Dokumen ini membahas sistem produksi pabrik Toyota di Jepang, Thailand, dan Indonesia menggunakan aljabar max-plus. Pabrik-pabrik tersebut saling berhubungan dalam proses produksi mobil. Sistem ini direpresentasikan dalam bentuk matriks dan persamaan aljabar max-plus untuk menganalisis perilaku dinamikanya. Vektor karakteristik digunakan untuk menentukan kondisi awal sistem agar setiap pabrik bekerja secara teratur.

1. ALJABAR MAX-PLUS
ALJABAR MAX-PLUS
Sistem Produksi Pabrik Toyota
Petrus Fendiyanto
1213201002
PASCASARJANA MATEMATIKA
INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER
2014

2. ALJABAR MAX-PLUS
Pabrik Toyota Jepang memproduksi mesin untuk pembuatan
mobil innova. Kemudian, mesin tersebut diekspor ke Pabrik Toyota
di Indonesia dan Thailand untuk dilakukan perakitan sebelum
produk mereka dijual ke Pasaran, dengan ketentuan sebagai
berikut:
Pabrik Jepang (P1) mengirim mesin langsung ke Pabrik
Indonesia (P3), namun ada beberapa suku cadang yang harus
dikirim ke Pabrik Thailand (P2) terlebih dahulu untuk
dilakukan penyempurnaan sebelum akhirnya dikirimkan ke
Indonesia.
Diasumsikan waktu yang diperlukan Pabrik Jepang untuk
menyelesaikan mesin yang akan diekspor, d1 = 3 satuan
waktu.
Lama pengiriman ke Pabrik Indonesia, t2 = 2 satuan waktu,
sedangkan pengiriman ke Pabrik Thailand, t3 = 1 satuan
waktu.

3. ALJABAR MAX-PLUS
Di Pabrik Thailand, proses penyelesaian mesin memerlukan 3
satuan waktu (d2).
Proses pengiriman mesin yang telah disempurnakan dari
Pabrik Thailand ke Pabrik Indonesia memerlukan 1 satuan
waktu (t4 = 1) dan

4. nishing akhir sebelum dijual ke Pasar
Indonesia, diperlukan waktu 3 satuan waktu (d3 = 5).
Bila proses tersebut direpresentasikan dalam gambar, seperti
gambar di bawah ini:
Gambar: Sistem Produksi Pabrik Toyota

5. ALJABAR MAX-PLUS
Selain asumsi yang telah disebutkan sebelumnya, diasumsikan
pula pada setiap pabrik, produk yang baru akan diproduksi bila
produk yang sedang dikerjakan selesai. Pabrik akan mulai
memproduksi produknya, mesin mobil setelah semua bahan
tersedia. Kemudian dide

6. nsikan sebagai berikut:
u(k) adalah waktu dimana bahan baku dimasukkan ke sistem
untuk waktu ke-(k + 1).
xi (k) adalah waktu dmana Pabrik ke-(i) mulai aktif pada saat
ke-k,i = 1; 2; 3.
y(k) adalah waktu dimana produk selesai pada saat ke-k
meninggalkan sistem/dijual di konsumen.

7. ALJABAR MAX-PLUS
Dari reperesentasi gambar, dapat diketahui bahwa:
x1(k + 1) = maxfu(k) + 0; x1(k) + 3g
x2(k + 1) = maxfx1(k) + 3 + 1; x2(k) + 2g
x3(k + 1) = maxfx1(k) + 3 + 2; x2(k) + 1 + 2; x3(k) + 5g
y(k) = x3(k) + 3 + 0
Kemudian sistem persamaan diatas dapat disederhanakan:
x1(k + 1) = maxfu(k); x1(k) + 3g
x2(k + 1) = maxfx1(k) + 4; x2(k) + 2g
x3(k + 1) = maxfx1(k) + 5; x2(k) + 3; x3(k) + 5g
y(k) = x3(k) + 3

8. ALJABAR MAX-PLUS
Dengan menggunakan operasi dalam aljabar max-plus dan
diperoleh sistem persamaan sebagai berikut:
x1(k + 1) = 3
x1(k) u(k)
x2(k + 1) = 4
x1(k) 2
x2(k)
x3(k + 1) = 5
x1(k) 3
x2(k) 5
x3(k)
y(k) = 3
x3(k)
Persamaan dibentuk ke dalam matriks aljabar max-plus, diperoleh:
x(k + 1) =
0
@
3
4 2
5 3 5
1
A
x(k)
0
@
0
1
A
u(k)
y(k) =
3
x(k)

9. ALJABAR MAX-PLUS
Dari asumsi sebelumnya, produk baru akan diproduksi ketika
produk yang sedang diproduksi selesai, dengan kata lain
u(k) = y(k). Maka evolusi dari keadaaan sistem diberikan oleh
persamaan:
x(k + 1) = A
x(k) B
u(k)
= A
x(k) B
y(k)
= A
x(k) B
C
x(k)
= A
x(k)
dimana
A = A B
C
Sehingga A untuk permasalahan ini adalah:
A =
0
@
3
4 2
5 3 5
1
A
0
@
0
@
0
1
A
3
1
A

10. ALJABAR MAX-PLUS
A =
0
@
3
4 2
5 3 5
1
A
0
@
3
1
A =
0
@
3 3
4 2
5 3 5
1
A
Kemudian akan dikaji perilaku sistem dinamik tersebut dengan
nilai awal yang berbeda.

