Makalah ini membahas analisis kestabilan, kekontrolan, dan keteramatan sistem persamaan gerak roket tipe RKX-200 LAPAN melalui proses linearisasi persamaan gerak nonlinear. Analisis dilakukan untuk kecepatan mach 1 dan mengasumsikan roket sebagai benda tegar dengan massa konstan serta sudut serang nol.

1. Makalah Matematika Sistem
Analisa Kestabilan,Kekontrolan dan Keteramatan Sistem Persamaan
gerak Roket Tipe RKX-200 LAPAN
Oleh:
Al

2. an Mucti (1213201024)
Petrus Fendiyanto (1213201002)
Putri Pradika Wanti (1213201022)
Dosen Pengampu:
Dr.Mardlijah,M.T
NIP. 19670114 199102 2 001
Pascasarjana Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya
2014

3. Contents
1 Pendahuluan 2
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Tinjauan Pustaka 4
2.1 Geometri Roket RKX-200 LAPAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Sistem Sumbu Badan (Xb; Yb;Zb) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Model Persamaan Roket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Pembahasan 7
3.1 Linearisasi Persamaan Gerak Roket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Matriks State Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.1 State Space Persamaan Gerak Longitudinal . . . . . . . . . . 11
3.2.2 State Space Persamaan Gerak Roket Lateral-Directional . . . 14
3.3 Analisa Kestabilan Roket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.1 Analisa Kestabilan Roket pada Persamaan Gerak Longitudinal 17
3.3.2 Analisa Kestabilan Roket pada Persamaan Gerak Lateral-directional 17
3.4 Keterkontrolan dan Keteramatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4.1 Kekontrolan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4.2 Keteramatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1

4. 1 Pendahuluan
1.1 Latar Belakang
Secara umum, roket memiliki enam derajat kebebasan gerak yang terdiri dari
tiga gerak translasi (p; q; r). Sehingga memungkinkan roket bergerak tidak stabil.
Dalam analisa lebih lanjut diperlukan sistem persamaan gerak roket yang stabil.
Sistem persamaan roket merupakan merupakan persamaan nonlinear tiga dimensi
yang rumit dan kompleks. Dalam analisa lebih lanjut diperlukan proses hampiran
persamaan nonlinear dengan bentuk linear yaitu proses linearisasi.
Persamaan gerak roket dapat dibagi menjadi dua bagian, yaitu gerak lon-
gitudinal dan gerak lateral-directional. Gerak longitudinal adalah gerak yang di-akibatkan
oleh gaya-gaya yang bekerja pada arah bidang simetris XZ. Pada gerak
longitudinal ini terdapat dua gerak translasi dan satu gerak rotasi. Sedangkan,
gerak lateral-directional adalah gerak yang melibatkan gaya-gaya yang bekerja pada
arah samping (yawa) dan memutar (rol ). Pada gerak lateral-directional terdapat
dua gerak rotasi dan satu gerak translasi. Gerakan roket ini ditentukan oleh sirip
yang berada pada tail (ekor roket), meliputi elevator, rudder, dan aileron. sirip-sirip
inilah yang nantinya mengontrol pergerakan suatu roket.
1.2 Batasan Masalah
Batasan masalah dalam tugas makalah ini adalah:
1. Roket dianggap rigid body (benda tegar).
2. Massa roket diasumsikan konstan.
3. Sudut serang (angle of attack ) dianggap nol.
4. Fase yang diamati hanya pada fase sustainer (fase setelah pembakaran pro-pelan
atau bahan bakar utama habis pada ketinggian tertentu).
5. Diasumsikan tidak terjadi coupling antara gerak longitudinal dan gerak lateral-
directional.
6. Dianalisa hanya pada kecepatan mach 1.0
1.3 Tujuan
Tujuan dari tugas makalah ini adalah:
1. Untuk melinearisasi persamaan nonlinear gerak roket.
2. Untuk menentukan kestabilan persamaan gerak roket tipe RKX-200.
3. Untuk menentukan keterkontrolan persamaan gerak roket tipe RKX-200.
2

5. 4. Untuk menentukan keteramatan persamaan gerak roket tipe RKX-200.
5. Untuk menentukan simulasi dari gerak roket tipe RKX-200.
3

6. 2 Tinjauan Pustaka
2.1 Geometri Roket RKX-200 LAPAN
Roket RKX-200 LAPAN merupakan roket kendali yang mempunyai diameter
200 mm. Berikut ini karakteristik dari RKX-200 LAPAN pada fase sustaining adalah
sebagai berikut:
Roket RKX-LAPAN mempunyai empat tail

