Programa Linier - Metode Primal Dual - Komputasi Primal Dual - Metode Simpleks Dual

1. PROGRAM LINIER-DUAL
PRIMAL &
MMEETTOODDEE SSIIMMPPLLEEKKSS
DUAL
Auditya Purwandini Sutarto, PhD

2. DDUUAALL PPRRIIMMAALL

3. DUAL PRIMAL
• Salah satu penemuan penting dalam awal pengembangan LP
adalah adanya konsep dualitas.
• Setiap masalah programa linier dapat dikaitkan dengan
masalah programa linier lain yang disebut DUAL.
•• SSuuaattuu ppeerrmmaassaallaahhaann mmaakkssiimmaassii ddaappaatt ddiikkaaiittkkaann ddeennggaann ssuuaattuu
masalah minimasi dan sebaliknya
• Masalah yang diberikan disebut dengan masalah primal, dan
masalah yang berkaitan disebut masalah dual.
• Hubungan antara masalah original (primal) dengan dual
terbukti sangat bermanfaat dalam aplikasi LP.
• Untuk memahami masalah dual primal tinjau kasus berikut

4. Masalah Nutrisi
Setiap buah
mengandung nutrien
berbeda
Setiap buah harganya
bbeerrbbeeddaa
An apple a day keeps
the doctor away – tapi
harga apel mahal!
Tujuan customer adalah
memenuhi kebutuhan
nutrisi dengan harga
termurah

5. • Ambil kasus sederhana antara apel dan pisang
Kalori Vitamin Harga
($)
2 3 5
4 3 7
Min C = 5x1 + 7x2
s.t
2x1 + 4x2  100
3x1 + 3x2  90
x1, x2  0
• Konsumen harus mengkonsumsi minimal 100 unit
kalori & 90 unit vitamin untuk mendapatkan nutrisi
yang baik
• Tujuan konsumen adalah berapa banyak buah yang
harus dibeli dengan harga termurah namun
kebutuhan nutrisi terpenuhi

6. Jika dibawa ke dalam bentuk Matriks
Minimasi C = 5x1 + 7x2
s.t
2x1 + 4x2  100
3x1 + 3x2  90
x1, x2  0
Cj
Mi,j X  j
Xj Ni

7. Primal
Tujuan konsumen membeli sejumlah buah yang
mampu memenuhi kebutuhan nutrisi namun
biayanya minimal
Cj
Harga buah M N Kebutuhan
Xj Ni Mi,j X  j
Koefisien dalam tiap
kolom yang menyatakan
banyaknya nutrisi dalam
jenis makanan tertentu
harian
Banyaknya tiap jenis
buah

8. Dualitas
• Permasalahan Primal di atas dapat
dipandang sebagai masalah dual.
•• MMiissaallkkaann ttiinnjjaauu ddaarrii ssuudduutt ppaannddaanngg sseeoorraanngg
salesman yang bermaksud menjual
suplemen untuk setiap jenis buah

9. Dualitas
Ni Yi M Cj j,i  Nutrisi harian Yi Harga tiap jenis buah
???
Koefisien dalam
tiap baris
menyatakan
banyaknya nutrien
dalam jenis buah
tertentu
Apakah Yis dalam
masalah dual?
Harga setiap
nutrien!

10. • Masalah Primal : Tujuan konsumen adalah
membeli sejumlah buah tertentu dengan harga
minimum tetapi kebutuhan nutrisi terpenuhi
• Masalah Dual : Tujuan salesman adalah
menentukan harga setiap nutrien sehingga
keuntungannya maksimum namun harganya harus
lleebbiihh mmuurraahh ddaarriippaaddaa hhaarrggaa bbuuaahh

11. Primal
(Konsumen
Minimasi C = 5x1 + 7x2
s.t
2x1 + 4x2  100
3x1 + 3x2  90
x1, x2  0
Dual
(Salesman)
Maksimasi P = 100y1 + 90y2
s.t
2y1 + 3y2 ≤ 5
4y1 + 3y2 ≤ 7
y1, y2  0

12. Masalah Primal
Maksimasi
s.t.
Masalah Dual
Minimasi
s.t. 
Z 
c x
j j n
j
1
, 
W 
b y
i i m
i
1
,
n
ij j i a x b
,  
 
m
ij i j a y c
,

j
1

i
1
untuk i 1,2,,m. untuk j 1,2,, n.
untuk i 1,2,,m.  0, untuk j 1,2,, n. j x  0, i y
Masalah Dual menggunakan parameter yang tepat sama dengan parameter dalam
masalah primal, namun lokasinya berbeda

13. Dalam Notasi Matriks
Masalah Primal
Maksimasi
subject to
Masalah Dual
Z  cx, W  yb,
Minimasi
subject to
Ax  b yA  c
x0. y  0.
c   m y y , y , , y  1 2  b
x
Dimana dan merupakan vektor baris tapi
dan merupakan vektor kolom.

