.
Pada senar gitar, posisi suatu titik sejauh x
pada saat t dapat dimodelkan untuk selang
waktu singkat sebagai
f(x,t)=A sin(x) cos(t)

5. Visualisasi fungsi dua variabel sulit,
dibutuhkan tehnik2 sistematis.
Fungsi dua variable dapat dimengerti melalui
 Tabel
 Plot daripada peta kontur
 Plot daripada irisan kurva permukaan
 Plot kurva permukaan

6. Peta Kontur
Misalkan f(x,y) fungsi dg dua perubah; dan c
adl konstanta. Himpunan semua titik (x,y)
dimana fgs bernilai c:
{(x,y)| f(x,y) = c}
disebut kurva tingkat dari fungsi f. Himpunan
kurva2 tingkat disebut peta kontur.

7. Kontur dari f(x,y) = x + y

8. Soal:
Gambarlah kurva
tingkat z = k untuk
nilai2 k yang diberikan:
4,3,2,1,0,22
=+= kyxz

9. Grafik 3-D dari 4,3,2,1,0,22
=+= kyxz

10. Permukaan
paraboloid z = g(x,y) = x2
+ y2
dan peta konturnya

11. Review Turunan
Untuk fungsi satu variabel f(x), turunan di titik x0
didefinisikan
Secara geometri f’(x), adalah kemiringan dari garis
tangen (grs. singgung) f di x0
h
xfhxf
xf
dx
df
h
xx
)()(
lim)(' 00
0
0
0
−+
==
→
=

12. Turunan Parsial
Misalkan z = f(x,y) fungsi 2 variabel yg terdefinisi
disekitar titik (x,y). Turunan parsial dari f terhadap x
adalah turunan z terhdp x dimana hanya variabel x saja yg
diasumsikan berubah, dan y tetap konstan. Mengukur
kecepatan perubahan z thdp x sementara y konstan.
Turunan parsial z = f(x,y) terhdp x ditulis
didefinisikan sbb.





 −+
==
∂
∂
→ h
yxfyhxf
yxfyxf
x h
x
),(),(
lim),(),(
0
),(),( yxfyxf
x
z
x
x=
∂
∂
=
∂
∂

13. Turunan parsial z = f(x,y) terhdp y ditulis
didefinisikan sbb.
Contoh:
),(),( yxfyxf
y
z
y
y=
∂
∂
=
∂
∂





 −+
==
∂
∂
→ k
yxfkyxf
yxfyxf
y k
y
),(),(
lim),(),(
0
( ) .22lim
2
lim
][])[(
lim
),(),(
lim),(
x
:Lengkapnya
.2maka),(
0
2
0
2222
00
22
xhx
h
hxh
h
yxyhx
h
yxgyhxg
yxg
xz
x
yxyxgz
hh
hh
=+=




 +
=





 +−++
=




 −+
=
∂
∂
=
∂
∂
+==
→→
→→

14. Misalkan z = f(x,y) merupakan suatu permukaan.
Persamaan y = b merepresentasikan bidang vertikal sejajar
bidang xz, dan memotong permukaan z, garis potongnya
membentuk kurva z= f(x,b) disebut kurva-x.
Nilai dari turunan parsial fx(a,b) adalah gradien/kemiringan
dari garis tangen di titik P(a,b,c) pada kurva-x yang
melalui P pada permukaan z = f(x,y).
Hal yg sama, fy(a,b) adalah gradien/kemiringan dari garis
tangen di titik P(a,b,c) pada kurva-y yang melalui P pada
permukaan z = f(x,y).

15. Menentukan bidang tangen pada permukaan
Untuk fungsi dua variable, bidang tangen pada z=f(x,y) di
titik (x0, y0) adalah bidang yg melalui(menyinggung) titik (x0,
y0 , f (x0, y0 )), bidang tsb. menyentuh permukaan z hanya di
satu titik.
Definisi: Bidang tangen di titik P(a,b) pada permukaan z
= f(x,y) adalah bidang yg melalui P dan memuat garis-
garis tangen di P pada kurva-x dan kurva-y.
Syarat: turunan parsial fx(x,y), fy(x,y) kontinu di daerah
(cakram) sekitar (a,b).
Persamaan bidang tangen pada permukaan z = f(x,y) di
titik P(a,b, f(a,b)) adalah
z – f(a,b) = fx(a,b) (x-a) + fy(a,b) (y-b)

16. Soal:
Tulis persamaan bidang tangen pada
paraboloida z = 5 – 2x2
– y2
di titik P(1,1,2)
fx(x,y)= ? fy(x,y)= ?
Solusi: z – 2=-4(x-1)-2(y-1)

17. Fungsi tiga atau lebih perubah (variabel)
Turunan parsial orde-tinggi
fDfDf
x
f
x
xxxfxf
ii xix
i
i
n
===
∂
∂
=
:variableterhadapparsialTurunan
),,,()( 21 
.)(
.)(.)(
2
2
2
2
2
xy
f
x
f
y
ff
y
f
y
f
y
ff
x
f
x
f
x
ff
xyyx
yyyyxxxx
∂∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
==
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
==
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
==

