2. 刚体力学 3.2 质心运动定理
§3.2 质心运动定理 质心
质心运动定理
质点系中各质点间
3.2.1 质心 的距离始终不变
1.定义: 若刚体原杢静止，当外力作用线通过一个特殊
点 C 时，刚体只作平动；当外力的作用线不通过该点
c
时，则除了该点沿力的方向作 c
F
加速运动外，整个刚体还绕它 c
转动，刚体的这一特殊点称为 c
m1 F
m2
刚体的质量中心，简称质心
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3. 刚体力学 3.2 质心运动定理
2. 刚性双原子分子质心位置的计算
质心
实验挃出，C 位于m1和m2的连杆上， 质心运动定理
C 具有力矩平衡点的性质，在 rt 中
y
m1 g ( xc x1 ) m 2 g ( x 2 xc ) (力矩平衡）
m2
y2
y2 y1 x 2 x1 yc c
(两个rt 相似）
y 2 yc x 2 xc m1
y1
m1 x1 m 2 x 2 m1 y1 m 2 y2 x
xc , yc o
m1 m 2 m1 m 2 x1 xc x2
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4. 刚体力学 3.2 质心运动定理
3. 计算公式 质心
1 1 质心运动定理
分立 rc mi ri ；连续 rc rdm
M i M V
例: 一细杆弯成半圆环，其半径为R，求质心位置。
解：几何对称性 xc 0, 设细杆质量
y
线密度为 , 取 dm dl Rd 其 dm
y轴坐标为 y R sin d
1 o x
yc ydm
M
1 R 2R
R sin Rd sin d
R 0 0
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5. 刚体力学 3.2 质心运动定理
3.2.2 质心运动定理
质心
由质心位置计算公式可 得 质心运动定理
Mrc m i ri
i
Mrc m i ri Mv c mi vi pi
i i i
Mv c
pi Mac Fi F
i i
质心的运动等同于刚体的质量和所受的外力全部
集中于质心处的质点的运
动。
若 F 0 ，则刚体的质心静止或作匀速直线运动，
即内力不能改变质心的运动状态。
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6. 刚体力学 3.2 质心运动定理
例: 已知L，M，m，求人到达
质心
船头时，船头离岸的距离？ 质心运动定理
L
系统 船 人 x1 , x2 L
解： 2
Mx 1 mx 2
图（a）系统 xc
M m a
Mx 1/ mx 2
/
图（b）系统 xc
/ o x1 xc x2 x
M m
系统在水平方向无外力作用， xc /
xc
L b
船的质心在水平方向移动 x/
1 x /
2
2 /
o x2 xc/ x1/ x
/ mL
x 2
M m
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11. 刚体力学 4.3 转动定律
(2)转动惯量——量度转动惯性大小的物理量 转动惯量
力矩
定轴转动动能的计算公式
转动定律
1 2 2 1 2
Ek ( mi ri ) I
2 2
例4.1 已知组成刚体的各质点 m1、 m2 ；r1、r2
各质点的 相等，求刚体定轴转动动能。
1 1
解：i
v ri E ki 2
mi v i mi ri2 2
2 2 r2 m2
1 1 o m1
Ek Eki ( mi ri ) 2 2
I 2 r1
i 2 2
2
转动惯量的定义 I mi ri
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12. 刚体力学 4.3 转动定律
(3) I 的计算公式 转动惯量
力矩
分立 I mi ri ； 连续
2 I r 2dm
转动定律
i
线 dm dx，面 dm dS，体 dm dV
(4)影响 I 的因素 ①刚体的质量 ②质量的分布 ③转轴的位置
例4.2 试计算由质量分别为 m 和 M距离为l 的两个原子所组成
的双原子分子,对于过分子质心 C 并垂直于分子轴线的转动惯量。
ml M 0 Ml m
x
解： M : xc M m
m: l xc
M m M c
l
2
mM 2 o
2
Ic mi ri l
i 1 m M
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13. 刚体力学 4.3 转动定律
例4.3 一质量为 m，长为 l 均匀细棒，(a)求通过棒
中心并与棒垂直的轴的转动惯量；(b)求通过棒的一端
且与棒垂直的轴的转动惯量。
m 转动惯量
解: a dm dx dx
l 力矩
l l 转动定律
2 2 2 3 2 ml 2
I x dm l x dx x l
2 3 2 12
x dx
x dx
l o l x o x
2
x 2
x l
l ml 2
