Teks tersebut membahas tentang dimensi metrik hasil operasi korona antara graf lintasan dengan graf lengkap (Pn Km) dan graf sikel dengan graf lintasan (Cn mP2). Dimensi metrik graf Pn Km adalah n(m-1) dan dimensi metrik graf Cn mP2 ditentukan dengan menggunakan batas atas dan batas bawah representasi simpul-simpulnya terhadap himpunan pembeda.

1. Teori Aplikasi Graf
Teori Aplikasi Graf
Dimensi Metrik Hasil Operasi Antara Graf Lintasan Dengan
Graf Lengkap (Pn Km) Dan Graf Sikel Dengan Graf Lintasan
(Cn mP2)
Oleh:
Petrus Fendiyanto (1213201002)
Imamatul Ummah (1213201003)

2. Teori Aplikasi Graf
Pendahuluan
Pendahuluan
Graf merupakan pasangan (V , E), dengan V adalah himpunan
simpul tak kosong dan E adalah himpunan sisi, yaitu pasangan
simpul dari V . Graf biasa dinotasikan dengan G. Setiap sisi
menghubungkan tepat dua simpul, dan setiap simpul dapat
memiliki banyak sisi yang menghubungkan dengan simpul yang
lainnya. Graf yang dibahas dalam paper ini adalah:
Graf Lintasan (Pn)
Graf Sikel (Cn)
Graf Lengkap (Kn)
Dimensi metrik (dim(G)) adalah kardinalitas minimum dari semua
himpunan pembeda pada G. Misalkan u dan v adalah dua simpul
pada graf terhubung G maka jarak dari u ke v adalah panjang
lintasan terpendek antara u dan v pada G (d(u, v)).

3. Teori Aplikasi Graf
Pendahuluan
Beberapa paper yang mengkaji dan membahas mengenai dimensi
metrik pada Graf Lintasan (Pn), Graf Sikel (Cn), dan Graf Lengkap
(Kn):
Johanes (2009) melakukan penelitian tentang dimensi metrik
dari pengembangan graf kincir dengan pola K1 + mKn.
Hindayani (2011) mengembangkan dan mengkaji penelitian
pada dimensi metrik dengan graf Kr + mKs
Septiana dan Budi (2013) mengkaji penelitian dimensi merik
pada graf lintasan, graf lengkap, graf sikel, graf bintang, dan
graf bipartit lengkap

4. Teori Aplikasi Graf
Pendahuluan
Contoh
1 Dipilih W1 = {v1}, representasi setiap simpul pada G
terhadap W1 adalah r(v1|W1) = (0), r(v2|W1) =
(1), r(v3|W1) = (1), r(v4|W1) = (1).
2 Dipilih W2 = {v1, v2}, representasi setiap simpul pada G
terhadap W2 adalah r(v1|W2) = (0, 1), r(v2|W2) =
(1, 0), r(v3|W2) = (1, 1), r(v4|W2) = (1, 1).
3 Dipilih W3 = {v1, v2, v3}, representasi setiap simpul pada G
terhadap W3 adalah r(v1|W3) = (0, 1, 1), r(v2|W3) =
(1, 0, 1), r(v3|W3) = (1, 1, 0), r(v4|W3) = (1, 1, 0). Karena
u = v dan r(u|W3) = r(v|W3), maka dim(G) = 3.

5. Teori Aplikasi Graf
Pendahuluan
Operasi korona pada dua buah graf G dan graf H dinotasikan
dengan G H, didefiniskan sebagai graf yang diperoleh dari
salinan p−simpul graf G dan p salinan H1, H2, · · · , Hp dari H,
yang kemudian bergabung dengan i− simpul dari G untuk setiap
simpul di Hi .
Contoh

6. Teori Aplikasi Graf
Pendahuluan
Teorema-teorema yang berkaitan dengan yang di bahas dalam
paper ini antara lain:
1 Teorema 1.1 (Chartrand, Eroh, Johnson, dan Oellermann,
2000) Misalkan G adalah graf terhubung dengan diameter k
dan order n 2, dimana k < n maka berlaku
f (n, k) dim(G) n − k.
2 Teorema 1.2 (Chartrand dkk, 2000) Misalkan G adalah
sebuah graf terhubung dengan order n 2.
dim(G) = 1 jika dan hanya jika G = Pn.
dim(G) = n − 1 jika dan hanya jika G = Kn.
Untuk n 3, dim(Cn) = 2.
Untuk n 4, dim(G) = n − 2 jika dan hanya jika
G = Kr,s, (r, s 1), G = Kr + Ks, (r 1, s 2) atau
G = Kr + (K1 ∪ Ks).
3 Teorema 1.3 (Chartrand dkk, 2000) Jika u, v ∈ V (G),
d(u, x) = d(v, x) dan x ∈ V (G) − {u, v} maka salah satu
dari vertex u atau v harus menjadi dim W .

