Makalah ini membahas tentang lapangan berhingga. Pembahasannya dimulai dengan penjelasan materi pendukung seperti definisi group siklik dan beberapa teoremanya. Group siklik adalah group yang elemen-elemennya terbentuk dari operasi sebuah generator terhadap diri sendiri. Lapangan berhingga kemudian akan dibahas pengertian, sifat-sifat, sublapangan, dan cara mengkonstruksinya.

1. tutur widodo : pend. matematika uns
v
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ........................................................................................... i
HALAMAN PERSETUJUAN .......................................................................... II
HALAMAN PENGESAHAN ......................................................................... III
KATA PENGANTAR ...................................................................................... IV
DAFTAR ISI ..................................................................................................... V
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................... 1
A. LATAR BELAKANG MASALAH .................................................................. 1
B. PEMBATASAN MASALAH .......................................................................... 2
C. PERUMUSAN MASALAH ............................................................................ 2
D. TUJUAN PENULISAN ................................................................................. 3
BAB II PEMBAHASAN .................................................................................... 4
1. MATERI PENDUKUNG ................................................................................ 4
1.1 Group Siklik .......................................................................................... 4
1.2 Gelanggang .......................................................................................... 8
1.3 Lapangan ............................................................................................ 16
1.4 Ruang Vektor ...................................................................................... 21
1.5 Perluasan Lapangan ........................................................................... 23
1.6 Suku Banyak (Polinomial) ................................................................... 26
2. PEMBAHASAN ......................................................................................... 33
2.1 Pengertian Lapangan Berhingga ......................................................... 33
2.2. Sifat – Sifat Lapangan Berhingga ....................................................... 34
2.3. Sublapangan ...................................................................................... 38
2.4 Cara Mengkonstruksi Lapangan Berhingga ........................... 39
2.5 Ketunggalan dari Lapangan Berhingga Berorder Sama (up to
Isomorphisma) ........................................................................................... 43

2. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga vi
BAB III PENUTUP .......................................................................................... 51
A. KESIMPULAN .......................................................................................... 51
B. SARAN .................................................................................................... 51
LAMPIRAN ..................................................................................................... 52
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 56

3. tutur widodo : pend. matematika uns
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Lapangan adalah salah satu objek yang dipelajari dalam aljabar abstrak,
salah satu cabang ilmu matematika. Dalam disiplin ilmu matematika sendiri,
lapangan memegang peranan yang sangat penting. Bahkan dalam perkuliahan pun
lapangan memegang peranan penting. Sebagai contoh, ketika belajar kalkulus,
teori bilangan, analisis riil maupun analisis kompleks, lapangan berperan penting
di dalamnya. Mengapa bisa dikatakan demikian. Sebab objek seperti himpunan
bilangan riil ( ), himpunan bilangan kompleks ( ), himpunan bilangan
rasional (
) serta himpunan bilangan bulat modulo p (

4. ) dengan operasi
penjumlahan dan perkalian adalah contoh dari lapangan.
Dalam perkuliahan Struktur Aljabar telah dipelajari pengertian awal
tentang lapangan dan beberapa sifatnya. Salah satu objek yang dipelajari di
lapangan yaitu lapangan berhingga. Lapangan berhingga ternyata memiliki sifat-sifat
yang menarik untuk dipelajari, pun lapangan berhingga sendiri memiliki
aplikasi yang cukup luas misalnya di criptografi atau di teorema coding.
Salah satu yang menarik dari lapangan berhingga adalah bahwa dapat
dibuktikan setiap lapangan berhingga memiliki elemen sebanyak pn dengan p
bilangan prima dan n bilangan bulat positif. Selain itu hal yang menarik penulis
adalah bagaimana mengkonstruksi suatu lapangan berhingga, serta apa saja sifat -
sifat dari lapangan berhingga itu sendiri. Oleh karena itu, berdasarkan latar
belakang tersebut di atas, dalam makalah ini akan dibahas tentang pengertian
lapangan berhingga, sifat - sifat serta cara mengkonstruksinya.

5. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 2
B. Pembatasan Masalah
Pada makalah ini, pembahasan mengenai materi lapangan berhingga
lebih ditekankan pada teori – teori dasar yaitu tentang pengertian dan sifat –
sifatnya. Sedangkan untuk terapannya termasuk mengenai Galois Field tidak
dibahas pada makalah ini. Selain itu, cara mengkonstruksi lapangan berhingga
yang diperkenalkan hanya satu yaitu dengan memanfaatkan gelanggang
polinomial Px dan polinomial tak tereduksi px Px. Demikian pula
bagaimana cara mencari polinomial tak tereduksi tersebut tidak dibahas pada
makalah ini.
C. Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang dan pembatasan masalah di atas , penulis
merumuskan permasalahan sebagai berikut :
1. Apakah pengertian lapangan berhingga ?
2. Apasaja sifat – sifat yang dimiliki oleh lapangan berhingga?
3. Bagaimana sifat sublapangan dari lapangan berhingga ?
4. Bagaimana cara mengkonstruksi lapangan berhingga sesuai dengan banyak
elemen yang dimuatnya ?

6. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 3
D. Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan makalah ini adalah :
1. Mengetahui pengertian lapangan berhingga.
2. Mengetahui sifat – sifat lapangan berhingga.
3. Mengetahui sifat sublapangan dari lapangan berhingga.
4. Dapat mengkonstruksi lapangan berhingga sesuai dengan banyak elemen
yang dimuatnya.

7. tutur widodo : pend. matematika uns
4
BAB II
PEMBAHASAN
Sebelum memulai pembahasan tentang lapangan berhingga terlebih dahulu
disajikan materi- materi terkait yang menjadi pendukung, sebagai berikut :
1. Materi Pendukung
1.1 Group Siklik
Definisi 1.1.1 ( Definisi group ) Himpunan tak kosong G disebut group jika di
dalam G terdefinisi satu operasi biner ( operasi biner yaitu fungsi dari
ke ) dan dipenuhi sifat – sifat berikut :
1. Untuk setiap , , berlaku ( Berlaku sifat
assosiatif )
2. Terdapat elemen sedemikian sehingga berlaku
( e disebut elemen identitas di G )
3. Untuk setiap terdapat elemen sedemikian sehingga
( disebut invers dari )
(Grillet, 2000 : 8)
Contoh :
Himpunan bilangan bulat dengan operasi penjumlahan ( + ) yang telah kita
kenal membentuk group.
Definisi 1.1.2 ( Definisi group siklik ) Suatu group G disebut group siklik jika
terdapat elemen sedemikian sehingga | ! .

8. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 5
Elemen yang demikian disebut generator dari G. Selanjutnya group siklik
G yang dibangun oleh dinotasikan #$.
(J.A. Galian, 1990 : 66)
Contoh :
% 0 1, 2, 3, 4 terhadap operasi perkalian di % adalah contoh group
siklik yang dibangun oleh 3 sebab,
3+ 3, 3, 9 4, 3. 27 2, 30 81 1.
Definisi 1.1.3 ( Definisi Order ) Misalkan G suatu group, order dari suatu
elemen 2 yaitu bilangan bulat positif terkecil t sedemikian sehingga
23 14 (elemen identitas di G). Order dari elemen 2 dinotasikan =2.
Sedangkan order dari group menyatakan banyaknya elemen yang ada di
, dinotasikan ||.
(Fraleigh, 2000 : 408)
Contoh :
Mengacu contoh dari definisi 1.1.2, diperoleh || 4 dan =1 1 sebab
1+ 1 sedangkan =2 4 karena 20 16 1.
Teorema 1.1.4 Misalkan #$ adalah group siklik dengan order n. Maka
#@$ jika dan hanya jika AB!, C 1.
(J.A. Galian, 1990 : 69)
Bukti :
Untuk membuktikan teorema di atas harus dibuktikan dua pernyataan yaitu:
1. Jika #@$ maka AB!, C 1

9. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 6
2. Jika AB!, C 1 maka #@$
Untuk membuktikan pernyataan 1) digunakan kontradiksi. Andaikan
AB!, C E 1. Diperoleh n = pt dengan t n dan k = pw dengan w k.
Maka @3

10. F3

11. 3F F F .
Jadi, =@ G H I !. Karena #@$ J+, ,,… , LMNOPQ berakibat
|#@$| =@ G H I !. Dengan kata lain #@$ R , sehingga @ bukan
generator dari G. Timbul kontradiksi karena diketahui #@$. Jadi, haruslah
AB!, C 1.
Untuk membuktikan pernyataan 2) digunakan cara langsung. Diketahui
AB!, C 1 berakibat terdapat , S sehingga ! V CS 1. Oleh karena
itu WX@Y W. @Y . @Y @Y @Y maka #@$. Karena G
dibangun oleh a berakibat Z #@$. Diketahui pula bahwa #@$ Z . Jadi,
#@$.
Contoh :
Group % 0 1, 2, 3, 4. Telah diketahui bahwa 3 adalah generator dari
G. Berdasarkan teorema 1.1.4 diatas, generator dari G yang lain adalah 3.
27 2. Hal ini benar karena,
1 20, 2 2+, 3 2., 4 2,
Teorema 1.1.5 Misalkan G adalah group berhingga dengan order n, dengan
sifat setiap bilangan bulat positif d yang membagi habis n, terdapat paling
banyak d solusi dari persamaan N [ di G. Maka G adalah group siklik. (e
elemen identitas di G)
(Herstein, 1996 : 222)
Bukti :
Misalkan adalah banyaknya elemen di G yang memiliki order d. Ambil
sebarang d bilangan bulat positif yang membagi habis n. Jika terdapat

12. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 7
dimana ord(a) = d maka himpunan penyelesaian dari persamaan N adalah
, , ,, ., …, N]+. Sehingga setiap elemen di G yang berorder d mempunyai
bentuk salah satu dari , , ,, ., …, N]+. Berdasarkan teorema 1.1.4
diperoleh ^. (^ adalah fungsi Euler *). Sedangkan bila tidak
terdapat elemen di G yang berorder d maka 0. Oleh karena itu, untuk
setiap d yang membagi habis n berlaku G ^.
Karena order dari setiap elemen di G membagi ||= n maka diperoleh
ΣN ! ` . Dari teori bilangan didapat ΣN ^ ! ` . Sehingga
a ! a^
N` N`
tetapi karena G ^, yang membagi habis n berakibat ^.
Karena n membagi n maka ! ^! b 1, ini berarti terdapat elemen H
yang berorder n. Oleh karena itu, elemen – elemen , H, H,, H.,…, H]+ semuanya
berbeda dan ada di G. Dengan kata lain , H, H,, H.,…, H]+ adalah group
siklik dengan generator t.
Contoh :
% 0 1, 2, 3, 4 terhadap operasi perkalian di % membentuk group.
Jelas pula bahwa || 4. Perhatikan 1, 2 dan 4 membagi habis 4 dan persamaan
+ 1 di G mempunyai himpunan penyelesaian { 1 }
, 1 di G mempunyai himpunan penyelesaian { 1, 4 }
0 1 di G mempunyai himpunan penyelesaian { 1, 2, 3, 4 } = G
Jadi, G memenuhi kondisi pada teorema 1.1.5 sehingga G merupakan group siklik
( telah dibuktikan pada contoh 1 ).
*penjelasan tentang fungsi Euler terdapat di lampiran.

13. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 8
1.2 Gelanggang
Definisi 1.2.1( Definisi Gelanggang ) Himpunan R tak kosong disebut
gelanggang jika di dalam R terdapat dua operasi ( umumnya disimbolkan ( + )
dan ( . )) sedemikian sehingga berlaku :
1. jika , c maka ( V c.
2. V V , , c.
3. V V V V , , , c.
4. Terdapat elemen 0R R sehingga 0R + , c. Selanjutnya 0R
disebut elemen netral dari R.
5. c, terdapat c d V 0. Selanjutnya b disebut invers dari
terhadap penjumlahan di R, biasa ditulis .
6. , c maka . c.
7. . . . . , , , c
8. . V . V . dan V . . V . , , , c.
Jika terdapat 1R R, sehingga 1R. . 1e , c . R disebut
gelanggang dengan elemen satuan dan 1R disebut elemen satuan di R.
Apabila di R juga berlaku . . , , c maka R dinamakan
gelanggang komutatif.
( Herstein, 1996 : 126 )
Contoh :
Himpunan bilangan real dengan operasi penjumlahan (+) dan operasi perkalian
(.) yang sudah dikenal membentuk gelanggang.
Definisi 1.2.2 ( Definisi daerah integral ) Misalkan R gelanggang komutatif, R
disebut daerah integral jika untuk setiap , c sedemikian sehingga
. 0e mengakibatkan 0e atau 0e.
( Herstein, 1996 : 127 )

14. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 9
Contoh :
Himpunan bilangan real adalah gelanggang komutatif yang juga merupakan
daerah integral.
Definisi 1.2.3 ( Definisi ideal ) Misalkan R suatu gelanggang. Himpunan tak
kosong I Z c disebut ideal jika berlaku :
1. I subgroup penjumlahan dari R.
2. = c, g berlaku = g dan = g.
( Herstein, 1996 : 140)
Contoh :
Himpunan … , 4,2, 0, 2, 4,… 2 h adalah ideal dari gelanggang .
Definisi 1.2.4 ( Definisi ideal maksimal ) Misalkan M ideal dari gelanggang R.
M disebut ideal maksimal jika ideal lain di R yang memuat M hanyalah M
sendiri atau R.
(Herstein, 1996 : 148)
Contoh :
Himpunan … , 6,3, 0, 3, 6,… 3 adalah ideal maksimal dari
gelanggang .

15. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 10
Lemma 1.2.5 Misalkan R gelanggang dan I ideal dari R, maka c
`g
= V g | = c merupakan gelanggang terhadap operasi yang didefinisikan
sebagai berikut :
untuk setiap =+ V g ! =, V g c
`g ,
=+ V g V =, V g =+ V =, V g dan =+ V g i =, V g =+=, V g
(Herstein, 1990 : 135)
Bukti :
Pertama dibuktikan operasi (+) dan (*) yang didefinisikan di atas well defined.
Yaitu harus ditunjukkan untuk setiap + V g, , V g , + V g, , V g c
`g jika
+ V g , V g dan + V g , V g maka
+ V g V + V g + V + V g , V , V g , V g V , V g
serta,
+ V g i + V g ++ V g ,, V g , V g i , V g.
Untuk keperluan di atas terlebih dahulu dibuktikan pernyataan berikut :
Untuk setiap H V g ! j V g c
`g, H V g j V g jika dan hanya jika
H j g.
k Jika H V g j V g berakibat untuk H V lL H V g terdapat j V li j V g
dengan lL, li g, sehingga berlaku H V lL j V li atau H j lL V li g.
m Jika H j g berakibat H j l, l g. Sehingga diperoleh H j V l
dan berikutnya diperoleh H V g j V l V g atau H V g j V g.
Sekarang kembali kepermasalahan, jika + V g , V g berakibat + , g
demikian pula jika + V g , V g berakibat + , g sehingga diperoleh,
n+ V + , V ,o n+ , V + ,o g .
Akibatnya + V + V g , V , V g.

16. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 11
Sekarang perhatikan,
++ , ++ +, g ……………………..1)
+ ,, +, ,, g ……………………..2)
dari 1) dan 2) didapat ++ ,, g. Jadi, ++ V g ,, V g.
Terbukti, operasi (+) dan (*) yang didefinisikan di atas well defined.
Kedua, dibuktikan c
`g adalah gelanggang (dengan memanfaatkan definisi
gelanggang).
Ambil sebarang , , c
`g, misalkan pula =+ V g, =, V g dan
=. V g dengan =+, =,, =. c. Selanjutnya perhatikan,
1. V =+ V g V =, V g =+V=, V g karena R gelanggang maka
=+ V =, c. Jadi, V c
`g .
2. V =+ V g V =, V g =+ V =, V g =, V =+ V g =, V g V
=+ V g V .
3. V V n=1 V g V =2 V go V =. V g
n=+ V =, V go V =. V g
=+ V =, V =. V g n=+ V =, V =.o V g
=+ V g V n=, V =. V go
=+ V g V n=, V g V =. V go V V
4. Misalkan 0e elemen netral di R, maka pilih 0e V g c
`g dan untuk
setiap c
`g berlaku V 0e V g V =+ V g =+ V g
=+ V g V 0e V g V . Jadi, e elemen netral di c
`g.
5. Untuk setiap c
`g pilih – =+ V g c
`g sedemikian hingga
berlaku V =+ V g V =+ V g =+ =+ V g 0e V g .
6. i =+ V g i =, V g =+=, V g karena R gelanggang maka
=+=, c. Jadi, i c
`g .
7. i i n=1 V g i =2 V go i =. V g
n=+=, V go i =. V g
karena I ideal

17. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 12
=+=,=. V g n=+=,=.o V g
=+ V g i n=,=. V go
=+ V g i n=, V g i =. V go i i
8. V i n=1 V g V =2 V go i =. V g
n=+ V =, V go i =. V g
n=+V=,=.o V g n=+=. V =+=.o V g
=+=. V I V =+=. V g i V i
dan
i V =+ V g i n=2 V g V =3 V go
=+ V g i n=, V =. V go
n=+=,V=.o V g n=+=, V =+=.o V g
=+=, V I V =+=. V g i V i
Berdasarkan sifat – sifat 1 sampai 8, terbukti bahwa c
`g adalah gelanggang.
Contoh :
Telah diketahui bahwa adalah gelanggang dan 2 merupakan ideal dari .
Berdasarkan lemma 1.2.5 di atas diperoleh
`2 0, 1 , merupakan
suatu gelanggang.
Catatan : adalah himpunan bilangan bulat modulo n. Operasi penjumlahan
dan perkalian di seperti yang telah dipelajari di teori bilangan.
Definisi 1.2.6 ( Definisi homomorphisma ) Misalkan R dan R’ suatu gelanggang,
pemetaan r dari R ke R’ disebut homomorphisma jika berlaku :
1. r V r V r
2. r rr
untuk setiap , c.
(Herstein, 1990 : 131)

18. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 13
Didefinisikan pula Kernel dari r dinotasikan s=r, yaitu
s=r c | r 0et uv! !H=u l cw. Sedangkan bayangan
dari r dinotasikan gvr didefinisikan gvr S cx | y c d r S.
Apabila r suatu homomorphisma dan sekaligus injektif, r disebut
isomorphisma. Selanjutnya gelanggang R dan R’ disebut isomorphic jika terdapat
isomorphisma dari R onto R’. Gelanggang R isomorphic dengan R’ disimbolkan
c z cw.
Lemma 1.2.7 Misalkan R gelanggang dan M ideal dari R, didefinisikan
pemetaan r { c | c
`} yaitu r V }, c maka r suatu
homomorphisma dari R onto c
`}.
(Herstein 1990 :135 )
Bukti :
Pertama, dibuktikan r well defined. Untuk itu, ambil sebarang , c dengan
akan ditunjukkan r r. Perhatikan, karena 0e(elemen
netral di R) dan M ideal di R berakibat } sehingga r V }
V } r. Jadi, r well defined.
Untuk membuktikan r suatu homomorphisma ambil sebarang , c.
Perhatikan,
r V V V } V } V V } r V r, serta
r V } V } i V } r i r .
Terbukti r homomorphisma.
Untuk membuktikan r surjektif, ambil sebarang c
`} berarti c dapat
dinyatakan c = r + M untuk suatu = c. Dengan kata lain r=. Jadi, r
surjektif.
Jadi, terbukti r homomorphisma dari R onto c
`}.

19. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 14
Teorema 1.2.8 Misalkan R dan R’ gelanggang. Jika pemetaan r { c | cw
adalah suatu homomorphisma, maka c
`g z gvr dengan g s=r.
(Herstein,1990 :135 )
Bukti :
Untuk menunjukkan c
`g z gvr berarti harus ditunjukkan terdapat
isomorphisma dari c
`g onto gvr. Terlebih dahulu dibuktikan bahwa
g s=r ideal dari R. Berdasarkan definisi kernel, didapat g Z c dan karena
r homomorphisma berlaku r0e 0ex jadi g R ~. Selanjutnya ambil sebarang
, g dan sebarang = c maka berlaku,
r rn V o r V r r V nro
0ex V 0ex 0ex
Jadi, g.
r= r i r= 0ex i 0ex 0ex serta berlaku pula
r= r= i r 0ex i 0ex 0ex
Sehingga =, = g. Oleh karena itu, terbukti I ideal dari R.
Dari lemma 1.2.7 diperoleh, terdapat homomorphisma  dari R onto c
`g yaitu
= = V g. Selanjutnya didefinisikan pemetaan € { c
`g | gvr yaitu
€ €n=o r= untuk setiap c
`g dan suatu = c. Akan
dibuktikan bahwa € adalah isomorphisma dari c
`g onto gvr.
Pertama, dibuktikan bahwa pemetaan € well defined. Untuk itu ambil sebarang
, c
`g dengan . Karena  surjektif, berarti =+ dan =,
untuk suatu =+ , =, c. Sehingga =+ V g =+ =, =, V g berakibat
=+ =, g atau =+ =, l =+ l V =, untuk suatu l g. Oleh karena itu
diperoleh,
r=+ rl V =, rl V r=, 0ex V r=, r=,.

20. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 15
Jadi, € €n=+o r=+ r=, €n=,o €. Sehingga terbukti
€ well defined.
Kedua, ditunjukkan € suatu homomorphisma. Untuk itu ambil sebarang , c
`g
sehingga dapat dinyatakan =+ dan =, untuk suatu =+ , =, c.
Diperoleh pula V =+ V =, =+ V =, dan
=+ i =, =+=,
Perhatikan,
€ V €n=+ V =,o r=+ V =, r=+ V r=, € V € serta
€ €=+=, r=+=, r=+ i r=, € i € .
Terbukti, € homomorphisma.
Terakhir, tinggal ditunjukkan € injektif sekaligus surjektif.
Untuk menunjukkan € injektif , ambil sebarang , c
`g sehingga dapat
dinyatakan =+ dan =, untuk suatu =+ , =, c. Jika € €
harus ditunjukkan . Karena € r=+ dan € r=, serta €
€ berakibat r=+ r=,. Sehingga r=+ =, r=+ r=, 0ex. Oleh
karena itu, =+ =, g. Hal ini berakibat =+ V g =, V g yang berarti
=+ =+ V g =, V g =, . Jadi, terbukti € injektif.
Untuk menunjukkan € surjektif, ambil sebarang H gvr akan ditunjukkan
terdapat c
`g sedemikian hingga € H. Perhatikan, karena H gvr
berarti y= c sedemikian hingga berlaku r= H. Demikian pula dengan
memanfaatkan homomorphisma , yj c
`g sehingga = j. Oleh karena
itu pilih j, sehingga berlaku € €j €n=o r= H. Terbukti
€ surjektif.
Oleh karena itu, € adalah isomorphisma dari c
`g onto gvr yang berarti
c
`g z gvr.

21. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 16
1.3 Lapangan
Definisi 1.3.1( Definisi Lapangan ) Gelanggang F disebut lapangan jika berlaku
sifat – sifat sebagai berikut :
1. F gelanggang komutatif dan F memiliki elemen satuan.
2. Setiap elemen tak nol di F memiliki invers terhadap operasi perkalian di F.
(Grillet, 2000:116)
Contoh :
Himpunan bilangan rasional
dan himpunan bilangan real dengan operasi
penjumlahan dan operasi perkalian yang telah dikenal membentuk lapangan.
Definisi 1.3.2( Definisi Sublapangan ) Misalkan F suatu lapangan dan ~ R ‚ Z
. T disebut sublapangan dari F jika T sendiri membentuk lapangan terhadap
operasi penjumlahan dan perkalian yang ada di F.
(Grillet, 2000:118)
Contoh :
Himpunan
adalah sublapangan dari lapangan .
Teorema 1.3.3 Misalkan R gelanggang komutatif dengan elemen satuan, dan M
ideal maksimal dari R, maka c
`}= {r + M | r c} adalah lapangan.
(Herstein, 1996 : 149)
Bukti :
Untuk menunjukkan c
`} lapangan, harus dibuktikan c
`} adalah gelanggang
komutatif dengan elemen satuan serta setiap elemen tak nol di c
`} memiliki
invers terhadap operasi perkalian di c
`}.

22. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 17
Apabila (+) dan (*) menyatakan operasi seperti pada lemma 1.2.5 maka telah
dibuktikan nc
`}, V, io adalah gelanggang. Selanjutnya akan ditunjukkan c
`}
komutatif dan memiliki elemen satuan. Perhatikan,
untuk setiap V }, V } c
`}, , c berlaku,
V } i V } V } V } V } i V }.
Misalkan pula, 1e elemen satuan di R. Sehingga 1e V } c
`} dan untuk
setiap V } c
`} berlaku V } i 1e V } 1e V } i V }
1e V } V }. Berarti 1e V } adalah elemen satuan di c
`}.
Jadi, terbukti c
`} gelanggang komutatif dengan elemen satuan.
Oleh karena itu, tinggal dibuktikan untuk setiap elemen tak nol di c
`} memiliki
invers. Untuk keperluan ini, sebelumnya dibuktikan terlebih dahulu ideal di c
`}
hanya { M } dan c
`}. Untuk membuktikannya andaikan terdapat ideal lain misal
N di c
`} harus ditunjukkan N = { M } atau N = c
`}.
Ambil sebarang N ideal di c
`}. Apabila N = { M } maka terbukti, oleh karena
itu andaikan ƒ R } . Ini berarti terdapat elemen ! HL V } ƒ dengan
HL c tetapi HL „ }.
Berdasarkan lemma 1.2.7 terdapat homomorphisma r { c | c
`} yaitu
r= = V }, = c. Selanjutnya misalkan ‚ H c | rH ƒ berarti
‚ R } dan } h ‚. Akan dibuktikan T ideal dari R.
Jelas T tak kosong dan ‚ Z c. Demikian pula untuk sebarang , ‚ diperoleh
r rn V o r V r r V r. Karena N ideal,
berakibat r V r ƒ sehingga ‚.
Selanjutnya, ambil sebarang = c dan ‚ diperoleh,
r= = V } V } i = V } karena N ideal dan V } ƒ serta
= V } c
`} berakibat r= n V } i = V }o ƒ.

23. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 18
Jadi, = = ‚. Terbukti T ideal di R. Karena } h ‚ dan M ideal maksimal
serta ‚ R } berakibat ‚ c.
Sekarang ambil sebarang c
`} berarti dapat ditulis = V }, untuk suatu
= c ‚. Jadi, ƒ d r= = V } . Sehingga c
`} Z ƒ , padahal diketahui
pula ƒ Z c
`}. Jadi, terbukti c
`} ƒ. Oleh karena itu, ideal di c
`} hanya
{ M } dan c
`}.
Sekarang kembali ke tujuan awal yaitu membuktikan setiap elemen tak nol di
c
`} memiliki invers. Oleh karena itu, ambil sebarang = V }
c
`}tetapi R }. ( Perhatikan, elemen nol atau elemen netral di c
`}
adalah M ). Mudah dibuktikan bahwa … † i | c
`}‡ adalah ideal di
c
`}. Perhatikan pula bahwa,
n i 1e V }o …. Jadi, … R }, berarti … c
`}. Karena
1e V } c
`} … berarti 1e V} i L untuk suatu L c
`}. Dengan
kata lain, L invers dari a.
Jadi, terbukti setiap elemen tak nol di c
`} memiliki invers. Sebelumnya juga
telah dibuktikan c
`} adalah gelanggang komutatif dengan elemen satuan.
Sehingga terbukti c
`} adalah lapangan.
Contoh :
Pada contoh dari lemma1.2.5,
`2 adalah suatu gelanggang. Tetapi karena 2
adalah ideal maksimal dari diperoleh
`2 merupakan lapangan.
Teorema 1.3.4 Daerah integral berhingga adalah lapangan.
(Herstein, 1990 : 127 )

24. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 19
Bukti :
Misalkan D adalah daerah integral berhingga dan |ˆ| !. Misalkan pula
D ={d1, d2, d3, ... ,dn} dimana di = dj jika dan hanya jika i = j. Untuk
membuktikan D suatu lapangan harus ditunjukkan bahwa D memiliki elemen
satuan dan setiap elemen tak nol di D memiliki invers.
Ambil elemen x R 0D ˆ.Perhatikan bahwa xd1, xd2, xd3, . . . ., xdn semuanya ada
di D dan klaim bahwa semuanya berbeda. Andaikan y‰, Š, d ‰ Š,
dengan l R ‹ diperoleh, ‰ Š 0Œ sehingga n ‰ Šo 0Œ. Karena D
daerah integral dan R 0D, maka haruslah di – dj = 0D atau di = dj. Timbul
kontradiksi karena i R ‹, sehingga terbukti xd1, xd2, xd3, . . . ., xdn semuanya
berbeda. Dengan kata lain, dapat ditulis D = { xd1, xd2, xd3, . . . ., xdn }. Padahal
ˆ, sehingga ‰L untuk suatu ‰L ˆ. Klaim bahwa ‰L adalah
elemen identitas dari D. Ambil sebarang elemen ˆ, dapat ditulis
‰ , untuk suatu ‰ ˆ. Perhatikan, ‰L ‰ ‰L ‰L‰ ‰
Karena D komutatif, diperoleh ‰L ‰L . Berarti ‰L adalah elemen
satuan di D.
Selanjutnya ditunjukkan setiap elemen taknol di D memiliki invers. Perhatikan
kembali bahwa ‰L ˆ sehingga ‰L ‰, untuk suatu ‰ ˆ. Jadi, ‰ adalah
invers dari x. Terbukti bahwa D adalah lapangan.
Definisi 1.3.5 ( Definisi Sublapangan Prima ) Sublapangan terkecil dari
lapangan F disebut sublapangan prima.
(Robinson, 2003 : 185)
Dengan kata lain sublapangan prima adalah irisan dari seluruh sublapangan yang
ada di F. Lapangan yang sama dengan sublapangan primanya disebut lapangan
prima.

25. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 20
Definisi 1.3.6 ( Definisi karakteristik gelanggang ) Misal R gelanggang, dan n
adalah bilangan bulat positif sedemikian sehingga != 0e, = c. Bilangan
terkecil n yang memenuhi sifat tersebut dinamakan karakteristik dari R, dan R
dikatakan memiliki karakteristik n. Apabila bilangan bulat positif yang demikian
tidak ada, dikatakan R memiliki karakteristik 0.
(Rudolf Lidl, 1994 : 16)
Contoh :
adalah contoh gelanggang dengan karakteristik 0, sedangkan , adalah contoh
gelanggang dengan karakteristik 2.
Lemma 1.3.7 Jika R adalah gelanggang dengan karakteristik p, p bilangan
prima. Maka untuk setiap 2,  Ž c =uC 2 V 

26. 2

27. V 

28. .
(Rudolf Lidl, 1994 : 16)
Bukti :
Berdasarkan Binomial Newton didapat,
2 V 

29. 2

30. V a
l
‘ 2

31. ]‰‰ V 

33. ]+
‰’+
Perhatikan, n

34. ‰
o adalah bilangan bulat serta

l
‘
. 1. 2… l V 1
l. l 1. l 2…2.1

35. ‰
Karena p bilangan prima dan 1 G l I maka faktor p pada pembilang tidak
dapat dihilangkan. Dengan kata lain no merupakan kelipatan p.