b I x 2dm x 2 dx x3 l
0
0 3 3
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14. 刚体力学 4.3 转动定律
2 转动惯量
3.平行轴定理 I I c ml
力矩
转动定律
质心在O系的坐标 xc yc 0, zc oc
dm oz o1 z1 的 垂直距离 r x2 y 2 ; r1 x12 y12
Ic r 2dm x2 y 2 dm; I r12dm x12 y12 dm
x1 x, y1 y l
z z1
2 2
I x y l dm l
r1
c r dm
2 2 2 o o1
x y dm 2l ydm l dm y y1
x
I c 2lmyc ml 2 I c ml 2
x1
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15. 刚体力学 4.3 转动定律
4.正交轴定理 Iz Ix Iy 转动惯量
力矩
适用于薄板、平面一类刚体 转动定律
Iz r 2 dm x2 y 2 dm
z
x 2 dm y 2 dm I y Ix x o d
r
例4.4 利用平行轴定理解例4.3(b) dm
2 ml 2 l 2 ml 2 y
解： I I c ml
12
m( )
2 3
例4.5 求一质量为 m，半径为 R 的圆盘对其直径的转动惯量。
1 Iz 1
解: Iz 2
r dm r 2
rd dr mR 2 , Ix Iy mR 2
2 2 4
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17. 刚体力学 4.3 转动定律
4.3.2 力矩 转动惯量
力矩
1.引入 转动定律
改变刚体的转动状态
力的作用必须有垂直于轴的分量;
M
力的作用线必须与轴有一定的距离
2.定义——力的大小与力臂的乘积 o r F
d
P
M Fd rF sin
M r F
3.变力 F 对某一转轴的力矩
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18. 刚体力学 4.3 转动定律
例4.5 质量为 m，半径为 R 的细圆环 转动惯量
力矩
在水平面上绕中心竖直轴Oz 沿逆时针 转动定律
方向转动,环与平面间的摩擦系数为 ，
求环受到的摩擦力对转轴Oz 的力矩。 z
v dm
解： dm dl Rd 沿环分布， o
f
x
f 与v反向 沿切向
2
df gdm g Rd dM z Rdf g R d
各dm所受的dM z同向
2
对整个圆环 Mz g R 2d mgR 顺时针
0
19. 刚体力学 4.3 转动定律
4.3.3 转动定律 转动惯量
力矩
1.推导 转动定律
(1).假设条件 a . M， ， ； b . mi ，ri ，Fi ，fi ；
c . Fi，fi 都在 mi 所在平面内 i Fi , ri , i fi , ri
(2).应用牛顿第二定律 z
Fi fi mi ai Fi
fi
切向式 Fi sin
·
i
1 fi sin 1 mi ai o i
ri mi
2
ri Fi sin 1 ri fi sin 1 mi ri
ai
矢量式 ri Fi ri fi mi ri . (式中
2
)
ri 章首页
20. 刚体力学 4.3 转动定律
(3).求和 转动惯量
2 力矩
M i外 M i内 mi ri
i i i
转动定律
z
M i外 I
i
M i内 0 的证明： d m1
i
o
r1
1 · f12
f 21
f12 , f 21 的作用线重和
r1 sin 1 r2 sin 2 d
2
r2 m2 ·
M 21 rf 21 rf ; M 12 rf12 rf
M 21 M 12 0
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21. 刚体力学 4.3 转动定律
2.解题思路 转动惯量
力矩
(1)基本问题：I , M, (或 、 等)
转动定律
(2)解题思路 确定研究对象； 隔体受力分析；
描写状态特点； 规定转动正向； 列方程求解；
例4.6 在竖直平面内,飞轮绕轴逆时针转动,已知飞轮对转轴的转
动惯量为 I，初角速度为 0 ，经 t 秒后停转，求轮子所受Mf
解： (1)飞轮 2 . f , M f ; 3 . 恒定;
o·
4 . 取逆 时针方向为转动正向
0 I 0
5 .Mf I 0 t Mf I
t t
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22. 刚体力学 4.3 转动定律
3.综合问题(系统=平动+转动)
N
●分别确定对象 ●分别应用定律●利用角线量关系 R
T1
例4.7 测量刚体转动惯量的悬挂法实验装置如图， Mg
T2
令 m 从静止开始下落, 此时m 作初速度
0 0的匀 a
加速直线运动,飞轮R作 0 0 的匀角加速度定轴转 h, t
mg
动，测得 m下落高为 h 时所用的时间为 t , 求飞轮绕
中心轴的转动惯量 I .