7. Teori Aplikasi Graf
Dimensi Metrik graf Pn Km
Dimensi Metrik Hasil Korona Graf Lintasan dan Graf Lengkap
Graf Pn dengan himpunan simpul V (Pn) = {u1, u2, · · · , un} dan
graf lengkap Km dengan himpunan simpul V (Km) = {v1, v2, · · · ,
vm}. Kontruksi dimensi metrik antara Dimensi Metrik graf
Pn Km dengan n = 1
a. P1 K1
Graf P1 K1 = P2, sehingga dim(P1 K1) = dim(P2) = 1.
b. P1 K2
dim(P1 K2) = dim(K3) = 2

8. Teori Aplikasi Graf
Dimensi Metrik graf Pn Km
c. P1 K3
dim(P1 K3) = dim(K4) = 3
d. P1 K4
dim(P1 K4) = dim(K5) = 4
Hasil operasi korona antara graf lintasan order 1 (P1) dengan
graf lengkap (Km) akan menghasilkan graf baru berupa graf
lengkap dengan order m + 1.

9. Teori Aplikasi Graf
Dimensi Metrik graf Pn Km
e. P2 K1
Graf P2 K1= P4, sehingga dim(P4) = 1
f. P2 K2
Diambil W = {v1,1, v2,1}, maka representasi tiap simpulnya:
r(u1|W ) = (1, 2) r(u2|W ) = (2, 1)
r(v1,2|W ) = (1, 3) r(v2,2|W ) = (3, 1)
Sehingga dim(P2 K2)=2.

10. Teori Aplikasi Graf
Dimensi Metrik graf Pn Km
g. P2 K3
Diambil W = {v1,1, v2,1}, maka representasi tiap simpulnya:
r(u1|W ) = (1, 2) r(u2|W ) = (2, 1) r(v1,2|W ) = (1, 3)
r(v2,2|W ) = (3, 1) r(v1,3|W ) = (1, 3) r(v2,3|W ) = (3, 1)
W = {v1,1, v2,1} bukan himpunan pembeda.
Misalkan W = {v1,1, u1, v2,1}, maka representasi tiap simpul:
r(u2|W ) = (2, 1, 1) r(v2,2|W ) = (3, 2, 1) r(v1,3|W ) = (1, 1, 3)
r(v1,2|W ) = (1, 1, 3) r(v2,3|W ) = (3, 2, 1)
Sehingga W = {v1,1, u1, v2,1} bukan himpunan pembeda.

11. Teori Aplikasi Graf
Dimensi Metrik graf Pn Km
Misalkan W = {v1,1, v2,1, v1,2, v2,2}, maka representasi tiap
simpul:
r(u1|W ) = (1, 1, 2, 2) r(v1,3|W ) = (1, 1, 3, 3)
r(u2|W ) = (2, 2, 1, 1) r(v2,3|W ) = (3, 3, 1, 1)
Representasi tiap simpul berbeda, maka dim(P2 K3) = 4.
Bentuk Umum dari graf Pn Km

12. Teori Aplikasi Graf
Dimensi Metrik graf Pn Km
Pola bilangan dimensi metrik graf Pn Km
Teorema 2.1 Misalkan Pn adalah graf lintasan dengan order n dan
Km graf lengkap order m, maka
dim(Pn Km) = n(m − 1)
dengan n 2, m 2.

