Dokumen tersebut membahas dasar-dasar matematika yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah optimasi secara analitis, meliputi gradien, matriks Hessian, syarat perlu dan cukup keoptimalan, serta fungsi konveks dan konkaf.

1. 2
DASAR - DASAR MATEMATIKA OPTIMASI
Pada bagian ini akan dibahas dasar – dasar matematika untuk persoalan optimasi.
Materi yang dibahas meliputi gradien, matrik hessian, matrik definit positip, matrik definit
negatif, syarat perlu keoptimalan, syarat cukup keoptimalan, fungsi konveks dan fungsi
konkaf. Dasar – dasar matematika ini sangat diperlukan untuk menyelesaikan
permasalahan optimasi dengan pendekatan analitis.
2.1. Gradien
Didefinisikan f (x) adalah fungsi bernilai skalar yang didefinisikan pada ruang vektor x
ù
ú ú ú ú ú ú
û
é
ê ê ê ê ê ê
ë
=
x
x
x
1
2
3
n x
x
.
df
Differensial f (x) skalar dim(1x1) terhadap vektor x dim(nx1) akan menghasilkan d x
vektor dim(nx1).
Jika Ñf (x) :adalah gradien dari fungsi f (x) , maka
df
d x
f
¶
f x
¶
¶
x
( ) 2
.
f
¶
¶
x
f x
n
=
ù
ú ú ú ú ú ú ú ú ú
û
é
ê ê ê ê ê ê ê ê ê
ë
¶
Ñ =
.
1
df .
Untuk mencari titik-titik optimal dari suatu fungsi f (x) , maka =Ñf (x) =0
d x
Contoh 2.1
( ) 3 2 4 6 8 6 1 2 1 2
f x = x 2
+ x 2
+ x x - x - x +
1 2
maka,

2. ù
úû
é
êë
x x
+ -
6 4 6
1 2
+ -
=
ù
ú ú ú ú
û
é
ê ê ê ê
ë
f
¶
¶
f x
¶
¶
Ñ =
4 4 8
( )
1 2
1
2
x x
x
f x
Latihan 2.1
Suatu fungsi f ( x ) = x 2
+ 2 x 2
+ x 2
+ 4 x x - 2 x x + 6 x - 8 x - 3 x +
6 1 2
3
1 2 2 3 1 2 3
Tentukan Ñf (x)
2.2. Matriks Hessian
Sebelum membahas tentang matik hessian, sebaiknya kita mengingat kembali
tentang differensiasi matrik.
1. Differensial vektor kolom dim(nx1) terhadap skalar dim(1x1) = vektor baris dim(1xn).
2. Differensial vektor kolom dim(mx1) terhadap vektor kolom dim(nx1) = matriks
dim(nxm).
Suatu vektor kolom f dan x didefinisikan sebagai berikut ini
ù
ú ú ú ú ú ú
û
é
ê ê ê ê ê ê
ë
=
ù
ú ú ú ú ú ú
û
é
ê ê ê ê ê ê
ë
=
x
1
x
2
x
x
f
f
f
1
2
m n x
f
f
.
,
.
3
3
Maka differensiasi verktor f terhadap vektor x adalah
ù
ú ú ú ú ú ú ú ú
.......
2
1 1
.......
2
2 2
1
1
1
2
....... ........ ....... ........
û
é
ê ê ê ê ê ê ê ê
ë
=
m
m
n
df
df
df
n n
m
df
df
df
dx
dx
df
df
df
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx
d f
d x
.......
1 2
Contoh 2.2
Diketahui :
ù
f x ,
úû
é
=
êë
ù
ú ú ú
û
é
ê ê ê
ë
x + x -
2
x x
x + x +
x
2 3 6
- +
=
x
1
2
1 2
2
2
1 2
1 2
2
2
2
1
,
4 6 4
( )
x
x
x x

