ITP UNS SEMESTER 2 Riset operasi (materi kuliah)

7,758 views

Published on

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
7,758
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
309
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

ITP UNS SEMESTER 2 Riset operasi (materi kuliah)

  1. 1. Pertemuan ke-1
  2. 2. Riset Operasi Ir. Bambang SA, MSi Ir. Kawiji, MP Asri Nursiwi, STP., MSc Siswanti, STP., MSc
  3. 3. Buku • Riset Operasi oleh : Hamdy A.Taha, Edisi Ke-5 Jilid 1, Binarupa Aksara, 1996. • Pengantar Riset Oprerasi, oleh Gerald J Lieberman dkk, edisi 5, Jilid 1 Penerbit Erlangga 1994. • Teori dan Soal Operations Research (Seri Buku Schaum’s) oleh : Richard Bronson
  4. 4. Riset Operasi Riset Operasi adalah metode untuk memformulasikan dan merumuskan permasalahan sehari-hari baik mengenai bisnis, industri, ekonomi, sosial maupun bidang lainnya ke dalam pemodelan matematis untuk mendapatkan solusi yang optimal.
  5. 5. Riset Operasi • RO sebagai metode ilmiah yang memungkinkan para manajer mengambil keputusan mengenahi kegiatan yang mereka tangani dengan dasar kuantitatif (Morse dan Kimball) • RO sebagai aplikasi metode-metode, teknik- teknik, dan peralatan-peralatan ilmiah dalam menghadapi masalah yang timbul dalam operasi perusahaan dengan tujuan ditemukannya pemecahan yang optimum (Churchman, Arkoff dan Arnoff)
  6. 6. Riset Operasi RO berkenaan dengan pengambilan keputusan optimal dalam penyusunan model dari sistem-sistem baik deterministik maupun probabilistik yang berasal dari kehidupan nyata (Subagyo, Asri dan Handoko)
  7. 7. Silabi • Pendahuluan • Pemrograman matematis (LP, bentuk standar, penyelesaian: grafik dan simplek) • Dualitas • Pemrograman bilangan bulat : algoritma pencabangan, algoritme pemotongan, algoritme transportasi) • Penjadwalan dan penugasan • Analisis jaringan • Pohon keputusan • Teori antrian
  8. 8. Pendahuluan • Kontrak perkuliahan : pengajar, buku, sistem penilaian, silabi • Apa itu RO • Menerangkan fungsi tujuan dan kendala dengan memberikan contoh kasus (tukang kayu dan pembuat minuman)
  9. 9. Tahapan Kajian RO • Merumuskan masalah • Membuat model matematis untuk menggambarkan sistem yang akan dipelajari • Menyelesaikan model • Menguji model • Menentukan kendali atas penyelesaian model tersebut • Menjalankan penyelesaiannya
  10. 10. Linear Programing (LP) • Suatu model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber daya yang terbatas sehingga diperoleh hasil yang optimal. Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang akan dilakukannya dimana masing-masing kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas
  11. 11. Tukang kayu Seorang tukang kayu akan membuat perabot dua model yaitu I dan II. Bahan yang tersedia 8 potong kayu dan waktu 28 jam. Model I membutuhkan 2 potong kayu dan waktu 7 jam dan model II membutuhkan 1 potong kayu dan waktu 8 jam. Keuntungan yang diperoleh untuk model I 120 ribu dan model II 80 ribu.