7. n, yang masing-masing terdiri
dari dua tail

8. n vertikal dan horizontal yang berfungsi sebagai sirip kendali. Sirip
kendali roket ada tiga jenis, yaitu elevator, rudder, dan aileron. Kontrol elevator
merupakan kontrol yang mengatur gerakan naik turun hidung roket. Tail yang
bekerja pada kontrol elevator adalah tail

9. n horizontal. Kontrol rudder merupakan
kontrol yang dapat membelokkan hidung roket ke kanan dan ke kiri. Tail yang
bekerja pada kontrol rudder adalah tail

10. n vertikal. Sedangkan kontrol aileron
merupakan kontrol yang megatur gerak roll (memutar) roket.
Berikut ini adalah gambaran umum bentuk RKX-200 LAPAN
Gambar. Bentuk Roket RKX-200 LAPAN
4

11. 2.2 Sistem Sumbu Badan (Xb; Yb;Zb)
Sistem sumbu badan merupakan sumbu yang mengacu pada badan wahana
roket. Sumbu Xb terletak sepanjang sumbu longitudinal roket dan positif ke depan,
sumbu Yb teag lurus pada bidang geometri dan positif kearah kanan, sedangkan
sumbu Zb pada bidang simetri tegak roket dan tegak lurus terhadap sumbu Xb pada
kedudukan terbang datar. Sistem sumbu wahana pada roket ini dapat ditunjukkan
pada gambar di bawah ini
Gambar. Sistem sumbu roket
Berikut ini akan ditampilkan tabel variabel gerak roket pada masing-masing
sumbu
2.3 Model Persamaan Roket
Persamaan gerak roket merupakan model persamaan nonlinear. Jika diasum-sikan
roket sebagai benda tegar, maka roket mempunyai enam derajat kebebasan.
Berdasarkan hukum kedua Newton, persamaan gerak roket dapat dibagi menjadi
dua, yaitu persamaan gaya dan persamaan momen.
F = m
d
dt
(mV )
=
d
dt
(H)
5

12. Kemudian dengan mentransformasikan persamaan gaya dan momen dalam
acuan koordinat sumbu bumi, persamaan gerak roket secara umum dapat dituliskan
sebagai berikut
Fx = m(u_ + qw vr + sin)
Fy = m(v_ + ur pw gcossin)
Fz = m(w_ + vp uq gcossin)
L = Ixxp_ Ixx(r_ + pq) + qr(Izz Iyy)
M = Iyyq_ + Ixz(p2 r2) + pr(Ixx Izz)
N = Izzr_ Ixzp_ + pq(Iyy Ixx) Ixzqr
Untuk penyelesaian persamaan di atas diperlukan persamaan kecepatan an-guler
yang ditransformasikan dari koordinat sumbu bumi ke koordinat sumbu badan.
p = _
_
sin
q = _ sin + _
cos sin
r = _ sin + _
cos cos
6

13. 3 Pembahasan
3.1 Linearisasi Persamaan Gerak Roket
Persamaan nonlinear gerak roket termasuk persamaan yang rumit, sehingga
perlu dilakukan penyederhanaan untuk kepentingan analisa. Dalam hal ini, per-samaan
nonlinear akan dilinearisasi menggunakan teori gangguan kecil dititik kese-timbangannya.
Teori gangguan kecil ini mengasumsikan bahwa gerak roket terdiri
dari pergeseran kecil dari kondisi terbang stabil. Dengan kata lain, semua variabel
dari persamaan gerak roket diganti dengan nilai kesetimbangan ditambah dengan
nilai kesetimbangan ditambah dnegan gangguan.
Teori gangguan kecil ini mengasumsikan bahwa gerak roket terdiri dari perge-seran
kecil dari kondisi terbang stabil. Dengan kata lain, semua variabel dari per-samaan
gerak roket diganti dengan nilai kesetimbangan ditambah gangguan, seperti
berikut ini:
Fx = Fx0 + Fx u = u0 + u
Fy = Fy0 + Fy v = v0 + v
Fz = Fx0 + Fz w = w0 + w
p = p0 + p = 0 +
q = q0 + q = 0 +
r = r0 + r = 0 +
Semua variabel yang berindeks nol merupakan nilai kesetimbangan, sedangkan i
merupakan nilai perubahan kecil (gangguan) terhadap titik kesetimbangannya. Ke-mudian
dengan mensubstitusikan variabel gerak seperti di atas, maka persamaan
7

