Metode Numerik, Teknik Kimia

1. Metode Numeris –Persamaan Nonlinear Simultan
Persamaan Nonlinear Simultan
Merupakan persamaan nonlinear yang terdiri atas lebih
dari satu buah persamaan nonlinear.
Dr. Ir. Darmadi, MT – Suflinur Setiawan, ST
Dimana f1,f2 … fn merupakan fungsi nonlinear dari
variabel x1, x2, …. xn.
Secara numeris bentuk persamaan di atas dapat
diselesaikan dengan metode Newton.
Bentuk umum :  
 
 
 
1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
1 2 3
, , , 0
, , , 0
, , , 0
, , , 0
n
n
n
n n
f x x x x
f x x x x
f x x x x
f x x x x




L
L
L
M
L

2. Metode Numeris – Persamaan Nonlinear Simultan
Dr. Ir. Darmadi, MT – Suflinur Setiawan, ST
bentuk umum persamaan non linier simultan identik dengan
0F x
  
 
 
 Dimana :
bentuk umum persamaan non linier simultan di atas mirip dengan
bentuk persamaan non linier tunggal :
  0F x 
1 1
2 2
0
0
; ; 0
0n n
f x
f x
F x
f x
  
     
     
       
     
     
    
MM M

3. Metode Numeris – Persamaan Nonlinear Simultan
Dr. Ir. Darmadi, MT – Suflinur Setiawan, ST
Newton-Raphson untuk persamaan non linier tunggal
 
 
   
1'
'
old
new old old old old
old
f x
x x x f x f x
f x

      
untuk persamaan non linier simultan, Newton-Raphson
dimodifikasi menjadi
1
new old old oldx x J x F x

    
    
      
    
1 1 1
1 2
2 2 2
1 2
1 2
n
n
n n n
n
f f f
x x x
f f f
x x xJ x
f f f
x x x
 
   
   
 
   
         
 
 
   
    
K
K
M
K

4. Metode Numeris – Persamaan Nonlinear Simultan
Dr. Ir. Darmadi, MT – Suflinur Setiawan, ST
Nilai 1
old oldJ x F x

  
    
    
    
dihitung dengan cara:
1
old oldJ x F x y

   
    
     
    
1
old old old oldJ x J x F x J x y

       
        
           
        

5. Metode Numeris – Persamaan Nonlinear Simultan
Dr. Ir. Darmadi, MT – Suflinur Setiawan, ST
old oldJ x y F x
   
   
    
   
membentuk sistem persamaan linier simultan
Dengan menyelesaikan sistem persamaan linier di atas, xnew dapat
dihitung
new oldx x y
  
 
old oldI F x J x y
    
   
    
   
Sisi kiri persamaan merupakan matrik identitas, sehingga
old oldF x J x y
   
   
    
   
atau :

6. Metode Numeris – Persamaan Nonlinear Simultan
CONTOH
Dr. Ir. Darmadi, MT – Suflinur Setiawan, ST
Tentukan nilai x1 dan x2 dari persamaan :
PENYELESAIAN
2
1 1 2
2
2 1 2
10
3 57
x x x
x x x
 
 
 
 
2
1 1 2 1 1 2
2
2 1 2 2 1 2
, 10 0
, 3 57 0
f x x x x x
f x x x x x
   
   
Persamaan di atas dirubah menjadi bentuk :

7. Metode Numeris – Persamaan Nonlinear Simultan
Dr. Ir. Darmadi, MT – Suflinur Setiawan, ST
Diferensiasi :
1
1 2
1
2
f
x x
x

 

1
1
2
f
x
x



22
2
1
3
f
x
x



2
1 2
2
1 6
f
x x
x

 

Di ambil x1-old=1,5 dan x2-old=3.5;
1
2
6,5 1,5 2,5
36,75 32,5 1,625
y
y
    
     
    

8. Metode Numeris – Persamaan Nonlinear Simultan
Dr. Ir. Darmadi, MT – Suflinur Setiawan, ST
Dengan menyelesaikan persamaan linier di atas, didapat :
y1=-0.5360 dan y2=0.6561
xnew:
xnew,1=2,0360
xnew,2=2,8439
Iterasi dilanjutkan dengan menset xold=xnew
Hasil akhir akan di dapat
x1=2 dan x3=3

9. Metode Numeris – Persamaan Nonlinear Simultan
Dr. Ir. Darmadi, MT – Suflinur Setiawan, ST
mfile function yang disediakan MATLAB :
fsolve
Syntax :
[x,fx] = fsolve(@func,x0)
dimana :
func : fungsi
x0 : nilai tebakan awal

10. Metode Numeris – Persamaan Nonlinear Simultan
CONTOH
Dr. Ir. Darmadi, MT – Suflinur Setiawan, ST
Tentukan nilai x dan y dari persamaan :
PENYELESAIAN
1. Buat mfile function untuk fungsi persamaan nonlinear di
atas
2. Buat mfile untuk mengeksekusi mfile function tersebut.
Eksekusi dapat juga langsung di command window.
2
2
10
3 57
x xy
y xy
 
 

11. Metode Numeris – Persamaan Nonlinear Simultan
Dr. Ir. Darmadi, MT – Suflinur Setiawan, ST
Langkah 1
function F=contoh_fx(x)
f1= x(1)^2 + x(1)*x(2)-10;
f2= x(2) +3*x(1)*x(2)^2-57;
F= [f1;f2];
end
- Variabel fungsi yang dapat di iterasi oleh fsolve hanya
satu
- MATLAB bekerja dalam sistem matrix
- Semua variabel akan dianggap oleh MATLAB sebagai
matrix.x dan y dapat dianggap sebagai vektor x, dimana :
x(1) = x dan x(2) = y
Script :

12. Metode Numeris – Persamaan Nonlinear Simultan
Dr. Ir. Darmadi, MT – Suflinur Setiawan, ST
Langkah 2
% Program untuk mengeksekusi contoh_fx
% Data
x0=[3,5] % Nilai tebakan awal x & y
% Hasil
[x,fx]=fsolve(@contoh_fx,x0)
disp(' ')
disp(' Hasil Hitungan')
disp(' --------------')
disp([' x = ' num2str(x(1),'%4.4f t') ])
disp([' y = ' num2str(x(2),'%4.4f t') ])
Buat mfile : contoh
Script :

13. Metode Numeris – Persamaan Nonlinear Simultan
Dr. Ir. Darmadi, MT – Suflinur Setiawan, ST
Hasil
x0 =
3 5
x =
2.0000 3.0000
fx =
1.0e-008 *
0.0084
-0.1688
Hasil Hitungan
--------------
x = 2.0000
y = 3.0000

14. Metode Numeris – Persamaan Nonlinear Simultan
Dr. Ir. Darmadi, MT – Suflinur Setiawan, ST
TUGAS
Reaksi kesetimbangan berikut terjadi di fase gas pada volume
konstan : A B C D
B C X Y
A X Z
  
  
 
Dari hubungan kesetimbangan didapat persamaan:
1
2
3
C D
C
A B
X Y
C
B C
Z
C
A X
C C
K
C C
C C
K
C C
C
K
C C








0
0
A A D Z
B B D Y
C D Y
Y X Z
C C C C
C C C C
C C C
C C C
  
  
 
 
dengan :
Jika
diketahui:
0 0 1.5A BC C  1 1.06CK  ;; 2 2.63CK  3 5CK da
n
Berapa nilai CD, CX dan CZ ?