2019 5-1 等速圓周運動投影片
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中華民國 高中物理教材 99課綱-基礎物理2B-CH5 牛頓運動定律-2-週期運動 注意：部分動畫無法顯示 參考資料 陈玉芳，物理學史簡明教程 郭奕玲，沈慧君，物理學演義 維基百科 高二物理課本，99課綱 DeltaMOOCx
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- 1. 5-1 等速圓周運 動 Uniform Circular Motion
- 4. Samn physics 高二基礎物理2B-CH5 角位移 Angular Displacement ○定義：物體旋轉時的角度變化量Δθ ○轉動方向： • 逆時針 • 順時針 ○單位： 𝒕 𝟐 𝜽 𝟏 ∆𝜽 = 𝜽 𝟐 − 𝜽 𝟏 正 負 度(degrees) 弧度(rad) x y 弧度(rad) • 繞 ¼ 圈-90度 • 繞 1 圈-360度 特定情況下，會比[度]更實用 𝒕 𝟏 𝜽 𝟐 4
- 5. Samn physics 弧度(radian,縮寫rad) r S 𝜽 = 𝑺 𝒓 θ x y 圓心角θ 越大 𝒔 = 𝒓𝜽 高二基礎物理2B-CH5 5 半徑r為定值，弧長S 越長 定義：弧度=弧長S除以該圓半徑r 1 弧度是 弧長=半徑所對應的圓心角。
- 6. Samn physics 弧度(radian,縮寫rad)與度的換算 y 完整一圈的弧長(圓周長)= 其圓心角的弧度= 𝟐𝝅𝒓 𝑺 𝒓 = 𝟐𝝅𝒓 𝒓 = 𝟐𝝅(𝒓𝒂𝒅) 其圓心角的角度= 𝟑𝟔𝟎 𝒐 𝟑𝟔𝟎度 = 𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅 𝟏 𝐨 = 𝟐𝝅 𝟑𝟔𝟎 = 𝝅 𝟏𝟖𝟎 𝐫𝐚𝐝 高二基礎物理2B-CH5 6 1 弧度是指 弧長=半徑所對應的圓心角。
- 7. Samn physics 高二基礎物理2B-CH5 角速度 angular velocity 𝝎 = 𝜟𝜽 𝜟𝒕 弧度/秒 (rad/s)度/秒 (deg/s) r.p.s 是 1秒轉動的圈數 𝒕 𝟐 𝜽 𝟏 x y 𝒕 𝟏 𝜽 𝟐 定義：角位移對時間的變化率，用來代 表物體轉動的快慢，以 𝝎 表示 平均角速度 瞬時角速度 𝝎 = 𝐥𝐢𝐦 𝜟𝒕→𝟎 𝚫𝜽 𝚫𝒕 單位： r.p.m 是 1分鐘轉動的圈數 7
- 9. Samn physics 等速圓周運動 切線速度 向心加速度垂直 http://cse.ssl.berkeley.edu/bmendez/ay10/2002/notes/pics/bt2lf0504_a.jpg 變速度運動 移動速率不變，繞一周時間為定值 速度量值 不變 方向為沿軌跡的 切線 方向 變加速度運動 加速度方向不斷改變，恆指向圓心 加速度量值不變，又稱 向心加速度 向心力 物體做等速率圓週運動時候所受 外力的總和(合力)。 高二基礎物理2B-CH5 9
- 10. Samn physics 等速圓周運動 ○旋轉一圈所需時間=定值 ○稱為 週期 , T，單位：秒(/次) ○每一秒的轉動圈數=定值 ○稱為頻率,f，單位：Hz，轉/秒 次/秒 http://cse.ssl.berkeley.edu/bmendez/ay10/2002/notes/pics/bt2lf0504_a.jpg 𝑻 = 𝟏 𝒇 1轉/秒=1 r.p.s=1Hz 高二基礎物理2B-CH5 10