14. gerak roket menjadi:
(Fx0 + Fx) = m((u_0 + u_ ) + (q0 + q)(w0 + w) (r0 + r)(v0 + v)
+ g sin(0 + ))
(Fy0 + Fy) = m((v_0 + v_) + (r0 + r)(u0 + u) (p0 + p)(w0 + w)
g cos(0 + ) sin(0 + ))
(Fz0 + Fz) = m((w_0 + w_ ) + (p0 + p)(v0 + v) (q0 + q)(u0 + u)
g cos(0 + ) cos(0 + ))
(L0 + L) = Ixx(p_0 + p_) Ixz(r_0 + r_) + (q0 + q)(r0 + r)(Izz Iyy)
Ixz(p0 + p)(q0 + q)
(M0 + M) = Iyy(q_0 + q_) + (r0 + r)(q0 + q)(Ixx Izz)
+ Ixz
(p0 + p)2 (r0 + r)2
(N0 + N) = Izz(r_0 + r_) Ixz(p_0 + p_0) + (p0 + p)(q0 + q)(Iyy Ixx)
Ixz(q0 + q)(r0 + r)
(p0 + p) = (_
+ _
) ( _
0 + _
sin(0 + )
(q0 + q) = (_ + _) cos(0 + ) + ( _0 + ) cos(0 + ) sin(0 + )
(r0 + r) = (_ + _) sin(0 + ) + ( _0 + ) cos(0 + ) cos(0 + )
Ketika gangguan dari kondisi rata-rata dianggap kecil, maka berlaku sebagai
berikut:
1. perkalian (product) antar gangguan dianggap nol.
2. sinus dari sudut gangguan dianggap sama dengan sudut gangguan, sedangkan
cosinus dari sudut gangguan dianggap sama dengan satu.
Persamaan sebelumnya merupakan persamaan gerak roket yang terdiri dari
persamaan pada kondisi trim (setimbang) dan persamaan gangguan. Kemudian
dikelompokkan persamaan gerak roket menjadi suku-suku trim dan suku-suku gang-guan.
Apabila komponen persamaan gerak dalam kondisi trim (setimbang) di-hilangkan,
hal ini berakibat berkurangnya komponen pesamaan gaya dan momen
yang bekerja pada roket.
Dalam analisa lebih lanjut perlu dipertimbangkan kasus-kasus penerbangan
roket dengan kondisi sederhana. Misalnya,
1. kondisi terbang lurus (staight) merupakan suatu kondisi terbang yang tidak
mengalami laju perubahan sudut yaw (sudut belok) sehingga menyebabkan
0 = 0
2. kondisi terbang symetric merupakan suatu kondisi terbang lurus yang men-ganggap
sumbu XZ sebagai bidnag simetri, sehingga gerakan roket hanya
dianggap dua dimensi yang tidak melibatkan komponen sumbu Y. Hal ini
menyebabkan tidak adanya kecepatan linear kesamping serta sudut yaw atau
sudut arah samping atau apat ditulis 0 = v0 = 0
8

15. 3. kondisi terbang dengan sirip mendatar merupakan suatu kondisi terbang roket
yang tidak mengalami rolling, artinya roket tidak mengalami gerakan memu-tar.
Sehingga dipenuhi 0 = 0
4. kondisi terbang setimbang merupakan kondisi ideal terbang roket yang hanya
melibatkan geraj translasi (lurus) saja. Sedangkan gerak rotasi dianggap tidak
ada. Hal ini menyebabkan p0 = q0 = r0 = p_0 = q_0 = r_0 = 0:
Sehingga persamaannya menjadi:
Fx = m(u_ + w0q + g cos 0)
Fy = m(v_ + u0r w0p g cos 0)
Fz = m(w_ u0q + g sin 0 cos '0)
L = Ixxp_ Ixzr_
M = Iyyq_
N = Izzr_ Ixzp_
p = _
_
sin 0
q = _
r = _
cos 0
Gangguan dalam analisa gerak roket sangat berpengaruh pada gaya dan
momen roket. Gangguan-gangguan ini secara tidak langsung ditransormasikan ke
dalam bentuk fungsi gangguan. Fungsi gangguan dalam roket terdiri dari fungsi
perubahan kecepatan, percepatan dan sudut de
eksi sirip atau sayap roket.
Berikut ini adalah fungsi-fungsi gangguan yang paling dominan pada gaya
dan momen roket:
Fx = f1(u;w;e)
Fy = f2(v;p;r)
Fz = f3(u;w;w_ ;q;e)
L = f4(v;p;r;r;a)
M = f5(u;p;w;w_ r;q;e)
N = f6(v;p;r;r;a)
9