  12. 12. Pembuat minuman Seorang pemasok minuman menerima pesanan 500 galon minuman campuran dengan spek min 20 % air jeruk, 10 % air anggur dan 5 % air trawbery. Bahan baku yang
  13. 13. Pertemuan II
  14. 14. Fungsi dalam LP • Tujuan (Z) : fungsi yang menggambarkan tujuan sasaran dalam model LP yang berkaitan dengan penganturan secara optimal sumber daya – sumber daya untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya minimal. • Fungsi Batasan : merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan
  15. 15. Linear Programming ),...,,( 21 n xxxfZ g1(x1, x2,… , xn) g2(x1, x2,… , xn) ……………….. ……………….. gn(x1, x2,… , xn) ≤ = ≥ b1 b2 . . bn Tujuan : Kendala :
  16. 16. Asumsi LP • Proportionality : Naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding dengan perubahan tingkat kegiatan • Additivity : Nilai tujuan setiap kegiatan tidak saling mempengaruhi, • Divisibility : output dari setiap kegiatan dapat berupa bilangan pecahan, demikian juga nilai tujuan • Diterministic : semua parameter yang terdapat dalam model LP dapat diperkirakan dengan tepat meskipun belum tentu benar
  17. 17. Penyelesaian dengan Grafik Maks : Z = 120 X1 + 80 X2 Kendala 2 X1 + X2 ≤ 8 5 X1 + 8 X2 ≤ 20 Buat grafik sumbu hirizontal X1 dan Vertikal X2 dengan garis-garis dari fungsi kendala
  18. 18. Untuk kendala 1 Jika X1 = 0, maka X2 = 8 (0,8) X2 = 0, maka X1 = 4 (4,0) Untuk kendala 2 Jika X1 = 0, maka X2 = 3.5 (0,3.5) X2 = 0, maka X1 = 4 (4,0) Untuk tujuan, dimisalkan Z = 240 Jika X1 = 0, maka X2 = 3 (0,3) X2 = 0, maka X1 = 2 (2,0)
  19. 19. X2 X1 10 6 2 1062 Titik (0,3.5), k alu dimasuk an ke Z = 280 Titik (4,0), kal u dimasuk an ke Z = 480
  20. 20. • Maksimumkan Z = 3 X1 + 5 X2 • Kendala : 2X1 ≤ 8 3X2 ≤ 15 6X1 + 5X2 ≤ 30
  21. 21. X1 X2 10 6 2 1062 Titik D (5/6,5) kalu dimasuka n ke Z = 27,5 2X1 ≤ 8 3X2 ≤ 15 6X1 + 5X2 ≤ 30 Daerah Fiasi ble E C B A D (4, 6/5) Titik D (4,6/5) kalu dimasuka n ke Z = 18
  22. 22. Latihan soal Maks Z = 2x1 + x2 Kendala x1 + 5x2 ≤ 10 x1 + 3x2 ≤ 6 2x1 + 2x2 ≤ 8 Min Z = 5x1 + 2x2 Kendala 6x1 + x2 ≥ 10 4x1 + 3x2 ≥ 12 x1 + 2x2 ≥ 4
  23. 23. Maks Z = 2x1 + x2 Kendala x1 + 5x2 ≤ 10 x1 + 3x2 ≤ 6 2x1 + 2x2 ≤ 8 X2 10 6 2 1062 X1+5x2 ≤ 10 X1 + 3X2 ≤ 6 2X1 + 2X2 ≤ 8 Daerah Fiasi ble
  24. 24. Min Z = 5x1 + 2x2 Kendala 6x1 + x2 ≥ 10 4x1 + 3x2 ≥ 12 x1 + 2x2 ≥ 4 X2 10 6 2 1062 x1 + 2x2 ≥ 4 4x1 + 3x2 ≥ 12 Daerah Fiasi ble 6x1 + x2 ≥ 10
  25. 25. Metode Simplek : Bentuk Standar Persyaratan : 1. bi tidak boleh negatif n j ijij bxa 1 2. Menghilangkan kendala lebih atau kurang dengan menambahkan variabel kurang atau lebih (slag atau surplus) 3. Sudah adakah pemecahan awal yang layak atau belum ? Bila sudah, langkah berhenti disini dan bila belum, langkah dilanjutkan ke-4. Pemecahan awal layak jika semua variabel keputusan bernilai positif atau nol
