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選修物理4-108課綱-CH1-靜電學
1.
阿 Samn 的物理課本
http://mysecretpark.blogspot.tw/ 1 靜電學 Electrostatics 靜電學 ELECTROSTATICS 高中物理 2022/10/2 版權說明: ◼ 部分圖片來自各版本教科書或網 路,版權仍屬原創者所有 ◼ 講義內容採用創用授權,不得商 業化(印給學生工本費除外) 本章學甚麼? 生活周遭與電有關的裝置多半根據物理學的電磁學理 論所製造,比如電腦、電磁爐等。然而大自然比人類更 早就開始應用電磁學,比方說閃電,又為什麼靠近地面 的閃電會往地表,在高空的時候則是往上(紅色精靈) 因此本章是進入電磁學的第一章,討論的內容是屬於 「靜」的電,重點在於庫侖定律、電場強度、電位、電 位差、電位能等等。藉由基本理論的學習,讓我們可以 更瞭解自然,並學習應用。 兩個金屬球是因為什麼原因產生類似閃電的電弧?本章將給予解答
2.
1-2 靜電學 Electrostatics REVIEW
AND SUMMARY
3.
1-3 1.1 庫侖定律 ❑庫侖定律 Coulomb's
law 1. 1785 年,庫侖(Charles Augustin de Coulomb)發明扭力計並仿 照卡文迪西扭秤實驗之方法驗證電荷間的力與距離的關係 ◼僅適用在 點電荷 或 球型帶電體 說明:若帶電體體積極大或不規則,則另一帶電體靠近 時候,電荷會重新分佈,導致兩者間的靜電作用力不滿 足庫侖定律 (大學電磁學範圍) ◼作用範圍:自原子核外之距離到無窮遠處均適用 2. 作用力:與兩者電量乘積成 正比 ,與兩者間的距離平方 成 反比 ◼異性電,為 吸引力 ;同性電,為 排斥力 ◼力的方向在兩者所連成的 連心線 ,為一種 連心力 ◼純量式 𝐹 = 𝑘 |𝑞1||𝑞2| 𝑟2 = 1 4𝜋𝜀0 |𝑞1||𝑞2| 𝑟2 (1-1) ◼向量式 𝐹 ⃑ = 𝑘 𝑞1𝑞2 𝑟2 𝑟̂ = 1 4𝜋𝜀0 𝑞1𝑞2 𝑟2 𝑟̂ (1-2) 𝑘稱為庫侖常數,在真空中的值約為 8.99.0×109 N ∙ m2 / C2 說明:基於歷史因素-𝑘 = 1 4𝜋𝜀0 ,其中,𝜀0為真空中的電容率 Permittivity of free sapce ◼空間有多重電荷時,單一電荷所受的力為合力,需用向量計 算 圖 1-2 電荷𝑞的合力為 𝐹 ⃑1 + 𝐹 ⃑2 + 𝐹 ⃑3 𝐹 ⃑1 𝐹 ⃑2 𝐹 ⃑3 𝐹 ⃑ + 𝑄1 + 𝑄3 + 𝑄2 𝐹 ⃑2 𝐹 ⃑1 𝐹 ⃑3 𝐹 ⃑ 𝑞 學習目標 閱讀完這節,你應該能夠… 1. 知道庫侖定律只能適用質點 或是可以被當成質點的物體 (ex.球體) 2. 應用庫侖定律解決力學-靜力 平衡,等速率圓週運動、簡諧 運動的相關問題 A B 𝐹 𝑟 (b) 𝑞2 𝐹 𝑞1 + + A B 𝐹 𝑟 (c) 𝑞2 𝐹 𝑞1 - - A B 𝐹 𝑟 𝑞1 𝑞2 (a) 𝐹 + - 圖 1-1 (a)兩電荷為異性電,則靜 電力為吸引力;(b) 兩電荷同為 正電荷(同性電),則靜電力為排 斥力;(c) 兩電荷同為負電荷(同 性電),則靜電力也為排斥力
4.
1-4 靜電學 Electrostatics ❑庫侖靜電力與牛頓萬有引力的比較(侷限高中物理範圍) 1.
相同點 ◼ 不須接觸就能產生效應的作用力:超距力 ◼ 力的量值與 距離平方 成反比,均為 保守力 說明: 重力:重力位能𝑈𝑔 = − 𝐺𝑀𝑚 𝑟 靜電力:電位能𝑈𝑒 = 𝑘𝑄𝑞 𝑟 遵守「力學能」守恆➔電位能+動能=定值 2. 相異點: ◼ 庫侖靜電力因為物體 帶電 的特性造成,萬有引力因物 體具有 質量 的特性造成。 ◼ 庫侖力有 吸引力 、 排斥力 ,萬有引力只有 吸引 力 ◼ 在微觀世界(分子以下的層級),庫侖靜電力依舊有效,但 萬有引力可忽略不計。侖靜電力的量值與帶電體所在的 介質(環境)有關,而萬有引力與物體所在的環境無關。 (大學電磁學) 說明:電容率又稱為介電常數,會隨環境/介質而改變。 Hint:請學會使用工程計算機,在大學的日子,你會快樂點^0^ 答:2.2 × 1039 倍 類題:兩點電荷分別為𝑞1 = 4 × 10−7 庫侖、𝑞2 = −2 × 10−7 庫 侖,二者相距 3 公尺,求受力量值? 答:-810-5 牛頓 庫侖靜電力-基礎題 已知質子質量為1.7 × 10−27 kg、電子質量為9.1 × 10−31 kg, 則質子與電子間庫侖力量值為其間萬有引力量值的幾倍? 例題 r 𝐹 = 𝑘𝑄𝑞 𝑟2 距離𝑟 電力𝐹 r 𝐹 = 𝐺𝑀𝑚 𝑟2 距離𝑟 重力𝐹
5.
1-5 答:(1)√ 𝑘𝑞1𝑞2𝐿 𝑚1𝑔 3 (2)√ 𝑘𝑞1𝑞2𝐿 𝑚1𝑔 3 𝑚1𝑔 𝐿 (3)𝑚1𝑔 類題:如圖兩小球帶電量各為-q 與+q,當靜力平衡時二球相距 r,兩球質量均為
m,繩長 L 與鉛直線夾角為 θ,則 q 等於? 答:√ 𝑚𝑔 tan 𝜃 𝑘 ⋅ 𝑟 類題:如圖所示,在一直線上有兩個點電荷。電量為 +4Q的點電荷固定於 x = 5a ,電量為-Q的點電荷固 定於x = 9a。將一點電荷+Q置於直線上何處時,此+Q 電荷所受的靜電力為零?(A) 3a (B) 7a (C) 11a (D) 13a (E) 15a 【95學測】 答:D 靜電力與靜力平衡的結合 質量各為𝑚1、𝑚2電量各為𝑞1、𝑞2兩帶電球 A 與 B 分別以長𝐿 的輕繩懸起,如右圖所示,球 A 可自由擺動,球 B 則固定不 能運動:求 (l)A 被 B 斥開的距離 x (2)A 所受之靜力𝐹 𝑒 (3)OA 繩之張力𝑇 ? 例題 B A 𝑥 10𝑎 5𝑎 0 15𝑎 +4𝑄 −𝑄
6.
1-6 靜電學 Electrostatics 答:(1)√2:1
(2)1:√2 類題:質量𝑚及2𝑚的 A、B 兩小球相距𝑟,各帶有𝑄及−𝑄的電 量,繞其共同質心轉動,若重力不計,則 A 球的動能為 ? 答: 𝑘𝑄2 3𝑟 庫侖靜電力與等速率圓週運動 電子以相同的軌道半徑繞 H+ 與 He2+ 原子核做等速率圓週運 動,求繞 He2+ 的電子與繞 H+ 的電子之(1)速率比 (2)週期 比。 例題 - + - +
7.