16. Kemudian, fungsi gangguan pada gaya dan momen tersebut dideretkan dengan
menggunakan ekspansi deret Taylor sebagai berikut:
Fx =
@Fx
@u
u +
@Fx
@w
w +
@Fx
@e
e
Fy =
@Fy
@v
v +
@Fy
@r
r +
@Fy
@r
r
Fz =
@Fz
@u
u +
@Fz
@w
w +
@Fz
@q
q +
@Fz
@e
e
L =
@L
@v
v +
@L
@r
r +
@L
@r
r +
@L
@a
a
M =
@M
@u
u +
@M
@w
w +
@M
@q
q +
@M
@e
e
N =
@N
@v
v +
@N
@r
r +
@N
@r
r +
@N
@a
a
Dengan menyamakan persamaan sebelumnya sehingga persamaannya men-jadi:
@Fx
@u
u +
@Fx
@w
w +
@Fx
@e
e = m[u_ + w0q + g cos 0]
@Fy
@v
v +
@Fy
@r
r +
@Fy
@r
r = m(v_ + u0r w0p g cos 0)
@Fz
@u
u +
@Fz
@w
w +
@Fz
@q
q +
@Fz
@e
e = m(w_ u0q + g sin 0 cos '0) (1)
@L
@v
v +
@L
@r
r +
@L
@r
r +
@L
@a
a = Ixxp_ Ixzr_
@M
@u
u +
@M
@w
w +
@M
@q
q +
@M
@e
e = Iyyq_
@N
@v
v +
@N
@r
r +
@N
@r
r +
@N
@a
a = Izzr_ Ixzp_ (2)
Jika masing-masing komponen persamaan (1) dibagi dengan massa (m), sedan-gkan
komponen pada persamaan (2) dibagi dengan momen inersia (I), maka dengan
mengikuti de

17. nisi di bawah ini:
Fxi =
1
m
@Fx
@i
Li =
1
Ixx
@L
@i
Fyi =
1
m
@Fy
@i
Mi =
1
Iyy
@M
@i
Fzi =
1
m
@Fz
@i
Ni =
1
Izz
@N
@i
10

18. dengan i merupakan indeks yang menyatakan komponen variabel gangguan yang
paling dominan pada masing-masing koordinat sumbu X; Y;Z. Sehingga persamaan
gerak roket menjadi seperti berikut ini:
Fxuu + Fxww + Fxee = u_ + w0q + g cos 0
Fyvv + Fyvp + Fyrr + Fyre = v_ + u0r w0p g cos 0
Fzuu + Fzww + Fzw_w_ + Fzqq + Fzee = w_ u0q + g sin 0 (3)
Lvv + Lpp + Lrr + Lrr =
Ixx
Ixx
p_
Ixz
Ixx
r_
Muu +Mww_ +Mqq +Mee =
Iyy
Iyy
q_
Nvv + Npp + Nrr + Naa =
Izz
Izz
r_
Ixz
Ixx
p_ (4)
Jika persamaan (3) dan (4) ditulis dalam bentuk persamaan diferensial orde
pertama, maka persamaan gerak roket menjadi:
u_ = Fxuu + Fxww + Fxee w0q g cos 0
v_ = Fyvv + Fypp + Fyrr + Fyre u0r + w0p + g cos 0
w_ = Fzuu + Fzww + Fzw_w_ + Fzqq + Fzee + u0q g sin 0
p_ = Lvv + Lpp + Lrr + Lrr +
Ixz
Ixx
r_
q_ = Muu +Mww +Mw_w_ +Mqq +Mee
r_ = Nvv + Npp + Nrr + Naa +
Ixz
Ixx
p_
dengan Fxi; Fyi; Fzi; Li;Mi;Ni adalah parameter terbang roket.
3.2 Matriks State Space
Pembentukan matriks state space ini dilakukan pada masing-masing gerak
roket, yaitu gerak longitudinal dan gerak lateral-directional.
3.2.1 State Space Persamaan Gerak Longitudinal
Gerak longitudinal merupakan gerakan yang diakibatkan oleh gaya-gaya yang
bekerja pada bidang simetri XZ. Gerak ini melibatkan kecepatan linear ke depan
u, kecepatan linear ke atas z, laju sudut angguk (pitch rate q) dan sudut angguk
(pitch attitude ). Sehingga persamaan gerak longitudinalnya adalah
u_ = Fxuu + Fxww + Fxee w0q g cos 0
w_ = Fzuu + Fzww + Fzw_w_ + Fzqq + Fzee + u0q g sin 0
q_ = Muu +Mww +Mw_w_ +Mqq +Mee
_ = q
11