  26. 26. 4. Tambahkan variabel lain sebagai biaya hukuman (penalty cost). Karena penambahan variabel ini akan mengubah kendala, maka penambahan pada fungsi tujuan harus diikutkan dengan konstanta bernilai. Untuk tujuan maks, maka ditambahkan nilai negatif yang besar sekali (-M) dan untuk tujuan min, maka ditambahkan nilai positif yang besar sekali (M)
  27. 27. Contoh 1: bentuk standar Tujuan : Z = X1 + X2 Kendala : X1 + 5X2 ≤ 5 2X1 + X2 ≤ 4 1. Semua nilai bn sudah positif 2. Hilangkan tanda kurang dan lebih Tujuan : Z = X1 + X2 + 0X3 + 0X4 Kendala : X1 + 5X2 + X3 = 5 2X1 + X2 + X4 = 4
  28. 28. 3. Apakah sudah ada pemecahan awal yang layak Dimisalkan, X1 dan X2 = 0, maka X3 = 5 dan X4 = 4 Jadi sudah ada pemecahan awal yang layak
  29. 29. Contoh 2 : bentuk standar Tujuan Min Z = x1 + 2x2 + 3x3 Kendala : 3x1 + 4x3 ≤ 5 5x1 + x2 + 6x3 = 7 8x1 + 9x3 ≥ 2
  30. 30. Langkah 1 : bn positif ? Tujuan Min Z = x1 + 2x2 + 3x3 Kendala : 3x1 + 4x3 ≤ 5 5x1 + x2 + 6x3 = 7 8x1 + 9x3 ≥ 2
  31. 31. Langkah 2 : Variabe + dan - Tujuan Min Z = x1 + 2x2 + 3x3 + 0x4 + 0x5 Kendala : 3x1 + 4x3 + x4 = 5 5x1 + x2 + 6x3 = 7 8x1 + 9x3 - x5 = 2
  32. 32. Langkah 3 : Apakah sudah ada pemecahan awal yang layak ? Tujuan Min Z = x1 + 2x2 + 3x3 + 0x4 + 0x5 Kendala : 3x1 + 4x3 + x4 = 5 5x1 + x2 + 6x3 = 7 8x1 + 9x3 - x5 = 2 Misalkan : x1, x3 = 0, maka x2 = 7, x4 = 5 dan x5 = -2 Jadi belum ada pemecahan awal yang layak karena masih ada variabel yang bernilai bukan positif atau nol
  33. 33. Langkah 4 : Tambah pinalty cost Tujuan Min Z = x1 + 2x2 + 3x3 + 0x4 + 0x5 + Mx6 Kendala : 3x1 + 4x3 + x4 = 5 5x1 + x2 + 6x3 = 7 8x1 + 9x3 - x5 + x6 = 2 Misalkan : x1, x3, x5 = 0, maka x2 = 7, x4 = 5 dan x6 = 2 Jadi sudah ada pemecahan awal yang layak
  34. 34. Contoh 3 dan 4 : bentuk standar Tujuan Min Z = 2x1 - x2 + 4x3 Kendala : 5x1 + 2x2 - 3x3 ≥ -7 2x1 - 2x2 + x3 ≤ 8 Tujuan Min Z = 10x1 + 2x2 + 3x3 + x4 Kendala : 2x1 + 7x2 ≤ 7 5x1 + 8x2 + 2x4 = 10 x1 + x3 = 11
  35. 35. Contoh 3 : bentuk standar Tujuan Min Z = 2x1 - x2 + 4x3 + 0x4 + 0x5 Kendala : (5x1 + 2x2 - 3x3 ≥ -7)x-1 -5x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 7 2x1 - 2x2 + x3 + x5 = 8 Jadi pemecahan awal yang layak x1, x2, x3 = 0, x4 = 7 dan x5 = 8
  36. 36. Contoh 4 : bentuk standar Tujuan Min Z = 10x1 + 2x2 + 3x3 + x4 + M x5 Kendala : 2x1 + 7x2 + x5 = 7 5x1 + 8x2 + 2x4 = 10 x1 + x3 = 11 Jadi pemecahan awal yang layak x1, x2,= 0, x3= 11, x4 = 5 dan x5 = 7
  37. 37. Kuis 1. Ubah LP dibawah ini kedalam bentuk standar 1. Min Z = 5x1 + 2x2 + x3 + 0x4 +0x5 +0x6 +0x7 Kendala : 2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 20 6x1 + 8x2 + 5x3 + x5 = 30 7x1 + x2 + 3x3 + x6 = 40 x1 + 2x2 + 4x3 + x7 = 50 x1, x2, x3 = 0 x4 =20, x5=30, x6=40, x7 = 50