3. maka
ù
úû
é
x x
2 2 2 4
1 2
x x x
=
2 2 6 6 6
êë
-
- + -
2 1 2
d f
d x
Didefinisikan H(x) adalah matriks hessian dari f (x) , dimana f (x) adalah fungsi
skalar yang didefinisikan dalam ruang vektor x . Maka H(x) adalah turunan tingkat dua
fungsi f (x) terhadap x .
2
ù
é
¶ ¶
2 2
H ( x )
f
x
f
= ¶
x x
= ¶
ú úû
i j ¶
ê êë
ù
ú ú ú ú ú ú ú ú
û
é
ê ê ê ê ê ê ê ê
ë
¶
f
2
x x
¶
f
2
x x
.......
.......
....... ........ ....... ........
¶
f
x x
¶ ¶
¶
f
2
x x
¶
f
2
x x
¶
f
x x
¶ ¶
¶
f
2
x x
¶
f
2
x x
¶
f
x x
¶ ¶
¶ ¶
¶ ¶
¶ ¶
¶ ¶
¶ ¶
¶ ¶
=
n
n
n n n n
H x
2
2
2
1
2
2
2 2
2 1
1
1 2
1 1
.......
( )
Operator Integral dan differensial mempunyai sifat linier, karena linier maka juga
mempunyai sifat komutatif.
Matriks Hessian merupakan Matriks Simetri (upper diagonal = lower diagonal)
2
f
= ñ
¶
¶ H x
x
Untuk mengetahui minimum atau maksimum suatu fungsi f (x) , maka ( ) 0 2
2
f
= á
¶
¶ H x
x
fungsi f (x) adalah minimum dan ( ) 0 2
fungsi f (x) adalah maksimum.
Contoh 2.3
( ) 3 2 4 6 8 6 1 2 1 2
f x = x 2
+ x 2
+ x x - x - x +
1 2
maka,

4. ù
úû
6 4
é
=
êë
ù
ú ú ú ú
û
é
ê ê ê ê
ë
¶
¶
2
2
f
f
¶ ¶
¶
¶
2
2
f
f
¶ ¶
¶ ¶
¶ ¶
=
4 4
( )
2 2
2 1
1 2
1 1
x x
x x
x x
x x
H x
Latihan 2.2
Suatu fungsi f ( x ) = x 2
+ 2 x 2
+ x 2
+ 4 x x - 2 x x + 6 x - 8 x - 3 x +
6 1 2
3
1 2 2 3 1 2 3
Tentukan matrik Hessian H(x)
2.3. Matriks Definit Positip dan Definit Negatif
Pada bagian ini, kita akan membahas tentang matrik definit positip dan matrik definit
negatif. Ada dua pendekatan/cara untuk menentukan apakah suatu matrik persegi
merupakan matrik definit positip atau matrik definit negatif atau tidak definit. Pendekatan
pertama lebih bersifat teoritis, seperti dijelaskan berikut ini.
Didefinisikan A matrik persegii (nxn), maka secara teoritis berlaku :
A disebut Definit Positip xT Ax ñ 0 "xÎRn
A disebut Definit Negatif xT Ax á 0 "xÎRn
A disebut Semi Definit Positip xT Ax ³ 0 "xÎRn
A disebut Semi Definit Negatif xT Ax £ 0 "xÎRn
Karena pembuktian xTAx yang harus berlaku untuk semua x bilangan riel sangat sulit,
maka para ahli matematik telah membuktikan cara/pendekatan yang kedua.
Didefinisikan suatu matrik persegi A
ù
ú ú ú ú
......
11 12 1
......
21 22 2
...... ...... ...... ......
û
é
=
ê ê ê ê ë
n
n
a a a
a a a
a a a
n n nn
A
......
1 2
Maka miinor – minor utama dari matrik A adalah sebagai berikut :
[ ] 1 11 A = a

5. ù
úû
é
=
êë
a a
11 12
2 a a
21 22
A
ù
ú ú ú
A ...........
û
é
=
ê ê ê
ë
a a a
11 12 13
a a a
21 22 23
31 32 33
3
a a a
ù
ú ú ú ú
û
é
=
ê ê ê ê
a a ....
a
11 12 1
a a a
ë
n
n
....
21 22 2
.... .... .... ....
n n nn
n
a a a
A
....
1 2
Sehingga cara/pendekatan kedua untuk menentukan kedefinitan suatu matrik adalah
sebagai berikut :
A disebut Definit Positip det ( ) i A > 0 i =1,2,......,n
A disebut Definit Negatif (-1)i det ( ) i A < 0 i =1,2,......,n
A disebut Semi Definit Positip det ( ) i A ³ 0 i =1,2,......,n
A disebut Semi Definit Negatif (-1)i det ( ) i A £ 0 i =1,2,......,n
A Definit Negatif -A Definit Positip
xT Ax á 0 - xT Ax ñ 0
xT (-A)x ñ 0 -A Definit Positip
Cara ini adalah untuk membuktikan A Definit Negatif dengan menggunakan pembuktian
bahwa (-A) Definit Positip.
Suatu matrik persegi A disebut Matrik tidak definit ( indefinite )
Û ketentuan-ketentuan definit / semi definit positif / negatif tidak dipenuhi
Contoh 2.4
é
6 4
Suatu matrik úû
ù
=
êë
4 4
H
maka dapat dihitung determinan minor - minornya
det ( H ) = 6 = 6 1 > 0
det ( 6 4
H ) = = 24 - 16 = 8
2 > 0
4 4
Jadi, matrik H adalah Definit Positip