19. Dalam analisa kestabilan ada beberapa parameter terbang yang perlu diabaikan,
hal ini dikarenakan parameter tersebut tidak berpengaruh signi

20. kan terhadap re-spon
gerak roket. Pada gerak longitudinal ini parameter yang diabaikan adalah Fzq
dan Fzw.
Dengan menggunakan sumbu kestabilan (keseimbangan) roket, w0 dapat di-anggap
nol. Sedangkan 0 sama dengan sudut jalur terbang
0 jika sudut serabf 0
diasumsikan nol. Sehingga persamaan gerak longitudinal berubah menjadi:
u_ = Fxuu + Fxww + Fxee g cos 0
w_ = Fzuu + Fzww + u0q g sin 0 + Fzee
q_ = Muu +Mww +Mw_w_ +Mqq +Mee
_ = q
Dalam kasus ini sudut lintas terbang
0 dianggap nol, dengan alasan agar roket di-harapkan
bergerak pada lintasan (jalur terbang) yang lurus. Sehingga persamaannya
menjadi:
u_ = Fxuu + Fxww + Fxee g cos 0 (5)
w_ = Fzuu + Fzww + u0q + Fzee (6)
q_ = Muu +Mww +Mw_w_ +Mqq +Mee (7)
_ = q (8)
kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (6) ke persamaan (7) maka per-samaan
gerak longitudinal roket menjadi:
u_ = Fxuu + Fxww + Fxee g cos 0
w_ = Fzuu + Fzww + u0q + Fzee
q_ = (Mu +MwFzu)u + (Mw +MwFzw)w + (Mq +Mwu0)q + (Me +MwFze)e
_ = q
Jika persamaan untuk gerak longitudinal di atas dibentuk ke dalam matriks ruang
keadaan (state space) x_ (t) = Ax(t) + Bu(t), maka:
x_ =
2
u_
w_
q_
_
664
3
775
; u = [e]
A =
2
Fxu Fxw 0 g
Fzu Fzw u0 0
664
~M
u M~w ~M
q 0
0 0 1 0
3
775
;B =
2
664
Fxe
Fze
Me +Mw_Fze
0
3
775
12

21. keterangan:
~M
u = Mu +Mw_Fzu
M~w = Mw +Mw_Fzw
~M
q = Mq +Mw_ u0
atau jika ditulis secara lengkap menjadi:
2
u_
w_
q_
_
664
3
775
=
2
Fxu Fxw 0 g
Fzu Fzw u0 0
664
~M
u M~w ~M
q 0
0 0 1 0
3
775
2
u
w
q
664
3
775
+
2
664
Fxe
Fze
Me +Mw_Fze
0
3
775
[e]
Pada analisa gerak longitudinal ini output yang diharapkan ada empat yaitu
kecepatan linear sumbu-x (u), kecepatan linear sumbu-z (w), laju sudut angguk (q),
dan sudut angguk (). Berikut ini adalah output y = Cx(t) dari masing-masing
output yang diharapkan:
karena pada makalah ini diasumsikan hanya pada kecapatan 1.0 mach maka
parameter roket RXK-200 pada gerak longitudinal berdasarkan data dari LAPAN
adalah sebagai berikut :
FXu =
(CDu + 2CDo)Qs
mU0
= 0; 613 FXw =
(CD CLo)Qs
mU0
= 0; 038
FXe =
Qs
m
CDe = 0 FZu =
(CLu + 2CLo)Qs
mU0
= 0; 383
FZw =
(CL CDo)Qs
mU0
= 0; 191 FZe =
Qs
m
CZe = 1; 304
Mu = CMu
Qsc
U0Iy
= 0; 096 Mw_ = CM_
Qsc
U0Iy
c
2U0
= 0; 632
Mw = CM
Qsc
U0Iy
= 0; 009 Mq = CMq
Qsc
U0Iy
c
2
= 36; 168
Me = CMe
Qsc
Iy
= 0; 327
13