  38. 38. Kuis 1. Ubah LP dibawah ini kedalam bentuk standar 2. Maks Z = 20w1 + 30w2 +40w3 + 50w4+ 0w5 + 0w6 – Mw7 – Mw8 Kendala : 2w1 + 6w2 + 7w3 + w4 + w5 = 5 3w1 + 8w2 + w3 + 2w4 + w7 = 2 w1 + 5w2 + 3w3 + 4w4 - w6 + w8 = 1 w1, w2, w3, w4, w6 =0, w5 = 5, w7 = 2, w8 = 1
  39. 39. Kuis 1. Ubah LP dibawah ini kedalam bentuk standar 1. Min Z = 5x1 + 2x2 + x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + Mx7 + Mx8 + Mx9 Kendala : 2x1 + 3x2 + x3 – x4 + x7 = 20 6x1 + 8x2 + 5x3 – x5 + x8 = 30 7x1 + x2 + 3x3 + x9 = 40 x1 + 2x2 + 4x3 + x6 = 50 X1, x2, x3, x4, x5 = 0, x7 = 20, x8 = 30, x9 = 40 dan x6 = 50
  40. 40. Pertemuan ke-3
  41. 41. Metode Simplek Optimasi : Z = CT X Dengan kendala : AX = B dan X ≥ 0 XT CT Xo Co A B -(CT – CT oA) CT o B Bentuk tabel Simplek maks :
  42. 42. Tujuan : Maks Z = x1 + 9x2 + x3 Kendala : x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 9 3x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 15 Misalkan x1, x2, x3 = 0, maka x4 = 9 dan x5 = 15, jadi sudah ada pemecahan awal yang layak Tujuan : Maks Z = x1 + 9x2 + x3 + 0x4 + 0x5 Kendala : x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 9 3x1 + 2x2 + 2x3 + x5 = 15
  43. 43. 10223 01321 A 15 9 B 00191 T C 54321 xxxxxx T 0 0 0 C 5 4 0 x x x Tujuan : Maks Z = x1 + 9x2 + x3 + 0x4 + 0x5 Kendala : x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 9 3x1 + 2x2 + 2x3 + x5 = 15
  44. 44. Tabel Simplek x1 x2 x3 x4 x5 1 9 1 0 0 x4 0 x5 0 1 2 3 1 0 3 2 2 0 1 9 15 -1 -9 -1 0 0 0 Tabel simplek dikatakan optimal bila semua nilai pada baris terakhir sama dengan 0 atau positif
  45. 45. Penyelesaian Tabel Simplek Penyelesaian dikatakan optimal bila nilai elemen pada baris paling bawah (kecuali kolom terakhir) semua positif atau nol
  46. 46. Langkah : Simplek 1. Tentukan letak bilangan yang paling negatif dalam baris terbawah dari tabel simplek, dengan mengabaikan kolom terakhir. Namakan kolom yang terdapat bilangan paling negatif tadi dengan kolom kerja. Jika terdapat lebih dari satu, pilih salah satu 2. Bentuklah nilai-nilai banding dengan membagi setiap bilangan positif dalam kolom terakhir, dengan elemen dalam baris yang sama pada kolom kerja, dimana baris terakhirnya diabaikan. Namakan elemen dalam kolom kerja ini yang menghasilkan nilai-banding terkecil sebagai elemen pasak (pivot element). Jika terdapat lebih dari satu elemen, pilih salah satunya. Jika tidak ada elemen dalam kolom kerja yang positif, maka programnya tdk memiliki pemecahan.
  47. 47. Langkah : Simplek 3. Gunakan operasi-operasi baris elementer untuk mengubah elemen pivot menjadi 1 dan kemudian reduksikan semua elemen lainnya dalam kolom kerja ini menjadi 0 4. Gantikan variabel-x dalam baris pivot dan kolom pertama dengan variabel-x dalam baris pertama dan kolom pivot.