解：1 .mg T 转动惯量
ma 2 .RT I
2 2
力矩
1 2 mR gt 2h 转动定律
3 . a R h at I
2 2h
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24. 刚体力学 4.4 角动量 角动量定理…
例4.8 已知 m，t1 t2， 1 ，
2
作圆周 冲量矩与角动量
角动量定理
运动.求 m 在 t 内所受的冲量矩
角动量守恒定律
解： t2 t2 d 解题方法
M (t )dt I dt
t1
t1 dt
2
Id I( 2 1) mv1
1
4.角动量——描写转动状态的物理量 r1
r2 o
L I
t2
上例结果可表示为：t M (t )dt L2 L1 L mv2
1
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25. 刚体力学 4.4 角动量 角动量定理…
冲量矩与角动量
4.4.2 角动量定理 角动量定理
角动量守恒定律
1.单质点的角动量定理 解题方法
t2
M (t )dt L, 式中L I
t1
dL
微分形式 M p
dt d d
r
p r
o
质点角动量的线量表示
2
L I mr k r (mv)k
rpk r p
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26. 刚体力学 4.4 角动量 角动量定理…
2.质点组的角动量定理 冲量矩与角动量
角动量定理
例5-16 己知双质点 m1 , m 2 构成质点
例4.9
角动量守恒定律
组, 分别在M 1 , M 2 , M 12 , M 21的作用下绕 解题方法
定轴oz转动经 t t 2 t1后, 11 12 , 21 22 .试求双质点
在 t内所受内外力矩的冲量矩
z F1
t2
解：m1：
t1
M1 M12 dt
L1
o
r1
·m1
f12 2F
f 21
m2：
t2
t1
M2 M 21 dt L2
r2 m2 ·
t2
m1 m2 : M1 M 2 M 21 M12 dt L1 L2 L
t1
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27. 刚体力学 4.4 角动量 角动量定理…
冲量矩与角动量
M 12 M 21 0
角动量定理
t2 角动量守恒定律
M1 M 2 dt L
t1 解题方法
式中 L L2 L1 , L2 mr 2
i i2 i 2 , L1 mr 2
i i1 i1
对于多个质点构成的质 点组，推论:
t2
M 外dt
t1
L 式中 L mi ri 2
i
3.刚体的角动量定理
t2
M 外dt L, 式中 L I I 为常量
t1
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28. 刚体力学 4.4 角动量 角动量定理…
冲量矩与角动量
4.4.3 角动量守恒定律 角动量定理
角动量守恒定律
解题方法
1.角动量守恒定律
守恒条件 M i t） 0 或
（ Mi M ij
守恒定律 L 0
对于质点组 mr 2
i i2 i2 mr 2
i i1 i1 恒矢量
对于刚体
I 2 I 1 恒矢量
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29. 刚体力学 4.4 角动量 角动量定理…
2. L保持恒定的常见情形 冲量矩与角动量
角动量定理
定轴刚体: I 一定,当 M i 0 时, 角动量守恒定律
解题方法
I 恒矢量， 为恒量.