- 11. Samn physics 角速度angular velocity ○對等速圓周運動而言 ○繞一圈的時間，恰等於週期 T ○繞一圈的弧度，恰等於 ○角速度 𝜔 = Δ𝜃 Δ𝑡 = 2𝜋 𝑇 (rad/s) 2𝜋(rad) 𝟐𝝅 = 2𝜋𝑓 (rad/s) 高二基礎物理2B-CH5 11
- 12. Samn physics 單位互換 ○一物作等速率圓運動，在10秒內 它共轉4圈，則 ○(1)週期為何？ ○(2)頻率為若干r.p.s？ ○(3)角速度為何？ r.p.s 是 每秒轉動的圈數 1 r.p.s =1Hz 週期 𝑇 = 10 4 = 2.5(𝑠) 頻率 𝑓 = 1 𝑇 = 0.4 Hz = 0.4r. p. s 角速度 𝜔 = 2𝜋𝑓 = 0.8 𝜋(rad/s) 解答： 高二基礎物理2B-CH5 12
- 13. Samn physics 高二基礎物理2B-CH5 切線速度量值(切線速率 𝑟 𝑣 質點在正圓形路徑上等速運動 環繞一周後，路徑長 花費時間，恰等於週期 𝑇 ∆𝑆 = 2𝜋𝑟 移動速率 𝑣 = 𝜔𝑟 𝑣 = ∆𝑆 ∆𝑡 = 2𝜋𝑟 𝑇 𝝎 = 𝟐𝝅 𝑻 13 𝑣 = 2𝜋𝑟 𝑇 = 𝜔𝑟
- 14. Samn physics 等速率圓週運動的向心加速度量值 ○ 瞬時加速度 Δ𝜃 𝑣 𝑣 𝑣𝑣 Δ𝜃 𝑟 𝑟 Δ𝑣 റ𝑎 = lim Δ𝑡→0 Δ Ԧ𝑣 Δ𝑡 ○速度變化量恆指向圓心 ○加速度的方向必然恆指向圓心 ○該加速度 又稱為 Δ𝜃′ 𝑣 𝑣 𝑟 𝑣 𝑣Δ𝑣′ 向心加速度, 𝑎 𝑐 Δ𝜃′ 高二基礎物理2B-CH5 14
- 15. Samn physics 等速率圓週運動的向心加速度 ○ 瞬時加速度 Δ𝜃 𝑣 𝑣 𝑣𝑣 Δ𝜃 𝑟 𝑟 Δ𝑣 റ𝑎 = lim Δ𝑡→0 Δ Ԧ𝑣 Δ𝑡 Δ𝜃′ 𝑣 𝑣 𝑟 𝑣 𝑣Δ𝑣′ 第一型態 Δ𝜃′ Δ𝑣 ≈紅色弧長○Δ𝑡 → 0 等腰 三角形 𝑎 𝑐 = lim Δ𝑡→0 Δ𝑣 Δ𝑡 = 𝑣Δ𝜃 Δ𝑡 = 𝑣 𝝎 高二基礎物理2B-CH5 15 =𝑣Δ𝜃
- 16. Samn physics 等速率圓週運動的向心加速度 ○ 瞬時加速度 Δ𝜃 𝑣 𝑣 𝑣𝑣 Δ𝜃 𝑟 𝑟 Δ𝑣 റ𝑎 = lim Δ𝑡→0 Δ Ԧ𝑣 Δ𝑡 Δ𝜃′ 𝑣 𝑣 𝑟 𝑣 𝑣Δ𝑣′ 向心加速度 Δ𝜃′ 等腰 三角形 𝑎 𝑐 = 𝒗 𝝎 𝑣 = 𝜔𝑟 𝒂 𝒄 = 𝝎 𝟐 𝒓 第二型態 高二基礎物理2B-CH5 16
- 17. Samn physics 等速率圓週運動的向心加速度 ○ 瞬時加速度 Δ𝜃 𝑣 𝑣 𝑣𝑣 Δ𝜃 𝑟 𝑟 Δ𝑣 റ𝑎 = lim Δ𝑡→0 Δ Ԧ𝑣 Δ𝑡 Δ𝜃′ 𝑣 𝑣 𝑟 𝑣 𝑣Δ𝑣′ 向心加速度 Δ𝜃′ 等腰 三角形 𝑎 𝑐 = 𝑣 𝝎 𝑣 = 𝑟𝜔 第三型態𝑎 𝑐 = 𝑣2 𝑟 高二基礎物理2B-CH5 17
- 18. Samn physics 等速率圓週運動的向心加速度 ○ 瞬時加速度 Δ𝜃 𝑣 𝑣 𝑣𝑣 Δ𝜃 𝑟 𝑟 Δ𝑣 റ𝑎 = lim Δ𝑡→0 Δ Ԧ𝑣 Δ𝑡 Δ𝜃′ 𝑣 𝑣 𝑟 𝑣 𝑣Δ𝑣′ 向心加速度 Δ𝜃′ 等腰 三角形 𝑎 𝑐 = 𝝎2 𝑟 第四型態 𝝎 = 𝟐𝝅 𝑻 𝑎 𝑐 = 4𝜋2 r 𝑇2 高二基礎物理2B-CH5 18
