2014年 高三物理 上課講義

1. 1-6 氣體動力論
國立台東高中
趙臨軒老師
國立台東高中1

2. 導讀
上一節的討論都是有關巨觀的物理現象，如溫度、
壓力等等，但是不知道這些物理量的來源。本章
就要以微觀的角度來討論這些量，運用氣體分子
的運動來了解巨觀的物理現象，就像一粒沙中見
世界一般。
國立台東高中2

3. 分子的運動
無規則的，
因此在任一
段時間內向
各方向運動
的機率均相
同
國立台東高中3

4. 微觀的推理與假設
必須符合已知的巨觀性質
 氣體的通性(巨觀行為)
 易於擴散、充滿任意
形狀的容器
 高速流動
 氣體模型的假設（極
大數目的分子組成）
 分子的運動無規則的
，因此在任一段時間
內向各方向運動的機
率(速率分布)均相同。
ˆ ˆ ˆ
v v i v j v k
1
3
  
x y z
2 2 2 2
v v v v
   
x y z

5. 微觀的推理與假設
必須符合已知的巨觀性質
 巨觀量：可看見並可直
接測量的物理量，如車
子的質量
 微觀量：不可看見且無
法直接測量的物理量，
如單一分子的質量
 巨觀：不涉及分子、原
子處理的研究立場
 微觀：涉及分子、原子
處理的研究立場
國立台東高中5

6. 氣體動力論
Kinetic Theory of Gases
 以機率、統計說明
多數氣體分子的行為表
現
 分子的運動造成氣體的
壓力、體積、溫度
國立台東高中6

7. 粒子撞擊與壓力的關係
 設粒子質量為m，速度
為v，被撞物體面積A，
Δt 內有N 個粒子撞擊物
體表面，亦即每秒有N/
Δt個粒子撞擊物體表面
 黏住

8. 粒子撞擊與壓力的關係
 設粒子質量為m，速度
為v，被撞物體面積A，
Δt 內有N 個粒子撞擊物
體表面，亦即每秒有N/
Δt個粒子撞擊物體表面
 正向彈性碰撞

9. 粒子撞擊與壓力的關係
 設粒子質量為m，速度
為v，被撞物體面積A，
Δt 內有N 個粒子撞擊物
體表面，亦即每秒有N/
Δt個粒子撞擊物體表面
 入射角之彈性碰撞

10. 氣體動力論的推論
 一邊為L的正方體
密閉容器（體積
為V），有N個質
量為m的氣體分
子，分子的運動
無規則，各自速
度分別為
1 2 n v v v
y
L
x
z
x A
i v
國立台東高中10

11. 氣體動力論的推論
 任一段時間內向各方向
運動的機率均相同
ˆ ˆ ˆ
i ix iy iz v  v  i v  j v k
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
v  v  v 
v
v  v  v 
v
v  v  v 
v
x y z
x y z
x y z
2 2 2 2
v  v  v 
v
n nx ny nz
國立台東高中11

12. iy v
izv
ixv 
iy v
ix v iz v
y
p mv mv
   
mv
國立台東高中12
x
z
氣體動力論的推論
 考慮某一個氣體分子
撞擊Ax面時，在X方
向上，每次撞擊所產
生的衝量大小：
( )
2
ix ix
ix


13. 氣體動力論的推論
 氣體分子來回一次的
時間為：
2
L
 
v
ix
t
 則單位時間(1秒)內碰
撞Ax面的次數為：
y
L
x
z
x A
i v
ix v
L
2
次
秒
國立台東高中13

14. 氣體動力論的推論
 根據牛頓第二定律：
所以Ax受到的衝力為：
y
L
x
z
x A
i v
p F i
L
  
2
2
v
ix
2
mv
1
ix
i

t
mv
L
ix


國立台東高中14

15. 氣體動力論的推論
 所以全部分子在Ax面
造成的衝力為
y
mv m
  ix

F   F  
v
i ix
L L
Nm v v v
L N
Nm
( )
L
x
2
z
x A
i v
2
2 2 2
1 2
 
2
  
x x Nx
x
v
L

國立台東高中15

16. 氣體動力論的推論
 全部分子在Ax面產
生的氣體壓力為
2
Nm
2
x
v
F P L
 
Ax L
Nmv Nmv
L V
2 2
 
3
x x
y
L
x
z
x A
i v
國立台東高中16

17. 氣體動力論的推論
 任一段時間內氣體分
子向各方向運動的機
率均相同
2 2 2 2 1
3 vx  vy  vz  v
 在Ax面產生的氣體壓
力為
y
L
x
z
x A
i v
1
Nmv
2 3
P
V