13. Teori Aplikasi Graf
Dimensi Metrik graf Pn Km
Bukti:
Himpunan simpul dalam graf korona Pn Km adalah
V (Pn Km) = V (Pn ∪i∈vPn V (Km), dengan himpuan simpul
V (Pn) = {u1, u2, · · · , un} dan himpunan simpul
V (Km) = {v1,i , v2,i , v3,i , · · · , vm,i }. Sehingga
V (Pn Km = {∪i {v1,i , v2,i , v3,i , · · · , vm,i }} dengan 1 i n.
Jika untuk setiap simpul va, vb ∈ Km dan simpul ui ∈ Pn maka
diketahui bahwa d(va, vi ) = d(vb, vi ) = 1. Sehingga himpunan
pembeda merupakan simpul-simpul dari graf lengkap Km, untuk itu
diperlukan sebanyak m − 1 simpul sebagai himpunan pembeda.
Terdapat sejumlah n subgraf Km,i dalam graf Pn Km, maka
kardinalitas minimum himpunan pembeda graf Pn Km adalah
n(m − 1) atau dim(Pn Km) n(m − 1). Apabila direduksi
simpul v1 mengakibatkan r(v1|W ) = r(vm|W ), sehingga
n(m − 1) dim(Pn Km) n(m − 1). Dengan demikian
dim(Pn Km) = n(m − 1).

14. Teori Aplikasi Graf
Dimensi Metrik graf Cn mP2
Dimensi Metrik Hasil Korona Graf Sikel dan Graf Lintasan
Graf Cn dengan himpunan simpul V (Cn) = {v1, v2, · · · , vn} dan
graf lintasan dengan orde 2 disebut P2 dengan himpunan simpul
V (P2) = {a1, b1}.
a. C1 2P2
Batas atas Jika W = {a1,1, a1,2} maka representasi dari tiap
simpulnya
r(v1|W ) = (1, 1) r(a1,1|W ) = (0, 2) r(b1,1|W ) = (1, 2)
r(a1,2|W ) = (2, 0) r(b1,2|W ) = (2, 1)
batas atas dim(C1 2P2) 2

15. Teori Aplikasi Graf
Dimensi Metrik graf Cn mP2
Batas bawah
jika W = {v1} maka r(a1,1|W ) = r(b1,1|W ) = r(a1,2|W ) =
r(b1,2|W ), sehingga W bukan resolving set. Jadi batas bawah
dim (C1 2P2) 2.
Sehingga dim(C1 2P2) = 2
b. C2 P2
Batas atas Jika W = {a1,1, a2,1} maka representasi dari tiap
simpulnya
r(v1|W ) = (1, 2) r(b1,3|W ) = (1, 3) r(a1,1|W ) = (0, 3)
r(v2|W ) = (2, 1) r(b2,1|W ) = (3, 1) r(a2,1|W ) = (3, 0)
batas atas dim(C2 P2) 2

16. Teori Aplikasi Graf
Dimensi Metrik graf Cn mP2
Batas bawah
jika W = {v1} maka r(a1,1|W ) = r(b1,1|W ) = r(v2|W ) =
dan r(a2,1|W ) = r(b2,1|W ), sehingga W bukan resolving set.
Jadi batas bawah dim (C2 P2) 2.
Sehingga dim(C2 P2) = 2
c. C2 2P2

17. Teori Aplikasi Graf
Dimensi Metrik graf Cn mP2
Batas atas
Jika W = {a1,1, a1,2, a2,1, a2,2} maka representasi dari tiap
simpulnya
r(v1|W ) = (1, 1, 2, 2) r(b1,1|W ) = (1, 2, 3, 3)
r(v2|W ) = (2, 2, 1, 1) r(b1,2|W ) = (2, 1, 3, 3)
r(a2,1|W ) = (3, 3, 0, 2) r(b2,1|W ) = (3, 3, 1, 2)
r(a2,2|W ) = (3, 3, 2, 0) r(b2,2|W ) = (3, 3, 2, 1)
r(a1,1|W ) = (0, 2, 3, 3) r(a1,2|W ) = (2, 0, 3, 3)
batas atas dim(C2 2P2) 4
Batas bawah
jika W = {a1,1, a1,2, a2,1} maka r(a2,2|W ) = r(b2,2|W )
sehingga W bukan resolving set, batas bawah
dim(C2 2P2) 4.
Sehingga dim(C2 P2) = 4.