6. Latihan 2.3
Suatu fungsi f ( x ) = x 2
+ 2 x 2
+ x 2
+ 4 x x - 2 x x + 6 x - 8 x - 3 x +
6 1 2
3
1 2 2 3 1 2 3
Tentukan apakah matrik Hessian dari fungsi f(x) bersifat definit positip atau negatif?
2.4. Syarat Perlu Keoptimalan
Syarat perlu keoptimalan digunakan untuk mencari calon/kandidat titik-titik optimal
x* pada pendekatan analitis. Syarat perlu keoptimalan mengatakan bahwa :
Bila x* adalah titik optimal dari f (x) maka :
Ñf (x* ) =0
x* yang memenuhi persamaan di atas merupakan calon penyelesaian atau disebut juga
titik optimal.
Contoh 2.5
Suatu fungsi :
f x = x 2
+ x 2
+ x x - x - x +
1 2
( ) 3 2 4 6 8 6 1 2 1 2
úû
Maka gradiennya adalah
( ) é
6 x 4 x
6
ù
êë
+ -
1 2
x x
+ -
Ñ =
4 4 8
1 2
f x
Dengan memenuhi syarat perlu keoptimalan, yaitu
Ñf (x) =0 6 4 6 0. 1 2 x + x - =
4 4 8 0 1 2 x + x - =
2 2 0 1 x + =
1 1 x =- 3 2 x =
1 x* ù
adalah titik optimal dari f (x)
é-
=
Jadi úû
êë
3
Latihan 2.4
Dapatkan titik optimal x* dari fungsi :
3
1 f (x) = 2x + 3x -12x x
1 2
2
2
2.5. Syarat Cukup Keoptimalan

7. Syarat cukup keoptimalan digunakan untuk menentukan apakah titik optimal yang
didapatkan dari syarat perlu keoptimalan merupakan titik minimum atau titik maksimum.
Syarat cukup keoptimalan mengatakan bahwa :
Bila Ñf (x* ) =0 dan H(x* ) definit positip maka x* titik minimum
Bila Ñf (x* ) =0 dan H(x* ) definit negatif maka x* titik maksimum
Contoh 2.6
Suatu fungsi :
f ( x ) = 3 x 2
+ 2 x 2
+ 4 x x - 6 x - 8 x + 6 :
1 2
1 2 1 2
1 x* ù
dan
é-
=
Pada contoh 2.5 telah didapatkan calon penyelesaian atau titik optimal úû
êë
3
pada contoh 2.2 dan contoh 2.4 didapatkan matrik Hessiannya adalah :
ù
H(x* ) adalah definit positip
úû
6 4
é
=
êë
4 4
Jadi,
1 x* ù
adalah titik minimum dengan f (x* ) = 3+8 -12 +6 -24 +6 = -3
úû
é-
=
êë
3
Latihan 2.5
Tentukan titik minimum atau titik maksimum dari fungsi :
3
1 f (x) = 2x + 3x -12x x
1 2
2
2
2.6. Fungsi Konveks dan Fungsi Konkav
Pada bagian ini kita akan membahas tentang fungsi konveks dan fungsi konkaf.
Didefinisikan x1 , x2 Î Rn ; x1 dan x2 adalah vektor dengan dimensi yang sama.
Secara matematis vektor sama dengan titik dengan syarat titik referensinya sama. Titik
adalah isitilah pada geometri sedangkan vektor adalah istilah pada space. Perbedaannya,
titik selalu dinyatakan pada koordinat tetap sedangkan vektor dinyatakan dalam koordinat
tertentu yang bisa berubah-ubah (tidak tetap).
ö
÷ ÷ø
æ
ç çè
1
x
2
x
ö
÷ ÷ø
æ
0
ç çè
0