定轴非刚体（考虑物体上各质点的的角量相同，r
1
可变的特例）： 当 M i 0 时, I 恒矢量，I
物体系（刚体与刚体、点与点、点与刚体）的情形；
例4.10 摩擦离合器 IA A (I A I B )
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30. 刚体力学 4.4 角动量 角动量定理…
4.4.4 解题方法 冲量矩与角动量
角动量定理
确定研究对象 角动量守恒定律
解题方法
隔体受力分析（含力矩）
建立坐标系； 描写初末状态； 列方程求解；
例4.11 一质量为M ,长为 2l 的匀质细杆 AB ,可绕水平光滑轴 O
（ AB的中点）在竖直面内转动,在杆水平放置的情况下,一质量为 m
的物体以速度 0 与杆的 B 端相碰,如图，假定m与M 作弹性碰撞，
相互作用时间极短，求 m的反弹速度 v 及杆的 。
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31. 刚体力学 4.4 角动量 角动量定理…
冲量矩与角动量
解: 1 . m, M 角动量定理
2 . mgl , M 外 M n , L守恒; 弹碰E守恒
《 角动量守恒定律
解题方法
(3).顺时转动为正
1 2 1 2 1
4 . 碰前：mv0l , mv0 碰后： mvl I , mv I 2
2 2 2
5 . mv0l mvl I
N
v0
1 2 1 2 1 2 mg
mv0 mv I o
2 2 2 A B
Mg
M 3m 6mv0 2l
v v0 ,
M 3m M 3m l
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33. 刚体力学 4.5 刚体定轴转动动能定理
§4.5 刚体定轴转动动能定理 力矩的功
转动动能
4.5.1 力矩的功 描写力矩对空间积 转动动能定理
累作用的物理量
1.力矩的元功 dW
dr ds ri d , dr ri , dWi Fi dr F i ds F i ri d Mi d
设有 n 个位于转动平面内的外力 F1、F2 、z d
Fn 同时作用于刚体上，则这些力在 d 中
d
o F
对刚体所做的元功为 dr i
dW
n
i 1
dWi ( M i )d
i
Md
ri P
·
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34. 刚体力学 4.5 刚体定轴转动动能定理
力矩的功
2.力矩做功的计算 转动动能
2 转动动能定理
W Md
1
3.刚体合内力矩的功
任一对内力对转轴的力矩大小相等,方向相反,一对
内力矩做功乊和为零,刚体上所有内力矩的总和为零。
dW d
4.力矩的功率 P M M
dt dt
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35. 刚体力学 4.5 刚体定轴转动动能定理
4.5.2 转动动能 描写转动状态 力矩的功
的物理量 转动动能
转动动能定理
例4.12 已知一刚体对某轴的转动惯量为 I 和 1 2 ,
1 2 , 求外力矩对刚体所做的功。
解：力矩做功是转动状态变化的一种量度
d 2 1 2 1 2
W Md I d I d I 2 I 1
dt 1 2 2
1
可定义 : Ek I 2
2
4.5.3 转动动能定理 W Ek
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36. 刚体力学 4.5 刚体定轴转动动能定理
附:4.5.4 转动中的功能原理 力矩的功
转动动能
1.刚体的重力势能 转动动能定理
(1)定义 构成刚体的所有质点与地球的重力势能乊总和。
z
(2)计算公式 Ep mgz c N c
2.功能原理
o
· A
(1)重力矩做功
· d
mg
例4.13 有一质量为 m ，长为 l 的均匀细
杆OA可绕一过O端的水平轴在铅垂面内旋转，如图，求OA从
1 2 的过程中，重力矩所做的功。
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37. 刚体力学 4.5 刚体定轴转动动能定理
l l z2
解： W Md ( mg cos )d mg d( sin ) mg dz
2 2 z1
