1. METODE BIG M
Sering kita menemukan bahwa fungsi kendala tidak hanya dibentuk
oleh pertidaksamaan ≤ tapi juga oleh pertidakasamaan ≥ dan/atau
persamaan (=). Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≥ mempunyai
surplus variable, tidak ada slack variables. Surplus variable tidak bisa
menjadi variabel basis awal. Dengan demikian harus ditambahkan satu
variabel baru yang dapat berfungsi sebagai variabel basis awal. Variabel
yang dapat berfungsi sebagai variabel basis awal hanya slack variables
dan artificial variables (variabel buatan).
1. Jika semua fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≤
maka variabel basis awal semuanya adalah slack variables.
Penyelesaian solusi optimal untuk kasus seperti ini dilakukan
dengan cara yang sudah diperkenalkan sebelumnya.
2. Jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ dan/atau ≤
maka variabel basis awal adalah slack variables dan/atau variabel
buatan. Penyelesaian solusi optimal untuk kasus seperti ini
dilakukan dengan memilih antara metode Big M, Dua Fase atau
Dual Simpleks.
3. Jika fungsi kendala ada yang menggunakan persamaan maka
variabel buatan akan ditemukan pada variabel basis awal.
Penyelesaian solusi optimal untuk kasus seperti ini hanya dapat
dilakukan dengan memilih antara metode Big M atau Dua Fase.
Kita akan bahas metode Big M dalam sub bab ini. Perbedaan metode
Big M dengan primal simpleks biasa (teknik penyelesaian yang sudah
dipelajari sebelumnya), terletak pada pembentukan tabel awal. Jika
fungsi kendala menggunakan bentuk pertidaksamaan ≥, perubahan dari
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 1
2. bentuk umum ke bentuk baku memerlukan satu variabel surplus.
Variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis awal, karena
koefisiennya bertanda negatif. Sebagai variabel basis pada solusi awal,
harus ditambahkan satu variabel buatan. Variabel buatan pada solusi
optimal harus bernilai 0, karena variabel ini memang tidak ada.
Teknik yang digunakan untuk memaksa variabel buatan bernilai 0
pada solusi optimal adalah dengan cara berikut:
• Penambahan variabel buatan pada fungsi kendala yang tidak
memiliki variabel slack, menuntut penambahan variabel buatan
pada fungsi tujuan.
• Jika fungsi tujuan adalah maksimisasi, maka variabel buatan
pada fungsi tujuan mempunyai koefisien +M; jika fungsi tujuan
adalah minimisasi, maka variabel buatan pada fungsi tujuan
mempunyai koefisien -M.
• Karena koefisien variabel basis pada tabel simpleks harus
bernilai 0, maka variabel buatan pada fungsi tujuan harus
digantikan nilai dari fungsi kendala yang memuat variabel
buatan tersebut.
Perhatikan contoh di bawah ini.
Bentuk Umum
Min. z = 4 x1 + x2
Terhadap: 3x1 + x2 = 3
4x1 + 3x2 ≥ 6
x1 + 2x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
Bentuk Baku:
Min. z = 4 x1 + x2
Terhadap: 3x1 + x2 = 3
4x1 + 3x2 - s1 = 6
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 2
3. x1 + 2x2 + s2 = 4
x1, x2, s1, s2 ≥ 0
Kendala 1 dan 2 tidak mempunyai slack variables, sehingga tidak
ada variabel basis awal. Untuk berfungsi sebagai variabel basis awal,
pada kendala 1 dan 2 ditambahkan masing-masing satu variabel buatan
(artificial variable). Maka bentuk baku Big M-nya adalah:
Min. z = 4 x1 + x2 + MA1 + MA2
Terhadap: 3x1 + x2 + A1 = 3
4x1 + 3x2 - s1 + A2 = 6
x1 + 2x2 + s2 = 4
x1, x2, s1, s2 ≥ 0
1. Nilai A1 digantikan dari fungsi kendala pertama.
A1 = 3 - 3x1 - x2
MA1 berubah menjadi M(3 - 3x1 - x2) 3M-3Mx1-Mx2
2. Nilai A2 digantikan dari fungsi kendala ketiga.
A2 = 6 - 4x1 - 3x2 + s1
MA2 berubah menjadi M(6 - 4x1 - 3x2 + s1)
6M- 4Mx1 - 3Mx2 + Ms1
3. Fungsi tujuan berubah menjadi
Min z = 4x1 + x2 + 3M-3Mx1-Mx2 +6M-4Mx1-3Mx2+Ms1
= (4 -7M)x1+(1 - 4M)x2 + Ms1 +9M
4. Tabel awal simpleks
VB X1 X2 S1 A1 A2 S2 Solusi
z -4 +7M -1 +4M -M 0 0 0 9M
A1 3 1 0 1 0 0 3
A2 4 3 -1 0 1 0 6
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 3
5. X1 1 0 0 2/5 0 -1/5 2/5
X2 0 1 0 -1/5 0 3/5 9/5
S1 0 0 1 1 -1 1 1
METODE DUA FASE
Metode dua fase digunakan jika variabel basis awal terdiri dari
variabel buatan. Disebut sebagai metode dua fase, karena proses optimasi
dilakukan dalam dua tahap. Tahap pertama merupakan proses optimasi
variabel buatan, sedangkan proses optimasi variabel keputusan dilakukan
pada tahap kedua. Karena variabel buatan sebenarnya tidak ada (hanya
ada di atas kertas), maka tahap pertama dilakukan untuk memaksa
variabel buatan bernilai 0.
Perhatikan kasus berikut:
Tahap 1
Min A = A1 + A2
Terhadap: x1 + x2 + A1 = 90
0.001x1 + 0.002x2 + s1 = 0.9
0.09x1 + 0.6x2 -s2 + A2 = 27
0.02x1 + 0.06x2 + s3 = 4.5
x1, x2, s1, s2, s3 ≥ 0
karena A1 dan A2 berfungsi sebagai variabel basis pada solusi awal, maka
koefisiennya pada fungsi tujuan harus sama dengan 0. untuk mencapai
itu, gantikan nilai A1 dari fungsi kendala pertama (kendala yang memuat
A1) dan nilai A2 dari fungsi kendala ketiga (kendala yang memuat A2).
Dari kendala -1 diperoleh :
A1 = 90 - x1 - x2
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 5
7. Tahap 2
Min z = 2 x1 + 5.5 x2
Terhadap: tabel optimal tahap pertama
Dari tabel optimal tahap 1 diperoleh:
X1 = 52.94 – 17/12s2
X2 = 37.059 + 1.7542s2
Maka fungsi tujuan adalah:
Min z = 2(52.94 – 17/12s2) + 5.5 (37.059 + 1.7542s2)
= -17/6s2 + 9.6481s2 + 309.7045 = 6.814767s2 + 309.7045
Solusi awal optimal.
VB X1 X2 S1 S2 S3 NK
z 0 0 0 -6.814767 0 309.7045
X1 1 0 0 17/12 0 52.94
S1 0 0 1 0.0023417 0 0.772942
X2 0 1 0 -1.7542 0 37.059
S3 0 0 0 0.09358 1 1.21766
Tabel di atas sudah optimal. Solusi optimalnya adalah:
X1 = 52.94; x2 = 37.059; dan z = 309.7045
METODE DUAL SIMPLEKS
Metode dual simpleks digunakan jika tabel optimal tidak layak. Jika
fungsi kendala ada yang menggunakan pertidaksamaan ≥ dan tidak ada =
dalam bentuk umum PL, maka metode dual simpleks dapat digunakan.
Kita selesaikan contoh di bawah ini.
Min z = 21x1 + 18x2 + 15x3
Terhadap 90x1 + 20x2 + 40x3 ≥ 200
30x1 + 80x2 + 60x3 ≥ 180
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 7
8. 10x1 + 20x2 + 60x3 ≥ 150
x1, x2, x3 ≥ 0
semua kendala menggunakan pertidaksamaan ≥. Kendala dengan
pertidaksamaan ≥ dapat diubah ke pertidaksamaan ≤ dengan mengalikan
pertidaksamaan dengan -1. Bentuk umum PL di atas berubah menjadi:
Min z = 21x1 + 18x2 + 15x3
Terhadap -90x1 - 20x2 - 40x3 ≤ -200
-30x1 - 80x2 - 60x3 ≤ -180
-10x1 - 20x2 - 60x3 ≤ -150
x1, x2, x3 ≥ 0
Semua fungsi kendala sudah dalam bentuk pertidaksamaan ≤, maka kita
kita hanya perlu menambahkan variabel slack untuk mengubah bentuk
umum ke bentuk baku/standar. Variabel slack akan berfungsi sebagai
variabel basis awal.