1-7 多選題 1.有三個球 A、B、C,當 A、B
靠近時互相吸引,而 B、C 靠 近時互相排斥,則下列敘述何者正確?(A)A 球所帶之電必與 B 球所帶之電異號 (B) B 球與 C 球皆必帶電 (C)A 球可能 帶電亦可能不帶電 (D)A、B、C 三球必皆帶電 (E)B 球與 C 球必帶同性電。 2.金箔驗電器因帶電而箔片張開角度 θ ,一帶負電塑膠棒逐漸 接近,見金箔先閉合再張開,此時用手接觸驗電器頂球,先 移去手指再移開塑膠棒,則見金箔又張開 θ ′,此時 (A)θ > θ ′ (B)θ ′>θ (C)金箔帶負電 (D)金箔帶正電 (E)由手流至地球 的為負電荷。 3.金箔驗電器的管徑接地,若將帶負電物體接近頂球則:(A)頂 球帶負電 (B)金箔帶負電 (C)頂球帶正電 (D)金箔張開 (E)金 箔閉垂。 4.下列有關帶電體的敘述何者正確?(A)帶電體間之作用力,為 各個帶電質點間電力之向量和 (B)中性體彼此靠近時,無電 力是因其上無淨帶電質點 (C)摩擦起電時,一物體失去負電 荷,另一物體失去正電荷 (D)使一物體帶正電,必須由此物 體移去電子 (E)摩擦起電時,各物體中的質子數不變。 5.兩大小相同之氣球各帶有𝑄的同性電,如右圖,物體質量𝑚, 繩子之張角 60,則:(A)兩球互相作用之電力為 𝑚𝑔 √3 (B)電力 為 𝑚𝑔 2√3 (C)繩子之張力為 𝑚𝑔 √3 (D)張力為 2𝑚𝑔 √3 。 非選題 6.甲、乙、丙三個點電荷受靜電力交互作用,已知甲受的合力 為 2i ⃗ 牛頓,乙受的合力為 −3j ⃑ 牛頓,其中 i ⃗ 與 j ⃗ 分別代 表沿 +x 軸與 +y 軸的單位向量,則丙所受的合力為何? 7.電量分別為 +𝑞 與 −𝑞 的兩點電荷相距 2𝑑 ,今在兩者連 線的延長線上距連線中點為𝑟處( 𝑟 > 𝑑 ), 置電量為+𝑄的 點電荷: 求其所受電力若干? 8.如圖所示,於邊長 𝐿 正三角形三頂點各置一電荷,其電量分 別為𝑄、2𝑄、2𝑄 ,則電荷𝑄所受的靜電力量值為何? 課後 練習題 60 𝐿 𝐿 𝑚 + + + 2𝑄 2𝑄 2𝑄
8.
1-8 靜電學 Electrostatics 9.如圖所示,在𝑦軸上與原點
O 相距𝑎之兩點,各置電量均為 +𝑄之固定點電荷。今在𝑥軸上與 O 點相距√3𝑎 之 P 點,有 一電量為 – 𝑞 的點電荷,其所受的靜電力為何? 10. 設大小相同 A、B 二導體球分別帶電量𝑞A、𝑞B,二者相同 𝑟時,相互作用排斥力為2𝐹,今將二球接觸後,將其分開相 距2𝑟時二者之斥力為 9 16 𝐹,則二球最初所帶電量之比為若 干? 11. 一力常數為𝑎的彈簧兩端各帶有+𝑞和−𝑞的小球,兩球與彈 簧為絕緣,彈簧因電力而被壓縮成長度 L,則彈簧原長為若 干? 12. A、B 各為帶電量為𝑄的點電荷,固定不動且相距 2𝑟 , 另一質量𝑚,電量𝑞的點電荷在 AB 中點 C 沿 AB 線上作振幅 𝑥 的 S.H.M,且 𝑥 << 𝑟 ,則其振動週期為何? 大考試題觀摩 題組 富蘭克林為研究雷電現象,設計了如圖所示的裝置。他將避雷 針線路與接地線分開,並在分開處裝上帽形的金屬鐘 A 與 B, 兩鐘之間另以絲線懸吊一個金屬小球 C,A 鐘下方另以導線連 接兩個很輕的金屬小球,形成驗電器 D。當避雷針上空附近的 雲不帶電時,三個小球均靜止下垂。依據以上所述,並假設驗 電器周圍的空氣不導電,試回答 12-13 題。 【98 學測】 13. 當低空帶電的雲接近避雷針頂端時,下列有關小球 C 的 敘述,何者正確? (A)小球會保持靜止下垂,不會擺動 (B)小球會在 A 與 B 間擺動,來回撞擊 A 與 B (C)小球 會先擺向 A,撞到 A 後被 A 吸住,不再分離 (D)小球會 先擺向 B,撞到 B 後被 B 吸住,不再分離 14. 驗電器 D 的兩個小球原本靜止下垂,互相接觸。當避雷 針因為帶有負電的雲接近,而出現尖端放電時,下列有關 驗電器上兩個小球的敘述,何者正確? (A)兩個小球會 帶負電而分離,並保持張開,不相接觸 (B)兩個小球會 帶正電而分離,並保持張開,不相接觸 (C)兩個小球會 帶負電而分離,在張開後會再次下垂,並互相接觸 (D) 兩個小球會帶正電而分離,在張開後會再次下垂,並互相 接觸 A B C D 避 雷 針 接 地 線 𝑎 𝑎 𝑥 +𝑄 +𝑄 O P 𝑦 √3𝑎 + +
9.
1-9 15. 三個點電荷 X、Y、Z
位於等腰直角三角形的三個頂點如 圖所示,Z 所受 X、Y 的庫侖靜電力之合力為𝐹。若 X 與 Y 的位置互換,而 Z 的位置不變,則下列何者為 Z 所受 X、Y 的庫侖靜電力之合力方向?【103 學測】 (A) (B) (C) (D) (E) 。 16. 三個點電荷排列成一直線,若𝑄為電量(𝑄 > 0),𝑅為點電 荷間的距離,且所有電荷皆固定不動,則下列選項中,位 於左端的電荷所受到靜電力的合力量值何者最大?【109 學測】 (A) (B) (C) (D (E) 練習題答案 1. BCE 2. BDE 3. CE 4. ABDE 5. BC 6. −2i ⃗ + 3j ⃗ 7. 4𝑘𝑄𝑞𝑑 𝑟3 8. 2√3𝑘𝑄2 𝐿2 9. √3𝑘𝑄𝑞 4𝑎2 10. 1:2 or 2:1 11. 𝑘𝑞2 𝑎𝐿2+𝐿 12.𝜋√ 2𝑚𝑟3 𝑘𝑄𝑞 13. B 14. A 15. D 16. B 𝑅 𝑅 +2𝑄 +𝑄 −2𝑄 𝑅 𝑅 +2𝑄 +𝑄 +2𝑄 𝑅 𝑅 +𝑄 −2𝑄 −2𝑄 𝑅 𝑅 +𝑄 +2𝑄 −2𝑄 𝑅 𝑅 +𝑄 −2𝑄 +2𝑄
10.
1-10 靜電學 Electrostatics 1.2
電場與電力線 ❑電場 Electric Field,符號𝐸 ⃑⃑ 1.物理意義: ◼ 帶電體(可以是帶電粒子,或任意帶電物質)所能產生的靜 電力作用範圍,稱為 電場 。 ◼ 任何帶電體都會在空間中建立自己的電場,此時該帶電體 稱為 場源 ◼ 「場」概念提出者: 法拉第 圖 1-3 左圖:帶正電的測試電荷𝑞放在帶電物體附近的 P 點上,可知靜電 力𝐹作用在測試電荷𝑞上,測試電荷電量變為2𝑞,靜電力變為2𝐹。右圖:可 視為帶電物體在 P 點上產生的電場𝐸 ⃑⃑ 2.電場強度 : 在某一空間中,放置一單位正電荷(或稱測試電荷) , 若此電荷受到電力作用,則該位置的單位正電荷𝑞所受到的靜 電力,即為該位置的電場強度。SI 單位:N/C 牛頓/庫侖 𝐸 ⃑⃑ = 𝐹 ⃑ 𝑞 (1-3) ◼ 電場是向量場,具有方向性,以 測試電荷(正電荷) 受力方 向為該處電場方向 說明: ◼ 空間中某位置的電場強度及性質只和場源的帶電量及電性 有關,與放入的測試電荷完全無關。 舉例:在該處放置𝑞或2𝑞,該處電場𝐸 ⃑⃑依然是不變。 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 𝐹 ⃑ P + + + + + + + + + + + + + + + + + + 𝐸 ⃑⃑ P + 學習目標 閱讀完這節,你應該能夠… 1. 說明電場的物理意義。 2. 計算空間中任意位置的電場 大小及方向 3. 瞭解電力線疏密程度不同, 電場強度就不相同 4. 應用帶電平行板產生均勻電 場的特性,驗證帶電粒子在 均勻電場中的運動模式 𝐸 ⃑⃑ - 𝐹 ⃑ + 𝐹 ⃑ 𝐸 ⃑⃑ (a) (b) 圖 1-4 靜電力、測試電荷、電場之 間的相互關係。
11.