mg ( z2 z1 ) E p 保守力矩做功等于 力矩的功
刚体势能增量的负值 转动动能
W保守力矩 Ep
转动动能定理
(2)功能原理（刚体+地球为系统）
W外力矩 W保守力矩 W非 Ek W外力矩 W非 ( Ek Ep)
(3)机械能守恒与转换定律
守恒与转换条件 W外力矩 W非 0
E k 1 E p1 Ek 2 E p2 恒量
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38. 刚体力学 4.5 刚体定轴转动动能定理
3.解题步骤 力矩的功
转动动能
确定研究对象（m+地球） 转动动能定理
隔体受力分析（含内、外力矩） 取重力势能零点
写系统初末两态的机械能 列方程求解
例4.14 接例4.13，转轴与杆无摩擦，最初杆在水平位置，然
后任其自由转动，求杆在竖直位置时的 vA , vC
解： 1 . m 地球 2 . E守恒 3 . 令E p 0 0 4 .水平：E p 0, Ek 0;
1 1 2 1 2 2
垂直： Ep mgl , Ek I ml
2 2 6
1 2 2 l 3g vA
5 . ml mg 0 vA l 3gl , vc
6 2 l 2
39. 刚体力学 4.7.1 回转现象
§4.7 迚动(动画) 回转现象
迚动角速度
4.7.1 回转现象 回转效应的应用
1.回转仪 在力学中，把可绕
对称轴高速旋转且边缘厚重的刚体称为回转仪
2.几个简单的例子 z/
z/ z
z
A
O/
A G B
D ●
●
B
● ●B /
Q
O z
●
O
●
P F
A/
o
L
常平架陀螺仪 玩具陀螺 杠杆回转仪
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40. 刚体力学 4.7.2 进动角速度
4.7.2 迚动角速度 回转现象
迚动角速度
1.迚动 回转效应的应用
回转仪在绕自转轴高速旋转的同时，
自转轴还将绕某竖直轴回转的现象称为迚动
2.杠杆回转仪运动特性
● 无外力矩作用时，自转轴方向不变
● 在B点施一向下的力 F 杠杆仍保持水平，并按逆时针
方向绕 oz / 缓慢地转动（从上往下看）, 迚动停止时
M OB F 0
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41. 刚体力学 4.7.3 回转效应的应用
回转现象
dL Ld I d 迚动角速度
回转效应的应用
又 dL Mdt I d Mdt
d M
p
dt I d
/
L
4.7.3 回转效应的应用 o dL
L
1.回转效应
回转仪在外力矩产生的迚动效应
2.应用
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42. 刚体力学 4.7.3 回转效应的应用
(1).拉莫尔迚动
整个原子放在均匀的磁场中时，电子就绕着磁场
的方向迚动，称为拉莫尔迚动
回转现象
(2).自动导航 迚动角速度
回转效应的应用
(3).枪管炮筒中的杢复线 B
L
○
ˉ
拉莫尔进动
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43. 刚体力学 4.7.3 回转效应的应用
补14. 半径R为30cm的轮子,装在一根长L为
40cm的轴的中部, 并可绕其转动, 轮和轴的质 自
量共5kg，系统的回转半径为25cm,轴的一端 B
A
A用一根链条挂起,如果原杢轴在水平位置，
并使轮子以 L
自 12rad/s 的角速度旋转，方
向如图示，求：（1）该轮自转的角动量; （2）作用在轴上的外力
矩; （3）系统的迚动角速度，并判断迚动方向。
回转现象
第4章作业（3） 迚动角速度
习题：35,41,48,补14 回转效应的应用
预习: §4.6,§6.1
END
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45. 刚体力学 4.6 刚体的平面平行运动
刚体由1 ( AB) 运动到2 ( A '' B ') 的过程可看 平面平行运动的描述
转动瞬心 纯滚动
作是: 刚体自位置1随基点 B 平动到位置
动力学方程
2 '，然后再令刚体绕过基点B '的轴转动 B
达到位置2; 或者，刚体自位置1随基点A平动至位置 2 '' 然后再
,
令刚体绕过基点 A 的轴转动 A 达到位置2．
在这两种过程中，刚体所转过的角度