14. CONTOH
Maks
s.t.
Masalah Primal Masalah Dual
Z  3 x  5 x , Min
W  4 y1  12 y2  18 y3
, 1 2 x
s.t.
1  4 y
 3y  3
2 x 
12 2 3 x  2 x 
18 1 2 0, 0 1 2 x  x 
3 3 1 y 2 2 5 2 3 y  y 
0, 0, 0 1 2 3 y  y  y 

15. Maks
s.t.
Masalah Primal
Dalam bentuk Matriks
Masalah Dual
Dalam bentuk Matriks
Min
s.t.

x
3,5 ,
1 2




x
Z

1
0

4


x



 

1
0


  

  
4
12


18
, , 1 2 3 W y y y
  

  
12
,

  
   
  

18
2
3
2
0
1
x
2
0

 

x
1 
.
0
2




  
  
  3,5
0
, , 1 2 3 
2
3
2


y y y
x    . , , 0,0,0 1 2 3 y y y 

16. Primal-dual untuk Program linear
Masalah Primal
Koefisien dari: Sisi
Kanan
Masalah
Dual
Koefisien
dari
y
y
1
2
x1 x2  xn
11
a
21
a
12
a
22
a
1
n
a
n
a
2


1  b
2
 b
untuk
Fungsi
Obyektif
Minimasi)
m y
Sisi
Kanan


mn a m2 a m1 a


VI VI VI
c1 c2 n  c
Koefisien untuk Fungsi Obyektif
(Maksimasi)

m  b
Koefisien (Minimasi

17. Hubungan antara Masalah Primal dan Dual
Satu Masalah Masalah Lain
i i
Konstrain Variabel
Fungsi Obyektif Sisi Kanan
MMiinniimmaassii MMaakkssiimmaassii
Variabel
Konstrain
Variabel
Unrestricted
Konstrain
 0

 0
 0
 0





Unrestricted

18. • Solusi layak untuk masalah dual adalah
kondisi yang menjadi solusi optimum pada
masalah primal
• Nilai maksimum Z pada masalah primal
merupakan masalah minimum W pada
masalah dual
• Setiap pasang masalah primal dan dual
dapat dikonversikan satu sama lain
• Dual dari suatu masalah dual selalu
meurpakan masalah primal

19. Dual Problem
Min W = yb,
s.t. yA c
 
y 0.
Converted to
Standard Form
Max (-W) = -yb,
s.t. -yA 
-c
y 0.

Its Dual Problem
Min (-Z) = -cx,
s.t. -Ax -b

 
x 0.
Converted to
Standard Form
Max Z = cx,
s.t. Ax b
x 0.


20. CONTOH SOAL HUBUNGAN
DDUUAALL PPRRIIMMAALL

21. Minimasi
s.t.
1 2 0.4x  0.5x
0.3 x  0.1 x

2.7
1 2
0.5 x  0.5 x

6
1 2
0.6 x  0.4 x

6
1 2
0, 0 1 2 x  x 
Minimasi
s.t.
1 2 0.4x  0.5x
0.3 x 0.1 x
2.7 [y ]
   
1 2 1
0.5 x  0.5 x

6 [y 
]
1 2 2
-
0.5 x 0.5 x
6 [y ]
   
1 2 2
0.6 x  0.4 x

6 [y ]
1 2 3
0, 0 1 2 x  x 

22. Max
s.t.
2.7 6(  
) 6
y y y y
   
1 2 2 3
0.3 y 0.5( y  y 
) 0.6 y
0.4
    
1 2 2 3
0.1 y 0.5( y  y 
) 0.4 y
0.5
    
1 2 2 3
0,  0, 
0, 0.
y y y y
   
1 2 2 3
Max
s.t.
2.7 6 6
y y y
  
1 2 3
0.3 y 0.5 y 0.6 y
0.4
   
1 2 3
0.1 y 0.5 y 0.4 y
0.5
   
1 2 3
0, : unrestricted, 0.
y y y
 
1 2 3

23. Bawalah persamaan primal berikut ke
dalam bentuk dual dan pecahkan
menggunakan tabel simpleks
Maksimasi
Z  5x 12x  4x
1 2 3 s/t
x  2 2x x  x

