2019 3-2-力矩 & 3-3 靜力平衡 & 3-4 重心
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中華民國 高中物理教材 99課綱-基礎物理2B-CH3 靜力學 注意：部分動畫無法顯示 參考資料 陈玉芳，物理學史簡明教程 郭奕玲，沈慧君，物理學演義 維基百科 高二物理課本，99課綱 DeltaMOOCx
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- 1. 3-2 力矩 Torque 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 1
- 2. Samn physics 力矩 Torque https://www.youtube.com/watch?v=Guy6SXlsduw CT273 出廠試車 https://www.youtube.com/watch?v=MAuVDB-G-HQ How Disc Brakes Works 靜止的物體將開始 轉動 轉動的物體，轉速將產生 改變 力矩 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 2
- 4. Samn physics 力矩 Torque റ𝐹 力臂റ𝑟 𝜃 力臂 垂直 施力 施力點 𝐹⊥ 𝐹∥ 𝐹⊥ = 𝐹 ⋅ sin𝜃 𝐹∥ = 𝐹 ⋅ cos𝜃 無力矩效應 力矩 𝜏 = 𝐹⊥ ⋅ 𝑟 = (𝐹 sin 𝜃) ⋅ 𝑟 WFU 𝜃 𝑟⊥ 𝑟∥ 𝑟⊥ = 𝑟 ⋅ sin𝜃 𝑟∥ = 𝑟 ⋅ cos𝜃 無力矩效應 力矩 𝜏 = 𝑟⊥ ⋅ 𝐹 = (𝑟 sin 𝜃) ⋅ 𝐹 𝜏 = 𝑟𝐹 sin 𝜃 單位：N ⋅ m 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 4
- 5. Samn physics 力矩 Torque റ𝐹 力臂റ𝑟 𝜃 力矩也是向量 施力點 𝐹⊥ 𝐹∥ 𝜃 𝑟⊥ 𝑟∥ 𝜏 = 𝑟𝐹 sin 𝜃 逆時針方向轉動 順時針方向轉動 訂為 正值 訂為 負值 http://www.mrwaynesclass.com/torque/reading/index01.html 單位：N ⋅ m 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 5
- 6. Samn physics 力矩平衡 balance of torques 又稱轉動平衡 From halliday 9th 數個力矩總和為零時，系統不會改變其轉動狀態，稱 【力矩平衡】 支點 𝝉順時針 = 𝝉逆時針 𝝉逆時針 + 𝝉順時針 = 𝟎 𝐹1 𝐹2 逆時針 順時針 𝑟1𝑟2 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 6
- 7. Samn physics 力矩和 未達平衡狀態 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 7
- 8. Samn physics 力偶矩moment of couple 一對大小相等，方向 相反的平行力，不作 用在同一直線上 力偶對於物體 沒有移動的作用 ， 僅有純粹的轉動 力偶矩與 轉軸的位置 無關 )𝝉 = 𝑭 ⋅ (𝒅 𝟏 + 𝒅 𝟐 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 8
- 9. Samn physics 60o B WO 如圖所示，質量不計的輕桿，其長度為3 公尺， 且B點為輕桿的中點。今輕桿的一端靠在地面上， 另一端懸掛 25 公斤重的物體W，而在中點B處 施一水平拉力，恰可使輕桿保持力矩平衡，則： (1)重物W對O點的力矩量值為何？ (2)人所施的拉力量值為何 解： 力矩平衡 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 9
- 10. Samn physics 詳解 60o B WO W W的力臂L=3(m) 𝑟⊥ = 3 ⋅ cos 60 𝑜 = 1.5(𝑚) 拉力F F的力臂 𝑟′⊥ = 3 2 ⋅ sin 60 𝑜 = 3 2 × 3 2 (𝑚) W的力矩 𝜏1 = 𝑟⊥ ⋅ 𝑊 = 1.5 ⋅ 25 = 75 2 (kgw ⋅ m) F的力矩 𝜏2 = 𝑟′⊥ ⋅ 𝐹 = 3 3 4 𝐹 轉動平衡順時針 逆時針 𝜏1 = 𝜏2 75 2 = 3 3 4 𝐹 𝐹 = 50 3 𝐹 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 10