是相同的，即 A B
但在同样的时间内平动的距离并不相同
平动速度依赖于基点的选择，而转动角速度与基点的选择无关
46. 刚体力学 4.6 刚体的平面平行运动
例4.16 滚动分解(动画)
对于圆柱体的滚动常把基点选在质心轴上
平面平行运动的描述
a).先随轴从 c c1 , 再绕轴转 转动瞬心 纯滚动
b).先绕轴转 , 再随轴从 c c1 动力学方程
圆柱体在平面上的滚动,其 Ⅰ Ⅱ
●
每一瞬间的运动可分解为随
c
· ··
c
vc
P A
1
vc
c2
·
质心轴的平动和绕质心轴的
P B P
x
转动。 2 R
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47. 刚体力学 4.6 刚体的平面平行运动
平面平行运动的描述
4.6.2 转动瞬心 纯滚动
转动瞬心 纯滚动
1.转动瞬心 动力学方程
选定基点A点后，基面上任一质元P的运动速度可写为
vP vA R PA
R PA R P R A 是从A挃向P的位矢, R PA 是P点绕A点转动
的速度
在任一时刻, 基面上恒有一点的速度为零, 这点叫做转动瞬心
即刚体上任意质元在该瞬时的运动仅仅是绕瞬心的转动
48. 刚体力学 4.6 刚体的平面平行运动
平面平行运动的描述
2.纯滚动
转动瞬心 纯滚动
(1).基面上任一质元P的速度 动力学方程
(选定基点A点为圆柱体的质心C)
r rc r1; v vc v1 vc r1
y
(2).判别式
P
● vc
rP
r1
xc R , vc R , ac R ● v1 vP
c
rc
o
vA vc RA 2vc x
接触点B就是瞬心
vB vc RB 0
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49. 刚体力学 4.6 刚体的平面平行运动
4.6.3 刚体平面平行运动的动力学方程
1.随质心轴的平动遵从质心运动定理
Fi m ac 平面平行运动的描述
转动瞬心 纯滚动
2.随质心轴的转动遵从转动定律
动力学方程
Mc Ic
圆柱体的滚动规律可由上述两个基本方程联立求解。
4.6.4 功能原理
1 2 1
W外 W非 E , 式中 E mvc Ic 2
Ep
2 2
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50. 刚体力学 4.6 刚体的平面平行运动
例4.17 设半径为R,质量为m的均匀圆 平面平行运动的描述
柱体,沿着倾角为 的斜面无滑动的滚下， 转动瞬心 纯滚动
动力学方程
试求圆柱体质心的加速度。
解: 方法1: 用动力学方程讨论 vc 0 0
0 0 y
o●
N
1 .m 2 . N , mg , f ; R f x sin
● ● c
f A xc
3 . o xy
x
4 . mg sin f mac mg
N mg cos 0
2
fR I c , ac R ac g sin
3
章首页
51. 刚体力学 4.6 刚体的平面平行运动
方法2: 用功能原理讨论 平面平行运动的描述
转动瞬心 纯滚动
1 . m 地球
动力学方程
2 . N不做功, f做功之总和为 .
0 E守恒
3 . o xy, 令E p
xc 0
1 2 1 2
4 .E 0 mg ( xc sin ) E xc mvc Ic
2 2
1 2 1 2
mg xc sin mvc Ic vc R
2 2
4 2
可得 v 2
c gxc sin 取微分整理有 ac g sin
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52. 刚体力学 4.6 刚体的平面平行运动
Wf 0 的物理意义； vc 0 0 y
0 0
在受力点A的位移元 drA上, N
o●
f 的元功为 ● ●
xc sin
f A xc
dW f f drA f v Adt
mg x
f vc vr dt fvr dt fvc dt
f R vc dt 平面平行运动的描述
转动瞬心 纯滚动
纯滚动时, vc R dW f f R v c dt 0
动力学方程
前项：摩擦力矩对转动作正功, 转动动能
总和为零
后项：摩擦力对平动作负功, 使平动动能
结果：把一部分平动动能转换为转动动能
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