1-11 ❑點電荷𝑄建立的電場 1.點電荷𝑄在距離 𝑟 處的電場量值 𝐸 ⃑⃑
= 𝐹 ⃑ 𝑞 → 𝐸 = 𝑘𝑄 𝑟2 (1-4) 2.性質 ◼ 點電荷的電場強度與點電荷的 電量𝑄 成正比並與 距離𝑟 成平方反比 ◼ 𝑄為正電荷,電場方向: 向外發散 ◼ 𝑄為負電荷,電場方向: 向內收斂 ◼ 電場是場源電荷自身所建立的性質,與是否有其他電荷 存在 無關 。 ◼ 空間中同時有許多點電荷存在,則此空間任一位置的電場 為各點電荷在該位置所建立之電場的向量和。 說明: 圖 1-6 空間中的 P 點,其電場𝐸 ⃑⃑ = 𝐸 ⃑⃑1 + 𝐸 ⃑⃑2 + ⋯,且 Q2、Q3 不能影響𝐸 ⃑⃑1。 ❑電場線 Electric Field Lines 又稱 電力線 Line of Electric Force 1.1840 年前後,法拉第(Michael Faraday)提出電力線模型以模 擬電場的概念。 ◼肉眼無法看到電場,電場是一種抽象概念。 ◼電力線是解釋電場分佈的最佳方法,並非真實存在的線條- 描述 庫侖靜電力的 作用方向 、 範圍 。 說明:將空間中彼此鄰近、而電場方向相同的各點連接起 來的曲線或直線即為電力線 P + 𝑄1 + 𝑄3 + 𝑄2 𝐸 ⃑⃑2 𝐸 ⃑⃑1 𝐸 ⃑⃑3 𝐸 ⃑⃑ 𝐸 ⃑⃑1 𝐸 ⃑⃑2 𝐸 ⃑⃑3 𝐸 ⃑⃑ + - 𝐸1 > 𝐸2 > 𝐸3 圖 1-5 正電荷與負電荷在空間中形 成的電場向量,箭頭之長度及方向 分別代表該位置的電場之量值與方 向。 + - 𝐸1 𝐸2 𝐸3 𝐸1 𝐸2 𝐸3 𝑟 𝐸 = 𝑘𝑄 𝑟2 距離𝑟 電場𝐸 圖 1-7 法拉第肖像圖,法拉第提出 出力線(line of force)概念,認為 電荷和磁極周圍充滿了力線,靠力 線(包括電力線和磁力線)將電荷(或 磁極)聯繫在一起;這概念就是場的 觀念,並藉此來解釋靜電力的超距 作用(action at a distance) 箭頭長度代表 電場量值
12.
1-12 靜電學 Electrostatics 2.性質 ◼
電力線由 正 電荷出發,終止於 負 電荷,但屬於 非封閉曲線 :電荷可單一存在,但磁極需成對出現。 ◼在電力線上各點的切線方向為該點的 電場方向 , 圖 1-9 電荷𝑞1、𝑞2、𝑞3在電力線各位置的電場、電力。From wiki ◼電力線不會相交:空間中同一位置的電場方向只有 一個 ◼場源電荷所發出或終止的電力線數量與電荷量值成 正比 說明:電力線越多代表電荷電量越 大 ,該電荷造成的電 場強度也越大 圖 1-11 電量為−2𝑞的負電荷,其電力線數量是電量−𝑞的兩倍。 ◼電力線不一定為電荷在電場中的運動軌跡。 + + - 圖 1-8 空間中同時具備正、負電荷 的電場(電力線)分佈圖。 + - 圖 1-10 2𝑞與 −𝑞 電荷的之間電力 線 + -
13.
1-13 答:E 類題 1:邊長為𝑑的正四邊形,其四個頂點各置點電荷 −𝑞、𝑞、 2𝑞及𝑞 (如圖所示) , 則四邊形中點
O 處電場之量值為______ (以 q,𝑑及庫侖定律比例常數𝑘表示之) 。 類題 2:如下圖所示,正三角形 ABC 之各邊長為𝑎,P 為重心。 若在頂點 A、B、C 各置一電量均為𝑞之電荷,則 P 點之電場之 量值若干? 電場的向量性質-101 指考 附圖中兩個正方形的邊長均為 1 m,圖中 P 點處有 2 C,在𝑅 點處有 之電荷,則甲、乙、丙、丁、戊五點中,何處電 場的量值最大?(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁 (E)戊。 例題 2𝑞 𝑞 −𝑞 𝑞 + + + - P + - R 戊 甲 乙 丙 丁 + + + 𝑞 𝑞 𝑞
14.
1-14 靜電學 Electrostatics 答:(1)E= 𝑘𝑄𝑟 (𝑟2+𝑎2)3/2 (2)𝐸
= 𝑘𝑄 𝑟2 (3)0 (4)𝑇 = 2𝜋√ 𝑚𝑎3 𝑘𝑄𝑞 類題:圓環半徑為𝑎,在軸線上距環心 𝑑 = √3𝑎 處有電荷𝑄, 若環上帶電量為𝑞,則(1)電荷𝑄受力多大?(2)若 𝑥 << 𝑎,電 荷𝑄可做週期運動,求其週期? 答:(1) 𝐹 = 𝑘𝑄𝑞𝑥 (𝑎2+𝑥2)3/2 (2)𝑇 = 2𝜋√ 𝑚𝑎3 𝑘𝑄𝑞 環狀物體的電場計算 半徑為 𝑎 的金屬圓環,均勻分布電荷於環上,其電量為𝑄。試 求 (1)垂直於環面通過環心的線上,距環心為𝑟處之 P 點的電場。 (2)若 𝑟 >> 𝑎 ,則結果為何? (3)在環中心 C 點處的電場。 (4)若 𝑟 << 𝑎 ,將電量為−𝑞(與𝑄異號) 、質量為𝑚的質點由 P 點釋放,則其作簡諧運動的週期為何? 例題 𝑎 𝑟 P 𝑄
15.
1-15 ❑導體的電場分佈 1.靜電平衡 electrostatic equilibrium:導體帶電後,其內部淨電 荷受力達到平衡而不再做定向運動的狀態。 ◼當導體處於靜電平衡時,導體內部的電場必定為
零 。 ◼淨電荷分佈在 導體表面 ,導體內沒有淨電荷。 ◼處於靜電平衡的導體,其外部表面附近任何一點的電場方 向跟該點的表面 垂直 ◼靜電平衡過程 說明: 使一孤立導體帶電後,淨電荷(正電荷+負電荷的總和)若存 在導體內部,則內部必有電場(或電力線),導體內的自由 電子將會繼續受力作用而定向移動-電流產生。 不然自由電子在依然沿導體表面移動。 2.靜電屏蔽 electrostatic shielding ◼導體內部為中空區域,即便此導體帶電或在外側施加電 場,達成靜電平衡後,淨電荷分佈外側表面,其內部空洞 區的電場是 零 ◼在空洞區域,無法受到導體外側電荷產生的電場影響,形 成屏蔽狀態。 科學小故事:How Faraday Cages Work 表演時先請幾位觀眾進入籠體后關閉籠門,操作員接通電 源,用放電杆進行放電演示。這時即使籠內人員將手貼在 籠壁上,使放電杆向手指放電,籠內人員不僅不會觸電, 而且還可以體驗電子風的清涼感覺。這就是靜電屏蔽效應 (Shielding effect)-導體內部若有空穴,則在空穴中感覺不到 存在於導體外部的靜電場。 在電子儀器中,為了免受靜電干擾,常利用接地的儀器金 屬外殼作屏蔽裝置。法拉第籠的演示說明了高壓作業人員 帶電工作的原理。高壓帶電操作員的防護服是用金屬絲製 成的,當接觸高壓線時,形成了等電位,使得作業人員的 身體沒有電流通過,起到了很好的保護作用。如汽車就是 一個法拉第籠,由於汽車外殼是個大金屬殼,形成了一個 等位體,當駕駛員在雷雨天行駛時,車裡的人不用擔心遭 到雷擊。 圖 1-12 達成靜電平衡的帶電導體, 電荷分佈在導體表面上,導體內部 電場=0 𝐸 ⃑⃑ = 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 𝐸 ⃑⃑ = 0
16.
1-16 靜電學 Electrostatics ❑實心導體球或金屬球殼(電量為𝑄,半徑為𝑅)的電場分佈 1.電荷均勻分佈在表面,內部無電荷 𝐸 ⃑⃑
= 𝐹 ⃑ 𝑞 → 𝐸 = { 𝑘𝑄 𝑟2 , 𝑟 > 𝑅 𝑘𝑄 𝑅2 , 𝑟 = 𝑅 0, 𝑟 = 0 (1-5) 答:C 感應電場【聯考】 不帶電之中空金屬球殼外徑為𝑅,中心位於 O 點。今在球殼外 距球心距離為𝑑處放置一點電荷−𝑄 (𝑄0) ,則金屬球上會產生 感應電荷(如圖所示) 。所有感應電荷在球心 O 點處產生之電 場其量值及方向為:(A) 𝑘𝑄 𝑅2 ,方向向右 (B) 𝑘𝑄 𝑅2 ,方向向左 (C) 𝑘𝑄 𝑑2 ,方向向左 (E)0。 例題 圖 1-13 實心導體球的電場分佈 𝑅 O 𝑑 −𝑄
17.