Bentuk Baku/standar:
Min z = 21x1 + 18x2 + 15x3 + 0s1 + 0s2 + 0s3
Terhadap -90x1 - 20x2 - 40x3 + s1 = -200
-30x1 - 80x2 - 60x3 + s2 = -180
-10x1 - 20x2 - 60x3 + s3 = -150
x1, x2, x3, s1, s2, s3 ≥ 0
VB X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK
Z -21 -18 -15 0 0 0 0
S1 -90 -20 -40 1 0 0 -200
S2 -30 -80 -60 0 1 0 -180
S3 -10 -20 -60 0 0 1 -150
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 8
9. Tabel di atas optimal tapi tidak layak (ingat, untuk fungsi tujuan
minimisasi, tabel sudah optimal jika semua koefisien baris tujuan sudah
negatif atau 0). Untuk membuat tabel tersebut layak, kita harus gunakan
metode dual simpleks. Langkah-langkah penyelesaian simpleks
menggunakan metode dual adalah:
1. Tentukan baris pivot. Baris pivot adalah baris dengan nilai kanan
negatif terbesar. Jika negatif terbesar lebih dari satu, pilih salah satu
sembarang.
2. Tentukan kolom pivot. Kolom pivot diperoleh dengan terlebih dahulu
membagi nilai baris z dengan baris pivot. Dalam hal ini, semua nilai
baris pivot dapat menjadi pembagi kecuali nilai 0. Kolom pivot adalah
kolom dengan rasio pembagian mutlak terkecil. Jika rasio pembagian
mutlak terkecil lebih dari satu, pilih salah satu secara sembarang.
3. Pembentukan tabel berikutnya sama dengan prosedur dalam primal
simpleks.
Gunakan tabel awal simpleks di atas.
Baris pivot adalah baris S1, baris dengan nilai kanan negatif
terbesar.
VB X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK
Z -21 -18 -15 0 0 0 0
S1 -90 -20 -40 1 0 0 -200
S2 -30 -80 -60 0 1 0 -180
S3 -10 -20 -60 0 0 1 -150
Kolom pivot adalah kolom X1
VB X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK
Z -21 -18 -15 0 0 0 0
S1 -90 -20 -40 1 0 0 -200
S2 -30 -80 -60 0 1 0 -180
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 9
10. S3 -10 -20 -60 0 0 1 -150
Rasio 21/90 18/20 15/40 0 0 0 -
Iterasi-1:
VB X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK
Z 0 -40/9 -9 -7/30 0 0 140/3
X1 1 2/9 4/9 -1/90 0 0 20/9
S2 0 -220/3 -140/3 -1/3 1 0 -340/3
S3 0 -160/9 -500/9 -1/9 0 1 -1150/9
Rasio - 0.0485 0.19286 0.7 - -
Iterasi-2
VB X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK
Z 0 0 -611/99 -0.213131 -2/33 0 53.535
X1 0 0 10/33 0.0303 1/330 0 1.8788
X2 0 1 7/11 1/220 -3/220 0 17/11
S3 0 0 -44.2424 -0.0303 -0.02424 1 -100.3030
Rasio - - 0.139498 7.0340 2.500 0 -
Iterasi-3 optimal
VB X1 X2 X3 S1 S2 S3 NK
Z 0 0 0 -0.208934 -0.0572 -0.13948 67.52628
X1 1 0 0 0.000000140.00286 0.006848 1.19173
X2 0 1 0 0.0041127 -0.013986 0.01438 0.102818
X3 0 0 1 0.00068 0.00055 -0.0226 2.267
KASUS KHUSUS DALAM SIMPLEKS
Ada beberapa kasus khusus dalam simpleks. Kadang kala kita
akan menemukan bahwa iterasi tidak berhenti, karena syarat optimalitas
atau syarat kelayakan tidak pernah dapat dipenuhi. Adakalanya juga
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 10
11. solusi yang dihasilkan antara satu iterasi dengan iterasi berkutnya tidak
berbeda. Kasus khusus ini terdiri dari solusi optimal lebih dari satu,
degeneracy, solusi tidak terbatas dan solusi tidak layak. Dua terakhir
dapat terjadi karena kesalahan baik dalam perhitungan iteratif ataupun
dalam pembentukan model atau formulasi permasalahan.
Solusi Optimal Lebih dari satu
Ketika fungsi objektif paralel terhadap pembatas yang dipenuhi
dalam arti persamaan oleh solusi optimal, fungsi objektif akan
mengasumsikan nilai optimal sama pada lebih dari satu titik solusi.