10
1 2 3
2 x  x  3 x

8
1 2 3
, , 0
1 2 3

x x x

24. Bentuk baku
Maksimasi
S.t.
Z  5x 12x  4x  0S  MA 1 2 3
2 10
x x x S
   
x x x A
1 2 3
   
2 3 8
1 2 3
[y1]
[ y2]
0
0
0



0
0
x
1
2
3


x
x
S
A

25. 1 2 W  10y  8y
2 5
y y
 
1 2
2 y  y

12
1 2
2 y  3 y

4
1 2
0, unrestricted
y 
y
1 2
Minimasi
s/t
Bentuk baku
Minimasi
s/t
1 2 1 2 3 1 2 3 W  10y  8y  0u  0u  0u  MA  MA  MA
      
2 2 5
y y y u A
1 2 2 1 1
     
2 y y y u A
12
1 2 2 2 2
    
2 y 3 y 3 y u A
4
1 2 2 3 3
  
, , 0
1 2 2

y y y
[x1]
[ x2]
[ x3]

26. Tabel Simpleks awal dan akhir (optimum) untuk Bentuk
Primal
BBaassiiss x1 x2 x3 s A Sisi KKaannaann
Z -55 – 2M 1122 ++ MM -4 – 33MM 0 0 -88MM
s 1 2 1 1 0 10
AA 22 --11 33 00 11 88
BBaassiiss x1 x2 x3 s A Sisi KKaannaann
Z 0 0 33//55 2299//55 -22//55 ++ MM 5544 44//55
x2 0 1 -11//55 2/5 -1/5 1122//55
x1 1 0 77//55 1/5 22//55 2266//55

27. Tabel Simpleks Awal dan Akhir (Optimum) Bentuk Dual)
Basis y1 y2’ y2” u1 u2 u3 A1 A2 A3 Sisi
Kanan
W 10+4M -8+4M 8 – 4M -M -M -M 0 0 0 21M
A1 1 2 -2 -1 0 0 1 0 0 5
A2 2 -1 1 0 -1 0 0 1 0 12
AA33 11 33 --33 00 00 --11 00 00 11 44
Basis y1 y2’ y2” u1 u2 u3 A1 A2 A3 Sisi
Kanan
W 0 0 0 -26/5 -12/5 0 26/5-M 12/5-M -M 5544 44//55
u3 0 0 0 -7/5 1/5 1 7/5 -1/5 -1 3/5
y2” 0 -1 1 2/5 -1/5 0 -2/5 1/5 0 2/5
y1 1 0 0 -1/5 -2/5 0 1/5 2/5 0 29/5

28. Tinjau kembali tabel simpleks akhir untuk Bentuk
Primal
BBaassiiss x1 x2 x3 s A Sisi KKaannaann
Z 0 0 3/5 2299//55 -22//55 ++ MM 5544 44//55
x2 0 1 -11//55 2/5 -11//55 1122//55
x1 1 0 7/5 1/5 2/5 2266//55
Variabel Awal (Basis pada tabel simpleks
s A
awal) Bentuk Primal Koefisien persamaan Z tabel optimum 29/5 -2/5 + M
Selisih koefisien sisi kiri dan sisi kanan
variabel dual yang berhubungan dengan
y1 - 0 y2 + M
variabel basis awal bentuk primal
• Oleh karena y1 - 0 = 29/5 dan y2 + M = -2/5 + M maka y1 =
29/5 dan y2 = -2/5 . Hal ini sama dengan hasil yang
diperoleh pada tabel simpleks akhir bentuk dual

29. Koefisien Fungsi Tujuan
Fungsi Tujuan Primal Z  5x 12x  4x  0s  MA 1 2 3
2 5 1 2 Konstrain Dual y  y  [x1]
  [ x2]
2 y y
12
1 2
2  3 
4
0,
y

y M
unrestricted
1
2
2
1 2
y
y y
 
[ x3]
[ s]
[ A]