18. Titik ekstrim lokal
Syarat perlu untuk ekstrim lokal
Mis. f(x,y) mempunyai nilai lokal maximum
atau nilai lokal minimum di titik (a,b) dan
kedua turunan parsial fx(a,b) dan fy(a,b) ada.
Maka
Titik (a,b) disebut titik kritis
),(0),( bafbaf yx ==

19. Contoh
Cari titik tertinggi pada permukaan:
z = f(x,y) = 2/3 x3
+ 4y3
– x4
– y4
Jadi kemungkinan titik2 nya adalah:
(0,0) atau (0,3) atau (2,0) atau (2,3).
z(0,0) = 0; z(0,3) = 27
3atau00)3(4412
2atau00)2(448
232
232
==⇒=−=−=
∂
∂
==⇒=−=−=
∂
∂
yyyyyy
y
z
xxxxxx
x
z

20. Cari biaya minimum membuat kotak dengan volume 48
cm3
jika untuk sisi depan dan belakang biayanya
Rp100/cm2
, sisi atas dan bawah Rp 200/cm2
, dan dua sisi
samping Rp 300/cm2
.
volume: V = xyz = 48
Biaya membuat kotak:
Selesaikan kedua persamaan ini
y = 2, x = 6, z = 4
yx
xyyxB
960028800
400),( ++=
0
96
4100,0
288
4100 22
=





−=
∂
∂
=





−=
∂
∂
y
x
y
B
x
y
x
B
x
y
z

21. Mencari nilai maksimum dan minimum
absolut dari f(x,y) di bidang R :
1. Tentukan titik2 kritis
2. Cari nilai2 ekstrim yg mungkin pada batas kurva C
3. Bandingkan nilai2 fungsi pada titik2 yg diperoleh
dari langkah 1 dan 2

22. Cari nilai maksimum dan minimum global dari
fungsi f(x,y) = xy – x – y + 3 dititik2 daerah
segitiga R pada bidang-xy dg titik2 sudut (0,0),
(2,0) dan (0,4)
1;1 −=−= xfyf yx
R
x 
(0,0)
(0,4)
y

23. 1. Titik kritis hanya satu: (1,1)
2. Periksa di titik2 pada batas kurva:
- sepanjang tepi y = 0: f(x,0) = 3 - x, 0≤ x ≤ 2
Fungsi turun  ttk ekstrim di x = 0 dan x = 2.
- Sepanjang tepi x= 0: f(0,y) = 3 – y, 0≤ y ≤ 4
Fungsi turun  ttk ekstrim di (0,0) dan (0,4)
- Sepanjang tepi miring y = 4 - 2x 
z = -2x2
+5x –1, 0≤ x ≤2
z’ = -4x + 5 =0  x = 5/4.
Titik2 ekstrim: (0,4), (5/4,3/2),(2,0)

24. PR:
Cari titik tertinggi atau terendah dari permukaan z
= f(x,y) berikut
Cari nilai max. dan min. fungsi f(x,y) pada daerah
bidang R yg diberikan
)exp()1(.2
22.1
222
422
yxxz
yyxxz
−−+=
−+−=
1.lingkaranadalahR;2),(2.
(0,2)dan(2,0)(0,0),
suduttitik2dgsegitigaadalahR,2),(.1
22
22
≤+=
−+=
yxxyyxf
xyxyxf

25. Syarat cukup bhw f(x,y) memp. titik ekstrim lokal.
Mis. A = fxx(a,b) B = fxy(a,b) C = fyy(a,b)
∆ = AC – B2
(diskriminan)
Teorema: f(x,y) mempunyai turunan orde-2 yg kontinu
disekitar titik kritis (a,b) dimana fx(a,b) = 0 = fy(a,b).
Maka:
f(a,b) adl lokal min. f jika A > 0 dan ∆ > 0;
f(a,b) adl lokal max f jika A < 0 dan ∆ > 0;
f(a,b) bukan keduanya jika ∆ < 0, f(a,b) disebut titik sadel.
Jika ∆ = 0, maka tes gagal, tdk ada kesimpulan.
Contoh:
f(x,y) = 3x –x3
–3xy2
(Ttk2 kritis: (1,0), (-1,0), (0,1) (0,-1) )

26. Aturan Rantai
Misalkan x = g(t) dan y = h(t) fungsi
terdeferensial, terdefinisi di t dan misalkan z =
f(x,y) mempunyai turunan parsial orde-satu yg
kontinu. Maka z = f(x(t), y(t)) terdefinisi di t dan
terdeferensial
Contoh:
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
∂
∂
+
∂
∂
=
?
; 32
=
===
dt
dw
tytxew xy

27. Mis. Z = f(u, v, x, y) dimana u dan v masing2
fungsi dari x dan y. Disini x dan y sebagai
variabel antara dan variabel bebas.
Aturan rantai menghasilkan:
x
f
dx
dv
v
f
dx
du
u
f
dx
dy
y
f
dx
dx
x
f
dx
dv
v
f
dx
du
u
f
dx
dz
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=