Kondisi seperti ini kita kenal dengan solusi optimal lebih dari satu
(alternative optima). Perhatikan kasus berikut:
Maks z = 2x1 + 4x2
Terhadap x1 + 2x2 ≤ 5
x1 + x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
Tabel awal
VB X1 X2 S1 S2 Solusi Rasio
Z -2 -4 0 0 0 -
S1 1 2 1 0 5 5/2
S2 1 1 0 1 4 2
Iterasi – 1
VB X1 X2 S1 S2 Solusi Rasio
Z 0 0 2 0 10
X2 1/2 1 1/2 0 5/2
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 11
12. S2 ½ 0 -1/2 1 3/2
Perhatikan nilai baris z untuk variabel x1 juga menjadi nol saat x2 berubah
menjadi variabel masuk. Jika iterasi tersebut kita lanjutkan dengan
memilih x1 sebagai variabel masuk, maka akan didapatkan tabel hasil
iterasi kedua berikut:
Iterasi-2
VB X1 X2 S1 S2 Solusi Rasio
Z 0 0 2 0 10
X2 0 1 1 -1 5/2
X1 1 0 -1 2 3/2
Dalam praktek, pengetahuan akan solusi optimum yang lebih dari satu
akan sangat bermanfaat karena manajemen mempunyai kesempatan
untuk memilih salah satu sesuai dengan situasi yang mereka miliki tanpa
harus merusak nilai tujuan.
Degeneracy
Pada bagian 4.4 di atas, ada kemungkinan saat akan menentukan
sel keluar, rasio pembagian terkecil lebih dari satu, dan kita akan memilih
salah satu secara sembarang. Jika hal ini terjadi, satu atau lebih variabel
akan sama dengan nol (0) pada iterasi selanjutnya. Solusi pada iterasi
dimana satu atau lebih variabel mempunyai nilai nol (0) kita sebut sebagai
degeneracy.
Degeneracy terjadi secara praktek karena ada minimum satu
fungsi kendala yang redundan. Dalam iterasi, kita dapat mengenalinya
dengan cara berikut.
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 12
13. Maks z = 3x1 + 9x2
Terhadap x1 + 4x2 ≤ 8
x1 + 2x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
Penyelesaian simpleks kasus di atas adalah:
VB X1 X2 S1 S2 Solusi Rasio
Z -3 -9 0 0 0 -
S1 1 4 1 0 8 2
S2 1 2 0 1 4 2
Kalau anda perhatikan tabel di atas, ada dua kandidat baris pivot,
sehingga ada dua kandidat variabel keluar. Kita dapat memilih salah
satu. Jika kita pilih baris s1 maka solusi pada iterasi pertama adalah
sebagai berikut:
VB X1 X2 S1 S2 Solusi Rasio
Z -3/4 0 9/4 0 18 -
X2 1/4 1 1/4 0 2 8
S2 1/2 0 1/2 1 0 0
Nilai kanan s2 menjadi 0 dan tabel belum optimum. Variabel x1 menjadi
variabel masuk dan s2 menjadi variabel keluar. Iterasi berikutnya
sebenarnya tidak mengubah solusi optimal, seperti yang ditunjukkan
tabel di bawah ini.
Iterasi-2 optimal
VB X1 X2 S1 S2 Solusi
Z 0 0 3/2 3/2 18
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 13
14. X2 0 1 0 -1/2 2
X1 1 0 1 2 0
Melihat pembatas yang redundan sangat mudah menggunakan
solusi grafik. Garis dari fungsi pembatas yang redundan melewati hanya
salah satu titik pada daerah penyelesaian yaitu solusi optimal, dan hal ini
sebenarnya tidak berarti dalam penentuan solusi optimal. Karena tanpa
garis fungsi pembatas itupun, solusi optimal sudah dapat diidentifikasi
menggunakan fungsi pembatas yang lain.
Dari sudut pandang teoritis, degeneracy mempunyai implikasi
dua. Pertama, berhubungan dengan fenomena pengulangan. Iterasi 1
dan 2 di atas hanya merupakan pengulangan yang memberikan nilai
tujuan sama, yaitu 18. Secara umum dapat diterima, pada kasus ini
prosedur simpleks akan terus berulang tanpa ada akhir tapi tidak
memperbaiki solusi. Kedua, meskipun variabel basis dan non basis
berbeda pada setiap iterasi, tetapi nilai semua variabel dalam iterasi
adalah sama, yaitu x1 = 0, x2 = 2, s1 = 0, s2 = 0 dan z = 18.