1-17 答:A 類題 1:電中性的金屬球殼內外半徑各為 R1
和 R2,今在其球心 處置一點電荷+Q,如圖所示,則(1)在 A、B、C、D、及 E 各點 處的電場強度為何?(2)若將球殼接地,則各點的電場強度又為 何? 答:(1)𝐸A = 𝑘𝑄 𝑟A 2 (發散), 𝐸B = 0, 𝐸C = 𝑘𝑄 𝑟c 2 (2)𝐸A = 𝐸B = 0, 𝐸C = 𝑘𝑄 𝑟C 2 類題 2:兩個同心的空心金屬球半徑各為𝑅1、𝑅2(𝑅1 < 𝑅2),小球帶電量−𝑄,大球帶電量𝑄,彼此絕緣,請依下 列條件求距球心 r 處的電場量值?(1) 𝑟 < 𝑅1 (2) 𝑅1 < 𝑟 < 𝑅2 (3) 𝑟 > 𝑅2 答:(1)0 (2) 𝑘𝑄 𝑟2 (3)0 導體內部的電場-【107 指考】 一金屬厚球殼的內、外半徑分別為𝑅1與𝑅2,中空球心處靜置 一電量為𝑞的點電荷,如圖所示。設庫侖常數為𝑘,則在金屬 球殼內距球心為𝑟處(𝑅1 < 𝑟 < 𝑅2)的電場量值為下列何者? (A) 0 (B) 𝑘𝑞 𝑟2 (C) 𝑘𝑞 𝑟 (D) 4𝑘𝑞 (𝑅1+𝑅2)2 (E) 2𝑘𝑞 𝑅1+𝑅2 例題 𝑅1 𝑅2 A B C
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1-18 靜電學 Electrostatics 1.
達成靜電平衡時,下列哪些區域的電場為零?(A)帶電金屬 球的內部 (B)均勻帶電之絕緣體內部 (C)帶等量異性電 之兩平行金屬板的內側 (D)帶等量同性電之兩平行金屬 板的外側 (E)兩等量同性電之點電荷連線的中點處。 2. 在 y 軸上𝑦 = 𝑎及𝑦 = – 𝑎 處各置一電量為𝑞及 – 𝑞 二點電 荷,則在 y 軸上𝑦 = 𝑏 ( −𝑎 < 𝑏 < 𝑎)處的電場為何 ? 3. 電量分別為𝑞以及𝑛𝑞(𝑛為一正數)的 A、B 兩電荷,相距𝐿 處。在 A 和 B 連線上的電場為零處與 A 點的距離為何? 4. 兩個大小相同的水銀球,各帶不同電性之電荷,球表面之 電場量值分別為𝐸及2𝐸。今將兩水銀球合成一大水銀球, 則此大水銀球表面之電場強度量值為何? 5. 兩帶電量均為 +𝑞 庫侖之固定點電荷相距 2𝐿 米,試回答 下列問題 : (1)在連線中央垂直線上距中點 𝑥 米處之電場強 度為何?(牛頓/庫侖) (2)承(a)若 𝑥 >> 𝐿 ,則(1)將為何? 6. 如右圖,將點電荷4𝑄固定於原點 O,另一點電荷 – 𝑄 固 定於 C 點(坐標𝑥=3𝑎) ,則下列關於電力線的敘述何者 正確? (A)在 A 點(𝑥=𝑎)及 B 點(𝑥=2𝑎)附近的電力線密 度相等 (B)如將一電子靜置於 x-y 平面上任意一點,則電 子會受電場作用沿著通過此點的電力線運動至原點 (C)所 有電力線都由原點出發並終止於 C 點 (D)在 D 點( 𝑥 = 6𝑎)電場為零,故該點不會有電力線通過 (E)在這兩個點 電荷的中垂面上各點的電力線均與𝑥軸平行。 大考試題觀摩 7. 已知當一圓周的四分之一均勻帶有電荷𝑞時,圓心的電場 量值為 0.50 V/M。若此圓周的一半均勻帶有電荷2𝑞,另一 半均勻帶有電荷 −2𝑞,則圓心的電場量值為若干 V/M? (A)1.4 (B)1.6 (C)1.8 (D)2.0 (E)2.2 【91.指考】 8. 點電荷𝑄、𝑄及𝑄′ (𝑄與𝑄′ 均為正)分別位在一個正三角形 的三個頂點上,如右圖所示。若正三角形中心處的電場為 零,則𝑄′ 與𝑄間的關係為下列何者?(A)𝑄′ = √2𝑄 (B)𝑄′ = 𝑄 (C)𝑄′ = √ 3 2 𝑄 (D)𝑄′ = √3𝑄 (E)𝑄′ = 2𝑄。【93.指考】 9. 考慮以 P 點為圓心、半徑為𝑅的部分或整個圓周上的四種 電荷分布情形,如圖所示:(甲)電荷𝑞均勻分布在四分之 一的圓周;(乙)電荷2𝑞均勻分布在半圓周;(丙)電荷3𝑞均 課後 練習題
19.
1-19 勻分布在四分之三的圓周;(丁)電荷4𝑞均勻分布在整個圓 周。試問這四種情形在 P 點所造成的電場,依其量值排列 的次序為何? (A)甲
乙 丙 丁 (B)丁 丙 乙 甲 (C)乙 甲=丙 丁 (D)丁 乙 甲 =丙 (E)甲=乙=丙=丁。 【102 指考】 10. 以一對分別帶有等量正負電荷的平行板做為電子的轉向裝 置,其中帶正電的下板挖有相距 1.0 cm 的兩個小縫,側視 圖如圖所示。設有一電子以4.55 × 10−19 J 的動能及 45的 入射角,從一縫進入,由另一縫射出,而且電子的射入與 射出方向的夾角為 90。已知電子的質量為9.1 × 10−31 kg,電量為−1.6 × 10−19 C,若重力可以忽略不計,試回 答下列問題:(1) 電子的入射速率為何?(2) 電子在平行 板電場中的運動軌跡為何種曲線?為什麼?(3) 平行板 間的電場量值約為多少?【103 指考】 他山之石-大陸高考 11. 關於同一電場的電場線,下列表述正確的是(A)電場線是 客觀存在的 (B)電場線越密,電場強度越小 (C)沿著電 場線方向,電勢越來越低 (D)電荷在沿電場線方向移動 時,電勢能減小 12. 如圖所示,在光滑絕緣水平面上放置 3 個電荷量 均為𝑞 (𝑞 > 0)的相同小球,小球之間用彈性係 數均為𝑘0的輕質彈簧絕緣連接。當 3 個小球處在 靜止狀態時,每根彈簧長度為𝑙。已知靜電力常 量為𝑘,若不考慮彈簧的靜電感應,則每根彈簧 的原長為 (A)𝑙 + 5𝑘𝑞2 2𝑘0𝑙2 (B)𝑙 − 𝑘𝑞2 𝑘0𝑙2 (C)𝑙 − 5𝑘𝑞2 4𝑘0𝑙2 (D)𝑙 − 5𝑘𝑞2 2𝑘0𝑙2 練習題答案 1. ADE 2. −2𝑘𝑞(𝑎2+𝑏2) (𝑎2−𝑏2)2 𝑗 ⃗ 3. 𝐿 √𝑛+1 4. √2 3 𝐸 2 5.(1) 2𝑘𝑞𝑥 √(𝑥2+𝐿2)3 (2) 2𝑘𝑞 𝑥2 6.D 7.A 8.B 9.C 10. (1) 𝑣 = 106 (m/s) (2)拋物 線,略 (3) 𝐸 ≈ 5.7 × 102 (N/C) 11.C 12.C 𝑞 𝑞 𝑞 𝑙 𝑘0 𝑙 𝑘0
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1-20 靜電學 Electrostatics ❑均勻電場 1.無限大的均勻帶電平板在其周圍所產生的電場量值為
定值 此值和 位置 無關,和平板上 電荷面積密度 成正比 ◼此平板帶正電,其電力線相互平行且均勻分布,朝外發散 ◼此平板帶負電,其電力線相互平行且均勻分布,朝內收斂 2.電場僅存於兩平行電板之間的區域,為 均勻電場 (理 論) ,平行電版外側無任何電場。 𝐸 = 4𝜋𝑘𝜎 (1-6) 說明: 3.帶電質點在均勻電場中的運動 置入一帶電質點𝑞,若不考慮其重力,故其必為 等加速度運 動 ,運動軌跡為 直線 或 拋物線 。 𝑎 = 𝐹 𝑚 = 𝑞𝐸 𝑚 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. (1-7) 說明: 圖 1-15 平行帶電板的實際電場分 佈圖。平行電版邊緣的電場並非穩 定值,而是在平行電版中央區域才 可以視為均勻電場 + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + 圖 1-14 左:帶正電的金屬平板的 電場/電力線示意圖。右:帶負電的 金屬平板的電場/電力線示意圖 + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 圖 1-16 帶電質點在均勻電場中 的運動:等加速度運動 -