30. Tinjau kembali tabel simpleks akhir untuk Bentuk
Dual
Basis y1 y2’ y2” y3 y4 y5 A1 A2 A3 Sisi
Kanan
W 0 0 0 -26/5 -12/5 0 26/5-M 12/5-M -M 5544 44//55
y5 0 0 0 -7/5 1/5 1 7/5 -1/5 -1 3/5
y2” 0 -1 1 2/5 -1/5 0 -2/5 1/5 0 2/5
y1 1 0 0 -1/5 -2/5 0 1/5 2/5 0 29/5
Variabel Awal (Basis) pada tabel
simpleks awal Bentuk Dual
A1 A2 A3
Koefisien persamaan W tabel optimum 26/5 - M 12/5 - M - M
Variabel dual yang berhubungan dengan
variabel basis awal bentuk primal x1 x2 x3
• Dengan mengabaikan M maka diperoleh x1 = 26/5 dan x2
=12/5, dan x3 = 0.

31. KKOOMMPPUUTTAASSII PPRRIIMMAALL DDUUAALL

32. Iterasi 0 (awal) Bentuk Primal
BBaassiiss x1 x2 x3 s A Sisi KKaannaann
Z -55 – 22MM 1122 ++ MM -4 – 33MM 0 0 -88MM
s 1 2 1 1 0 10
A 2 -1 3 0 1 8
Iterasi 1
BBaassiiss x1 x2 x3 s A Sisi KKaannaann
Z -7/3 -4400//33 0 0 44//33 ++MM 3322//33
s 1/3 77//33 0 1 -11//33 2222//33
x3 2/3 -1/3 1 0 11//33 8/3

33. Iterasi 2
BBaassiiss x1 x2 x3 s A Sisi KKaannaann
Z -3/7 0 0 4400//77 -44//77 ++ MM 336688//77
x2 11//77 1 0 3/7 -11//77 2222//77
x3 55//77 0 1 1/7 2/7 2266//77
Iterasi 3 (Optimum)
BBaassiiss x1 x2 x3 s A Sisi KKaannaann
Z 0 0 3/5 2299//55 -22//55 ++ MM 5544 44//55
x2 0 1 -11//55 2/5 -11//55 1122//55
x1 1 0 7/5 1/5 2/5 2266//55

34. Representasi Skematis Tabel
Simpleks
Variabel basis awal
Obyektif
Matriks
Invers
Kolom konstrain
Konstrain

35. Perhitungan Kolom Konstrain
• Untuk setiap iterasi simpleks (primal atau dual),
elemen di kolom sisi kiri atau kanan dari konstrain
tabel dapat dihitung sebagai:

  


  
  




 

  


   
Kolom
dalam model
original
Invers dalam
iterasi
Kolom
dalam
iterasi
i
xi
i

36. • Ambil contoh bentuk primal. Variabel basis awal
adalah s dan A. Untuk mencari koefisien x1 pada iterasi
1, lihat matriks invers pada tabel simpleks iterasi 1
BBaassiiss x1 x2 x3 s A Sisi KKaannaann
Z -7/3 -4400//33 0 0 44//33 ++MM 3322//33
ss 1111////3333 7777////3333 00 11 --11//33 22222222////3333
x3 22//33 -1/3 1 0 1/3 8/3
Kolom
dalam model

 

  

  
 


 
Invers dalam

 
1 1 3
 

 

  

  




 

  


  

1 3
2 3
1
2
0 1 3
original
iterasi 1
Kolom x1
dalam
iterasi 1

37. • Selanjutnya tinjau iterasi 2 dan kolom kanan yang
bersesuaian
BBaassiiss x1 x2 x3 s A Sisi KKaannaann
Z -3/7 0 0 4400//77 -44//77 ++ MM 336688//77
x2 1/7 1 0 33//77 -11//77 2222//77
x3 5/7 0 1 11//77 22//77 2266//77
Kolom
dalam model

 

  

  
 

Invers dalam

 

 



3 7 1 7
 

 

  

  


 
  


  

22 7
26 7
10
8
1 7 2 7
original
iterasi
Kolom kanan
dalam
iterasi
i
i

38. Perhitungan Baris Obyektif

  

• Untuk setiap iterasi simpleks primal, elemen variabel xj
dalam persamaan fungsi obyektif dapat dihitung:


  


  



  


  


  