22. jika parameter diatas disubtitusikan ke Matriks Space persamaan gerak Longitudinal
maka Matriks Space yang terbentuk adalah :
2
u_
w_
q_
_
664
3
775
=
2
0; 613 0; 038 0 9; 8
0; 383 0; 191 34 0
0; 578 0; 11 14; 68 0
664
0 0 1 0
3
775
2
664
u
w
q
3
775
+
2
0
1; 304
1; 151
0
664
3
775
[e]
3.2.2 State Space Persamaan Gerak Roket Lateral-Directional
Gerak lateral-direction adalah gerakan roket yang melibatkan kecepatan linear
ke samping v, laju sudut rool p, laju sudut yaw r, sudut rool, sudut yaw . Dalam
kasus ini sudut yaw diabaikan untuk mereduksi bentuk matriks. Pengabaian ini
tidak berpengaruh terhadap gerak roket lateral-directional. Sehingga persamaan
gerak roket yang terlibat dalam gerak lateral-directional adalah sebagai berikut:
v_ = Fyvv + Fypp + Fyrr + Fyre u0r + w0p + g cos 0
p_ = Lvv + Lpp + Lrr + Lrr +
Ixz
Ixx
r_
r_ = Nvv + Npp + Nrr + Naa +
Ixz
Ixx
p_
_
= p + r tan 0
Pada gerak roket lateral-direction, parameter terbang yang sering diabaikan
dalam analisa gerak roket adalah Fyp dan Fyr . Hal ini dikarenakan parameter terse-but
tidak berpengaruh besar terhadap respon gerak roket. Disamping itu, w0 = 0,
ssehingga persamaannya menjadi:
v_ = Fyvv + Fyre u0r + g cos 0 (9)
p_ = Lvv + Lpp + Lrr + Lrr +
Ixz
Ixx
r_ (10)
r_ = Nvv + Npp + Nrr + Naa +
Ixz
Ixx
p_ (11)
_
= p + r tan 0 (12)
dengan memisalkan Ixz
Ixx
= IA dan Ixz
Izz
= IB, kemudian dengan mensubstitusikan
persamaan (10) ke persamaan (11) dan sebaliknya, maka diperoleh:
v_ = Fyvv + Fyre u0r + g cos 0
_ p = bL
vv +bL
pp +bL
rr +bL
rr +bL
aa
r_ = Nbvv + Nbpp + Nbrr + Nbaa + b Nrr
_
= p + r tan 0
14

23. dengan:
bL
v = (IANv + Lv) b Nv = (IBLv + Nv)
bL
p = (IANp + Lp) b Np = (IBLp + Np)
bL
r = (IANr + Lr) b Nr = (IBLr + Nr)
bL
a = (IANa + La) b Na = (IBLa + Na)
bL
r = (IANr + Lr ) b Nr = (IBLr + Nr )
Dalam analisa kestabilan slideslip angels (

24. ) sering digunakan sebagai state
variabel dari pada slideslip velocity (v), sehingga untuk sudut serang yang sangat
kecil dipenuhi kondisi v = u0

25. atau

26. = v
u0
. Akibatnya, persamaan gerak
lateral-directional menjadi:

27. = Fyv

28. + r
g cos 0
u0
+
Fyrr
u0
_ p = bL

29. +bL
pp +bL
rr +bL
rr +bL
aa
r_ = Nb

30. + Nbpp + Nbrr + Nbaa + b Nrr
_
= p + r tan 0
dengan:

31. = bL
vu0
b N

32. = b Nvu0
bL
Pada roket berlaku bahwa sudut angguk 0 sama dengan jalur sudut lintas (path
ight angle)
0. Dalam kasus ini
0 = 0, agar roket melintas pada jalur lurus
sehingga persamaannya menjadi:

33. = Fyv

34. + r
g
u0
+
Fyrr
u0
_ p = bL

35. +bL
pp +bL
rr +bL
rr +bL
aa
r_ = Nb

36. + Nbpp + Nbrr + Nbaa + b Nrr
_
= p
Kemudian persamaan yang telah diperoleh dibentuk kedalam matriks state
space x_ (t) = Ax(t) + Bu(t), dengan
x_ =
2
_