2
x Nmv
P
V

國立台東高中17

18. 例題15
 (1)自一氣體噴嘴中以
出口速率v噴出分子
質量為m的氣體，其
單位體積內所含分子
數為n，此氣體並以θ
的入射角撞擊牆壁，
則此牆壁所受氣體的
壓力為何? 答：
2nmv2cos2θ

vt
國立台東高中18

19. 例題15
 (2)一密閉容器中平均
壓力為P，但某處氣
體分子撞擊後只有
1/2 會產生彈性碰撞，
另1/2 撞後黏於壁上，
則此處壓力為何?
國立台東高中19

20. 範例15
(1)푃 =
퐹
퐴
=
2푁푚푣 cos 휃
Δ푡
퐴
cos 휃
=
2푁푚푣 cos 휃
퐿/푣
퐴
cos 휃
⇒ 푃 =
2푁푚푣2 cos2 휃
퐴퐿
=
2푁푚푣2 cos2 휃
푉
⇒ 푃 = 2푛푚푣2 cos2 휃
(2)푃 =
2푁푚푣
Δ푡
퐴
=
2푁푚푣
AΔ푡
⇒ 푃′ =
푁
2
2∙
푁
2
∙푚푣+
∙푚푣
AΔ푡
=
3푁푚푣
2AΔ푡
=
3
4
2푁푚푣
AΔ푡
=
截面積퐴
3
4
푃

21. §1-6-2 分子平均動能與溫度
國立台東高中21

22. 分子平均動能(理想氣體)
 對氣體分子而言，氣體分子不斷在運動，氣
體分子具有動能
 理想氣體方程式：
N
R
RT N T NkT
  
N
0 0
PV=nRT=
N
 氣體動力論：
2 1
3
PV  Nmv
國立台東高中22

23. 分子平均動能(理想氣體)
 一個分子的平均移動動能
2 1 3
2 2  Ekc  mv  kT
 波茲曼常數(Boltzmann’s Constant)
    23

R
k J mole K
0
1.38 10 /
N
 每一莫耳分子的平均移動動能
3 3
N E  N  kT  RT
o kc 0
2 2 國立台東高中23

24. 溫度與平均動能的關係
 平均動能僅與溫度有關，與氣體種類、壓力、
體積、質量、速率無關
 理想氣體分子無位能，故系統內能即為總動能。
國立台東高中24

25. 方均根速率
Root-mean-square speed
 定義：氣體分子速率平方和的平均值，再取其
根號。屬於統計力學上常用的物理量
2 v v rms 
 方均根速率並不等於平均速率，但與平均速率
接近，分子的平均速率不容易計算
國立台東高中25

26. 分均根速率
Root-mean-square speed
 利用之前的公式可導出
下面的關係式
 當質量一定(同種氣
體)
分子量vrms  T
 當溫度固定時候(化學：
擴散速率)
kT RT P
3 3 3
  
( ) rms
國立台東高中26
v
m M 
1 1
v
 
rms m M
( 分子量
)

27. 氣體混合
P1、V1、T1 P2、V2、T2 PN、VN、TN
P、V、T
絕熱
無化學反應
能量守恆
物質不滅
國立台東高中27

28. 氣體混合
 混合前後的能量關係
 混合前後的溫度關係
 混合前後的壓力關係
N E  N E  
N E
1 1 2 2
k k
 E

N N
( 
)
1 k
NT
i i
i
T
N
  

P 
V
i i
V
i
P
  

國立台東高中28

29. 例16
 壓力為105 N/m2，體積為10公升，0.4莫耳的
氦氣，則： (1)容器內全部氣體分子的動能(2)
一個氣體分子平均動能(3)一個氣體分子的平
均動量值(4)容器內氣體分子全部動量和(5)
氣體分子方均根速率各為何?
國立台東高中29