Ruas kanan
dari konstrain
dual yang bersesuaian
Ruas kiri
dari konstrain
dual yang bersesuaian
Elemen j x
dalam
fungsi obyektif
• Dengan menerapkan rumus ini pada pasangan masalah
primal dual diatas, diperoleh persamaan berikut
• Koefisien z dari x1 = y1 + 2y2 – 5
• Koefisien z dari x2 = 2y1 - y2 - 2
• Koefisien z dari x3 = y1 + 3y2 - 4
• Koefisien z dari s = y1 - 0
• Koefisien z dari A = y2 – (-M) = y2 + M
Konstrain Dual

39. • Untuk menghitung koefisien diatas secara numerik, kita
memerlukan nilai numerik untuk variabel dual y1 dan y2 .
Karena koefisien fungsi obyektif berubah-ubah pada tiap
iterasi, kita mengharapkan nilai y1 dan y2 juga berubah
pada tiap iterasi

 


 

  



   

  


  

invers dalam
i
Koefisien obyektif original
variabel basis primal
Nilai variabel dual
i i
iterasi
dalam iterasi
dalam
iterasi
  


• Koefisien Obyektif Original (Awal) untuk variabel basis
bentuk primal diatur dalam bentuk vektor baris dimana
elemen-elemennya diambil dalam urutan yang sama
dengan variabel basis di kolom basis pada tabel simpleks.
Sebagai contoh, tinjau kembali tabel simpleks primal,
maka vektor baris yang berhubungan dengan formula
diatas (perhatikan urutan dalam setiap kasus)

40. Iterasi 1
BBaassiiss x1 x2 x3 s A Sisi KKaannaann
Z -7/3 -4400//33 0 0 44//33 ++MM 3322//33
s 11//33 77//33 0 1 -1/3 2222//33
x3 22//33 -1/3 1 0 1/3 8/3
Z  5x 12x  4x  0S  MA 1 2 3 Fungsi Tujuan
• Iterasi 0 : (koefisien s, R) = (0, -M)
• Iterasi 1 (koefisien s, x3) = (0, 4)
• Iterasi 2 (koefisien x2, x3)= (12, 4)
• Iterasi 3 (koefisien x2, x1 )= (12, 5)

41. • Sebagai contoh untuk mencari nilai variabel dual pada
iterasi ke-i, tinjau koefisien persamaan fungsi obyekfit z
pada iterasi ke-3 (optimum) dari tabel simpleks primal

 

  
 



 

  


  

invers dalam
iterasi 3
Koefisien obyektif original
, , dalam iterasi 3
Nilai variabel dual
dalam
iterasi 3
x2 x1
2/5 -1/5
12,5 dual Nilai y y      
  

     29 / 5, 2 / 5   ,

 
1 2 1/ 5 2 / 5

 
Dalam iterasi ke-3
• Koefisien x1 dalam z = y1 + 2y2 - 5 = 29/5+2(-2.5) – 5 = 0
• Koefisien x2 dalam z = 2y1 - y2 – 12 = 2(29/5) – (- 2/5) – 12 = 0
• Koefisien x3 dalam z = y1 + 3y2 – 4 = 29/5+3(-2/5) – 4 = 3/5
• Koefisien s dalam z = y1 – 0 = 29/5 – 0 = 29/5
• Koefisien A dalam z = y2 - (-M) = -2/5 + M

42. MMEETTOODDEE SSIIMMPPLLEEKKSS DDUUAALL

43. Simpleks Dual
• Dalam metode simpleks dual, pemecahan
dimulai tidak layak (feasible) dan optimal
((bbaannddiinnggkkaann ddeennggaann ppeemmeeccaahhaann aawwaall
metode primal, yaitu layak tetapi tidak
optimal)
• Tinjau pemecahan secara grafis terlebih
dahulu dari kasus di atas

44. Tinjau masalah LP berikut
• Minimasi
Z  3x  2x
1 2 • S/t 3 x  2 x 
3 1 2
4 x  3 x

6
1 2
3 3
x x
 
1 2
x , x
0
1 2


45. Bentuk baku
• Kalikan persamaan konstrain pertama dan
kedua dengan -1 untuk mengubah variabel
surplus menjadi variabel slack
• Minimasi 1 2
Z  3x  2x
• S/t
3 x 2 x s
3
    