- 19. Samn physics 等速率圓周運動 向心力 ○向心加速度-恆指向 圓心 ○應用牛頓第二定律，質點的向心力 ○指向 圓心 ，與切線速度垂直 𝑣 𝑣 ac 𝑟 ac m 𝑎 𝑐= 𝑣𝜔=𝑟𝜔2 = 𝑣2 𝑟 = 4 𝜋2r 𝑇2 𝐹𝑐 = 𝑚𝑎 𝑐 𝜔 𝝎 = 𝟐𝝅 𝑻 向心力是質點的外力總和 高二基礎物理2B-CH5 19 𝐹𝑐 = 𝑚𝑣𝜔 = 𝑚𝑟𝜔2 = 𝑚 𝑣2 𝑟 = 𝑚 4𝜋2r 𝑇2
- 20. Samn physics 高二基礎物理2B-CH5 例題 1：基礎題 20 半徑為R=0.5(m)的車輪，每分鐘均勻旋轉180圈，則輪緣上任一 點的速率和加速度量值各為多少？ 𝜔 = Δ𝜃 Δ𝑡 = 180 × 2𝜋 60 = 6𝜋(rad/s) 𝑣 = 𝑟𝜔 = 0.5 × 6𝜋 = 3𝜋(m/s) 𝑎 𝑐 = 𝑟𝜔2 = 0.5 × 36𝜋2 = 18𝜋2 (m/s2 ) ac 𝑣
- 21. Samn physics 高二基礎物理2B-CH5 21 例題2 ：平均與瞬時的差異 等速率圓周運動繞1/6周與繞1/4周的平均加速度的量值的比為何？ 𝑣 𝑣 ac 𝑟 ac m 90o 60o 60o Δ𝑣 𝑎1 = Δ𝑣 Δ𝑡 = 𝑣 𝑇/6 Δ𝑣′ 𝑎2 = Δ𝑣′ Δ𝑡 = 2𝑣 𝑇/4 𝑎1 𝑎2 = 3 2 4 週期𝑇
- 22. Samn physics 等速圓週運動的應用 椎動擺：擺球受重量mg 及張力T 之合力作用，沿水平面作等速率 圓周運動 ○擺球所需要的向心力，由重量 mg 及張力T 提供 tan c cF ma mg mg = = tanca g = 找出 切線速率 、週期 https://www.youtube.com/user/mrg3 Fc mg T θ 高二基礎物理2B-CH5 22
- 23. Samn physics 等速率圓週運動的應用 人造衛星繞地球等速率圓週運動 所需要的向心力，由萬有引力提 供 𝐹 = 𝐺 𝑚𝑀 𝑅2 = 𝑚𝑎 𝑐 = 𝑚 ⋅ 𝑣2 𝑅 = 𝑚 ⋅ 4𝜋2 𝑅 𝑇2 𝑣 = 𝐺𝑀 𝑅 𝑇 = 2𝜋 𝑅3 𝐺𝑀 切線速率 高二基礎物理2B-CH5 23 公轉週期
- 26. Samn physics 高二基礎物理2B-CH5 26 例題4 長度為L的細繩，懸吊質量為m的質點，作幅角θ=60°的錐動擺，設重力加 速度為g，求：(1)細繩的張力？ (2)質點繞轉的週期？ 𝑚 tan c cF ma mg mg = = tanca g = Fc mg T θ
- 28. Samn physics (1)解： ○假設汽車安全速率為 v ○正向力與重力的合力=向心力 28 θ N mg θ Fc Fc mg N θ =tan cF mg = tancF mg = tancma mg = = 2 tanca g R v = tanv Rg 高二基礎物理2B-CH5
- 30. Samn physics θ θ y x 高二基礎物理2B-CH5 30 (2) θ 速率增加，汽車有沿斜面 上滑的趨勢 N mg 汽車維持黑色路徑 移動 𝑓𝑠 汽車在半徑方向 保持靜止。 N mg 𝑓𝑠 x方向：等速圓周運動 𝑁cos𝜃 = 𝑚𝑔 + 𝑓ssin𝜃 y方向：靜止 𝑁sin𝜃 + 𝑓scos𝜃 = 𝐹𝑐 = 𝑚 𝑣2 𝑅 𝑁cos𝜃 ≤ 𝑚𝑔 + 𝑓s,maxsin𝜃 𝑁sin𝜃 + 𝑓s,𝑚𝑥cos𝜃 ≥ 𝐹𝑐 = 𝑚 𝑣2 𝑅 𝑓s,max = 𝜇 𝑠 𝑁