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1-21 4.應用 ◼ 噴墨印表機噴頭 墨滴進入感電裝置後,帶有正電荷(或負電荷),進入平行 金屬板(又稱偏向板),即可進行 水平拋體運動
,偏轉 到達應去之位置,形成圖案。 ◼ 凝膠電泳(Gel electrophoresis)或稱膠體電泳 凝膠電泳在用於分離核酸分子(如 DNA、RNA、蛋白質) 時,帶有負電荷的核酸分子在外加均勻電場的作用下穿過 凝膠組成的網格。由於較小的分子更容易通過網孔,較小 的分子凝膠基質中穿行地更快,並且可以移動得更遠。 圖 1-18 凝膠電泳示意圖。From 大英百科全書。 答: 3𝑚𝑔 4𝐸 類題:帶等量異性電的二平行金屬板,板面鉛直而立,在二板 間以絕緣細線懸吊一質量 m,帶電量+q 的小球,發現絲線與鉛 直線之夾角為𝜃,則二板間的電場強度量值為何? 答: 𝑚𝑔 tan 𝜃 𝑞 均勻電場的靜力平衡 如右圖,質量為𝑚的帶電小球,以長為𝐿的絕緣細線懸吊於均 勻電場𝐸內。小球平衡時,細線與鉛垂方向成 37°角,小球所帶 電量為何? 例題 圖 1-17 凝態電泳實驗設備,前方紅 色為正極,後方黑線為負極。通電 後,核酸分子向前移動。 + + + + + + + - - - - - - 37o
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1-22 靜電學 Electrostatics 答:(1)𝑞𝐸𝑑
(2)√2𝑚𝑞𝐸𝑑 (3)√ 2𝑞𝐸𝑑 𝑚 (4)√ 2𝑚𝑑 𝑞𝐸 類題:一質子與一 α 質點同時均勻電場的正極板由靜止釋放, 在不計重力及空氣阻力的影響下,求兩者 (1)在板間所受電力 量值之比? (2)在板間加速度量值之比? (3)抵達負極板時速 率之比? (4)在板間所經歷時間之比?答:(1) 1 : 2 (2)2 : 1 (3)√2: 1 (4)1: √2 類題:兩荷等量異性電荷之平板間,H+ 與 H+ 皆由靜止起動自正 板向負板運動,則 (A)二者於運動期間所受電力量值為 1 : 1 (B)加速度量值為 4 : 1 (C)到達負板瞬間動能比為 1 : 1 (D)運動 中所受衝量量值比為 1 : 2 (E)達負板所需時間比為 1 : 2。答 : 全 直線加速器的原理 真空匣內有一對平行金屬板帶等量異性電荷相距 𝑑 ,兩板間 的電場強度𝐸,有質量𝑚的質點帶有電量 −𝑞 ,自靜止離開 負板飛越兩板空隙抵達正板,設不考慮重力作用,求: (1)抵達正板時的動能? (2)抵達正板時的動量大小? (3)抵達正板時的速度大小? (4)由負板到正板歷時若干? 例題 + + + + + + + - - - - - - −𝑞
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1-23 答:(1)𝑎 = 𝑞𝐸 𝑚 (2)𝑡 = 𝐿 𝑣0 (3)𝑦
= 𝑞𝐸𝐿2 2𝑚𝑣0 2 (4)𝐸𝑘 = 𝑞2𝐸2𝐿2 2𝑚𝑣0 2 類題:如圖所示,設兩個水平平行金屬板中的電場為𝐸,兩板 距離為𝑑,板長為𝐿。一個質量為𝑚、電荷為𝑞(𝑞 > 0)的粒 子,以水平方向射入兩板之間,且剛進入電場區域時,與兩板 等距離。如果不考慮重力,為了使粒子在運動中不至於撞到金 屬板,其初速率至少需為__________。 答:√ 𝑞𝐸 𝑚𝑑 𝐿 電荷在均勻電場的運動-拋體運動 如圖所示,一質量為𝑚、電量為 +𝑞之質點,以速度𝑣0沿𝑥軸射 入長度為𝐿,內部電場為𝐸的平行電板中。平行電板所帶的電量 相等但電性相反,若忽略重力的影響,則 (1)質點的加速度為何? (2)在電場中的運動歷時多少? (3)當其自平行板射出時的𝑦坐標為何? (4)承上題,質點獲得多少動能? 例題 + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 𝑥 𝑦 𝑣0 +𝑞 𝐿 𝑑 𝐿 𝑞
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1-24 靜電學 Electrostatics 1.
真空匣內有一對平行金屬板帶等量異性電荷而相距𝑑,兩 板間之均勻電場強度為𝐸。有質量為𝑚,荷電量為𝑒之電子 靜止離開負板抵達正板,假定不考慮重力作用,電子在飛 越期間所受衝量大小為:(A)( 𝑒𝐸𝑑 2𝑚 ) 1 2 (B)( 2𝑚𝑑 𝑒𝐸 ) 1 2 (C)( 𝑒𝐸 2𝑚𝑑 ) 1 2 (D)( 2𝑒𝐸𝑑 𝑚 ) 1 2 (E) (2𝑚𝑒𝐸𝑑) 1 2 2. 兩平行金屬板上帶電量各為+𝑄和– 𝑄,兩板距離為𝑑。(1) 若將兩板電量增為 2 倍,則兩板間的電場強度變為幾 倍?(2)若電量保持不變,但將兩板距離增為 2 倍時,則兩 板間電場強度變為幾倍? 3. 一質子以垂直電場方式射人兩平行帶等量異性電之金屬板 間,當穿出電場時,其偏離原射線之距離為 dp。若改用同 能量之 α 粒子,偏離之距離變為 dα,則 dp/ dα 之值為何? 4. 一質子與一 α 質點同時從均勻電場的正極板由靜止釋放, 在不計重力及空氣阻力的影響下,求兩者:(1)在板間所受 電力大小之比? (2)在板間加速度大小之比? (3)抵達負極 板時速率之比? (4)在板間所經歷時間之比? 5. 右圖真空匣內兩無限大的平行金屬 板,帶等量異性 電荷,板間電場大 小為𝐸,今在其間將一質量𝑚,帶電 量+𝑞之點電荷以初速𝑣,逆電場方向 拋出,若考慮重力時,求此質點上 升的最大高度。 6. 一帶正電之粒子及一中性粒子同時同地以相同初速被拋入 一水平均勻電場中。設粒子運動方向與電場方向平行而反 向,而帶電粒子最遠運動至 20 公分後不再前進而開始後 退,則此時中性粒子已運動多少距離? 7. 帶異性等量電荷的二平行導體板間有一均勻電場,一電子 被帶負電之板釋放,在 1.510-8 秒後抵達相隔 2.0 公分之 正電板。兩板間電場強度值為若干? 8. 帶等量異性電荷之兩平行金屬板間有均勻電場𝐸向下,不 考慮重力,一帶正電 Q 的粒子由下方金屬板邊被斜向拋出 (初速𝑣,仰角𝜃),恰可飛出長𝐿的金屬板,則此粒子可上 升的最大高度為何?最高點時電力對粒子的瞬時功率為 何? 課後 練習題 𝐸 𝑣 + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - -
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1-25 9. 質子與 質點以相同之初動能𝐸,垂直射入兩平行金屬板 間之均勻電場中,當離開平板時,質子動能變為2𝐸,則 質點離開平板時之動能為若干? 10.
