trigonometri

1. Trigonometri
Oleh : Petrus Fendiyanto

2. Hasil-Hasil Trigonometri:
)(tan)360(tan)180(tan)180(tantan
))(cos)360(cos)180(cos)180(coscos
)sin()360(sin)180(sin)180(sinsin
)90(sincos
)90(cossin 0










oo
ooo
ooo
o
Tanda Fungsi Trigonometri Dalam Berbagai
Kuadran:
Kuadran I II III IV
Tanda Positif semua sin tan cos

3. Sudut-sudut Istimewa
10Tan
01Cos
10Sin
o
0 o
30 o
45 o
60 o
90
2
1
2
2
1
3
2
1
3
2
1 2
2
1
2
1
3
3
1
3 

4. Rumus Trigonometri Jumlah dan
Selisih Sudut
Lingkaran dengan
pusat O dan r = 1
satuan
xA (1,0)
C
B
b
a
y
-1
-1
O
Koordinat B (cos a, sin a)
Koordinat C (cos b, sin b)

5. Jarak dari B ke C adalah sebagai berikut:
)(....)sinsincos(cos22
)sinsincos(cos211
)sinsin2coscos2
)sin(cos)sin(cos
)sinsinsin2(sin
)coscoscos2(cos
)sin(sin)cos(cos
2222
22
22
222
ibaba
baba
baba
bbaa
bbaa
bbaa
babaBC








6. Lingkaran kita putar sehingga titik C tepat
di dititik A:
y
xC (1,0)
A
B
b
a
-1
-1
O
Koordinat B sekarang
menjadi (cos (a-b), sin (a-b))
Koordinat C (1,0)

7. )(....)(cos22
)(cos211
)(cos2
1)(cos2))(sin)(cos(
)(sin
)(cos21)(cos2)(cos
)0)((sin)1)((cos
22
2
2
222
iiba
ba
ba
bababa
ba
bababa
babaBC







Dari (i) dan (ii), maka:
2 – 2 (cos a cos b + sin a sin b) = 2 – 2 cos (a-b)
Cos (a – b) = cos a cos b – sin a sin b

8. Sehingga Rumus Cos (a + b) adalah:
Cos (a + b) = Cos (a – (-b))
= Cos a Cos (-b) + Sin a Sin (-b)
= Cos a Cos b – Sin a Sin b
Contoh:
1. Hitunglah nilai cos !o
15
2. Diketahui sin a = dan cos b = , dengan
a dan b merupakan sudut lancip. Tentukan
nilai cos (a + b) !
13
5
5
3
Jawab:
1.
oooo
ooo
30sin45sin30cos45cos
)3045(cos15cos



9. 2. Untuk mendapatkan cos (a + b) kita membu-
tuhkan cos a dan sin b.
2
4
1
6
4
1
2
1
2
2
1
3
2
1
2
2
1
15cos

o
5
4
sin
25
16
)
5
3
(1
sin1sin
2
22




b
bb
13
12
cos
169
144
)
13
5
(1
sin1cos
2
22




a
aa

10. 65
16
65
20
65
36
5
4
13
5
5
3
13
12
sinsincoscos)(cos



 bababa
Jadi nilai cos (a + b ) adalah
65
16

11. Rumus Sinus Jumlah dan Selisih
Dua Sudut
Ingat !!!!
Sin (a + b) = Cos ( - (a + b))
= Cos (( - a) – b)
= Cos ( - a) Cos b + Sin ( - a) Sin b
2

2

2

2

Sin ( - a) = Cos a
Cos ( - a) = Sin a
2

2

Jadi
Sin (a + b) = Sin a Cos b + Cos a Sin b

12. Dengan cara demikian akan diperoleh:
Sin (a – b) = Sin a Cos b – Cos a Sin b
Rumus Sin (a - b) dapat dicari dengan mengubah
Sin (a – b) menjadi Sin (a + (-b)).
Contoh:
Hitunglah nilai Sin !
o
75
Jawab:
2
4
1
6
4
1
2
1
2
2
1
3
2
1
2
2
1
30sin45cos30cos45sin
)3045(sin75sin




oooo
ooo

13. Rumus Tangen Jumlah dan Selisih
Dua Sudut
b
b
a
a
b
b
a
a
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
baba
baba
ba
ba
ba
cos
sin
cos
sin
1
cos
sin
cos
sin
coscos
sinsin
coscos
coscos
coscos
coscos
coscos
cossin
sinsincoscos
sincoscossin
)(cos
)(sin
)(tan