37. p_
r_
_
664
3
775
; u =
r
a
15

38. A =
2
Fyv 0 1 g
664
u0 bL

39. bL
p bL
r 0
b N

40. b Np b Nr 0
0 1 0 0
3
775
;B =
2
Fyr 0
664
bL
r
bL
a b Nr
b Na
0 0
3
775
jika matriks state space ditulis secara lengkap menjadi:
2
_

41. p_
r_
_
664
3
775
=
2
Fyv 0 1 g
664
u0 bL

42. bL
p bL
r 0
b N

43. b Np b Nr 0
0 1 0 0
3
775
2

44. p
r
664
3
775
+
2
Fyr 0
664
bL
r
bL
a b Nr
b Na
0 0
3
775
r
a
Pada analisa kestabilan gerak lateral-directional ini output yang diharapkan
ada empat yaitu, slidelip angles (

45. ), laju sudut rool (). Berikut ini adalah output
y = Cx(t) dari masing-masing output yang diharapkan:
Pada kecepatan mach 1.0 Parameter yang diinput pada persamaan gerak lateral-
directional berdasarkan data dari LAPAN adalah :
Yv =
QsCy

46. mU0
= 2; 305 Yr =
Qscyr
m
= 0; 03
L

47. =
QsbClb
Ixx
= 2; 694 Lp =
Qsb2Clr
2IxxU0
= 5; 348
Lr =
Qsb2Clr
2IxxU0
= 0; 069 Lr =
QsbClr
Ixx
= 26; 94
La =
QsbCla
Ixx
= 0 N

48. =
QsbC

49. Iyy
= 9; 226
Np =
Qsb2Cp
2IzzU0
= 0:0003 Nr =
Qsb2Cr
2IzzU0
= 7; 708
Nr =
QsbCr
Izz
= 0; 304 Na =
QsbCa
Izz
= 0; 304
16

50. jika parameter tersebut disubtitusikan pada matriks state space persamaan gerak
lateral-directional maka matriks state space yang terbentuk adalah :
2
_

51. p_
r_
_
664
3
775
=
2
2; 305 0 1 0; 288
2; 694 5; 348 0; 059 0
9; 226 0; 0003 7; 708 0
664
0 1 0 0
3
775
2

52. p
r
664
3
775
+
2
0 0
26; 94 0
0; 304 0; 304
0 0
664
3
775
r
a
3.3 Analisa Kestabilan Roket
Kestabilan roket akan dianalisa berdasarkan persamaan gerak Longitudinal
dan gerak Lateral-directional
3.3.1 Analisa Kestabilan Roket pada Persamaan Gerak Longitudinal
berdasarkan matriks state space pada gerak Longitudinal untuk menentukan kesta-bilan
dengan melihat nilai karakteristik dari yang diperoleh dengan rumus det(I
A)

68. sehingga diperoleh nilai karakteristik sebagai berikut : 1 = 14; 4500, 2 =
0; 613 0; 038 0 9; 8
0; 383 0; 191 34 0
0; 578 0; 11 14; 68 0
0 0 1 0
0; 0695, serta 3;4 = 0; 4822 0; 6582
dapat dilihat dari uji kestabilan yang dianalisa pada mach 1.0 menunjukkan semua
bagian real dari nilai eigen bernilai negatif. sehingga dapat dikatakan bahwa
sistem pada persamaan gerak Longitudinal telah stabil.
3.3.2 Analisa Kestabilan Roket pada Persamaan Gerak Lateral-directional
berdasarkan matriks state space pada gerak Lateral-directional untuk menentukan
kestabilan dengan melihat nilai karakteristik dari yang diperoleh dengan rumus
det(I A)

76. 2; 305 0 1 0; 288
2; 694 5; 348 0; 059 0
9; 226 0; 0003 7; 708 0
0 1 0 0

84. sehingga diperoleh nilai karakteristik sebagai berikut : 1 = 5; 1680, 2 =
0; 0411, serta 3;4 = 5; 0760 0; 12972
dapat dilihat dari uji kestabilan yang dianalisa pada mach 1.0 menunjukkan semua
bagian real dari nilai eigen bernilai negatif. sehingga dapat dikatakan bahwa
sistem pada persamaan gerak Lateral-directional telah stabil.
17