一質量為 1 克的小球以長細線懸起而成一秒擺(週期 2 秒),若此球帶有正基本電荷的電量,且將此擺置於一均 勻強電場(方向向地心),擺的週期變為 1.5 秒,若該處的 重力強度大小為 10 牛頓/公斤,則此電力場之電場強度大 小應為若干﹖ 他山之石-大陸高考 11. 如圖所示,相距為 d 的平行金屬板 A、B 豎直放置,在兩 板之間水準放置一絕緣平板。有一品質𝑚、電荷量𝑞(𝑞 > 0)的小物塊在與金屬板 A 相距𝑙處靜止。若某一時刻在金 屬板 A、B 間加一電壓,小物塊與金屬板只發生了一次碰 撞,碰撞後電荷量變為𝑞,並以與碰前大小相等的速度反 方向彈回。已知小物塊與絕緣平板間的動摩擦因素為𝜇, 若不計小物塊電荷量對電場的影響和碰撞時間。則 (1)小物塊與金屬板 A 碰撞前瞬間的速度大小是多少? (2)小物塊碰撞後經過多長時間停止運動?停在何位置? 練習題答案 1. E 2. (1)2 倍 (2)1 倍 3. 1 2 4.(1)1:2 (2)2:1 (3)√2:1 (4)1:√2 5. 𝑚𝑣2 2(𝑚𝑔+𝑞𝐸) 6. 40 公分 7.103 牛頓/庫侖 8. 𝐿 4 tan 𝜃 , 0 9. 𝐸𝐾 = 𝑞2𝐸2𝐿2 2𝑚𝑣2 ∝ 𝑞2 10. 4.86×1016 N/C 11.(1)√𝜇𝑔𝑙 (2)時間為4√ 1 𝜇𝑔 ,停在2𝑙處或距離 B 板為2𝑙
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1-26 靜電學 Electrostatics 1.3
電位能、電位、電位差 ❑電位能 Electric Potential Energy 1.意義:靜電力為 保守力 ,因此電荷在電場中就具有電位能。 ◼電荷移動時產生的能量變化,可視為靜電力對電荷作功 2.電位能的一般式(點電荷的電位能) ◼定義:將電荷𝑞,從無窮遠處(零位能)緩慢並且均速移動至 場源𝑄的距離𝑟時,靜電力所做的功的負值就是電位能。同 時,也可稱外力反抗靜電力所需作的功稱為該電荷在該處 的電位能。 𝑈𝑒 = 𝑘𝑄𝑞 𝑟 (1-8) 說明: 施外力𝐹抵抗庫侖靜電力𝐹 𝑒,使電荷𝑞從無窮遠處(∞)等速 移動到距離𝑟處,此時庫侖靜電力𝐹 𝑒作功𝑊 𝑒 靜電力作功的量值𝑊 𝑒等於電位能變化量Δ𝑈𝑒的負值 𝑊 𝑒 = −Δ𝑈𝑒 = −(𝑈𝑒(𝑟) − 𝑈𝑒(∞)) 無窮遠處,靜電力=0,則可知 𝑈(∞) = 0 𝑊 𝑒 = − 𝑘𝑄𝑞 𝑟 = −𝑈𝑒(𝑟) 得 𝑈𝑒(𝑟) = 𝑘𝑄𝑞 𝑟 電量 +𝑄 與 −𝑞 的電位能 電量 +𝑄 與 +𝑞 的電位能 電量 −𝑄 與 −𝑞 的電位能 最初位置 Δ𝑦 最後位置 𝑚𝑔 + + 𝑞𝐸 ⃑⃑ 𝑞𝐸 ⃑⃑ Δ𝑦 最初位置 最後位置 𝑚𝑔 (a) (b) 學習目標 閱讀完這節,你應該能夠… 1.瞭解靜電力是保守力並且靜電 力做功會導致位能產生變化。 2.瞭解電位能、電位的定義及相 互關係。 3.瞭解等位線並能描述它與電力 線之間的關係。 4.轉換焦耳與電子伏特兩種不同 的能量單位。 Δ𝑊 = 𝑘𝑄𝑞 𝑟2 Δ𝑟 Δ𝑟 𝐹 𝑟 + 𝑈(𝑟) = − 𝑘𝑄𝑞 𝑟 < 0 𝑈(𝑟) = 𝑘𝑄𝑞 𝑟 > 0
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1-27 3.性質 ◼位能是兩物體或兩帶電體是 共同擁有 ,缺一不可 ◼系統的電位能是可以累加的(因為位能是純量) 。 𝑈
= 𝑘𝑞1𝑞2 𝑟 + 𝑘𝑞2𝑞3 𝑟 + 𝑘𝑞3𝑞1 𝑟 ◼在無窮遠處時,電位能為 零 ,且都與 距離 成反比 ◼電荷在電場中移動時,其電位能變化與 移動前後的位置 有關,與 路徑 無關 答:(1) 800 牛頓 (2) 2400 焦耳 類題:在一正方形 ABCD 各角上分別有+𝑞、 + 𝑞、 − 𝑞、 − 𝑞 的點電荷,而正方形邊長為𝑎,則(1)四電荷間的總電力位能為 何﹖ (2)將A點的電荷移到無窮遠處至少需作功若干﹖答: − √2𝑘𝑞2 𝑎 , 𝑘𝑞2 √2𝑎 類題:在 A、B 兩點各固定一個電子,設此兩個電子的電位能 為𝑈1,今引入另一電子至 A、B 中點,而這三個電子的總電位 能為𝑈2,則𝑈2/𝑈1 為若干? 答:5 點電荷的電位能-基礎題 點電荷𝑄帶電量2 × 10−4 庫侖,另一點電荷𝑞帶電量4 × 10−3 庫侖,求二者相距𝑟=3 公尺時之互斥力及電位能? 例題 𝑞2 𝑞1 𝑞3 圖 1-19 系統電位能是可累加的 𝑞 𝑞 −𝑞 −𝑞 + + - -
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1-28 靜電學 Electrostatics 答:(1) 𝑘𝑒2 2𝑟 (2)
− 𝑘𝑒2 𝑟 (3) − 𝑘𝑒2 2𝑟 (4) 𝑘𝑒2 2𝑟 類原子結構的能量關係 在單電子離子中(原子序 Z),設電子繞核以半徑為𝑟作等速率 圓周運動,電子電量以 𝑒 表示,求:(1)電子的動能 (2)系統 的位能 (3)系統的力學能 (4)電子的游離能(束縛能) 例題 這類型題目和第七章非常 類似,包含束縛能、脫離 能等等的題目都需要大家 多練習; 最大的不同在於電荷有正 負之分,這和重力位能中 的題目要詳加區別。 - +
29.
1-29 結合力學能守恆、角動量守恆【97 指考】 點電荷+𝑄及−𝑄(𝑄 >
0)位在同一平面上,+𝑄的位置固定, −𝑄的質量為𝑚,且和+𝑄的距離為𝑏。−𝑄電荷以垂直於兩電 荷連線的方向射出。回答下列各問題: (1)若點電荷−𝑄以𝑣射出,繞+𝑄做半徑為𝑏的等速圓周運動, 如圖(a)所示,令𝑘 = 1 4𝜋𝜀0 為庫侖定律中的比例常數,求𝑣。 (2)若−𝑄電荷以𝑣0射出,則循一橢圓軌跡運動,如圖(b)所 示。令−𝑄距離+𝑄的最遠點為 A 點,且令 A 點與+𝑄電荷間 的距離為𝑎,說明點電荷−𝑄相對於點電荷+𝑄的角動量守恆的 理由,並求出此角動量的量值與方向。 (3)承第(2)小題,若𝑣0 = √ 3𝑘𝑄2 2𝑚𝑏 ,求−𝑄在 A 點的速率(以𝑣0 及數字表示)及𝑎的量值(以𝑏及數字表示) 。 例題
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1-30 靜電學 Electrostatics ❑電位(Electric
Potential) 1. 嚴謹定義:在電場中,將單位正電荷由無窮遠處等速移至電 場中某點,外力抵抗靜電力所作之功,即為該點的的電位。 2. 簡易定義:單位電荷在電場中某位置所具有的電位能,即為 該點之電位。 SI 單位:J/C=V(伏特) 𝑉(𝑟) = 𝑈𝑒 𝑞 (1-9) 說明: 和前面討論電場時的方法一樣,在電位能的式子中,將 q 視 為單位正電荷(+1 庫侖),不論該處是否有電荷𝑞存在,電荷 𝑄週遭也同時分布了一個純量的物理量 𝑈(𝑟) = 𝑘𝑄𝑞 𝑟 𝑞=1(𝐶) → 𝑉(𝑟) = 𝑈(𝑟) 𝑞 = 𝑘𝑄 𝑟 結論:可看成場源電荷𝑄形成一個純量形式的物理量,因此 當場源變成均勻帶電金屬板時,也會在週遭形成電位 3.性質 ◼ 電位是純量,可為 正 、 負 或 零 ◼ 是 相對量 ,必須先定義 零電位 。 說明: 點電荷:無窮遠處的電位可視為 0 均勻帶電平行板:負電板處的電位可視為 0 ◼ 自由電荷在電場中的自然移動方向:朝電位能減少的趨勢 移動 為正電荷時:由 高 電位移動 低 電位 為負電荷時:由 低 電位移動 高 電位 ◼ 同一空間中,存在多種場源時,空間中任意位置的電位可 以直接疊加 𝑉(𝑟) = 𝑉1 + 𝑉2 + ⋯ 圖 1-21 場源各為正、負電 荷時,在週遭形成的電位趨 勢圖。 + 𝑄 + 𝑄′ 𝑉(𝑟) 𝑉2 = 𝑘𝑄′ 𝑟2 𝑉1 = 𝑘𝑄 𝑟1 - + 𝑄 𝑞 - + 𝑄 𝑞′ 𝑼 𝒒 = 𝑼′ 𝒒′ 𝑼 = 𝒌𝑸𝒒 𝒓 𝑼 = 𝒌𝑸𝒒′ 𝒓 圖 1-20 電荷𝑄 對周圍某一位置形 成純量形式的物理量-電位。 此定值 僅隨位 置而變
