Dalam modul ini dibahas mengenai berbagai macam cara untuk menghitung turunan suatu fungsi, diantaranya dengan menggunakan aturan rantai. Aturan rantai ini merupakan suatu tools yang sangat mempermudah untuk menghitung suatu fungsi yang jika dihitung dengan menggunakan rumus biasa akan memakan waktu lama dan rumit. Penulisan simbol turunan juga dipermudah oleh Leibniz.

1. Modul ke:
Fakultas
Program Studi
05Teknik
Teknik Sipil
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
MATEMATIKA I
Rumus-rumus Untuk Menghitung Turunan
Aturan Rantai dalam Menghitung Turunan
Cara Penulisan Leibniz

2. Rumus-Rumus Turunan
Aturan Fungsi Konstanta
Jika f(x) = k, dengan k suatu konstanta maka
untuk sebarang x, f’(x) = 0
D(k) = 0
Aturan Fungsi Identitas
Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1
D(x) = 1

3. Rumus-Rumus Turunan
Aturan Pangkat
Jika f(x) = xn
, dengan n bilangan-bilangan bulat
positif, maka f’(x) = nxn-1
D(xn
) = nxn-1
Aturan Kelipatan Konstanta
Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang
terdiferensialkan, maka (kf)’(x) = k. f’(x)
D[k.f(x)] = k.Df(x)

4. Rumus-Rumus Turunan
Aturan Jumlah
Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan,
maka (f + g)’(x) = f ’ (x) + g’(x)
D[f(x) + g(x)] = Df(x) + Dg(x)
Aturan Selisih
Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan,
maka (f - g)’(x) = f ’ (x) - g’(x)
D[f(x) - g(x)] = Df(x) - Dg(x)

5. Rumus-Rumus Turunan
Aturan Hasilkali
Andaikan f dan g fungsi-fungsi yang dapat
didiferensialkan, maka (f . g)’(x) = f(x).g’(x) +
g(x).f’(x)
D[f(x).g(x)] = f(x).Dg(x) + g(x).Df(x)

6. Rumus-Rumus Turunan
൬
݂
݃
൰
′
ሺ‫ݔ‬ሻ =
݃ሺ‫ݔ‬ሻ݂′ሺ‫ݔ‬ሻ − ݂ሺ‫ݔ‬ሻ݃′ሺ‫ݔ‬ሻ
݃2ሺ‫ݔ‬ሻ
ࡰ
ࢌሺ࢞ሻ
ࢍሺ࢞ሻ
=
ࢍሺ࢞ሻࡰࢌሺ࢞ሻ − ࢌሺ࢞ሻࡰࢍሺ࢞ሻ
ࢍ૛ሺ࢞ሻ
Aturan Hasilbagi
Andaikan f dan g fungsi-fungsi yang dapat
didiferensialkan dengan g(x) ≠ 0. Maka

7. Contoh Soal Turunan
Carilah turunan dari :
1. 5x2
+ 7x – 6
2. 4x6
– 3x5
– 10x2
+ 5x + 16
3. (3x2
– 5)(2x4
– x)
4.
2
‫ݔ‬4+1
+
3
‫ݔ‬

8. Penyelesaian
1. ‫ܦ‬ሺ5‫ݔ‬2
+ 7‫ݔ‬ − 6ሻ
= ‫ܦ‬ሺ5‫ݔ‬2
+ 7‫ݔ‬ሻ − ‫ܦ‬ሺ6ሻ
= 5‫ܦ‬ሺ‫ݔ‬2ሻ + 7‫ܦ‬ሺ‫ݔ‬ሻ − ‫ܦ‬ሺ6ሻ
= 5 . 2‫ݔ‬ + 7 .1 + 0
= 10‫ݔ‬ + 7

9. Penyelesaian
2. D(4x
6
– 3x
5
– 10x
2
+ 5x + 16)
= D(4x
6
) – D(3x
5
)– D(10x
2
)+ D(5x) + D(16)
= 4D(x
6
) – 3D(x
5
)– 10D(x
2
)+ 5D(x) + D(16)
= 4(6x
5
) – 3(5x
4
)– 10(2x)+ 5(1) + 0
= 24x
5
– 15x
4
– 20x+ 5

10. Penyelesaian
3. D[(3x2
– 5)(2x4
– x)]
= (3x2
– 5) D(2x4
– x) + (2x4
– x) D(3x2
– 5)
= (3x2
– 5)( 8x3
– 1) + (2x4
– x)(6x)
= 24x5
– 40x3
– 3x2
+ 5 + 12x5
– 6x2
= 36x5
– 40x3
– 9x2
+ 5
Atau, dengan menggunakan cara lain, pertama
kalikan dulu baru di turunkan