85. 3.4 Keterkontrolan dan Keteramatan
Sistem yang telah terbentuk dari persamaan umum :
x_ = Ax + Bu
y = Cx
dapat dicari keterkontrolan dan keteramatannya. Berdasarkan matriks state space
yang telah diperoleh dari persamaan gerak Longitudinal dan gerak Lateral-directional
dapat dianalisa Kekontrolan serta keteramatannya
3.4.1 Kekontrolan
Dari matriks state space pada persamaan gerak longitudinal diperoleh matriks:
A1 =
2
664
0; 613 0; 038 0 9; 8
0; 383 0; 191 34 0
0; 578 0; 11 14; 68 0
0 0 1 0
3
775
B1 =
2
664
3
0
1; 304
1; 151
0
775
sehingga diperoleh matriks Mc1 = [B1 A1B1 A21
B1 A31
B1] sebagai berikut:
Mc1 =
2
0 0; 04955 12; 727 197; 093
1; 304 38; 885 586; 81 8465; 867
1; 151 17; 040 245; 842 3551; 782
0 1; 151 17; 040 245; 842
664
3
775
diperoleh rank dari matriks Mc1 adalah 4. Sedangkan pada persamaan gerak
Lateral-directionalnya diperoleh:
A2 =
2
664
2; 305 0 1 0; 288
2; 694 5; 348 0; 059 0
9; 226 0; 0003 7; 708 0
0 1 0 0
3
775
B2 =
2
0 0
26; 94 0
0; 304 0; 304
0 0
664
3
775
18

86. sehingga diperoleh matriks Mc2 = [B2 A2B2 A22
B2 A32
B2] sebagai berikut:
Mc2 =
2
0 0 0; 304 0; 304 10; 794 3; 0439 81; 52 22; 268
26; 94 0 144; 057 0; 018 771; 099 0; 584 4152; 02 10; 427
0; 304 0; 304 2; 335 2; 343 15; 151 15; 256 16; 964 89; 51
0 0 26; 94 0 144; 057 0; 0179 771; 099 0; 5848
664
3
775
diperoleh rank dari matriks Mc2 adalah 4. karena rank pada matriks Mc1 dan
Mc2 adalah 4 yaitu sama dengan dimensi matriks A1 dan A2 sehingga sistem pada
persamaan gerak Longitudinal dan gerak Lateral-directional dapat dikatakan terkon-trol.
3.4.2 Keteramatan
Berdasarkan matriks state space pada persamaan gerak Longitudinal dan gerak
Lateral-directional telah diberikan output matriks C1 untuk persamaan gerak Lon-gitudinal
dan C2 untuk persamaan gerak Lateral-directional sebagai berikut:
C1 =
2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
664
3
775
C2 =
2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
664
3
775
untuk mengetahui apakah sebuah sistem dapat teramati maka dapat diperoleh dari
matriks:
Mt1 =
2
C
CA1
CA21
CA31 3
664
775
untuk persamaan gerak Longitudinal dan matriks:
Mt2 =
2
C
CA2
CA22
CA32
664
3
775
19

87. untuk persamaan Lateral-directional. Jika nilai matriks A1 dan C1 disubtitusi ke
matriks Mt1 diperoleh:
Mt1 =
2
666666666666666666666666664
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0; 613 0; 038 0 9; 8
0; 383 0; 191 34 0
0; 578 0; 110 14:68 0
0 0 1 0
0; 3612 0; 0305 11:092 6:0074
19:34 3:7181 505:61 3:75
8:881 1:613 211:76 5:664
0; 578 0; 110 14:680 0
6; 620 1:20 169:87 3:539
305; 52 55:59 7292; 2 189:57
128; 46 23; 264 3059; 5 87; 038
8; 881 1; 613 211; 76 5:664
3
777777777777777777777777775
Jika nilai matriks A2 dan C2 disubtitusi ke matriks Mt2 diperoleh:
Mt2 =
2
666666666666666666666666664
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
2:305 0 1 0:288
2:694 5:348 0:059 0
9:226 0:003 7:708 0
0 1 0 0
3
777777777777777777777777775
3:913 0:287 10:013 0:6638
21:161 28:601 1:923 0:775
92:380 0:003916 50:1873 2:6571
2:6940 5:3480 0:059 0
100:6243 2:1995 73:2503 1:126
108:080 153:7341 34:3019 6:0945
675:976 2:6931 294:4631 26:6057
21:1615 28:6011 1:9237 0:775
dari matriksMt1 dan matriksMt2 didapat nilai masing-masing matriks dengan rank
4 yaitu sama dengan dimensi matriks A1 dan matriks A2. sehingga dapat disim-pulkan
bahwa sistem persamaan gerak Longitudinal dan persamaan gerak Lateral-directional
dapat teramati.
20