Salah satu materi kuliah Aljabar Elementer dengan kode mata kuliah PMAT 4133 (4 SKS) - Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak. Baca selengkapnya: https://emanmendrofa.blogspot.com/2020/10/persamaan-nilai-mutlak.html

1. Persamaan
Nilai Mutlak

2. 𝑥
 3 = 3
 −4 = 4

1
2
=
1
2
 −
1
4
=
1
4
0 = 0
𝑥 > 0

3. 𝒙 =
+𝒙, 𝒙 ≥ 𝟎
−𝒙, 𝒙 < 𝟎
 10 = 10
 −6 = −(−6) −6 < 0
=
 5 − 1 = 5 − 1
 2 − 3 = −( 2 − 3 2 − 3 < 0
= 3 − 2
 3 − 2 = 3 − 2

4.  
𝑥 ≤ 𝑎 ⟺ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎
𝑥 ≥ 𝑎 ⟺ 𝑥 ≤ −𝑎 𝑥 ≥ 𝑎
𝑥 = 𝑥2
 
𝑥 × 𝑦 = 𝑥 × 𝑦
𝑥
𝑦
=
𝑥
𝑦
𝑦 ≠ 0
𝑥 − 𝑦 ≥ 𝑥 − 𝑦
𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦

5. 𝑥 − 1 = 2
2𝑥 − 4 = 4
2𝑥 − 1 = 𝑥 − 5
𝑥 − 3 2
− 4 𝑥 − 3 = 3

6. 𝑥 − 1 = 2
2𝑥 − 4 = 4
3 − 2𝑥 = 5
𝑥 − 2 = −1

7. 𝑥 − 1 = 2
𝑥 − 1 = 𝑥 − 1 2
𝑥 − 1 2 = 2
𝑥 − 1 2
= 22
𝑥2
− 2𝑥 + 1 = 4
𝑥2
− 2𝑥 − 3 = 0
𝑥 + 1 𝑥 − 3 = 0
𝑥1 = −1 𝑥2 = 3
𝑥 − 1 = 2 𝑥1 = −1 𝑥2 = 3

8. 2𝑥 − 4 = 4
2𝑥 − 4 2 = 42
4𝑥2 − 16𝑥 + 16 = 16
4𝑥2
− 16𝑥 = 0
4𝑥 𝑥 − 4 = 0
𝑥1 = 0 𝑥2 = 4
2𝑥 − 4 = 4 𝑥1 = 0
𝑥2 = 4
3 − 2𝑥 = 5
3 − 2𝑥 2 = 52
9 − 12𝑥 + 4𝑥2 = 25
4𝑥2
− 12𝑥 − 16 = 0
𝑥2
− 3𝑥 − 4 = 0
𝑥 + 1 𝑥 − 4 = 0
𝑥1 = −1 𝑥2 = 4
3 − 2𝑥 = 5 𝑥1 = −1
𝑥2 = 4

9. 𝑥 − 2 = −1

𝑥 − 2 = −1

10. 𝑥 − 2 = 𝑥 + 1
3 − 𝑥 = 2𝑥 + 1
𝑥 − 2 2
− 4 𝑥 − 2 + 3 = 0
𝑥 − 2 = 𝑥 + 1
𝑥 − 2 2 = 𝑥 + 1 2
𝑥 − 2 2 = 𝑥 + 1 2
𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1
6𝑥 = 3
𝑥 =
1
2
𝑥 − 2 = 𝑥 + 1 𝑥 =
1
2

11. 3 − 𝑥 = 2𝑥 + 1
3 − 𝑥 2 = 2𝑥 + 1 2
3 − 𝑥 2 = 2𝑥 + 1 2
9 − 6𝑥 + 𝑥2 = 4𝑥2 + 4𝑥 + 1
−3𝑥2 − 10𝑥 + 8 = 0
3𝑥2 + 10𝑥 − 8 = 0
𝑥 + 4 3𝑥 − 2 = 0
𝑥1 = −4 𝑥2 =
2
3
3 − 𝑥 = 2𝑥 + 1 𝑥1 = −4 𝑥2 =
2
3

12. 𝑥 − 2 2
− 4 𝑥 − 2 + 3 = 0
𝑥 − 2 = 𝑦
𝑦2
− 4𝑦 + 3 = 0
𝑦 − 1 𝑦 − 3 = 0
𝑦1 = 1 𝑦2 = 3
𝑦1 = 1
𝑥 − 2 = 1
𝑥 − 2 2 = 12
𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 1
𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0
𝑥 − 1 𝑥 − 3 = 0
𝑥1 = 1 𝑥2 = 3
𝑦2 = 3
𝑥 − 2 = 3
𝑥 − 2 2 = 32
𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 9
𝑥2 − 4𝑥 − 5 = 0
𝑥 + 1 𝑥 − 5 = 0
𝑥3 = −1 𝑥4 = 5
𝑥 − 2 2 − 4 𝑥 − 2 + 3 = 0 𝑥 = −1
𝑥 = 1 𝑥 = 3 𝑥 = 5

13. 𝑥 − 4 < 2
2𝑥 − 5 >
2𝑥 − 3 ≤ 𝑥 + 4
𝑥 − 5 2
− 4 𝑥 − 5 − 12 < 0

14. 𝑥 − 3 < 4
2𝑥 + 1 ≤ 7
𝑥 − 2 > 3
3𝑥 − 2 ≥ 4
 
𝑥 ≤ 𝑎 ⟺ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎
𝑥 ≥ 𝑎 ⟺ 𝑥 ≤ −𝑎 𝑥 ≥ 𝑎