14. Dengan menggunakan cara yang sama, tan (a –b)
diperoleh sebagai berikut :
Jadi
ba
ba
ba
tantan1
tantan
)(tan



ba
ba
ba
tantan1
tantan
)(tan



Contoh:
33
33
3
3
1
11
3
3
1
1
30tan45tan1
30tan45tan
)3045(tan15tan










oo
oo
ooo

15. Latihan
Dengan menggunakan rumus trigonometri
jumlah dan selisih sudut, tentukan:
1.
Diketahui a dan b adalah dua sudut dikuadran
III dan II dengan sin a = dan cos b =
tentukan:
a. Cos (a – b) c. Tan (a – b)
b. Sin ( a + b)
o
75
a. Cos d. Sin
b. Sin e. Tan
c. Tan f. Cos
o
165
o
195 
12
5

12
11

12
17
2.
5
4

17
8


16. Sin 2a = Sin (a + a)
= Sin a Cos a + Cos a Sin a
= 2 Sin a Cos a
Jawab:
Rumus Sinus Sudut Rangkap
Contoh:
Jika sin a = 3/5 dan a sudut dikuadran I, tentukan
nilai sin 2a !
Sin a = 3/5, maka y = 5 dan r = 5
Sehingga cos a = 4/5
5
3
4
a
Sin 2a = 2 sin a cos a
= 2 (3/5) (4/5)
= 24/25

17. Cos 2a = Cos (a + a)
= Cos a Cos a - Sin a Sin a
= Cos2a – Sin2a
Cos 2a = 2Cos2 a – 1 atau Cos 2a = 1 – 2sin2 a
Rumus Kosinus Sudut Rangkap
Dengan menggunakan identitas cos2 + sin2 a = 1
diperoleh:
Jawab:
Contoh:
Cos 2a = 1- 2sin2a
= 1 - 2 (0,8)2
= 1 – 2(0,64)
= 1 – 1,28
= -0,28
Diketahui sin a = 0,8, tentukan nilai cos 2a

18. Rumus Tangen Sudut Rangkap
Jawab:
Contoh:
Tentukan tan 50o jika diketahui tan 25o = p!
tan 2a = tan (a + a)
tan a + tan a
=
1 – tan a tan a
2 tan a
=
1 – tan2a
Tan 50o =
2 tan 25o
1 – tan2 25o
2 tan 25o
1 – tan2 25o
=
2p
1 – p2
=

19. Rumus Sudut Tengahan
Cos 2a = 2 cos2 a – 1 Cos2 a =
1 + cos 2a
2
Cos 2a = 1 – sin2 a Sin2 a =
1 - cos 2a
2
Misalkan 2a = b, maka a = . Bila disubstitusikan
ke persamaan diatas diperoleh:
b
2
Cos2
1 + cos b
2
b
2
)( =
2
cos1 b
=
Sin2
1 - cos b
2
b
2
)( =
2
cos1 b
=

20. Jawab:
Contoh:
Tan =
sin
cos
=
b
2
( )
b
2
( )
b
2
( )
b
b
cos1
cos1



Tentukan nilai sin .
8

2
4
cos1
8
sin

 

2
2
2
1
 22
2
1


21. Latihan
Diketahui sin a = 5/13, dan a terletak dikua-
dran II
tentukan:
a. Cos (a /2) c. Tan (a/2)
b. Sin (a/2)
2.
Dengan menggunakan perbandingan trigono-
metri sudut 30o hitunglah:
1.
a. Cos
b. Sin
c. Tan
o
15
o
15
o
15