Solusi Tidak Terbatas
Ada kalanya kita menemukan nilai variabel meningkat tak
terbatas tanpa melanggar pembatas, artinya ruang solusi tidak terbatas
paling tidak untuk satu arah. Sebagai akibatnya, nilai tujuan akan
meningkat (untuk kasus maksimisasi) atau menurun (untuk kasus
minimisasi) tanpa ada batas. Dalam kasus kita sebut ruang solusi dan
nilai tujuan optimum tidak terbatas.
Solusi tidak terbatas hanya mengindikasikan satu hal, yaitu
model myang dibangun salah. Mendapatkan keuntungan yang tidak
terbatas misalnya tentunya tidak masuk akal. Salah satu yang paling
umum yang menyebabkan solusi tidak terbatas adalah tidak memasukan
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 14
15. pembatas yang bukan redundan pada model atau parameter (konstanta)
beberapa pembatas tidak dihitung dengan benar. Perhatikan kasus
berikut:
Maks z = 2x1 + x2
Terhadap x1 - x2 ≤ 10
2x1 ≤ 40
x1, x2 ≥ 0
iterasi-0
VB X1 X2 S1 S2 Solusi Rasio
Z -2 -1 0 0 0
S1 1 -1 1 0 10 10
S2 2 0 0 1 40 20
Iterasi-1
VB X1 X2 S1 S2 Solusi Rasio
Z 0 -1 0 1 40
S1 0 -1 1 -1/2 -10
X1 1 0 0 ½ 20
Jika iterasi itu diteruskan, tidak akan pernah berhenti. Nilai z akan
meningkat terus. Pada tabel awal sebenarnya kita sudah dapat
mengidentikasi bahwa nilai tujuan akan meningkat terus tanpa ada batas
dengan memperhatikan koefisien pembatas kolom x2 yang bernilai -1 dan
0. Nilai koefisien pembatas ini menunjukkan bahwa x2 dapat dinaikkan
tanpa ada batas, sehingga nilai z juga akan meningkat tanpa ada batas.
Solusi Tidak Layak
Jika pembatas tidak dapat dipenuhi secara bersamaan, maka kita
berhadapan dengan solusi tidak layak. Solusi tidak layak tidak akan
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 15
16. pernah terjadi jika semua fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≤
(asumsikan nilai kanan adalah positif), karena variabel slack selalu
memberikan solusi layak. Solusi optimal dapat terjadi jika fungsi
pembatas ada yang menggunakan pertidaksamaan ≥, kita menggunakan
variabel buatan sebagai variabel basis awal, dimana variabel buatan
berdasarkan desainnay tidak memberikan solusi layak bagi model awal.
Meskipun dalam prosedur iterasinya kita memaksa variabel buatan
bernilai 0 pada solusi optimum, hal ini hanya akan terjadi jika model
mempunyai ruang solusi layak. Sering juga terjadi, minimum satu
variabel buatan bernilai positif pada solusi optimum. Hal ini
mengindikasikan bahwa permasalahan tidak mempunyai solusi layak.
Dari sudut pandang praktikal, solusi tidak layak terjadi karena
model tidak diformulasikan dengan benar, dimana beberapa pembatas
saling bertentangan. Hal lain yang menyebabkan solusi tidak layak
adalah bahwa pembatas tidak dimaksudkan untuk dipenuhi secara
bersamaan. Perhatikan kasus berikut:
Maks z = 3x1 + 2x2
Terhadap 2x1 + x2 ≤ 2
3x1 + 4x2 ≥ 12
x1, x2 ≥ 0
Solusi awal dengan metode M besar
VB X1 X2 S1 S2 A1 Solusi Rasio
Z -3-3M -2-4M M 0 0 -12M
S1 2 1 1 0 0 2 2
A1 3 4 0 -1 1 12 3
Iterasi-1
VB X1 X2 S1 S2 A1 Solusi Rasio
Z 1+5M 0 M 2+4M 0 4-4M
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 16
17. X2 2 1 1 0 0 2
A1 -5 0 -1 -4 1 4
Pada iterasi optimal, variabel buatan A1 masih bernilai positif dan
≥ dari 0. Hal ini mengindikasikan bahwa ruang solusi tidak layak.
Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 17