1 2 1
4 x 3 x s
6
   
1 2 2
3 3
x x s
  
1 2 3
, , , , 0
1 2 1 2 3

x x s s s

46. • Pemecahan dasar awal menghasilkan s1 = -1,
s2 =- 6, dan s3=3. Pemecahan ini tidak layak
TAPI optimal (bahkan lebih baik dari
optimal!) karena nilai Z = 0
• Gagasan dari metode simpleks dual adalah
bbeerraannggkkaatt ddaarrii iinntteerraassii aawwaall yyaanngg ttiiddaakk llaayyaakk
dan (lebih baik daripada) optimal ke iterasi
berikutnya ke arah ruang layak (feasible
region) tanpa kehilangan sifat optimalitas

47. X2
A  D  C
A  B  C
3 Optimum
x1 = 3/5, x2 = 6/5,
X1
2
1
0
C
0 1 2
Z = 21/5
3
A D
B

48. Tabel awal simpleks
Basis x1 x2 s1 s2 s3 RRuuaass
KKaannaann
Z -3 -2 0 0 0 0
s1 -3 -1 1 0 0 -3
s2 -4 -3 0 1 0 -6
s3 1 1 0 0 1 3
• Baris tujuan telah memenuhi kondisi optimalitas namun tidak
layak (s1 dan s2 negatif)

49. Pemilihan Variabel Masuk dan
Variabel Keluar
Variabel Keluar
• Untuk menyingkirkan ketidaklayakan ini, variabel basis
yang negatif kita keluarkan, yaitu s1 atau s2 . Pilih variabel
yang paling negatif agar pemecahan yang layak tercapai
lebih cepat s2 = -6
Variabel Masuk
• Pemilihan variabel masuk dipilih dengan mengambil rasio
koefisien sisi kiri dari persamaan z dengan koefisien yang
bersesuaian dalam persamaan variabel keluar. Rasio
dengan penyebut positif atau nol disingkirkan agar kondisi
optimalitas terjaga. Variabel masuk dipilih dari yang
memiliki rasio terkecil

50. VVaarriiaabbeell x1 x2 s1 s2 s3
persamaan z -3 -2 0 0 0
persamaan s2 -4 -3 0 1 0
Rasio 3/4 2/3
Basis x1 x2 s1 s2 s3 RRuuaass
KKaannaann
Z -1/3 0 0 -22//33 0 4
s1 -5/3 1 1 -11//33 0 -1
x2 44//33 0 0 -11//33 0 2
s3 -1/3 0 0 11//33 1 1
RRaassiioo 11//55 - - 2 -

51. Tabel simpleks final
Basis x1 x2 s1 s2 s3 RRuuaass
KKaannaann
Z 0 0 -1/5 -33//55 0 2211//55
x1 1 0 -3/5 1/5 0 33//55
x 0 1 44//55 -33//55 0 66//55
x2 s3 0 0 -1/5 2/5 1 66//55
• Tabel simpleks final menghasilkan pemecahan
yang layak dan optimal yaitu x1 = 3/5, x2 =6/5, dan
Z = 21/5

52. • Kondisi Kelayakan
Leaving variable adalah variabel basis yang memiliki nilai
paling negatif (jika sama, tentukan secara sembarang). Jika
semua variabel basis adalah non negatif, proses berakhir
• Kondisi Optimalitas
Entering variable adalah variabel non basis yang berkaitan
dengan rasio terkecil jika meminimumkan atau nilai
absolut tteerrkkeecciill ddaarrii rraassiioo jjiikkaa mmeemmaakkssiimmuummkkaann ((jjiikkaa
sama, tentukan secara sembarang). Rasio ditentukan
dengan membagi sisi kiri dari persamaan z dengan
koefisien negatif yang bersesuaian dalam persamaan
dengan koefisien negatif yang bersangkutan dengan
variabel keluar. Jika semua penyebut adalah nol atau
positif, tidak terdapat pemecahan yang layak

53. QUIZ
PENELITIAN OPERASIONAL 1
1. Bawalah permasalahan primal berikut ke dalam
bentuk dual
2. Pecahkan masalah primal menggunakan Metode
ssiimmpplleekkss
2 x  3 x  5 x

2
1 2 3
3 x  x  6 x

1
4
1 2 3
x x x
  
1 2 3
Maksimasi
s.t.
1 2 3 Z  x  4x  3x
0, 0, unrestricted 1 2 3 x  x  x