- 31. Samn physics 高二基礎物理2B-CH5 31 (2) θ 速率增加，汽車有沿斜面 上滑的趨勢 N mg 汽車維持黑色路徑 移動 𝑓𝑠 汽車在半徑方向 保持靜止。 N mg 𝑓𝑠 θ θ y x 等號成立：最大限度 𝑁cos𝜃 ≤ 𝑚𝑔 + 𝑓s,maxsin𝜃 𝑁sin𝜃 + 𝑓s,𝑚𝑥cos𝜃 ≥ 𝐹𝑐 = 𝑚 𝑣2 𝑅 𝑓s,max = 𝜇 𝑠 𝑁 𝑁cos𝜃 − 𝑓s,maxsin𝜃 = 𝑚𝑔 𝑁sin𝜃 + 𝑓s,maxcos𝜃 = 𝑚 𝑣2 𝑟 𝑁cos𝜃 − 𝜇s 𝑁sin𝜃 = 𝑚𝑔 𝑁sin𝜃 + 𝜇s 𝑁cos𝜃 = 𝑚 𝑣2 𝑅
- 32. Samn physics 高二基礎物理2B-CH5 32 (2) θ 速率增加，汽車有沿斜面 上滑的趨勢 N mg 汽車維持黑色路徑 移動 𝑓𝑠 汽車在半徑方向 保持靜止。 N mg 𝑓𝑠 θ θ y x 等號成立：最大限度 𝑓s,max = 𝜇 𝑠 𝑁 𝑁cos𝜃 − 𝜇s 𝑁sin𝜃 = 𝑚𝑔 𝑁sin𝜃 + 𝜇s 𝑁cos𝜃 = 𝑚 𝑣2 𝑅 上下相除 cos𝜃 − 𝜇ssin𝜃 sin𝜃 + 𝜇scos𝜃 = 𝑔𝑅 𝑣2 𝑣 = 𝑔𝑅 sin𝜃 + 𝜇scos𝜃 cos𝜃 − 𝜇ssin𝜃
- 33. Samn physics 高二基礎物理2B-CH5 33 例題5 如圖，人與轉筒間的靜摩擦係數為𝜇 𝑠，當轉筒靜止時，此人會掉下來，欲 使人不會掉下來，轉筒的切線速率至少需為多大？ 𝑚𝑔 𝑓𝑠 𝑁 𝑥𝑦 𝑧 人在xy平面做等速圓周運動 人在z軸，維持靜止 𝑚𝑔 = 𝑓𝑠 𝑁 = 𝐹𝑐 = 𝑚 𝑣2 𝑅 𝑚𝑔 ≤ 𝜇 𝑠 𝑁 = 𝜇 𝑠 𝑚 𝑣2 𝑅 ≤ 𝑓s,max = 𝜇 𝑠 𝑁 𝑣2 ≥ 𝑔𝑅 𝜇 𝑠 𝑣 ≥ 𝑔𝑅 𝜇 𝑠
- 35. Samn physics 解答： =? ℎ N Fc mg N Fc mg 𝑟 重力𝑚𝑔、正向力𝑁 重力𝑚𝑔與正向力𝑁的合力=向心力 轉動半徑 𝑟 = ℎsin tan𝜃 = 𝑚𝑔 𝐹𝑐 = 𝑚𝑔 𝑚𝑎 𝑐 𝑎 𝑐 = 𝑔 tan𝜃 𝑎 𝑐 = 𝑟𝜔2 = (ℎsin𝜃)𝜔2 𝑔 tan𝜃 = (ℎsin𝜃)𝜔2 高二基礎物理2B-CH5 35 𝜔 = 𝑔 ℎsin𝜃tan𝜃
- 36. Samn physics 詳解 ○重力mg與正向力N的合力為向心力。 ○向心加速度 ○轉動半徑 r = h sin =? h N Fc= tan C mg F =2 tan sin mg m h mg N Fc mg r = 2 ca r = cos 2sin g h → = tan c mg ma 高二基礎物理2B-CH5 36
- 38. Samn physics 解答： 高二基礎物理2B-CH5 38 𝑀𝑔 𝑇 𝑀靜止不動 𝑇 𝑇 = 𝑀𝑔 𝑚在光滑桌面進行等速圓周 𝑇 = 𝐹𝑐 = 𝑚𝑎 𝑐 𝑀𝑔 = 𝑚𝑎 𝑐可知 𝑎 𝑐 = 𝑀𝑔 𝑚 𝑎 𝑐 = 𝑟𝜔2 = 𝑀𝑔 𝑚 𝜔 = 𝑀𝑔 𝑟𝑚 𝑎 𝑐 = 𝑣2 𝑟 = 𝑀𝑔 𝑚 𝑣 = 𝑟𝑀𝑔 𝑚 𝑎 𝑐 = 4𝜋𝑟 𝑇2 = 𝑀𝑔 𝑚 𝑇 = 2𝜋 𝑟𝑚 𝑀𝑔
- 39. Thank for Contoso Ltd. https://mysecretpark.blogspot.com/ your attention 參考資料 陈玉芳，物理學史簡明教程 郭奕玲，沈慧君，物理學演義 維基百科 高二基礎物理課本，99課綱 DeltaMOOCx