15. 𝑥 − 3 < 4
−4 < 𝑥 − 3 < 4
−4 + 3 < 𝑥 − 3 + 3 < 4 + 3
−1 < 𝑥 < 7
𝑥 − 3 < 4 −1 < 𝑥 < 7
𝑥 −1 < 𝑥 < 7 𝑥 ∈ 𝑅
2𝑥 + 1 ≤ 7
−7 ≤ 2𝑥 + 1 ≤ 7
−7 − 1 ≤ 2𝑥 ≤ 7 − 1
−8 ≤ 2𝑥 ≤ 6
−4 ≤ 𝑥 ≤ 3
2𝑥 + 1 ≤ 7 −4 ≤ 𝑥 ≤ 3
𝑥 −4 ≤ 𝑥 ≤ 3 𝑥 ∈ 𝑅

16. 𝑥 − 2 > 3
𝑥 − 2 < −3 𝑥 − 2 > 3
𝑥 − 2 + 2 < −3 + 2 𝑥 − 2 + 2 > 3 + 2
𝑥 < −1 𝑥 > 5
𝑥 − 2 > 3 𝑥 < −1 𝑥 > 5
3𝑥 − 2 ≥ 4
3𝑥 − 2 ≤ −4 3𝑥 − 2 ≥ 4
3𝑥 − 2 + 2 ≤ −4 + 2 3𝑥 − 2 + 2 ≥ 4 + 2
3𝑥 ≤ −2 3𝑥 ≥ 6
𝑥 ≤ −
2
3
𝑥 ≥ 2
3𝑥 − 2 ≥ 4 𝑥 ≤ −
2
3
𝑥 ≥ 2

17. 2𝑥 − 3 < 𝑥 + 4
2𝑥 + 1 ≥ 𝑥 − 2
𝑥 − 1 2 + 𝑥 − 1 < 6
2 < 2 −
1
2
𝑥 ≤ 3
2𝑥 − 3 < 𝑥 + 4
2𝑥 − 3 2 < 𝑥 + 4 2
2𝑥 − 3 2
< 𝑥 + 4 2
4𝑥2 − 12𝑥 + 9 < 𝑥2 + 8𝑥 + 16
3𝑥2
− 20𝑥 − 7 < 0
3𝑥 + 1 𝑥 − 7 < 0

18. 3𝑥 + 1 𝑥 − 7 < 0
𝑥1 = −
1
3
𝑥2 = 7
2𝑥 − 3 < 𝑥 + 4
𝑥 −
1
3
< 𝑥 < 7 𝑥 ∈ 𝑅
−
1
3
-1 870
(+) (+)(−)

19. 2𝑥 + 1 ≥ 𝑥 − 2
2𝑥 + 1 2 ≥ 𝑥 − 2 2
2𝑥 + 1 2 ≥ 𝑥 − 2 2
4𝑥2 + 4𝑥 + 1 ≥ 𝑥2 − 4𝑥 + 4
3𝑥2 + 8𝑥 − 3 ≥ 0
𝑥 + 3 3𝑥 − 1 ≥ 0
𝑥 ≤ −3 𝑥 ≥
1
3
2𝑥 + 1 ≥ 𝑥 − 2
𝑥 𝑥 ≤ −3 𝑥 ≥
1
3
𝑥 ∈ 𝑅

20. 𝑥 − 1 2
+ 𝑥 − 1 < 6
𝑥 − 1 2 + 𝑥 − 1 − 6 < 0
𝑥 − 1 = 𝑦
𝑦2
+ 𝑦 − 6 < 0
𝑦 + 3 𝑦 − 2 < 0
−3 < 𝑦 < 2
𝑦1 > −3
𝑥 − 1 > −3 𝑥 ∈ 𝑅
𝑦2 < 2
𝑥 − 1 < 2
−2 < 𝑥 − 1 < 2
−1 < 𝑥 < 3
𝑥 − 1 2
+ 𝑥 − 1 < 6 𝑥 −1 < 𝑥 <

21. 2 < 2 −
1
2
𝑥 ≤ 3
 𝟐 −
𝟏
𝟐
𝒙 ≤ 𝟑
−3 ≤ 2 −
1
2
𝑥 ≤ 3
−5 ≤ −
1
2
𝑥 ≤ 1
10 ≥ 𝑥 ≥ −2 atau −2 ≤ 𝑥 ≤ 10 ......(1)
 𝟐 −
𝟏
𝟐
𝒙 > 𝟐
2 −
1
2
𝑥 < −2 2 −
1
2
𝑥 > 2 −2
−
1
2
𝑥 < −4 −
1
2
𝑥 > 0 × (−2)
𝑥 > 8 ......(2)
𝑥 < 0 ......(3)
0-2 108
(1)
(2)(3)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah −2 ≤ 𝑥 < 0 atau 8 < 𝑥 ≤ 10

22. Tentukanlah himpunan penyelesaian
persamaan dan pertidaksamaan berikut:
a) 2𝑥 + 1 2
+ 2 2𝑥 + 1 − 15 = 0
b) 𝑥 − 3 2
− 3 𝑥 − 3 ≥ 10