8. Kombinasi Konveks dari x1 dan x2 adalah titik-titik yang terletak pada garis lurus yang
menghubungkan x1 dengan x2 , yang dipenuhi dengan persamaan:
x(l) =lx1 +(1-l)x2 "lÎ[0,1]
l=1 l=0.5 l=0
x1 x2
x1
f (x) fungsi konveks Û f ( x(l)) £lf (x1 ) +(1-l) f (x2 )
f (x) fungsi konkav Û - f (x) adalah konveks
Û f ( x(l)) ³lf (x1 ) +(1-l) f (x2 )
Suatu Fungsi Linier adalah Fungsi konveks dan Fungsi konkav
Û f ( x(l)) =lf (x1 )+(1-l) f (x2 )
Vektor/titik konveks yang ada
dalam cone x1 dan x2
x2
f(x) konveks
f(x1) lf(x1) f(x(l)) f(x2)
+(1-l)f(x2)
x1 x(l) x2
f(x) konveks
g(x)=-f(x) konkav
f(x) linier
x1 x(l) x2

9. f (x) fungsi konveks
Û matriks Hessiannya adalah Semi Definit Positip
f (x) fungsi konkav
Û matriks Hessiannya adalah Semi Definit Negatif
Fungsi konveks dan konkav ini dapat menggantikan syarat cukup semi definit positif dan
negatif.
Suatu himpunan S disebut konveks Û l x1+(1-l) x2 Î S " x1,x2 Î S dan " l Î [0,1]
Contoh 2.7
Suatu fungsi :
f x = x 2
+ x 2
+ x x - x - x +
1 2
( ) 3 2 4 6 8 6 1 2 1 2
Telah dikatahui bahwa
ù
6 4
é
=
positif definit x H ® úû
( )
Karena H(x) definit positip maka f(x) konveks
êë
4 4
Latihan 2.6
Suatu fungsi :
f x = x 2
+ x 2
+ x x - x - x +
1 2
( ) 2 4 1 1 2 1 2
Tentukan apakah fungsi f(x) konveks atau tidak
x1
x2
S
bukan konveks
x1
x2
S
konveks

10. ________________________________________________________________________
Ringkasan
1. Gradien Ñf (x) merupakan turunan pertama f (x) terhadap x
df
d x
f
¶
f x
¶
¶
x
( ) 2
.
f
¶
¶
x
f x
n
=
ù
ú ú ú ú ú ú ú ú ú
û
é
ê ê ê ê ê ê ê ê ê
ë
¶
Ñ =
.
1
2. Matrik Hessian H(x) merupakan turunan kedua f (x) terhadap x
ù
ú ú ú ú ú ú ú ú
û
é
ê ê ê ê ê ê ê ê
ë
¶
f
2
x x
¶
f
2
x x
.......
.......
....... ........ ....... ........
¶
f
x x
¶ ¶
¶
f
2
x x
¶
f
2
x x
¶
f
x x
¶ ¶
¶
f
2
x x
¶
f
2
x x
¶
f
x x
¶ ¶
¶ ¶
¶ ¶
¶ ¶
¶ ¶
¶ ¶
¶ ¶
=
n
n
n n n n
H x
2
2
2
1
2
2
2 2
2 1
1
1 2
1 1
.......
( )
3. Suatu matrik A disebut definit positip atau definit negatif jika :
A disebut Definit Positip det ( ) i A > 0 i =1,2,......, n
A disebut Definit Negatif (-1)i det ( ) i A < 0 i =1,2,......, n
A disebut Semi Definit Positip det ( ) i A ³ 0 i =1,2,......, n
A disebut Semi Definit Negatif (-1)i det ( ) i A £ 0 i =1,2,......, n
4. Syarat perlu keoptimalan :
Bila x* adalah titik optimal dari f (x) maka Ñf (x* ) =0
5. Syara cukup keoptimalan :
Bila Ñf (x* ) =0 dan H(x* ) definit positip maka x* titik minimum

11. Bila Ñf (x* ) =0 dan H(x* ) definit negatif maka x* titik maksimum
6. f (x) fungsi konveks jika dan hanya jika matriks Hessiannya adalah Semi Definit
Positip
7. f (x) fungsi konkaf jika dan hanya jika matriks Hessiannya adalah Semi Definit Negatif