- 11. Samn physics 例題5.：力矩平衡 一車輪半徑r，重量為W，若欲使其滾上高度為r/5的台階，如圖，則施力 於輪緣所需之最小力為______。 A 𝑟 𝑟 5 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 11
- 12. Samn physics 詳解 F W 力臂最長 力臂⊥施力 施力於輪緣所需之最小力 順時針 逆時針 𝑟 5 4𝑟 5 𝑟 37O F的力矩 𝜏1 = 2𝑟 ⋅ 𝐹 W的力矩 𝜏2 = 𝑟𝑠𝑖𝑛37o ⋅ 𝑊 𝜏1 ≥ 𝜏2 2𝑟𝐹 ≥ 3 5 𝑟𝑊 𝐹 ≥ 3 10 𝑊 A 車輪以A點為軸 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 12
- 13. Samn physics 例題3 右圖為人手臂骨骼與肌肉的生理結構 示意圖，手上托著重為G的物體.(1) 在虛線框中畫出前臂受力的示意圖 (手、手腕、尺骨和撓骨看成一個整 體，所受重力不計，圖中O點看作固 定轉動軸，O點受力可以不畫).(2)根 據圖中尺規估算出二頭肌此時的收縮 力約為___________. W F 順時針 逆時針 轉動平衡 𝑟 ⋅ 𝐹 ≈ 8𝑟 ⋅ 𝐺 𝐹 ≈ 8𝐺 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 13
- 14. Samn physics 靜力平衡Static Equilibrium 靜止的物體，受到數個外力的作用，仍然能夠保持靜止狀態，稱此數個外 力達成靜力平衡。 條件可區分： 轉動平衡移動平衡 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 14
- 15. Samn physics 靜力平衡Static Equilibrium 條件可區分： 原為靜止的物體受到數個外力的作 用，仍然能夠保持 不轉動 的狀態 說明：物體處於轉動平衡時，則以 任何一點當轉軸，系統力矩和都必 須為 零 ，即 原為靜止的物體受到數個外力的作 用，仍然能夠保持 不移動 的狀態 說明：物體處於移動平衡時，所受 合力必須為 零 。 轉動平衡移動平衡 ֊𝜏 = ֊𝜏 1 + ֊𝜏 2 + ⋯ = 0 ֊𝐹 = ֊𝐹1 + ֊𝐹2 ⋯ = 0 𝐹𝑥 = 0 𝐹𝑦 = 0 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 15
- 16. Samn physics 靜力平衡的實例 杜拜，靜力平衡秀 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 16
- 18. Samn physics 詳解-忽略棒重，繩張力T，與樞紐的作用力 450 W T 轉動平衡 移動平衡靜力平衡 𝑻 𝒚 = 𝑇sin45 𝑜 𝑻 𝒙 = 𝑇cos45 𝑜 𝐹 𝑵 移動平衡 𝑻 𝒙 = 𝑇cos45 𝑜 = 𝐹 𝑻 𝒚 + 𝑵 = 𝑊 𝑇sin45 𝑜 + 𝑵 = 𝑊 轉動平衡 支點 樞紐 支點 順時針 逆時針 𝜏1 = 𝜏2 𝑻 𝒚 ⋅ 𝑳 = 𝐿 2 𝑊 𝑇sin45 𝑜 ⋅ 𝑳 = 𝐿 2 𝑊 𝑇 = 2 2 𝑊 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 18
- 19. Samn physics = 𝑊 2 詳解-忽略棒重，繩張力T，與樞紐的作用力 450 W T 轉動平衡 移動平衡靜力平衡 𝑻 𝒚 = 𝑇sin45 𝑜 𝑻 𝒙 = 𝑇cos45 𝑜 𝐹 𝑵 移動平衡 支點 順時針 逆時針 = 2 2 𝑊cos45 𝑜 = 𝑊 2 𝐹 = 𝑇cos45 𝑜 𝑇 = 2 2 𝑊 𝑵 = 𝑊 − 𝑇sin45 𝑜 樞紐的作用力 𝑻 𝒙 = 𝑇cos45 𝑜 = 𝐹 𝑻 𝒚 + 𝑵 = 𝑊 𝑇sin45 𝑜 + 𝑵 = 𝑊 𝑵 𝟐 + 𝐹 𝟐 = 2𝑊 2 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 19
- 20. Samn physics 詳解-棒重W，繩張力T’，與樞紐的作用力’ 450 2W T’ 轉動平衡 移動平衡靜力平衡 𝑻 𝒚 = 𝑇′sin45 𝑜 𝑻 𝒙 = 𝑇′cos45 𝑜 𝐹′ 𝑵′ 移動平衡 𝑻 𝒙 = 𝑇′cos45 𝑜 = 𝐹′ 𝑻 𝒚 + 𝑵′ = 𝑊 𝑇′sin45 𝑜 + 𝑵′ = 2𝑊 轉動平衡 支點 樞紐 支點 順時針 逆時針 𝜏1 = 𝜏2 𝑻 𝒚 ⋅ 𝑳 = 𝐿 2 ⋅ 2𝑊 𝑇′sin45 𝑜 ⋅ 𝑳 = 𝐿𝑊 𝑇′ = 2𝑊 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 20