  48. 48. Langkah : Simplek 5. Ulangi langkah 1 sampai dengan 4 hingga tidak terdapat lagi elemen negatif dalam baris terakhir, dengan tidak mamasukkan kolom terakhir. 6. Pemecahan optimal diperoleh dengan menetapkan untuk tiap-tiap variabel dalam kolom pertama nilai dalam baris dan kolom terakhir yang bersangkutan. Semua variabel yang lainnya ditetapkan bernilai nol. Nilai fungsi tujuan adalah bilangan yang terdapat dalam baris terakhir dan kolom terakhir untuk program maksimasi dan negatifnya untuk program minimasi
  49. 49. Tentukan kolom kerja dan baris kunci x1 x2 x3 x4 x5 1 9 1 0 0 x4 0 x5 0 1 2 * 3 1 0 3 2 2 0 1 9/2 15/2 -1 -9 -1 0 0 0
  50. 50. Lakukan operasi matrik elementer x1 x2 x3 x4 x5 1 9 1 0 0 x4 0 x5 0 1/2 1 3/2 1/2 0 3 0 2 0 1 9/2 15 -1 0 -1 0 0 0
  51. 51. Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kerja x nilai baru baris kunci) x1 x2 x3 x4 x5 1 9 1 0 0 x2 0 x5 0 1/2 1 3/2 1/2 0 2 0 -1 -1 1 9/2 6 7/2 0 25/2 9/2 0 81/2 2-(2x3/2)3-(2x1/2) 0-(2x1/2) 1-(2x0) Jadi nilai optimal X2 = 9/2 dan Z = 81/2
  52. 52. Latihan Maks Z = 2x1 + x2 Kendala x1 + 5x2 ≤ 10 x1 + 3x2 ≤ 6 2x1 + 2x2 ≤ 8
  53. 53. Contoh Soal Maks Z = x1 + x2 Kendala : x1 + 5x2 ≤ 5 2x1 + x2 ≤ 4 Maks Z = 3x1 + 4x2 Kendala : 2x1 + x2 ≤ 6 2x1 + 3x2 ≤ 9
  54. 54. Maks Z = 6x1 - x2 + 3X3 Kendala : 7 x1 + 11 x2 + 3 X3 ≤ 25 2 x1 + 8 x2 + 6 X3 ≤ 30 6 x1 + x2 + 7 X3 ≤ 35
  55. 55. Pertemuan VI Metode Simplek dengan variabel buatan tak NOL (M)
  56. 56. Contoh 2 : Metode Simplek dengan variabel buatan tak NOL (M) Tujuan Min Z = 80x1 + 60x2 Kendala 0,2 x1 + 0,32 x2 ≤ 0,25 x1 + x2 = 1
  57. 57. Contoh 2 : Metode Simplek Tujuan Min Z = 80x1 + 60x2 + 0x3 + Mx4 Kendala 0,2 x1 + 0,32 x2 + x3 = 0,25 x1 + x2 + x4 = 1
  58. 58. Langkah penyelesaian 1. Baris terakhir diuraikan menjadi dua baris, dimana yang pertama mengandung suku-suku yang tidak ada M dan yang suku yang ada nilai M. Tulis koefisiennya saja. 2. Langkah 1 dari metode implek diterapkan pada baris terakhir, diikuti langkah 2, 3, dan 4, hingga baris ini tidak mengandung elemen negatif. Selanjutnya, langkah 1 – 4 metode simplek juga diterapkan pada baris di atasnya. Sampai diperoleh solusi yang optimal.
  59. 59. Pertemuan ke-4 KD1 Pertemuan VI
  60. 60. Tabel Simplek x1 x2 x3 x4 80 60 0 M x3 0 x4 M 0,2 0,32 1 0 1 1 0 1 0,25 1 80 60 0 0 -1 -1 0 0 0 -1
  61. 61. Langkah penyelesaian 3. Setiap saat sebuah variabel buatan bukan merupakan suatu variabel dasar yakni, ia dihilangkan dari kolom 1 dari tabel sebagai hasil dari langkah 4, maka ia dicoret dari baris teratas tabel dan begitu pula seluruh kolom dibawahnya. 4. Baris terakhir dapat dicoret dari tabel apabila semua elemennya nol
  62. 62. Tabel Simplek x1 x2 x3 x4 80 60 0 M x3 0 x1 M 0 0,12 1 0 1 1 0 1 0,05 1 0 -20 0 0 0 0 0 0 -80 0
  63. 63. Langkah penyelesaian 5. Jika variabel-variabel buatan yang tak nol terdapat dalam himpunan elemen dasar terakhir, maka programnya tidak memiliki pemecahan. Sebaliknya variabel-variabel buatan yang berharga nol dapat muncul sebagai variabel dasar dalam pemecahan akhir apabila salah satu atau lebih dari persamaan kendala adalah mubadir.