30. 範例16
(1)퐸푡 =
3
2
푃푉 =
3
2
× 105 × 10 × 10−3 = 1500(퐽)
(2)퐸푘 =
3
2
푘푇 =
3
2
푃푉
푁
=
1500
0.4×6×1023 = 6.25 ×
10−21(퐽)
(3)푝 = 2푚퐸퐾 = 2 ×
0.004
6×1023 × 6.25 × 10−21
⇒ 푝 ≒ 9.1 × 10−24(푘푔 ∙ 푚
푠)
(4)Σ푝 = 0
(5)푣푟푚푠 =
3푅푇
푀
=
3푃푉
푛푀
=
3
2
푃푉∙2
푛푀
=
1500×2
0.4×0.004
⇒ 푣푟푚푠 ≒ 1369(푚
푠)

31. 例17.
 1)在273K，1.0×10-2大氣壓，某氣體密度
1.24×10-5 g/cm3，則此氣體分子方均根速率為
何? 分子量為何?
 (2)氫氣在低壓下由127℃降至16℃，其方均根
速率約降多少％?
國立台東高中31

32. 範例17
(1)푣푟푚푠 =
3푃
휌
=
3×1.0×10−2×1×105
1.24×10−5×1000
≒ 492(푚
푠)
푣푟푚푠 =
3푅푇
푀
⇒ 푀 =
3푅푇
푣푟푚푠
2 ≒ 0.028(푘푔
푚표푙)
(2)푣푟푚푠 =
3푘푇
푚
∝ 푇
⇒
Δ푣푟푚푠
푣푟푚푠
=
푇− 푇′
푇
=
400− 289
400
=
20−17
20
= 15%

33. 例18.
 兩絕熱容器內充以相
同的理想氣體，兩者
的壓力、體積和絕對
溫度分別是(P，V，
T1)及(P，2V，T2)，
如圖所示。在兩者連
通混合達成平衡後，
氣體的絕對溫度為何?
國立台東高中33

34. 範例18
푃푉 = 푁1푘푇1
2푃푉 = 푁2푘푇2
⇒
푁1 =
푃푉
푘푇1
푁2 =
2푃푉
푘푇2
3
2
푃1푉1 +
3
2
푃2푉2 =
3
2
푃′푉′ =
3
2
푁1 + 푁2 푘푇′
⇒ 푃푉 + 2푃푉 =
푃푉
푘푇1
+
2푃푉
푘푇2
푘푇′ =
2푇1+푇2
푇1푇2
푃푉푇′
⇒ 푇′ =
3푇1푇2
2푇1+푇2

35. 例19.
 兩個絕熱容器內裝有相同理想氣體，壓力均為
P，其中容器體積V，溫度150K；另一容器體
積2V，溫度450K。若使兩容器相通達熱平衡
時壓力為何? 氣體溫度為何?
國立台東高中35

36. 푆표푙푢푡푖표푛：
(1)
3
2
푃1푉1 +
3
2
푃2푉2 =
3
2
푃′푉′
⇒ 푃푉 + 2푃푉 = 3푃′푉 ⇒ 푃′ = 푃
푃1푉1
푘푇1
(2)
+
푃2푉2
푘푇2
=
푃′푉′
푘푇′ ⇒
푃푉
150
+
2푃푉
450
=
3푃푉
푇′
⇒ 푇′ = 270퐾
國立台東高中36

37. 例20.
 某密閉容器中裝有氦氣，當其絕對溫度增為原
來的4倍時，則以下兩種情況下，(1)容積不變
時(2)容積變為原來8 倍時氦氣分子每秒撞
擊單位面積的次數變為原來若干倍？
國立台東高中37

38. 範例20
碰撞頻率푓 =
푁
퐴Δ푡
∝
1
AΔ푡
∝
1
2퐴퐿
푣푟푚푠
∝
푣푟푚푠
푉
⇒ 푓 ∝
3푘푇
푚
푉
∝
푇
푉
푓′
푓
(1)
=
4푇
푉
푇
푉
= 2倍
푓′
푓
(2)
=
4푇
8푉
푇
푉
=
1
4
倍