11. ALJABAR MAX-PLUS
Dengan cara yang sama diperoleh:
A
3 =
2
4
13 11 13
12 10 12
15 13 15
3
5;A
4 =
2
4
18 16 18
17 15 17
20 18 20
3
5;A
5 =
2
4
3
5
23 21 23
22 20 22
25 23 25
A
6 =
2
4
28 26 28
27 25 27
30 28 30
3
5;A
7 =
2
4
33 31 18
32 30 32
35 33 35
3
5;A
8 =
2
4
3
5;
38 36 38
37 35 37
40 38 40
A
9 =
2
4
3
5
43 41 43
42 40 42
45 43 45

12. ALJABAR MAX-PLUS
Maka:
x(1) = A
1
x(0)
=
2
4
3
5
3 3
4 2
5 3 5
2
4
0
0
0
3
5
=
2
4
3
4
5
3
5
x(2) = A
2
x(0)
=
2
4
3
5
8 6 8
7 4 7
10 8 10
2
4
0
0
0
3
5
=
2
4
3
5
8
7
10

13. ALJABAR MAX-PLUS
Dengan cara yang sama, diperoleh nilai x(3) hingga x(9) sebagai
berikut:
x(3) =
2
4
13
12
15
3
5; x(4) =
2
4
3
5; x(5) =
18
17
20
2
4
3
5; x(6) =
23
22
25
2
4
3
5;
28
27
30
x(7) =
2
4
33
32
35
3
5; x(8) =
2
4
3
5; x(9) =
38
37
40
2
4
3
5
43
42
45
Dan nilai y sebagai berikut:
y = 3 8 13 18 23 28 33 38 43 48

14. ALJABAR MAX-PLUS
Jika nilai-nilai tersebut dibentuk ke dalam suatu matriks, akan
menghasilkan:
X =
0 3 8 13 18 23 28 33 38 43
0 4 7 12 17 22 27 32 37 42
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Dari matriks X terlihat bahwa x(3) = 5
x(2) yang
mengakibatkan nilai p = 3, c = 5, dan q = 2. Kemudian dihitung
dengan persamaan:
=
c
p q
=
5
3 2
=
5
1
= 5

15. ALJABAR MAX-PLUS
Dan dihitung juga vektor karakteristiknya, yang diberikan oleh
persamaan:
v =
Mpq
i=1
(pqi)
x (q + i 1)
=
M32
i=1
(32i)
x (2 + i 1)
=
M1
i=1
(1i)
x (i + 1)
= 50 x(2)
=
2
4
3
5
8
7
10

16. ALJABAR MAX-PLUS
Kemudian dicoba memberikan input x(0) yang baru dengan
x(0) =
2
4
3
5
8
7
10
Memberikan hasil
X =
8 13 18 23 28 33 38 43 48 53
7 12 17 22 27 32 37 42 47 52
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
dan
y = 13 18 23 28 33 38 43 48 53 58

17. ALJABAR MAX-PLUS
Dicoba lagi dengan memberikan input x(0) =
2
4
3
5
3
2
5
Menghasilkan nilai X dan y sebagai berikut:
X =
3 8 13 18 23 28 33 38 43 48
2 7 12 17 22 27 32 37 42 47
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
dan
y = 8 13 18 23 28 33 38 43 48 53

18. ALJABAR MAX-PLUS
Selanjutnya diuji dengan memasukkan input x(0) =
2
4
1
0
3
3
5
Diperoleh nilai X dan y seperti berikut ini:
X =
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
3 8 13 18 23 28 33 38 43 48
y = 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51

19. ALJABAR MAX-PLUS
Dicoba untuk input x(0) =
2
4
3
5
2
1
4
Hasilnya:
X =
2 7 12 17 22 27 32 37 42 47
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46
4 9 14 19 24 29 34 39 44 49
y = 7 12 17 22 27 32 37 42 47 52

20. ALJABAR MAX-PLUS
x(0) =
2
4
3
5 merupakan keadaan yang baik untuk mengawali saat
2
1
4
keadaan sistem aktif, yaitu waktu dimana semua pabrik di Jepang,
Thailand, maupun Indonesia mulai berproduksi. Sebab dengan
kondisi ini, akan diperoleh suatu jadwal dari setiap pabrik, yakni
setiap pabrik akan bekerja secara teratur dengan periode sama
dengan 5.