  64. 64. Tabel Simplek x1 x2 x3 80 60 0 x3 0 x1 M 0 0,12 1 1 1 0 0,05 1 0 -20 0 -80
  65. 65. Tabel Simplek x1 x2 x3 80 60 0 x2 0 x1 M 0 1 8,33 1 0 -8,33 0,416 0,583 0 0 166,7 -71,67 Jadi nilai optimal Z = 71,67 dan x1 = 0,583 dan x2 = 0,416
  66. 66. Contoh 2 Maks Z = 2X1 + 3X2 Dengan kendala X1 + 2X2 ≤ 2 6X1 + 4X2 ≥ 24
  67. 67. x1 x2 x3 x4 x5 2 3 0 0 -M X3 0 X5 -M 1 2 1 0 0 6 4 0 -1 1 2 24 -2 -3 0 0 0 -6 -4 0 1 0 -2-6M -3-4M 0 M 0 0 -24 -24M Tabel 1
  68. 68. x1 x2 x3 x4 x5 2 3 0 0 -M X1 0 X5 -M 1 2 1 0 0 0 -8 -6 -1 1 2 12 0 1 2 0 0 0 8 6 1 0 4 -12 Tabel 1
  69. 69. Contoh 3 Maks Z = 5X1 + 2X2 Dengan kendala 6X1 + X2 ≥ 6 4X1 + 3X2 ≥ 12 X1 + 2X2 ≥ 4
  70. 70. x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 5 2 0 0 0 -M -M -M X6 -M X7 -M X8 -M 6 1 -1 0 0 1 0 0 4 3 0 -1 0 0 1 0 1 2 0 0 -1 0 0 1 6 12 4 -5 -2 0 0 0 0 0 0 -11 -6 1 1 1 0 0 0 0 -22 Tabel 1
  71. 71. x1 x2 x3 x4 x5 x7 x8 5 2 0 0 0 -M -M X1 X7 X8 1 1/6 -1/6 0 0 0 0 0 2,33 0,67 -1 0 1 0 0 1,83 0,167 0 -1 0 1 1 8 3 0 -1,167 -0,83 0 0 0 0 0 -4,16 -0,83 1 1 0 0 5 -11 Tabel 2
  72. 72. x1 x2 x3 x4 x5 x7 5 2 0 0 0 -M X1 X7 X2 1 0 -0,18 0 0,09 0 0 0 0,45 -1 1,27 1 0 1 0,09 0 -0,54 0 0,727 4,181 1,637 0 0 -0,73 0 -0,64 0 0 0 -0,45 1 -1,27 0 6,910 -4,180 Tabel 3
  73. 73. x1 x2 x3 x4 x5 5 2 0 0 0 X1 X5 X2 1 0 -0,214 0,0714 0 0 0 0,357 -0,785 1 0 1 0,286 -0,4286 0 0,428 3,284 3,429 0 0 -0,5000 -0,5001 0 0 0 -0,0002 0,0001 0 9,001 0,0005 Tabel 4
  74. 74. x1 x2 x3 x4 x5 5 2 0 0 0 X4 X5 X2 1 0 -0,214 0,0714 0 0 0 0,357 -0,785 1 0 1 0,286 -0,4286 0 0,428 3,284 3,429 0 0 -0,5000 -0,5001 0 9,001 Tabel 5
  75. 75. x1 x2 x3 x4 x5 5 2 0 0 0 X4 X5 X2 14 0 -3,001 1 0 11 0 -2,000 0 1 6 1 -1,000 0 0 6,000 7,997 6,001 7,001 0 -2,001 0 0 12,00 Tabel 6
  76. 76. Contoh 3 Min Z = X1 + 2X2 Dengan kendala X1 + 3X2 ≥ 11 2X1 + X2 ≥ 9 ≤ Maks Z = -X1 - X2 Dengan kendala X1 + 2X2 ≥ 5000 5X1 + 3X2 ≥ 12000
  77. 77. Contoh Soal Min Z = x1 + 2x2 Kendala : x1 + 3x2 ≥ 11 2x1 + x2 ≥ 9 Maks Z = -x1 - x2 Kendala : x1 + 2x2 ≥ 5 5x1 + 3x2 ≥ 12
  78. 78. Dual-dual tak simetris Primal Min : Z = CT X Dengan kendala : AX = B dan X ≥ 0 Dual Maks : Z = BT W Dengan kendala : ATW ≤ C Primal Maks : Z = CT X Dengan kendala : AX = B dan X ≥ 0 Dual Min : Z = BT W Dengan kendala : ATW ≥ C
  79. 79. Min Z = 5x1 + 2x2 + x3 Kendala : 2x1 + 3x2 + x3 ≥ 20 6x1 + 8x2 + 5x3 ≥ 30 7x1 + x2 + 3x3 ≥ 40 x1 + 2x2 + 4x3 ≥ 50 Semua variabel tak negatif Maks Z = 20w1 + 30w2 +40w3 + 50w4 Kendala : 2w1 + 6w2 + 7w3 + w4 ≤ 5 3w1 + 8w2 + w3 + 2w4 ≤ 2 w1 + 5w2 + 3w3 + 4w4 ≤ 1 Primal Dual
  80. 80. Contoh Soal : Min Z = 10w1 + 30w2 + 40w3 Kendala : w1 + w2 + 2w3 ≥ 2 5w1 + 3w2 + 2w3 ≥ 1 Semua variabel tak negatif Maks Z = 2x1 + x2 Kendala : x1 + 5x2 ≤ 10 x1 + 3x2 ≤ 6 2x1 + 2x2 ≤ 8 Semua variabel tak negatif