- 21. Samn physics = 𝑊 詳解-棒重W，繩張力T’，與樞紐的作用力’ 450 2W T’ 轉動平衡 移動平衡靜力平衡 𝑻 𝒚 = 𝑇′sin45 𝑜 𝑻 𝒙 = 𝑇′cos45 𝑜 𝐹′ 𝑵′ 移動平衡 支點 順時針 逆時針 = 2𝑊cos45 𝑜 = 𝑊𝐹′ = 𝑇′cos45 𝑜 𝑇 = 2𝑊 𝑵′ = 𝑊 − 𝑇′sin45 𝑜 樞紐的作用力 𝑻 𝒙 = 𝑇′cos45 𝑜 = 𝐹′ 𝑻 𝒚 + 𝑵′ = 2𝑊 𝑇′sin45 𝑜 + 𝑵′ = 2𝑊 𝑵 𝟐 + 𝐹 𝟐 = 2𝑊 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 21
- 22. Samn physics 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 22 法國 米約橋
- 23. 3-4 重心 Center of Gravity
- 24. Samn physics 現象觀察與思考 20世紀初期 德國 國際知名家具大廠 廣告 為什麼 可以 保持平衡? 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 24
- 25. Samn physics 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 25 重心 Center of Gravity 來源：http://www.wfu.edu/physics/ 系統各部分重力之合力的作用點 施力於該點上，系統可達成平衡狀態 系統各質點受重力對於某一點的力矩和等於零，則此點稱為物體的重心 重心
- 26. Samn physics 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 26 重心的特性 重心可以視為系統中各質點重量的集中點 重心位置只有 一個 ， 重心不一定在物體內部 重心位置與座標原點 的選擇 無關 均勻重力場中，剛體的重心 不因剛體位置、方向改變而 變更位置。 在無重力場中， 重心沒有意義
- 28. Samn physics ○ 規則且密度均勻的物體，重心位置在於其幾何中心 ○ 密度均勻，形狀具有幾何對稱性的物體，在均勻的重力場中， 其重心的位置在幾何對稱點上，如下列各圖。 均勻重力場中的重心位置 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 28
- 29. Samn physics 不規則物體的重心 重心 必在懸掛點的 正下方 兩懸掛點的鉛直垂線的交點➔必為 重心 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 29 https://goo.gl/vVB4Md
- 30. Samn physics 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 30 系統(物體)重心位置的數學方程 r2 r1 W2 W1 雙質點系統 重心 原點 𝑥1 𝑥2𝑥 𝐺 以重心當支點 系統會呈現轉動平衡 W1 ⋅ 𝑟1 = W2 ⋅ 𝑟2 𝑟1 = 𝑥 𝐺 − 𝑥1 𝑟2 = 𝑥2 − 𝑥 𝐺 W1 ⋅ (𝑥 𝐺 − 𝑥1) = W2 ⋅ (𝑥2 − 𝑥 𝐺) 𝑥 𝐺 = 𝑊1 ⋅ 𝑥1 + W2 ⋅ 𝑥2 𝑊1 + W2 在物理觀點上 取系統的重心為支點時， 則此系統可呈靜力平衡 在數學觀點上 每個質點重量與位置的加 權平均數
- 31. Samn physics 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 31 系統(物體)重心位置的數學方程 延伸至多質點系統 1 1(x , y ) 2 2(x , y ) 3 3(x , y ) 1w 2w 3w G G(x , y ) W y x0 𝑋𝑐𝑔 = 𝑤1 𝑥1 + 𝑤2 𝑥2 + 𝑤3 𝑥3 + ⋯ + 𝑤 𝑛 𝑥 𝑛 𝑤1 + 𝑤2 + 𝑤3 + ⋯ + 𝑤 𝑛 𝑌𝑐𝑔 = 𝑤1 𝑦1 + 𝑤2 𝑦2 + 𝑤3 𝑦3 + ⋯ + 𝑤 𝑛 𝑦𝑛 𝑤1 + 𝑤2 + 𝑤3 + ⋯ + 𝑤 𝑛