11. Penyelesaian
3. D[(3x2
– 5)(2x4
– x)]
= (3x2
– 5)(2x4
– x) = 6x6
– 10x4
– 3x3
+ 5x
= D(6x6
) – D(10x4
) – D(3x3
) + D(5x)
= 6D(x6
) – 10D(x4
) – 3D(x3
) + 5D(x)
= 6(6x5
) – 10(4x3
) – 3(3x2
) + 5(1)
= 36x5
– 40x3
– 9x2
+ 5

12. Penyelesaian
4.
2
‫ݔ‬4+1
+
3
‫ݔ‬
= ‫ܦ‬ ቀ
2
‫ݔ‬4+1
ቁ + ‫ܦ‬ ቀ
3
‫ݔ‬
ቁ
=
൫‫ݔ‬4+1൯‫ܦ‬ሺ2ሻ−2‫ܦ‬ሺ‫ݔ‬4+1ሻ
ሺ‫ݔ‬4+1ሻ2 +
‫ܦݔ‬ሺ3ሻ−3‫ܦ‬ሺ‫ݔ‬ሻ
‫ݔ‬2
=
൫‫ݔ‬4+1൯ሺ0ሻ−2ሺ4‫ݔ‬3ሻ
ሺ‫ݔ‬4+1ሻ2 +
‫ݔ‬ሺ0ሻ−3ሺ1ሻ
‫ݔ‬2
=
−8‫ݔ‬3
ሺ‫ݔ‬4+1ሻ2 −
3
‫ݔ‬2

13. Aturan Rantai
Misalkan fungsi f dan g memenuhi Rg ⊆ Df
dengan Dg suatu selang. Jika fungsi g
terdiferensialkan pada Dg = Dg◦f, dan fungsi
f terdiferensialkan pada Rg, maka fungsi f ◦
g terdiferensialkan pada Dg◦f dengan aturan
(f ◦ g)’(x) = f’(g(x)) g’(x)

14. Aturan Rantai
xuyy = y(u(x))
݀‫ݕ‬
݀‫ݑ‬
ada
݀‫ݑ‬
݀‫ݔ‬
ada
݀‫ݕ‬
݀‫ݔ‬
ada , dengan
݀‫ݕ‬
݀‫ݔ‬
=
݀‫ݕ‬
݀‫ݑ‬
.
݀‫ݑ‬
݀‫ݔ‬
Aturan rantai ini dapat dituliskan sebagai diagram berikut

15. Aturan Rantai Bersusun
Andaikan y = f(u) dan u = g(v) dan v = h(x)
Maka
Dxy = Duy Dvu Dxv

16. Contoh Soal Aturan Rantai
1. Tentukan turunan fungsi y = f(x) = (3x – 2)7
2. Tentukan turunan fungsi ‫ݕ‬ = ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ඥሺ‫ݔ‬2 + 5ሻ
3. Tentukan turunan fungsi ‫ݕ‬ = ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ට
7‫ݔ‬2+8
2‫5+ݔ‬
4. Tentukan turunan fungsi
‫ݕ‬ = ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ቀඥሺ‫ݔ‬2 + 2‫ݔ‬ሻቁ
5

17. Penyelesaian
1. Misalkan u = 3x – 2 dan y = u7
݀‫ݕ‬
݀‫ݔ‬
=
݀‫ݕ‬
݀‫ݑ‬
.
݀‫ݑ‬
݀‫ݔ‬
݀‫ݑ‬
݀‫ݔ‬
= 3 ,
݀‫ݕ‬
݀‫ݑ‬
= 7‫ݑ‬6
maka
݀‫ݕ‬
݀‫ݔ‬
=
݀‫ݕ‬
݀‫ݑ‬
.
݀‫ݑ‬
݀‫ݔ‬
= 7‫ݑ‬6
. 3 = 7ሺ3‫ݔ‬ − 2ሻ6
. 3
= 21ሺ3‫ݔ‬ − 2ሻ6

18. Penyelesaian
2. Misalkan u = x
2
+ 5 dan y = √‫ݑ‬
݀‫ݕ‬
݀‫ݔ‬
=
݀‫ݕ‬
݀‫ݑ‬
.
݀‫ݑ‬
݀‫ݔ‬
݀‫ݑ‬
݀‫ݔ‬
= 2‫ݔ‬ ,
݀‫ݕ‬
݀‫ݑ‬
=
1
2√‫ݑ‬
maka
݀‫ݕ‬
݀‫ݔ‬
=
݀‫ݕ‬
݀‫ݑ‬
.
݀‫ݑ‬
݀‫ݔ‬
=
1
2√‫ݑ‬
. 2‫ݔ‬ =
1
2ඥሺ‫ݔ‬2+5ሻ
. 2‫ݔ‬
=
‫ݔ‬
ඥሺ‫ݔ‬2 + 5ሻ