18. Teori Aplikasi Graf
Dimensi Metrik graf Cn mP2
d. C3 2P2
Batas atas
Jika W = {a1,1, a1,2, a2,1, a2,2, a3,1, a3,2} maka representasi dari
tiap simpulnya
r(v1|W ) = (1, 1, 2, 2, 2, 2) r(b2,1|W ) = (3, 3, 1, 2, 3, 3)
r(v2|W ) = (2, 2, 1, 1, 2, 2) r(a2,2|W ) = (3, 3, 2, 0, 3, 3)
r(v3|W ) = (2, 2, 2, 2, 1, 1) r(b2,2|W ) = (3, 3, 2, 1, 3, 3)
r(a1,1|W ) = (0, 2, 3, 3, 3, 3) r(a3,1|W ) = (3, 3, 3, 3, 0, 2)

19. Teori Aplikasi Graf
Dimensi Metrik graf Cn mP2
r(b1,1|W ) = (1, 2, 3, 3, 3, 3) r(b3,1|W ) = (3, 3, 3, 3, 1, 2)
r(a1,2|W ) = (2, 0, 3, 3, 3, 3) r(a3,2|W ) = (3, 3, 3, 3, 2, 0)
r(b1,2|W ) = (2, 1, 3, 3, 3, 3) r(b3,2|W ) = (3, 3, 3, 3, 2, 1)
r(a1,1|W ) = (0, 2, 3, 3, 3, 3)
Karena W merupakan resolving set, maka batas atas
dim(C3 2P2) 6
Batas bawah
jika W = {a1,1, a1,2, a2,1, a2,2, a3,1} maka
r(a3,2|W ) = r(b3,2|W ) sehingga W bukan resolving set, batas
bawah dim(C3 2P2) 6.
Sehingga dim(C3 2P2) = 6.

20. Teori Aplikasi Graf
Dimensi Metrik graf Cn mP2
e. Cn mP2
Teorema 3.1 Misalkan Cn adalah graf sikel dengan order n dan P2
graf lintasan order 2, maka
dim(Cn mP2) = nm
dengan n, m ∈ N dan m 2.

21. Teori Aplikasi Graf
Dimensi Metrik graf Cn mP2
Bukti:
Batas atas
Menurut teorema 1.3 maka setiap simpul dari P2 diambil
salah satu simpulnya untuk menjadi himpunan terurut dari W .
Misal W = {a1,1, a1,2, a1,3, · · · , an,m} untuk m 2, maka
diperoleh pasangan k-tuple dengan jarak terpendek simpul
ke-n yaitu
n
2
+ 1, untuk n bilangan genap 4 dan
n + 1
2
untuk n bilangan ganjil 3.
Batas bawah
Jika kardinalitas |W | = nm − 1, maka bukan resolving set.
Karena pasti ditemukan sedikitnya dua titik dengan
representasi yang sama. Misal
W = {a1,1, a1,2, a1,3, · · · , an,m−1} maka
r(anm|W ) = r(bnm|W ). Jelas bahwa W bukan resolving set
dari graf Cn mP2.
Jadi batas bawah dari dimCn mP2 adalah |W | nm atau
dimCn mP2 nm

22. Teori Aplikasi Graf
Kesimpulan
Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah dipaparkan dapat diambil
kesimpulan sebagai berikut:
a. Jika G adalah graf hasil Pn Km dengan n 2, m 2, maka
dim(G) = n(m − 1).
b. Jika G adalah graf hasil Cn mP2 dengan n, m ∈ N, m 2,
maka dim(G) = nm.

23. Teori Aplikasi Graf
Daftar Pustaka
Darmaji. (2011). Dimensi Partisi Graf Multipartit dan Graf
Hasil Korona Dua Graf Terhubung. Disertasi, Program Studi
Matematika ITB: Bandung.
Hindayani. 2011. Dimensi Metrik Graph Kr + mKs. Jurusan
Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim: Malang.
Johanes, P. 2009. Dimensi Metrik Pada Pengembangan Graph
Kincir Dengan Pola K1 + mKn. Tugas Akhir, Jurusan
Matematika ITS: Surabaya.
Septiana dan Budi. 2013. Dimensi Metrik Pada Graf Lintasan,
Graf Komplit, Graf Sikel, Graf Bintang, dan Graf Bipartit
Komplit. Jurusan Matematika Universitas Negeri Surabaya.
H. Iswadi, E. T Baskoro, R, Simanjuntak, A.N.M. Salman.
2012. The Metric Dimention of Graph With Pendant Edge.
Faculty of Mathematic and Natural Science. ITB: Bandung.

24. Teori Aplikasi Graf
Daftar Pustaka
G. Chartrand, Linda Eroh, Mark A. Johnson, O. R Oellermann,
2000. Resolvability in Grapgh and The Metric Dimension of a
Graph. Discrete Applied Mathematics 105, 99-113.
G. Chartrand, Erwin D, Johns G, dan Zhang P. 2003.
Boundary vertices in Graph. Discrete Mathematics 263, 25-34.