- 32. Samn physics 重心 重要性 From :Google 在工程上，確認重心位 置是件很重要的事情。 飛機的重心位置 前輪 後輪之間 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 32
- 33. Samn physics 重心 重要性 From :Google 在工程上，確認重心位 置是件很重要的事情。 飛機的重心位置 前輪 後輪之間 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 33
- 35. Samn physics 重心與平衡 35 重心位置與系統的 穩定度 有關 達成平衡(達成穩定) 通過物體重心的鉛直線必須落在可支撐的範 圍內才能平衡 無法維持平衡 維持平衡的 最大限度
- 36. Samn physics 均勻重力場物體的穩定度(Stability) 36 穩定平衡 Stable Equilibrium 不穩定平衡 Unstable Equilibrium 隨遇平衡 Neutral Equilibrium
- 37. Samn physics 均勻重力場物體的穩定度(Stability) 37 穩定平衡 Stable Equilibrium 不穩定平衡 Unstable Equilibrium 隨遇平衡 Neutral Equilibrium 受外力擾動時，重心位置升高， 且重心未超過底面積範圍。當擾 動的外力消失後，物體回復到原 狀的情形。
- 38. Samn physics 均勻重力場物體的穩定度(Stability) 38 穩定平衡 Stable Equilibrium 不穩定平衡 Unstable Equilibrium 隨遇平衡 Neutral Equilibrium 當外力擾動物體時，重心位置降 低，且重心超過底面積範圍，物 體自動趨向擾動方向的情形。
- 39. Samn physics 均勻重力場物體的穩定度(Stability) 39 穩定平衡 Stable Equilibrium 不穩定平衡 Unstable Equilibrium 隨遇平衡 Neutral Equilibrium 當物體受到外力擾動，重心不升 高亦不降低，重心恆在底面積範 圍之內，物體平衡於新位置的情 形。
- 41. Samn physics 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 41 詳解 邊長為1.0公尺的正三角形 𝑤3(1,0) 𝑤2( 1 2 , 3 2 ) 𝑤1(0,0) 𝑋𝑐𝑔 = 0.2 ⋅ 0 + 0.6 ⋅ 0.5 + 0.1 ⋅ 1 0.2 + 0.6 + 0.1 = 4 9 𝑌𝑐𝑔 = 0.2 ⋅ 0 + 0.6 ⋅ 3 2 + 0.1 ⋅ 0 0.2 + 0.6 + 0.1 = 3 3 (𝑋𝑐𝑔, 𝑌𝑐𝑔) 解答
- 43. Samn physics 𝑥 𝑦 高二基礎物理2B-Chapter 3 靜力平衡 43 詳解 三邊等長之U形 每邊長度L，重量W 𝑊( 𝐿 2 , 0) 𝑊(𝐿, 𝐿 2 )𝑊(0, 𝐿 2 ) (𝑋𝑐𝑔, 𝑌𝑐𝑔) 𝑋𝑐𝑔 = 𝑊 ⋅ 0 + W ⋅ L 2 + 𝑊 ⋅ 𝐿 W + W + 𝑊 = 𝐿 2 𝑌𝑐𝑔 = 𝑊 ⋅ 𝐿 2 + W ⋅ 0 + 𝑊 ⋅ 𝐿 2 W + W + 𝑊 = 𝐿 3 𝐿 2 𝐿 3 tan𝜃 = 1/3 1/2 = 2 3 解答
- 45. Samn physics d d 詳解 x y 2 2 c L x d= + 2 B L x d= + C B B、C合體的重心𝑋𝑐𝑔不超過A的 右端頂點 𝑋𝑐𝑔 = 𝑊( L 2 + 𝑑) + W( L 2 + 2𝑑) W + W ≤ 𝐿 木塊重量W 重心在木塊中央位置 𝑑 ≤ 𝐿 3 解答
- 47. Samn physics 解： 47 Ax 2 B R x = 0cgx = AW BW 重量比=4:1 𝑊𝐴: 𝑊B = 3: 1 𝑊𝐴 + 𝑊B: 𝑊B = 4: 1 𝑊𝐴 + 𝑊B
- 48. Samn physics 48 詳解 𝑥 𝐴 𝑥 𝑐𝑔 = 0 AW BW 𝑥 𝐵 = 𝑅 2 𝑋𝑐𝑔 = 𝑊𝐴 𝑥 𝐴 + W 𝐵 𝑥 𝐵 W𝐴 + W 𝐵 = 0 𝑊𝐴: 𝑊B = 3: 1 3 ⋅ 𝑥 𝐴 + 1 ⋅ 𝑅 2 2 + 1 = 0 𝑥 𝐴 = 𝑅 6 重量比=4:1 𝑊𝐴 + 𝑊B: 𝑊B = 4: 1
- 49. Thank for Contoso Ltd. https://mysecretpark.blogspot.com/ your attention 參考資料 陈玉芳，物理學史簡明教程 郭奕玲，沈慧君，物理學演義 維基百科 高二選修物理課本，108課綱 DeltaMOOCx