19. Penyelesaian
3. Misalkan u =
7‫ݔ‬ 2+8
2‫5+ݔ‬
dan y = √‫ݑ‬
݀‫ݕ‬
݀‫ݔ‬
=
݀‫ݕ‬
݀‫ݑ‬
.
݀‫ݑ‬
݀‫ݔ‬
݀‫ݑ‬
݀‫ݔ‬
=
ሺ14‫ݔ‬ሻሺ2‫ݔ‬ + 5ሻ − ሺ7‫ݔ‬2
+ 8ሻሺ2ሻ
ሺ2‫ݔ‬ + 5ሻ2
=
28‫ݔ‬2
+ 70‫ݔ‬ − 14‫ݔ‬2
− 16
ሺ2‫ݔ‬ + 5ሻ2
=
14‫ݔ‬2
+ 70‫ݔ‬ − 16
ሺ2‫ݔ‬ + 5ሻ2

20. Penyelesaian
݀‫ݕ‬
݀‫ݑ‬
=
1
2√‫ݑ‬
maka
݀‫ݕ‬
݀‫ݔ‬
=
݀‫ݕ‬
݀‫ݑ‬
.
݀‫ݑ‬
݀‫ݔ‬
=
1
2√‫ݑ‬
.
14‫ݔ‬2+70‫61−ݔ‬
ሺ2‫5+ݔ‬ሻ2
=
1
2ට7‫ݔ‬2+8
2‫5+ݔ‬
.
14‫ݔ‬2+70‫61−ݔ‬
ሺ2‫5+ݔ‬ሻ2
=
7‫ݔ‬2
+ 35‫ݔ‬ − 8
ට7‫ݔ‬2 + 8
2‫ݔ‬ + 5 ሺ2‫ݔ‬ + 5ሻ2

21. Penyelesaian
4. Misalkan v = x2
+ 2x, dan u = √‫ݒ‬ , dan y = u5
݀‫ݕ‬
݀‫ݔ‬
=
݀‫ݕ‬
݀‫ݑ‬
.
݀‫ݑ‬
݀‫ݒ‬
.
݀‫ݒ‬
݀‫ݔ‬
݀‫ݒ‬
݀‫ݔ‬
= 2‫ݔ‬ + 2 ,
݀‫ݑ‬
݀‫ݒ‬
=
1
2√‫ݒ‬
,
݀‫ݕ‬
݀‫ݑ‬
= 5‫ݑ‬4
݀‫ݕ‬
݀‫ݔ‬
=
݀‫ݕ‬
݀‫ݑ‬
.
݀‫ݑ‬
݀‫ݒ‬
.
݀‫ݒ‬
݀‫ݔ‬
= 5‫ݑ‬4
.
1
2√‫ݒ‬
. 2‫ݔ‬ + 2 = 5ሺ√‫ݒ‬ሻ4
.
1
2ඥሺ‫ݒ‬ሻ
. 2‫ݔ‬ + 2
= 5ቀඥ‫ݔ‬2 + 2‫ݔ‬ቁ
3
ሺ‫ݔ‬ + 1ሻ

22. Cara Penulisan Leibniz
݀‫ݕ‬
݀‫ݔ‬
= lim
∆‫0→ݔ‬
∆‫ݕ‬
∆‫ݔ‬
= lim
∆‫0→ݔ‬
݂ሺ‫ݔ‬ + ∆‫ݔ‬ሻ − ݂ሺ‫ݔ‬ሻ
∆‫ݔ‬
= ݂′
ሺ‫ݔ‬ሻ
Aturan Rantai Penulisan Leibniz
݀‫ݕ‬
݀‫ݔ‬
=
݀‫ݕ‬
݀‫ݑ‬
݀‫ݑ‬
݀‫ݔ‬

23. Referensi
1. _____. e-paper. http://alewoh.com/aturan-rantai-turunan-dan-turunan-
fungsi-komposisi.php
2. _____. e-paper. http://www.madematika.com/2015/03/menggunakan-
aturan-rantai-dalam.html
3. _____. e-paper. http://bahasapedia.com/aturan-rantai-untuk-mencari-
turunan-fungsi/
4. Martono, Koko, Drs, M.Si. 1999. Kalkulus. ITB Bandung. Penerbit
Erlangga.
5. Purcell, Edwin J dan Varberg, Dale. 1990. KALKULUS dan Geometri
Analitis. Jilid 1. Jakarta. Penerbit Erlangga.

24. Terima Kasih
Reza Ferial Ashadi, ST, MT