penerapan turunan

1. Bina Mahunika By Mr. T
1
Maksimum dan Minimum Fungsi
Kegiatan Belajar 1 : Turunan Pertama dan Kedua
 Titik maksimum atau minimum fungsi didapat dari turunan pertama dan turunan
kedua fungsi.
Contoh dalam Ekonomi:
Kehadiran produsen selalu ingin memaksimumkan keuntungan dan untuk
konsumen selalu ingin mendapatkan kepuasan maksimum.
 Konsep Turunan Pertama
Nilai maksimum/minimum diperoleh bila F’(x) = 0
.f’(a)>0 maka f(x) fungsi menaik di titik x=a
.f’(a)<0 maka f(x) fungsi menurun di titik x=a
Contoh:
Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal (jika ada) dari fungsi:
y= 2x3
+ 3x2
– 36x + 4
Jawab:
03666)(' 2
 xx
dx
dy
xf
.x2
+x-6=0
.(x+3).(x-2)=0
.x1=-3 dan x2 =2
f(x)= 2x3
+ 3x2
– 36x + 4
f(-3) = 85 dan f(2)= - 40
x -3-
-3 -3+
2-
2 2+
f’(x) + 0 - - 0 +
Sketsa
gambar
Maks
(-3,85)
Min
(2,-40)
Grafiknya adalah :
(-3,85)
(2,-40)
4
0
 Turunan Kedua
Turunan kedua adalah turunan dari turunan pertama (y’’= f’’(x) = 2
2
dx
yd
)
 Contoh :
.y = x4
– 3x2
+ 5x
Turunan pertama
dx
dy
= 4x3
- 6x + 5
Turunan kedua 2
2
dx
xd
= 12x2
– 6
 Konsep Turunan Kedua
Jika f(x) dan f’(x) continue pada x=a dan f ’(a)=0 maka :
Jika








..............0)(''
....0)(''
...min.0)(''
dilakukandapattidaktesaf
axpadalokalmaksimumtitikaf
axpadalokalimumtitikaf

2. Bina Mahunika By Mr. T
2
252
3
1 23
 xxxy
Contoh :
252
3
1 23
 xxxy
542
 xx
dx
dy
= 0 (x-5)(x+1) = 0  x1 = 5 dan x2 = -1
422
2
 x
dx
yd








.....5..min.,0.,5
1...,0,1
2
2
2
2
xpadaimumjadi
dx
yd
x
xpadamaksimumjadi
dx
yd
x
Grafiknya adalah :
2
0-1 5
Kegiatan Belajar 2 : Keuntungan Produsen
 Keuntungan (),  = TR – TC
Dimana : TR = penerimaan total (Total Revenue)
TC = biaya total (Total Cost)
 Keuntungan akan maksimum syaratnya :
1) 0
dQ
d
atau MR – MC = 0 atau MR = MC
2) 02
2

dy
xd
atau 0
dQ
dMC
dQ
dMR
 Contoh :
Bila penerimaan total TR=100Q-4Q2
dan biaya total TC=50+20Q, tentukan
jumlah output (Q) yang harus diproduksi agar produsen dapat keuntungan
maksimum?
Jawab :
  = TR – TC
= 100Q-4Q2
– (50+20Q)
= 80Q – 4Q2
-50
 akan maksimum bila 1) 0
dQ
d
=80 – 8Q  Q=10
2) 02
2

dQ
d 
 82
2

dQ
d 
Cara lain : Keuntungan maksimum
MR=MC
TR=100Q-4Q2
TC=50+20Q
100-8Q = 20  Q= 10
Pasar Monopoli
Contoh :
Bila fungsi permintaan yang dihadapi oleh monopolis adalah P = 12 - 4Q dan biaya
total yang dihadapi adalah TC = 8Q – Q2
, maka berapakah keuntungan maksimum
yang didapat ?
Jawab :
P = 12 – 4Q
TR = P.Q, TR = 12Q – 4Q2
TC = 8Q – Q2

3. Bina Mahunika By Mr. T
3
 = TR – TC
= 12Q – 4Q2
– 8Q + Q2
= 4Q – 3Q2
 maksimum bila:
0
dQ
d
064  Q
dQ
d
 -6Q = -4
Q =
3
2
6
4

Untuk Q =
3
2
, 62
2

dQ
d 
, atau 02
2

dQ
d 
 Didapat Keuntungan Maksimum
Keuntungan =  = 4Q – 3Q2
 =
2
3
2
3
3
2
4 











=
3
4
3
4
3
8

Pasar Persaingan Sempurna
Contoh :
Pada persaingan sempurna biaya rata-rata seorang produsen sbb
Q
QQAC
600
50025
3
1 2

Berapakah keuntungan maksimum yang dapat diperoleh bila harga per unitnya adalah
P = 100
Jawab :
Biaya Rata-rata
Q
QQAC
600
50025
3
1 2

Biaya Total 60050025
3
1 23
 QQQTC
Biaya Marginal 500502
 QQMC
Penerimaan Marginal MR = P = 100
Keuntungan maksimum jika 1) MR = MC
2)
dQ
dMC
dQ
dMR

1) MR = MC
50050100 2
 QQ
Q2
– 50Q + 400 = 0
(Q-10)(Q-40)=0
Q1=10 dan Q2=40
2)
dQ
dMC
dQ
dMR

502
0


Q
dQ
dMC
dQ
dMR
30,40. 
dQ
dMC
makaQuntuk (jadi yang dipakai Q=40 karena
dQ
dMC
dQ
dMR
 )
30,10. 
dQ
dMC
makaQuntuk
Pada Q=40, maka TR = P.Q=40x100=4000
60050025
3
1 23
 QQQTC =1933
3
1
Maka  = TR – TC = 4000 - 1933
3
1
= 2066
3
2