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1-31 4. 帶電荷𝑄並呈現靜電平衡的金屬球(半徑𝑅)的電位 𝑉(𝑟) =
{ 𝑘𝑄 𝑟 , 𝑟 > 𝑅 𝑘𝑄 𝑅 , 𝑟 ≤ 𝑅 (1-10) 說明:導體處於靜電平衡時,電荷不會移動,故導體內部電 場為零,因此電荷均勻分佈在導體表面,代表導體內部不存 在電位差,也就是說導體內部應該是等電位的 答:(1)A (2)E 類題:一半徑為 0.5 公尺 的金屬球體,置於乾燥空氣中,充 電於其上使電壓達 60 萬 伏特而無放電現象產生,則此球的帶 電量為何?答:3.3×10−5 庫侖 實心金屬球的電位【100 指考】 半徑為 10.0 cm 的金屬球體,遠離其他導體,而可將其表面 的正電荷近似為均勻分布,經測得其表面與地面間的電位差 為1.0 × 103 V。已知庫侖常數𝑘 = 9 × 109 N.m2 /C2 。 (1)此帶電金屬球在距其球心 1.0 cm 處的電場量值為多少 V/m?(A) 0 (B)1.0 × 102 (C)1.0 × 103 (D)1.0 × 104 (E)1.0 × 105 。 (2) 此金屬球上所帶的電荷量值約為多少 C?(A)1 × 10−4 (B)1 × 10−5 (C)1 × 10−6 (D)1 × 10−7 (E)1 × 10−8 。 例題
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1-32 靜電學 Electrostatics ❑等位線/面(Equipotential
Line/Surface): 1.把電位相等的點(稱為 等位點 ) ,以圓滑曲線連接起來 的線段,稱為等位線。 2.性質: ◼ 每條等位線彼此 不相交 、 不相切 ◼ 等位線與電力線的切線方向 相互垂直 ◼ 等位線的分佈與帶電體形狀有關 圖 1-23 (a)點電荷造成的等位線(虛線)、電力線(實線)。(b)均勻帶電板產生 的電力線(實線),將使等位線(虛線)均勻分佈 ❑電位差(Electric Pontential Difference) 1.定義:在電場中任兩點電位的差值,又稱電位降或電壓 Δ𝑉 = 𝑉2 − 𝑉1 (1-11) ◼點電荷𝑄的電位差 Δ𝑉 = 𝑉(𝑟B) − 𝑉(𝑟A) = 𝑘𝑄 ( 1 𝑟B − 1 𝑟A ) (1-12) 說明:在某處放置一個電荷𝑄,則由電位的公式可知 SA 電位為𝑉A = 𝑘𝑄 𝑟A 、SB 電位為𝑉B = 𝑘𝑄 𝑟B 在 SA 上的任一點與 SB 上的任一點之間存在 電位差 ◼均勻電場𝐸 ⃑⃑中的電位差 Δ𝑉 = −𝐸 ⃑⃑ ⋅ 𝑑 ⃑ (1-13) 說明: 當電場量值𝐸為定值➔電壓Δ𝑉量值與間距𝑑成正比 當電壓Δ𝑉為定值➔電場量值𝐸與間距𝑑成反比 + 高電位 低電位 + + + + + + + - - - - - - - + 圖 1-22 電偶極造成的等位線(虛 線)、電力線(實線) + 𝑄 𝑉B 𝑉A + + + + + + + - - - - - - 𝑉A 𝑉B 𝑑
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1-33 2.電位差的性質 ◼ 與兩點之間的位置有關,與移動的過程與路徑無關。 ◼ 電場中的任兩點之間必然存在電位差 說明: 正電荷在電場中受到與電場方向相同的靜電力, 由
高 電位處流向 低 電位處 負電荷在電場中受到與電場方向相反的靜電力, 由 低 電位處流向 高 電位處 ◼ 反過來說,若無電位差,則此區域呈現 靜電平衡 狀態 3.電位差的應用 ◼電子學、電路學、電力學、電機學之基礎:電流來自電位 差 電力學:探討大電流(強電), 高功率的電路為主的科學, 電力領域分成電力系統、電機機械及電力電子等三大領 域, 並大量地應用於發電、供電、輸電、配電、電能轉 換、電力使用及電力轉換器等相關技術。 電路學:以克希荷夫定律(Kirchhoff's rules)為基礎,探 討電子元件之「電壓」與「電流」關係。 電子學:作用於包括主動電子元器件,例如真空管、二極 體、三極體、積體電路,和與之相關的無源器件電路的互 連技術。 ◼生物科學:動物細胞的內部與外部處於不相等的電位,這 是因為細胞內外液體中不同的離子濃度 神經脈衝(nerve impulse):沿軸突(Axon)傳播(Na+離子濃度 的不同而造成) 圖 1-24 神經元結構 、作用電位 From Google Search 大學普物的觀點 配合微積分(數學觀點), 電位為電場對路徑的積分 結果 電場可視為電位對路徑的 微分結果 𝑉(𝑟) = − න 𝐸 ⃑⃑ ⋅ 𝑑𝑟 ⃑ ⇒ 𝐸 = − 𝑑𝑉 𝑑𝑟 補充說明:這些學門並沒 有誰包含誰的順序問題, 而是人類科學文明發展過 程中必然出現的分支,是 可以互相支援。 + + + + + + + - - - - - - 高電位 低電位
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1-34 靜電學 Electrostatics ◼醫學:心電圖(ElectrocardiographyEKG) 說明: 心臟生物電由心臟竇房結産生,在心臟內按一定的路徑和時 程傳播,引起心臟有節律的活動,完成心臟的生理功能。 圖
1-25 From Google Search Hint:導體上的電荷不再移動,代表該導體上電位處處相等 答:1:3 類題:帶電量𝑄的水銀球,分離成三顆水銀珠,半徑比為 1:2:3, 求(1)各球表面的電位比(2)電荷密度比(3)電場強度比(4)帶電量 比 答:(1)1:1:1 (2)6:3:2 (3)6:3:2 (4)1:2:3 靜電平衡概念-標準題 A 與 B 兩荷同性電之金屬球其電位分別為𝑉、5𝑉,將其接觸 後二者電位皆變為 4𝑉,求此二金屬球 A 與 B 的半徑比。 例題
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1-35 答:ACDE 類題:有兩大平行金屬板,相距 10 公分,分別載有等量而電 性相反的電荷,若一電子位於兩板間之中央位置時,受力恰為 3.210−16 牛頓,則兩板間之電位差為?答:200V 答:(1) 𝑘𝑄 (𝑅2+𝑥2)1/2 (2) 𝑘𝑄 𝑅 (3) 𝑘𝑄 𝑥 均勻電板的電位差 兩板間電位差
200 伏特,相距 10 ㎝,則(A)板間電場 2.0104 N/C (B)Vab=600 伏特 (C)Vac=800 伏特 (D)將 q=−310−2 C 之電荷自 a→b→c 需作功 24 焦耳 (E)同(D)由 a→d 需作功 24 焦耳。 例題 特殊形狀物體的電位計算 有一均勻帶電的圓環,半徑為𝑅,其總電量為𝑄。求(1)在此中 垂軸上距環面為𝑥處(2)環心處 (3)距環心甚遠處的電位各若 干? 例題 a b c d 3 cm 4 cm 4cm ㎝
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1-36 靜電學 Electrostatics 1.