  81. 81. Bentuk standar Maks Z = 2x1 + x2 +0x3 + 0x4 + 0x5 Kendala : x1 + 5x2 + x3 = 10 x1 + 3x2 + x4 = 6 2x1 + 2x2 + x5 = 8 Semua variabel tak negatif
  82. 82. Tabel simplek x1 x2 x3 x4 x5 2 1 0 0 0 x3 0 x4 0 x5 0 1 5 1 0 0 1 1 0 1 0 2 2 0 0 1 10 6 8 -2 -1 0 0 0 0
  83. 83. Bentuk standar Min Z = 10w1 + 30w2 + 40w3+ 0w4 + 0w5 + Mw6 + Mw7 Kendala : w1 + w2 + 2w3 – w4 + w6 = 2 5w1 + 3w2 + 2w3 – w5 + w7 = 1 Semua variabel tak negatif
  84. 84. Tabel simplek w1 w2 w3 w4 w5 w6 w7 10 6 8 0 0 M M w6 M w7 M 1 1 2 -1 0 1 0 5 3 2 0 -1 0 1 2 1 10 6 8 0 0 0 0 - 6 - 4 - 4 1 1 0 0 0 - 3
  85. 85. Latihan Soal
  86. 86. Contoh Permasalahan RO
  87. 87. Perusahaan Minuman Sebuah perusahaan minuman untuk memenuhi permintaan pelanggannya akan membuat lima buah jenis minuman campuran. Masing-masing jenis minuman memiliki spesifikasi standar sendiri sesuai yang disyaratkan konsumennya. Tersedia 10 buah bahan pembuat minuman dengan harga masing-masing dan jumlahnya juga terbatas. Perusahaan juga harus memenuhi jumlah pesanan. Permasalahan yang dihadapi oleh pihak menejemen adalah berapa jumlah masing-masing minuman yang harus dibuat agar semua kendala terpenuhi.
  88. 88. Produsen baja Permalahan yang dihadapi adalah polusi udara pabriknya. Perusahaan memiliki dua sumber polusi yaitu tanur tinggi dan tanur terbuka. Para ahlinya memutuskan bahwa metode yang dapat digunakan ada tiga cara yaitu menaikkan tinggi tanur, memakai alat filter dalam cerobongnya dan memakai bahan bakar yang lebih bersih dan bermutu. Semua metode memiliki batas emisi sejauh mana polusi dapat dikurangi. Standar emisi juga telah ditentukan oleh pihak berwenang. Data biaya dan kapasitas penggunaan tanur ada.
  89. 89. Transportasi Perusahaan pengalengan kacang polong memiliki beberapa pabrik. Perusahaan juga memiliki beberapa agen distribusi di beberapa wilayah. Manajemen tahu bahwa biaya transportasi termasuk yang tinggi dalam komponen biaya produksi. Maka pihak manejemen memutuskan untuk mencari pengurangan biaya yang optimal untuk pengirimannya. Biaya pengiriman dari pabrik dan agen sudah dihitung.
  90. 90. Model Teori Antrian Sebuah perusahaan pergudangan melayani semua jenis barang untuk dapat disimpan digudang miliknya. Bila waktu sepi, karyawan yang bertugas cukup 1 orang. Namun bila suasana ramai, karyawan kewalahan untuk menangani konsumen. Maka pihak manejer memerlukan tambahan karyawan lagi. Saat kapan tambahan diperlukan dan berapa jumlahnya
  91. 91. Antrian Sebuah perusahaan memakai 10 mesin yang identik dibagian produksinya. Karena mesin mudah macet, maka diputuskan untuk menempatkan operator mesin dalam jumlah tertentu pada 8 buah mesinnya. Distribusi sebuah mesin mengalami kerusakan dan distrubusi perbaikan dapat dicari. Perusahaan ingin menambah operator agar perusahaan berjalan baik. Kapan dan berapa orang

×