質量比為 1:2,荷電量分別為 q1 及 q2 之正負質點 A 與 B,自甚遠處由靜止起動,受電力作用相吸,當它們運動 至相距 r 時,A 質點所具動能為何? 答: 2. 半徑比為 3:2 的二小銅球,帶電量之比為 6:1,相距為 𝑑時互吸之力為𝐹。二球之距離遠大於各球的球半徑,今使 二球接觸後再分開,使二球相距為2𝑑,則互斥之力為若 干? 3. 半徑𝑎帶電量𝑄之金屬球,與半徑𝑏而不帶電之另一金屬球 連接,則 b 球最後之電量為若干? 4. 在邊長為𝐿正三角形的兩個頂點上各放置一個點電荷,測 得在第三個頂點上之電位為 0,電場大小為 𝑘𝑄 𝐿2 ,則此二點 電荷之乘積為若干? 5. 真空中一半徑為𝑅的金屬導體球接 地,在球外與球心相距 2𝑅處有一固定的點電荷𝑄,靜電平衡時,導體上全部的感 應電荷量值-𝑞為 (A)0 (B)0<q<Q/4 (C)Q/4<q<Q (D)q=Q (E)q>Q。 6. 半徑為 0.5 公尺的球形金屬體,置於乾燥空氣中,並充靜 電於其上,使電壓(即球與地之電位差)達 60 萬伏特而 無放電現象產生,則此時此球所帶的淨電荷約多少? 7. 如圖,正三角形 ABC 的頂點上,分別有電量為-e、+ e、-2e 的點電荷,則 (1)三角形重心 O 處的電位為何? (2)該電荷系統的靜電位能為何? 8. 總電量 Q 均勻分佈於一半徑為𝑅的固定圓環上,今將一帶 有𝑞電量的質點 A,以𝑣0的速率由環心 O 垂直於環面向𝐸 射出(如圖) ,𝑞與𝑄符號相異,質點 A 沿 OE 軸運動時可 達的最遠點為 P,而 OP=√3𝑅 (a)質點 A 從 O 向 E 射出 時,速率最小要若干,才可達無限遠處?(b)今將質點 A 改為一質量相同,但電量為-q 的另一質點 B。當質點 B 從 O 處,由靜止狀態逐漸加速向 E 運動時,試求它到達 P 點 時的速率。 9. 半徑為 r 的金屬球置於金屬球殼中,二者係同心,已知球 殼的內半徑為 2𝑟,外半徑為 3𝑟,金屬球荷+𝑄的電量, 球殼荷電量+2𝑄,球心的電位為何? 10. 兩平行電極板 A 和 B,間隔為2ℓ,電位均保持為零。在其 中央處放置一金屬網狀的柵極 G,與兩電極板平行,電位 課後 練習題 + + + A B C O −𝑒 −2𝑒 +𝑒 P 𝑣0 𝑅 O √3𝑅 E
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1-37 保持為𝑉。一電子質量為𝑚,帶電量-𝑒,從 A 極上出發 (初速為零),若以後一直不會觸及
G(的金屬部分) ,則 (1)到達 G 及 B 時,速率分別為多少? (2)由 A 至 B 所需 時間多少?此電子到達 B 以後如何繼續運動?(重力影響 不計。電子不會被電極板 A、B 吸住。) 11. 帶電量一定之 A 銅球與不帶電之 B 銅球相觸後,分開至 一定距離(此距離遠大於兩球半徑),若欲使兩球間互相作 用之靜電力為最大值,則 A、B 兩球之半徑比應為多少? 12. 帶電量𝑄之水銀球,分離成三顆水銀珠,半徑比為 1:2: 3,求各球表面上的(1)電位比;(2)電荷密度比;(3)電場強 度大小比;(4)帶電量比。 13. 設原子核質量𝑀,帶電𝑄,在距其極遠處,一帶電質點質 量𝑚,帶正電𝑞,以初動能 𝐸𝑘 向𝑀做正向碰撞。(1)假設 只有庫侖力作用,求兩者最近距離,設原子核恆靜止;(2) 若原子核原為靜止,但可自由移動,則又如何? 14. 質子與 α 質點以相同之初動能 𝐸𝑘 垂直射入以兩平行金屬 板間之均勻電場中。當離開平板時,質子動能變為 2𝐸𝑘時 之動能為何? 大考試題觀摩 15. 科學博覽會實驗者站在塑膠凳子上,以手指接觸高達上萬 伏特高電壓的金屬球,但見他頭髮直豎,人卻安然無恙。 下列的物理解釋何者正確?(應選兩項)(A) 手指接觸高 電壓金屬球後,頭髮帶同性電荷,所以頭髮直豎 (B) 手 指接觸高電壓金屬球後,頭髮與高電壓相斥,所以頭髮直 豎 (C) 手指接觸高電壓金屬球後,塑膠凳將身體電荷導 入地面,故不被電擊 (D) 身體雖與高電壓金屬球等電 位,但因塑膠凳將身體與地面隔絕,故不會被電擊 (E) 人體為電的不良導體,故不會被電擊【96 學測】 16. 如圖所示,甲電荷+𝑞與乙電荷 -𝑞,兩者相距4𝑎,若取 兩電荷連線上之 s 點處的電位為零,則圖中距 O 點2𝑎 之 P 點處的電位為何?(已知庫侖定律為𝐹 = 𝑘 𝑞1𝑞2 𝑟2 ) (A) 0 (B) 𝑘𝑞 √2𝑎 (C) 𝑘𝑞 2√2𝑎 (D)− 𝑘𝑞 √2𝑎 (E) 2𝑘𝑞 3𝑎 。 [92.指定科考] 17. 假設空間某一範圍內有一𝑥軸方向的電場,電場 E 與所在 位置的𝑥坐標有關,𝐸(𝑥) = −𝛼𝑥,其中𝛼 = 100 V/m2 ,𝑥 的單位為𝑚。有一質點質量為3 × 10−4 kg、帶電2 × 10−6 C,在𝑥 = 4 m 處由靜止被釋放。若不考慮重力,則在此
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1-38 靜電學 Electrostatics 質點所能及的範圍內,下列敘述哪些正確?
(A)質點在 𝑥 = 0 m 處的速度為零 (B)質點做簡諧運動,振幅為 4 m (C)質點在𝑥 = 1 m 處受力量值為2 × 10−4 N (D)質點在 𝑥 = 4 m 處的動能最大 (E)質點在𝑥 = 4 m 處的位能最 大。 【92 指考】 18. 如右圖(a)所示,半徑為𝑏且位置固定的細圓環上,帶有總 電量為+𝑄(𝑄 > 0)的均勻電荷,O 點為圓環的圓心,𝑧軸 通過 O 點且垂直於環面,P 點在 z 軸上,它與 O 點的距離 為𝑑。令𝑘 = 1 4𝜋𝜀0 為庫侖定律中的比例常數,距離 O 點無 窮遠處的電位為零,則下列敘述哪些正確?(A)圓心 O 點 的電場量值為 𝑘𝑄 𝑏 (B)P 點的電場量值為 𝑘𝑄 𝑑2+𝑏2 (C)P 點的 電位等於 𝑘𝑄𝑑 (𝑑2+𝑏2)3/2 (D)O 點的電位等於 𝑘𝑄 𝑏 (E)質量為𝑚的 點電荷−𝑞(𝑞 > 0)從 O 點以初速𝑣0 = √ 𝑘𝑄𝑞 𝑚𝑏 沿𝑧軸射出,如 右圖(b)所示,則此點電荷移動√3𝑏距離後, 其速度減為 零。[97.指定科考] 19. 空間中某區域的電力線分布如圖,其電場方向如箭頭所 示,下列敘述何者正確?(A)甲點的電場較乙點強 (B) 甲點之電位低於乙點之電位 (C) 若甲點沒有電荷 存在,則可以有兩條電力線通過甲點 (D) 帶電粒子在 甲點所受之靜電力之方向即為甲點電場之方向 (E) 在 甲點附近以平行電力線的方向移動帶電粒子時,電場所施 之靜電力不會對該粒子作功。 【103 指考】 練習題答案 1. 2𝑘𝑞1𝑞2 3𝑟 2. F 4 3. 𝑏𝑄 𝑎+𝑏 4. -𝑄2 5.C 6. 3.3 × 10−5 庫侖 7. (1) − 2√3𝑘𝑞 𝑎 (2) − 𝑘𝑞2 𝑎 8. (a) √2𝑣0;(b)𝑣0 9. 3𝑘𝑄 2𝑟 10. (1)√ 2𝑒𝑉 𝑚 , 0(2)2ℓ√ 2𝑚 𝑒𝑉 ,在 AB 間作週期性往復運動 11.1:1 12.(1)1:1:1 (2)6:3:2 (3)6:3:2 (4)1:2:3 13. (1) 𝑘𝑄𝑞 𝐸𝑘 (2) 𝑚+𝑀 𝑀 ⋅ 𝑘𝑄𝑞 𝐸𝑘 14. 5𝐸𝑘 15.AD 16.E 17.BCE 18.DE 19.A (a) (b)
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