37. ]+ o2

38. ]‰‰
‰’+ merupakan kelipatan p. Karena p karakteristik

39. ]+ o2

40. ]‰‰
‰’+ 0e. Oleh karena itu, 2 V 

41. 2

42. V 

43. .
tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 21
Hal ini berakibat Σ n

44. ‰
dari R diperoleh Σ n

45. ‰
Contoh :
Di . diperoleh, V 1. . V 3, V 3 V 1 . V 1..
Teorema 1.3.8 Lapangan prima dengan karakteristik p ≠ 0 isomorphic dengan

46. .
(Robinson, 2003 : 186)
Bukti :
Ambil sebarang lapangan prima F dengan karakteristik p ≠ 0.
Konstruksi homomorphisma,
 { |
dengan definisi ! !1“, ! .
Perhatikan bahwa ! 0“, jika dan hanya jika ! adalah kelipatan p. Sehingga
Ker() = p , berdasarkan teorema 1.2.8 diperoleh
Im( z
`

47. Jadi,

48. isomorphic dengan Im( sublapangan dari F. Tetapi F lapangan prima
sehingga terbukti F = Im( z

49. .
1.4 Ruang Vektor
Definisi 1.4.1( Definisi bergantung linier dan bebas linier ) Diberikan ruang
vektor V. Himpunan S = { v1, v2, . . . .vn } subset V disebut bergantung linier
jika terdapat scalar ”+, ”,, …. , ” yang tidak semuanya nol, sedemikian
sehingga
”+. •+ V ”,. •, V ….V ”. • 0–

50. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 22
Apabila himpunan S = { v1, v2, . . . .vn } tidak bergantung linier, maka himpunan
S = { v1, v2, . . . .vn } disebut bebas linier.
(Herstein, 1990 : 178)
Definisi 1.4.2 ( Definisi merentang / spanning ) Himpunan S = {v1, v2, . . . .vn}
subset ruang vektor V disebut merentang V, dinotasikan V = span( S ) jika untuk
setiap — dapat dinyatakan dalam bentuk ”+. •+ V ”,. •, V ….V ”. •,
dengan ”+, ”,, …. , ” suatu scalar.
(Herstein, 1990 : 179)
Definisi 1.4.3( Definisi basis ) Himpunan S = {v1,v2, . . . .vn} subset ruang vektor
V disebut basis dari V jika S bebas linier dan S merentang V.
(Herstein, 1990 : 180)
Lemma 1.4.4 Apabila {v1, v2, . . . ,vn } adalah basis dari V maka untuk setiap
• Ž — , penyajian • ”+. •+ V ”,. •, V ….V ”. • !˜! ”‰ ™Cu=
adalah tunggal (unik).
(Herstein, 1990 : 178)
Bukti :
Andaikan y• š —, dimana penyajian • ”+. •+ V ”,. •, V ….V ”. • tidak
tunggal. Katakanlah • ”+. •+ V ”,. •, V ….V ”. •
dan
• ›+. •+ V ›,. •, V ….V ›. •,
dimana terdapat l Ž 1, 2,…, !, sehingga ”‰ R ›‰. Selanjutnya diperoleh
0– • • ”+. •+ V ”,. •, V ….V ”. • ›+. •+ V ›,. •, ….V ›. •
”+ ›+. •+ V ”, ›,. •, V ….V” ›. •

51. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 23
Padahal terdapat l Ž 1,2,…, !, sehingga ”‰ ›‰ R 0, hal ini kontradiksi
dengan kenyataan bahwa {v1, v2, . . . .vn } basis dari V.
Jadi, terbukti penyajian • ”+. •+ V ”,. •, V ….V ”. • tunggal.
Definisi 1.4.5( Definisi dimensi ) Dimensi ruang vektor V adalah cacah
banyaknya elemen himpunan basisnya. Dimensi ruang vektor V dinotasikan
lv–.
(Herstein. 1990 : 181)
Contoh :
Misal ruang vektor V dengan basis œ , , maka diperoleh lv– 3.
1.5 Perluasan Lapangan
Definisi 1.5.1( Definisi perluasan lapangan ) Misalkan F dan E suatu lapangan
dengan operasi yang sama. E disebut perluasan lapangan dari F jika Z .
(Robinson, 2003 : 186)
Cara pandang lain yang berguna dalam belajar teori lapangan yaitu
andaikan terdapat suatu homomorphisma yang injektif dari lapangan A ke
lapangan B, katakanlah
 { ž ŸB
diperoleh ž z gv  Z B.
Untuk selanjutnya dapat diasumsikan A sublapangan dari B, anggapan ini muncul
dikarenakan A dapat digantikan oleh gv  Z B. Sehingga dapat dianggap B
perluasan lapangan dari A. Dengan demikian, berdasarkan bukti teorema 1.3.8
diperoleh setiap lapangan dengan karakteristik R 0 merupakan perluasan

52. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 24
lapangan dari

53. . Untuk keperluan analisis, lapangan B dapat pula dipandang
sebagai ruang vektor atas A dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang ada
di B.
Definisi 1.5.2 ( Derajat perluasan lapangan ) Misalkan E perluasan lapangan
dari F. Derajat E atas F adalah dimensi dari E sebagai ruang vektor atas F.
Derajat E atas F dinotasikan dengan [E: F]. Apabila [E: F] berhingga, maka E
disebut perluasan berhingga dari F.
(Herstein, 1996 :191)
Teorema 1.5.3 Jika K adalah perluasan berhingga dari lapangan L dan L
adalah perluasan berhingga dari lapangan F, maka K adalah perluasan
berhingga dari lapangan F dan
s: s: ¡¡:
(Fraleigh, 2000 : 389)
Bukti :
Misalkan ‰| l 1, 2,…, ! adalah basis dari ruang vektor K atas L dan
†Š| ‹ 1,2,3,…,v‡ adalah basis dari ruang vektor L atas F. Apabila bisa
ditunjukkan bahwa †‰Š| l 1,2,3,…, ! dan ‹ 1,2,3,…,v‡ adalah basis dari
ruang vektor K atas F maka bukti selesai.
Untuk itu ambil sebarang ¢ s, ¢ dapat dinyatakan
¢ ›++ V ›,, V £V › dengan ›‰ ¡
Akan tetapi ›‰ dapat dinyatakan ›‰ Σ ›‰ŠŠ
¤Š
’+ dengan ›‰Š . Sehingga
¢ s dapat dinyatakan,

54. ¤
¤
¤
¤
¤
tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 25
¢ a›+ŠŠ
Š’+
+ Va›,ŠŠ
Š’+
¤
, V £Va›ŠŠ
Š’+
¤
¢ aa›‰Š‰Š
Š’+
‰’+
Jadi, †‰Š| l 1,2,3,…, ! dan ‹ 1,2,3,…,v‡merentang K. Selanjutnya akan
ditunjukkan bahwa †‰Š| l 1,2,3,…, ! dan ‹ 1,2,3,…,v‡ bebas linier.
Andaikan Σ Σ ‰Š‰Š
¤Š
’+
‰
’+ 0¥ . Dalam penyajian lain,
a+ŠŠ
Š’+
+ Va,ŠŠ
Š’+
¤
, V £VaŠŠ
Š’+
0¥
¤Š
Karena ‰ | l 1, 2,…, ! basis dari K atas L, dan Σ ‰ŠŠ
’+ ¡ maka
berakibat untuk setiap i, berlaku
a‰ŠŠ
Š’+
0¦
Dengan argumentasi yang sama, karena †Š| ‹ 1,2,3,…,v‡ adalah basis dari
ruang vektor L atas F maka berakibat ‰Š 0“ untuk setiap i = 1,2,…, n dan
j = 1,2,…, m. Jadi, †‰Š| l 1,2,3,…, ! dan ‹ 1,2,3,…,v‡bebas linier. Oleh
karena itu, †‰Š| l 1,2,3,…, ! dan ‹ 1,2,3,…,v‡ membentuk basis dari
ruang vektor K atas F. Sehingga K merupakan perluasan berhingga dari
lapangan F. Dan
s { !v s { ¡¡ {
Teorema terbukti.

55. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 26
1.6 Suku Banyak (Polinomial)
Untuk selanjutnya, simbol menyatakan gelanggang polinomial atas
lapangan , kecuali apabila dikatakan lain.
Definisi 1.6.1( Definisi polinomial monic ) r disebut polinomial
monic jika koefisien tak nol dari pangkat tertinggi dari x adalah 1.
(Herstein, 1996 : 157)
Contoh :
r . 8 V 9 merupakan polinomial monic, sedangkan ˜ 3.
8 V 9 bukan polinomial monic.
Definisi 1.6.2( Definisi daerah integral utama ) Misalkan suatu gelanggang.
disebut daerah integral utama jika untuk setiap ideal I di berlaku
g #H$ H| , untuk suatu H .
(Fraleigh, 2000 : 332)
Teorema 1.6.3 merupakan daerah integral utama.
(Herstein, 1990 :156 )
Bukti :
Ambil sebarang ideal g di . Akan ditunjukkan bahwa g #v$ untuk suatu
v .
Jika g 0 maka jelas g #0$. Oleh karena itu andaikan g R 0 . Selanjutnya,
ambil sebarang r g dan pilih polinomial taknol v g sedemikian

56. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 27
hingga degnvo G degnro , r g. Berdasarkan algoritma pembagian
Euclid diperoleh,
r v. § V ™ dengan §, ™ dan deg™ I
deg v atau ™ 0. Perhatikan pula, ™ r v. § karena
g ideal di berakibat ™ g. Selain itu karena degnvo G degnro ,
r g berakibat ™ 0 yang berarti r v. §. Jadi, v
adalah pembangun dari I atau g #v$. Terbukti adalah daerah integral
utama.
Definisi 1.6.4 ( Definisi polinomial tak tereduksi ) Polinomial
disebut tak tereduksi (irreducible) jika p(x) berderajat positif dan tidak dapat
dinyatakan sebagai perkalian antara dua polinomial berderajat positif. Dengan
kata lain, jika maka konstan atau konstan.
(Herstein, 1996 : 159 )
Contoh :
, V 1 merupakan polinomial tak tereduksi di tetapi tereduksi di .
Teorema 1.6.5 Jika , tak tereduksi maka ideal #$ yaitu
ideal yang dibangun oleh adalah ideal maksimal dari .
(Herstein, 1996 : 160 )
Bukti :
Misalkan M = #$ . Untuk menunjukkan M ideal maksimal dari , harus
ditunjukkan jika N ideal dari sedemikian sehingga } Z ƒ maka
ƒ } atau ƒ .

57. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 28
Karena adalah daerah integral utama, maka
ƒ #r$, untuk suatu r . Perhatikan pula bahwa } Z ƒ,
sehingga r˜, ˜ . Karena tak tereduksi berakibat
r konstan atau ˜ konstan.
Jika ˜ konstan maka ˜ , untuk suatu . Berarti
r. atau r . ]+. Berarti r }, berakibat ƒ Z }.
Karena } Z ƒ serta ƒ Z } maka } ƒ.
Jika r konstan maka r H, untuk suatu H . Sehingga H. H]+ 1“ ƒ
Oleh karena itu, untuk setiap v berlaku 1“.v v ƒ.
( Karena N ideal dari F [x] ). Jadi, N = F[x]. Terbukti bahwa
M = #$ ideal maksimal dari .
Teorema 1.6.6 Misalkan polinomial r berderajat n. Maka r
memiliki paling banyak n akar di sebarang perluasan lapangan dari F.
(Herstein, 1996 : 209)
Bukti :
Akan dibuktikan teorema ini dengan induksi matematika.
Untuk n = 1, maka dapat ditulis r V , dengan , dan R 0“.
Sehingga satu – satunya akar dari r adalah ]+ .
Asumsikan pernyataan benar untuk ! C. Akan ditunjukkan pernyataan juga
benar untuk ! C V 1. Ambil polinomial r berderajat k +1. Apabila
r tidak memiliki akar di sebarang perluasan lapangan s dari maka
pernyataan terbukti. Oleh karena itu, andaikan r memiliki akar. Katakanlah
s adalah akar dari r. Sehingga dapat ditulis r ˜,
dengan ˜ s dan ˜˜ C.

58. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 29
Perhatikan bahwa untuk sebarang  s akar dari r maka  atau  akar
dari ˜ karena 0¥ r  ˜. Padahal berdasarkan assumsi ˜
memiliki paling banyak k akar. Jadi, r memiliki paling banyak k +1 akar .
Dengan kata lain pernyataan benar untuk ! C V 1.
Berdasarkan prinsip induksi matematika teorema terbukti.
Teorema 1.6.7 Misalkan F suatu lapangan dan f (x) adalah polinomial
berderajat n di F[x]. Maka terdapat perluasan lapangan K atas F dimana f (x)
memiliki akar dan s { G !.
(Herstein, 1996 : 211)
Bukti :
Perhatikan bahwa f (x) dapat dinyatakan r . ˜ dengan
polinomial tak tereduksi di F [x] dan ˜ . Jika a adalah akar dari
p(x) di suatu perluasan lapangan F maka a juga akar dari f (x), karena
r . ˜ 0. ˜ 0. Jadi untuk membuktikan teorema ini, cukup
dengan mencari suatu perluasan lapangan dari F dimana p(x) memiliki akar.
Karena p(x) tak tereduksi maka } #$ adalah ideal maksimal dari F [x],
sehingga s
`} adalah lapangan. Kita klaim bahwa s adalah perluasan
lapangan yang dicari. Tetapi, ¬ s. Untuk itu konstruksi homomorphisma
dari F [x] ke K sebagai berikut :
{ Ÿs
yaitu n˜o ˜ V }
Sehingga didapat, s= †rŽ | nro 0¥ }‡
r Ž | r V } 0¥ }
r Ž | r Ž } }

59. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 30
Perhatikan bahwa M adalah ideal yang dibangun oleh p(x), sehingga setiap elemen
tak nol di M pasti memiliki derajat lebih besar atau sama dengan p(x), sehingga
® } 0. Dari sini lebih jauh bisa diperoleh apabila homomorphisma di
atas dibatasi dari F ke gv di s saja maka akan menjadi suatu isomorphisma.
Maka z gv Z s. Sehingga dengan relasi isomorphisma ini, bisa
dikatakan bahwa K adalah perluasan lapangan dari F.
Misalkan, V } Ž s. Dengan sifat homomorphisma dari , bisa
diperoleh untuk setiap ˜Ž , berlaku ˜ ˜. Karena
Ž ,maka padahal Ž } s= sehingga
0¥. Dengan kata lain Ž s adalah akar dari p(x). Jadi,
s
`} adalah lapangan yang kita cari.
Selanjutnya tinggal dibuktikan bahwa K terbatas. Perhatikan untuk setiap
§Ž dengan algoritma pembagian diperoleh,
§ . ˜ V =,
dengan ˜, =Ž dan = 0 atau ˜n=o I ˜
sehingga, § n . ˜ V =o
non˜o V n=o
˜ V = =
Ambil sebarang C s, maka terdapat v , sehingga
C v =. Jika dimisalkan ˜ H, karena = 0 atau
˜= I ˜ maka 1¥, , ,, .,…. . , 3]+ merentang K. Akan
dibuktikan bahwa 1¥, , ,, .,…. . , 3]+ bebas linier.
Andaikan ”°1¥ V ”+ V ”,, V ”. . V …. .V ”3]+3]+ 0¥ dengan ”‰ ,
misalkan pula ™ ”°1¥ V ”+ V ”,, V ”. . V …. .V ”3]+3]+ 0¥.
Maka diperoleh ™ ™ 0¥. Jadi, ™Ž s= }. Karena
˜™ I ˜ sedang elemen tak nol di M memiliki derajat lebih besar
atau sama dengan derajat maka diperoleh

60. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 31
™ ”°.1“ V ”+. V ”,., V ”. . V …. .V ”3]+3]+ 0“W, sehingga
”° ”+ ”, ”. …. . ”3]+ 0F. Jadi, 1¥, , ,, .,…. . , 3]+ bebas
linier yang berarti menjadi basis dari K.
Sehingga terbukti s: H ˜ G ˜r !.
Teorema 1.6.8 Diketahui polinomial r berderajat n. Maka terdapat
perluasan lapangan K atas F dengan derajat paling besar n! dimana f (x)
memiliki n akar.
(Herstein, 1996 : 212)
Bukti :
Akan dibuktikan teorema ini dengan cara induksi.
Untuk n = 1, bisa dimisalkan r 2 V , dengan 2,  Ž dan  R 0
sehingga akar dari r adalah 2]+ Ž . Jadi, pilih K = F sehingga [K : F] = 1 =
1!
Andaikan pernyataan benar untuk ! C akan ditunjukkan pernyataan juga benar
untuk ! C V 1. Oleh karena itu, ambil sebarang polinomial rŽ
berderajat k +1. Berdasarkan teorema 1.6.7 terdapat perluasan lapangan K1 atas
F dengan s+ { G C V 1 sehingga f memiliki akar, katakanlah a adalah akar
dari f di K1. Berarti dapat ditulis r ±, dengan ±Ž s+. dan
˜± C. Berdasarkan asumsi, terdapat perluasan lapangan K atas K1
sehingga q(x) memiliki k akar dan s { s1 G C! Jadi, f (x) memiliki k + 1 akar
di K dan s { s { s+. s+ { G C! C V 1 C V 1!. Sehingga
teorema terbukti.
Lemma 1.6.9 Jika ul!vlu r memiliki akar ganda ( multiple
root ) maka r ! rx memiliki faktor yang sama. ( f’ merupakan turunan
pertama dari f ).

61. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 32
(Herstein, 1990 : 233)
Bukti :
Andaikan a adalah akar ganda dari f, maka diperoleh
r ¤±, dimana v E 1. Sehingga,
rx v ¤]+± V ¤±x =, =
Jadi, f dan f’ bersama – sama memiliki faktor (x – a). Lemma terbukti.
Akibat. Jika F adalah lapangan dengan karakteristik R 0 maka polinomial

62. ³ , ! b 1 semua akarnya berbeda.
(Herstein, 1990 : 234)
Bukti :
Misalkan r

63. ³ , maka rx

64. ³] + 1 1
sehingga r dan rw saling prima. Berdasarkan kontraposisi dari lemma 1.6.9 r
tidak memiliki akar ganda atau dengan kata lain semua akarnya berbeda.

65. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 33
2. Pembahasan
2.1 Pengertian Lapangan Berhingga
Definisi 2.1.1 Suatu lapangan yang memuat elemen sebanyak berhingga disebut
lapangan berhingga.
(Herstein, 1996 : 221 )
Sebelum pembahasan lebih jauh tentang lapangan berhingga, berikut diberikan
contoh lapangan berhingga yang paling sederhana dan sudah cukup dikenal.
Teorema 2.1.2 Himpunan merupakan lapangan jika dan hanya jika n adalah
bilangan prima.
(Rudolf Lidl, 1994 : 14)
Bukti :
´ Andaikan n bukan bilangan prima , maka n = a. b dengan 1 a, b n.
Karena suatu lapangan maka setiap elemen tak nol di memiliki invers.
Padahal [b] elemen di berarti terdapat [c] di sehingga [b][c] = [1] atau
. µ 1 v !. Lebih lanjut diperoleh bahwa . . µ v !
Karena n = a.b, berarti . µ 0 v ! sehingga 0 µ v !.
Padahal 1 a n. Timbul kontradiksi, sehingga haruslah n bilangan prima.
m Diketahui bahwa n bilangan prima. sendiri merupakan gelanggang
komutatif. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa daerah integral. Untuk setiap
[a], [b] anggota andaikan [a][b] = [ab] = [0] berarti ab = nk, untuk suatu
bilangan bulat k. Karena n prima maka n membagi a atau n membagi b. Jadi, [a] =
[0] atau [b] = [0].
Sehingga terbukti daerah integral. Berdasarkan teorema 1.3.3, adalah
lapangan. Dalam kasus ini karena elemen berhingga maka suatu lapangan
berhingga.

66. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 34
2.2. Sifat – Sifat Lapangan Berhingga
Teorema 2.2.1 Karakteristik dari lapangan berhingga adalah berupa bilangan
prima.
(Rudolf Lidl, 1994 : 16)
Bukti :
Ambil sebarang lapangan berhingga F. Misalkan |F| = n.
Perhatikan himpunan { 1F, 2.1F, 3.1F, . . . ., (n + 1).1F} kelipatan dari 1F yang
semuanya termuat di F. Karena F hanya terdiri dari n elemen, berarti terdapat
bilangan bulat k, m dimana 1 ≤ k m ≤ (n +1) sedemikian sehingga k.1F = m.1F
atau (m – k ).1F = 0F. Selanjutnya, untuk sebarang berlaku
(m- k). = (m – k ).1F. = 0F. = 0F. Karena m – k 0, maka F memiliki
karakteristik berupa bilangan bulat positif. Katakanlah karakteristik dari F adalah
p, karena F memuat elemen tak nol maka p ≥ 2. Andaikan p bukan prima, berarti
p = x.y dengan 1 x, y p.
Perhatikan bahwa, 0F = p.1F = (x.y).1F = (x.1F).(y.1F). Padahal, F adalah lapangan
yang berarti juga suatu daerah integral. Sehingga haruslah x.1F = 0F atau y.1F = 0F.
Selanjutnya, untuk sebarang berlaku
x. = x.1F. = 0F. = 0F atau y. = y.1F. = 0F. = 0F. Hal ini kontradiksi
dengan fakta bahwa p karakteristik dari F. Sehingga terbukti p prima.
Teorema 2.2.2 Jika F adalah lapangan berhingga dengan karakteristik p, maka
F memuat pn elemen dengan n suatu bilangan bulat positif.
(J.A. Gallian, 1990 : 309)
Bukti :
Karena F merupakan lapangan berhingga dengan karakteristik p maka F
merupakan perluasan lapangan dari

67. . Jadi, pandang F sebagai ruang vektor atas

68. . Karena F berhingga maka dimensi F juga hingga, katakanlah lv“ !.
Misalkan pula +, ,, … , basis dari F. Perhatikan pula bahwa setiap •
, dapat dinyatakan sebagai

69. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 35
• ›++ V ›,, V …,V › , ›‰ Ž

70. dan penyajian ini tunggal. Jadi, banyak elemen dari F adalah .
Teorema di atas menyatakan bahwa banyaknya elemen dari lapangan
berhingga berupa bilangan prima atau pangkat dari bilangan prima. Akan tetapi,
untuk setiap bilangan prima p dan bilangan bulat positif n belum ada jaminan
ditemukan lapangan berhingga F yang banyak elemennya pn. Namun, teorema
berikut memberikan jaminan lapangan berhingga tersebut ada.
Teorema 2.2.3 Untuk setiap p dan n, dengan p bilangan prima dan n bilangan
bulat positif terdapat lapangan berhingga yang memuat elemen sebanyak pn.
(Herstein, 1996 : 226)
Bukti :
Perhatikan polinomial ¤ , dengan v . Berdasarkan teorema
1.6.8 terdapat perluasan lapangan K dimana ¤ memiliki m akar, atau
dengan kata lain ¤ dapat difaktorkan menjadi
¤ + , .…… ¤
Sehingga +, ,, .,……, ¤ adalah akar- akar dari ¤ dan semuanya di K.
Berdasarkan akibat lemma 1.6.9 semua akar tersebut berbeda.
Jadi ‰ Š l ‹. Selanjutnya perhatikan himpunan ž Ž s |¤
yaitu himpunan akar – akar dari ¤ . Akan ditunjukkan bahwa A adalah
lapangan.
Perhatikan bahwa 0¤ ¥
0¥, serta 1¥
¤ 1¥. Jadi, 0¥ dan 1¥ anggota A. Berarti
ž R ^.
Berikutnya ambil sebarang , ž, diperoleh :
0¥ 0¥
¤ ¤ ¤ V ¤. Jadi, ¤ ¤ .
sehingga diperoleh pula ¤ ¤ V ¤ V
Jadi, ž.

71. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 36
Demikian pula, ¤ ¤¤ . Sehingga ž.
Sampai sejauh ini, telah dibuktikan bahwa A suatu gelanggang. Karena K
lapangan maka ž Z s adalah gelanggang komutatif . Selain itu 1¥ juga anggota
A. Jadi, tinggal ditunjukkan bahwa setiap invers perkalian dari elemen tak nol di A
juga ada di A.
Perhatikan,
1¤ ¥ 1¥
. ]+¤ ¤]+¤. Jadi, ¤]+¤ 1¥ atau
]+¤ ¤]+ ]+. Sehingga, ]+ ž.
Terbukti bahwa A adalah lapangan dengan pn elemen.
Teorema terbukti.
Teorema 2.2.3 di atas memberikan jaminan adanya lapangan berhingga
untuk setiap bilangan prima p dan bilangan bulat positif n yang kita ambil. Untuk
selanjutnya, lapangan berhingga F yang memuat q elemen dapat pula dinotasikan
dengan GF(q) yaitu Galois Field yang memuat q elemen. Khususnya untuk

72. dapat dinotasikan dengan .
Definisi 2.2.4 Diketahui lapangan berhingga GF(q) dan didefinisikan GF(q) *
yaitu himpunan elemen – elemen tak nol di GF(q), ±i ±04“·.
Elemen 2 ±i disebut elemen primitive apabila 2 membangun GF(q)*
yaitu ±i †2‰ | l ‡ #2$
(Fraleigh, 2000 : 408)
Teorema 2.2.5 Untuk setiap lapangan berhingga ±, ±i terhadap
operasi perkalian di ± merupakan group siklik.
(Herstein, 1996 : 223)

73. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 37
Bukti :
Berdasarkan teorema 1.6.6 diperoleh untuk setiap persamaan N 14“· di
± terdapat paling banyak d solusi, dengan d sebarang bilangan bulat positif.
Demikian pula karena ±i h ± maka persamaan N 14“· juga
memiliki paling banyak d solusi di ±i, hal ini juga berlaku khususnya bagi d
yang membagi habis |GF(q)*|.
Jadi, berdasarkan teorema 1.1.5 dapat disimpulkan bahwa ±i adalah group
siklik.
Lemma 2.2.6 Misalkan F perluasan lapangan dari ± dan 2 . Maka
2 ± jika dan hanya jika 2· 2.
(Fraleigh, 2000 : 408)
Bukti :
k Misalkan +, ,, .,…, ·]+ merupakan elemen – elemen di ±i yang
semuanya berbeda. Ambil sebarang elemen 2 ±i maka diperoleh
2+, 2,, 2.,…, 2·]+ dan klaim semuanya berbeda. Andaikan terdapat
l, ‹ untuk 1 G l, ‹ G ± 1 dengan l R ‹ sedemikian sehingga 2‰ 2Š.
Apabila kedua ruas kita kalikan dengan 2]+ diperolah ‰ Š. Kontradiksi
dengan fakta bahwa +, ,, .,…, · semuanya berbeda. Klaim terbukti.
Dari sini diperoleh,
+, ,, .,…, ·]+ 2+, 2,, 2.,…, 2·]+ yang berakibat
+. ,. ..…. ·]+ 2+. 2,. 2..…. 2·]+
+. ,. ..…. ·]+ 2·]++. ,. ..…. ·]+
2·]+ 14“·
2· 2

74. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 38
Jadi,untuk setiap elemen 2 tak nol di GF(q) belaku 2· 2. Sedangkan untuk
elemen 04“· ± sendiri juga pasti berlaku 04“·· 04“·.
Sehingga untuk setiap elemen 2 ± berlaku 2· 2.
¸ Berdasarkan bukti di atas diperoleh bahwa setiap elemen 2 ±
merupakan penyelesaian dari persamaan · . Padahal persamaan ·
memiliki solusi paling banyak sejumlah q. Jadi, untuk setiap elemen 2 yang
memenuhi kesamaan 2· 2 pasti merupakan anggota ±.
2.3. Sublapangan
Teorema 2.3.1 Diketahui lapangan berhingga . Untuk setiap bilangan
bulat m yang membagi n terdapat tepat satu sublapangan dari yang
berorder ¤.
(Gallian, 1990 : 313)
Bukti :
Karena m membagi n diperoleh,
1 ¤ 1]¤ V ],¤ V £V ¤ V 1
Dengan kata lain, ¤ 1 membagi 1. Dengan assumsi yang sama
diperoleh polinomial

75. ¹]+ 1 membagi polinomial

76. ³]+ 1. Ini berarti
setiap akar dari n

77. ¹]+ 1o

78. ¹ juga merupakan akar dari
n

79. ³]+ 1o

80. ³ . Padahal berdasarkan lemma 2.2.6 himpunan semua
akar dari

81. ¹ adalah ¤, demikian pula himpunan semua akar dari

82. ³ adalah . Jadi, ¤ merupakan sublapangan dari .
Selanjutnya hanya tinggal ditunjukkan ketunggalan dari ¤. Andaikan
terdapat dua sublapangan berbeda dari , katakanlah A dan B yang berorder
¤. Hal ini berakibat polinomial

83. ¹ memiliki akar lebih dari ¤ yang

84. 2Á
2,
2
tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 39
kontradiksi dengan fakta bahwa

85. ¹ memiliki paling banyak ¤ akar. Jadi,
haruslah A = B.
Berdasarkan teorema di atas, lapangan berhingga . memiliki sublapangan
yaitu ¤º, ¤», . . . , ¤¼ dengan syarat v‰ membagi habis !.
Sebagai contoh dapat diperhatikan diagram berikut,
2.
: memiliki sublapangan
Berdasar teorema 2.3.1 dan contoh diagram di atas, secara natural akan muncul
pertanyaan apakah tidak ada sublapangan lain dari selain ¤º,
¤», . . . , ¤¼. Untuk menjawab pertanyaan tersebut diperlukan sifat
isomorphisma di lapangan berhingga dan akan dibahas kemudian.
2.4 Cara Mengkonstruksi Lapangan Berhingga ½¾¿À
Sejauh ini telah dipelajari beberapa sifat dari lapangan berhingga .
Berikutnya akan diberikan salah satu alternatif mengkonstruksi lapangan
berhingga berdasarkan teorema 1.6.8 dan 2.2.3 yang telah dipelajari sebelumnya.
Pertama, diperkenalkan terlebih dahulu pengertian tentang modulo dan kongruensi
di F[x].

86. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 40
Definisi 2.4.1 Polinomial § disebut kongruen dengan ˜ modulo
r jika dan hanya jika terdapat polinomial u sedemikian hingga
§ ˜ ur
Ditulis § µ ˜v r.
(http://zaki.math.web.id)
Berdasarkan definisi di atas, § dan ˜ dikatakan kongruen modulo r
jika § dan ˜ mempunyai sisa yang sama apabila dibagi oleh r. Sama
seperti pengertian kongruensi pada bilangan bulat, dengan relasi modulo ini dapat
dibentuk klas- klas ekuivalensi sebagai berikut,
Definisi 2.4.2 Untuk suatu polinomial r , klas ekuivalensi yang
memuat ˜ ialah
˜ § | § µ ˜ v r
yaitu himpunan semua polinomial yang kongruen dengan ˜ modulo r.
Operasi penjumlahan dan perkaliannya didefinisikan sebagai berikut,
˜ V § ˜ V §
dan
˜. § ˜. §
(http://zaki.math.web.id)
Akhirnya, untuk mengkonstruksi bisa memanfaatkan gelanggang

87. dan polinomial tak tereduksi

88. berderajat n, yaitu

89. Â#$
yaitu himpunan semua polinomial di

90. yang berderajat kurang dari n.

91. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 41
Sebagai contoh,
Untuk membangun 4 2,, dapat memanfaatkan gelanggang ,
dan polinomial tak tereduksi , V V 1 , .
Sehingga,
4 ,
Â#$ 0, 1, , V 1
Seperti telah dijelaskan di atas, untuk mengkonstruksi bisa memanfaatkan
gelanggang

92. dan polinomial tak tereduksi

93. berderajat n. Lalu
pertanyaan yang muncul, apakah untuk sebarang bilangan asli n selalu terdapat
polinomial tak tereduksi berderajat n di

94. . Teorema berikut memberi
jawaban pertanyaan tersebut,
Teorema 2.4.3 Untuk sebarang lapangan berhingga 3 dan sebarang
bilangan asli n, terdapat polinomial tak tereduksi berderajat n.
(Fraleigh, 2000 :410)
Bukti :
Berdasarkan teorema 2.2.3 terdapat lapangan berhingga K yang memuat 3
elemen. Karena t membagi tn maka F merupakan sublapangan dari K. Dengan
kata lain, K adalah perluasan lapangan dari F.
Apabila K dipandang sebagai ruang vektor atas F, sedangkan K memiliki 3
elemen dan F memiliki 3 elemen maka lv¥ !. Selain itu K* merupakan
group siklik, katakanlah s merupakan elemen primitive dari K. Selanjutnya
didefinisikan homomorphisma O { | s yaitu
Or r
Akan dibuktikan gvO s.
Ambil sebarang H s maka t dapat dinyatakan

95. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 42
H +C+ V ,C, V .C. V £V C dengan ‰ dan C‰ basis dari s.
Karena a adalah elemen primitive dari K* maka untuk setiap i berlaku C‰ M¼ .
Jadi, H +Mº V ,M» V .MÃ V £V M³ r untuk suatu r .
Sehingga H gvO atau s Z gvO. Karena gvO Z s dan s Z gvO
diperoleh gvO s.
Perhatikan pula bahwa s=O merupakan ideal dari F [x]. Padahal F [x]
merupakan daerah integral utama, sehingga terdapat polinomial tak nol
sedemikian sehingga s=O #$. Dari sini diperoleh
merupakan polinomial berderajat minimal di F [x] sedemikian hingga 0.
Klaim bahwa merupakan polinomial tak tereduksi berderajat n yang dicari.
Pertama, dibuktikan bahwa merupakan polinomial tak tereduksi. Andaikan
dapat direduksi, misalkan r˜ dengan r, ˜ dan
0 I degnro , degn˜o I deg . Diperoleh r˜ 0.
Karena F [x] daerah integral berakibat r 0 atau ˜ 0. Kontradiksi
dengan fakta bahwa merupakan polinomial berderajat minimal di F [x]
sedemikian hingga 0. Jadi, terbukti adalah polinomial tak tereduksi
di F [x].
Kedua, ditunjukkan bahwa degno !. Untuk itu perhatikan himpunan
‚ 1, , ,, .,…. . , h s , karena K berdimensi n berakibat T tidak bebas
linier. Berarti terdapat ‰ R 0 sedemikian hingga L V + V ,, V £V
0. Jadi, terdapat polinomial taknol r L V + V ,, V £V
di F [x] dimana r 0. Karena merupakan polinomial berderajat minimal
di F [x] sedemikian hingga 0 maka diperoleh ˜ G !.
Andaikan ˜ j I ! . Karena gvO s maka diperoleh
s z
Â#$ . Diketahui pula |s| 3 sehingga Ä
Â#$Ä 3.

96. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 43
Perhatikan pula bahwa anggota dari
Â#$ adalah polinomial berderajat
kurang dari w di F [x]. Jadi,untuk setiap •
Â#$ dapat di sajikan
• L V + V ,, V £V FF]+ dengan ‰ . Karena || 3 maka
kemungkinan banyaknya elemen di
Â#$ yaitu
Ä
Â#$Ä 3F I 3
Timbul kontradiksi karena diketahui Ä
Â#$Ä 3. Jadi, tidak mungkin
˜ j I !. Oleh karena itu, diperoleh ˜ !.
Sehingga terbukti, merupakan polinomial tak tereduksi berderajat n.
Dengan adanya teorema di atas memberikan jaminan yang pasti bahwa
cara mengkonstruksi lapangan berhingga yang dikemukan di depan dapat
diterapkan untuk membangun sebarang lapangan berhingga berorder yang
diminta. Sedangkan bagaimana cara menemukan polinomial tak tereduksi
tersebut tidak dikemukan pada makalah ini. Pembaca dapat mencari referensi lain
untuk keperluan tersebut.
2.5 Ketunggalan dari Lapangan Berhingga Berorder Sama (up to
Isomorphisma)
Teorema berikut akan menunjukkan bahwa setiap lapangan berhingga yang
berorder sama saling isomorphic.

97. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 44
Teorema 2.5.1 Jika K dan L adalah lapangan berhingga yang berorder sama
maka K dan L isomorphic.
(Herstein, 1996 : 228)
Bukti :
Misalkan |s| |¡| . Telah diketahui bahwa

98. merupakan sublapangan dari
K dan L . Sehingga K dan L adalah perluasan lapangan dari

99. . Misalkan pula
2 si merupakan elemen primitive dari K* dan  ¡i adalah elemen primitive
dari L*.
Konstruksi homomorphisma Å ! Æ yaitu
Å:

100. | s
dengan definisi, År r2, untuk setiap r

101. serta,
Æ:

102. | ¡
dengan definisi, Ƙ ˜, untuk setiap ˜

103. .
Analog dengan bukti teorema 2.4.3, diperoleh gvÅ s dan gvnÆo ¡
serta s=Å #Å$ dengan Å adalah polinomial tak tereduksi
berderajat n di

104. . Juga diperoleh s=nÆo #Æ$ dengan Æ adalah
polinomial tak tereduksi berderajat n di

105. .
Jadi, s gvÅ z

106. Â#Å$ serta ¡ gvnÆo z

107. Â#Æ$.
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa

108. Â#Å$ z

109. Â#Æ$.
Perhatikan bahwa,

110. Â#Å$ †r V #Å$|r

111. dan ˜nro I !‡

112. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 45
dan

113. Â#Æ$ †˜ V #Æ$|˜

114. dan ˜n˜o I !‡
Konstruksi pemetaan {

115. Â#Å$ |

116. Â#Æ$
dengan definisi, r V #Å$ r V #Æ$.
Perhatikan, untuk sebarang r V #Å$, ˜ V #Å$

117. Â#Å$
berlaku,
r V #Å$ V ˜ V #Å$ r V ˜ V #Å$
r V ˜ V #Æ$
r V #Æ$ V ˜ V #Æ$
r V #Å$ V ˜ V #Å$
serta,
nr V #Å$. ˜ V #Å$o r. ˜ V #Å$
r. ˜ V #Æ$
nr V #Æ$o. n˜ V #Æ$o
r V #Å$. ˜ V #Å$
Sehingga merupakan suatu homomorphisma.
Selanjutnya perlu dibuktikan bahwa bijektif,
Ambil sebarang H r V #Æ$ Ž

118. Â#Æ$ maka pasti terdapat
j r V #Å$ Ž

119. Â#Å$ sedemikian sehingga j H.
Terbukti surjektif.

120. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 46
Untuk sebarang H+, H,

121. Â#Æ$
H+, H, dapat dinyatakan sebagai berikut
H+ r+ V #Æ$ r+ V #Å$
dan
H, r, V #Æ$ r, V #Å$
andaikan H+ H, akan ditunjukkan r+ V #Å$ r, V #Å$.
Perhatikan,
H+ r+ V #Æ$ r, V #Æ$ H,
berakibat r+ r, #Æ$
tetapi diketahui pula bahwa ˜nr+ r,o I ˜nÆo sehingga didapat
r+ r, 0 yang berakibat r+ r,.
Sehingga jelas bahwa r+ V #Å$ r, V #Å$. Jadi, injektif.
Karena injektif sekaligus surjektif maka bijektif. Dengan kata lain, adalah
suatu isomorphisma.
Jadi, terbukti bahwa

122. Â#Å$ z

123. Â#Æ$.
Oleh karena itu,
s z

124. Â#Å$ z

125. Â#Æ$ z ¡
berarti s z ¡. Teorema terbukti.
Teorema di atas memberikan bukti bahwa sebarang lapangan berhingga
yang berorder sama saling isomorphic. Dengan kata lain, dengan memanfaatkan
relasi isomorphima ini kita dapat mengambil satu lapangan berhingga saja sebagai
representasi lapangan berhingga lain yang berorder sama. Oleh karena itu,
penulisan lapangan berhingga berorder dengan simbol cukup
beralasan.

126. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 47
Berikut dengan memanfaatkan fakta di atas akan dibuktikan jika H sublapangan
berorder ¤ dari lapangan berhingga maka m membagi n.
Berdasarkan teorema 2.5.1, H isomorphic dengan ¤, sehingga
! : : ¤¤:
: ¤.v
karena : ¤ merupakan dimensi dari sebagai ruang vektor
atas ¤ maka : ¤ X. Jadi, terbukti m membagi n.
Pada bagian akhir dari makalah ini, diberikan contoh lapangan berhingga dan
pembahasan mengenai elemen primitive dan sublapangannya.
Contoh 1. Lapangan berhingga berorder 9 (½¾ÇÈ)
Untuk mengkonstruksi 9 kita memanfaatkan gelanggang . dan
polinomial tak tereduksi , V 1 ..
Jadi, 9 .
Â#, V 1$ 0, 1, 2, , V 1, V 2, 2, 2 V 1, 2 V 2
Catatan: tanpa mengurangi arti dan untuk menyederhanakan penulisan, tanda
[…] pada tiap elemen anggota 9 dihilangkan.
Untuk operasi penjumlahan pada 9 menggunakan modulo 3 sedangkan
operasi perkaliannya menggunakan modulo , V 1.
Contoh:
2 V 2 V 1 4 V 1 V 1
V 12 V 2 2, V 4 V 2 4 V 2, V 1 4
Kita juga bisa menggunakan hubungan , 1 2. Sebagai contoh,
V 12 V 2 2, V 4 V 2 4 V 4 V 2 6 V 4 4
Selanjutnya akan dicari elemen primitive dari 9. Perhatikan bahwa, 9*
membentuk group siklik berorder 8. Karena order dari tiap elemen di 9*
membagi 8 maka untuk mencari elemen primitive dari 9* cukup mencari
elemen 9* dengan sifat
, R 1 dan 0 R 1 .

127. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 48
Kita mulai dengan x, diperoleh , 1 2 dan 0 ,. , 2.2 4 1.
Jadi, x bukan elemen primitive dari 9.
Sekarang dicoba untuk V 1, diperoleh
V 1, , V 2 V 1 2 V 2 V 1 2 R 1
dan V 10 V 1, V 1, 2. 2 4 R 1
Jadi, V 1 adalah elemen primitive dari 9*. Perhatikan tabel dibawah ini !
Bentuk Perkalian Bentuk Penjumlahan
V 1 V 1
V 1, 2
V 1. 2 V 1
V 10 2
V 1% 2 V 2
V 1Á
V 1É V 2
V 1Ê 1
Berdasarkan teorema 1.1.4 selain V 1 elemen primitive dari 9* yaitu
V 13 2 V 1, V 15 2 V 2 dan V 17 V 2
Sublapangan dari 9 yaitu 9 sendiri dan
3 0Ì# V 10$ 0Ì#2$ 0, 1, 2
Contoh 2. Lapangan berhingga berorder 16 (½¾ÈÍ)
Untuk mengkonstruksi 16 dapat memanfaatkan gelanggang , dan
polinomial tak tereduksi 0 V V 1 ,.
Jadi,
16 ,
Â#0 V V 1$ Î. V , V V V #0 V V 1$
dengan , , , ,
Ï
Atau tanpa mengurangi arti dapat ditulis,
16 . V , V V |, , , ,

128. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 49
Analog dengan contoh 1, akan dicari elemen primitive dari 16*. Karena
|16i| 15 berakibat elemen primitive di 16* yaitu 16*
memiliki sifat . R 1 dan % R 1 .
Kita coba untuk elemen 16*. Jelas bahwa . R 1 sedangkan
% 0. V 1 , V R 1
Jadi, x merupakan elemen primitive dari 16*.
Perhatikan tabel di bawah ini!
Bentuk Perkalian Bentuk Penjumlahan
, ,
. .
0 V 1
% , V
Á . V ,
É . V V 1
Ê , V 1
Ð . V
+° , V V 1
++ . V , V
+, . V , V V 1
+. . V , V 1
+0 . V 1
+% 1
Sublapangan dari 16 selain 16 sendiri ada dua yaitu
2 0Ì#+%$ 0, 1
dan
4 0Ì#%$ 0Ì%, +°, 1 0,1, , V , , V V 1

129. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 50
Sedangkan elemen primitive dari 16* selain x yaitu
a. ,
b. 0 V 1
c. É . V V 1
d. Ê , V 1
e. ++ . V , V
f. +. . V , V 1
g. +0 . V 1
Demikian pembahasan tentang lapangan berhingga yang penulis kemukakan
pada makalah kali ini. Apabila pembaca tertarik terhadap materi ini, dapat
mencari referensi lain yang lebih lengkap dari buku – buku tentang aljabar
abstrak.

130. tutur widodo : pend. matematika uns
51
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
1. Lapangan berhingga ialah lapangan yang memuat elemen sebanyak berhingga.
2. Lapangan berhingga memiliki sifat- sifat sebagai berikut :
a. Karakteristik dari lapangan berhingga berupa bilangan prima.
b. Untuk sebarang lapangan berhingga F, berlaku || dengan p adalah
bilangan prima dan n berupa bilangan bulat positif.
c. Untuk sebarang bilangan prima p dan sebarang bilangan bulat positif n
terdapat lapangan berhingga F sedemikian sehingga || .
d. Himpunan elemen – elemen taknol dari suatu lapangan berhingga F
membentuk group siklik, terhadap operasi perkalian di F.
e. Jika A dan B adalah sebarang lapangan berhingga yang berorder sama,
yaitu |ž| |B| maka ž z B.
3. Lapangan berhingga ¤ merupakan sublapangan dari jika dan
hanya jika m membagi habis n.
4. Untuk mengkonstruksi lapangan berhingga dapat memanfaatkan
gelanggang

131. dan polinomial tak tereduksi

132. berderajat n,
yaitu

133. Â#$.
B. Saran
Bagi pembaca maupun teman – teman Pendidikan Matematika UNS
yang tertarik dengan materi yang dibahas pada makalah ini serta berminat untuk
dijadikan bahan seminar, bisa mempelajari lebih lanjut mengenai Galois Field dan
terapannya. Selain itu dapat pula belajar lebih jauh tentang polinomial tak
tereduksi terutama mengenai cara pengujiannya.

134. tutur widodo : pend. matematika uns
52
LAMPIRAN
Pada bagian pembahasan disebutkan mengenai Fungsi Euler. Berikut akan
dijelaskan tentang fungsi tersebut.
Definisi Fungsi Euler. Misalkan n bilangan bulat positif. Banyaknya bilangan
bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n serta relatif prima terhadap n
dilambangkan dengan ^!. Fungsi ^ selanjutnya disebut Fungsi Euler.
Contoh,
Bilangan – bilangan 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19 relatif prima terhadap 20. Jadi,
^20 8.
Teorema. Untuk setiap bilangan bulat positif d yang membagi habis n berlaku
a^ !.
N`
Bukti :
Perhatikan barisan bilangan rasional berikut,
1
!
,
2
!
,
3
!
,…,
!
!
Jelas barisan tersebut terdiri dari n suku. Selanjutnya buat barisan baru dengan
cara mereduksi masing- masing suku barisan di atas menjadi bentuk paling
sederhana ( tiap suku barisan baru berbentuk O
Ñ
dengan FPB(a, b) = 1). Dengan
demikian, barisan baru tersebut tetap terdiri dari n suku dan penyebut dari tiap
sukunya merupakan pembagi n. Pehatikan pula, untuk setiap d yang membagi n
terdapat suku yang penyebutnya adalah d.
Jadi untuk setiap d yang membagi n, ^ adalah banyaknya suku di barisan baru
yang penyebutnya adalah d. Oleh karena itu, jika kita menghitung
a^
N`

135. 1“ sebanyak n + m
1“ sebanyak n 1“ sebanyak m
1“ sebanyak nm
1“ sebanyak n 1“ sebanyak n 1“ sebanyak n
tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 53
berarti menghitung seluruh suku dari barisan tersebut.
Jadi,
a^ !.
N`
Berikutnya akan diberikan bukti dari beberapa fungsi yang diklaim sebagai
homomorphisma tetapi pembuktiannya belum diberikan di pembahasan.
Fungsi Ò pada halaman 20.
Jika F suatu lapangan maka fungsi  { | yang didefinisikan
! !. 1“, ! adalah suatu homomorphisma
Bukti :
Pertama dibuktikan bahwa  well defined. Ambil sebarang !,v . Jika ! v
akan dibuktikan ! v. Perhatikan, ! !. 1“ 1“V 1“ V £V
1“ v. 1“ v . Terbukti  well defined.
Kedua dibuktikan  adalah homomorphisma. Untuk itu ambil sebarang !,v .
Diperoleh,
! V v ! V v. 1“
1“ V 1“ V £V 1“
1“V1“ V £V 1“ V 1“ V 1“ V£V 1“
!. 1“ V v. 1“ ! V v
!v !v. 1“
1“V1“ V 1“ V £V 1“ V 1“
1“V1“ V £V1“V1“V 1“V£V 1“V£V 1“ V 1“ V …V 1“
blok (1“ sebanyak n) sebanyak m

136. !. 1“ sebanyak m
tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 54
!. 1“ V !. 1“ V £V !. 1“
!. 1“1“V1“V£V 1“
!. 1“.v. 1“ !.v
Terbukti bahwa  adalah homomorphisma.
Fungsi Ó pada halaman 29.
Jika F adalah lapangan dan M ideal maksimal dari serta s
`}
maka fungsi { Ÿs yang didefinisikan n˜o ˜ V }, ˜
adalah homomorphisma.
Bukti :
Terlebih dahulu, dibuktikan bahwa well defined. Ambil sebarang r, ˜
dengan r ˜ akan ditunjukkan nro n˜o. Perhatikan,
r ˜ 0 }, hal ini berakibat r V } ˜ V }. Jadi
nro r V } ˜ V } n˜o. Terbukti well defined.
Selanjutnya ditunjukkan bahwa homomorphisma. Ambil sebarang r, ˜
, diperoleh
nr V ˜o r V ˜ V }
r V } V ˜ V } nro V n˜o
nr. ˜o r. ˜ V }
r V }˜ V } nron˜o
Jadi, terbukti adalah homomorphisma.

137. tutur widodo : pend. matematika uns
Lapangan Berhingga 55
Fungsi ÒÔ pada halaman 41.
Jika F dan K adalah lapangan, Z s dan 2 s maka fungsi Å: | s
yang didefinisikan
Ånro r adalah suatu homomorphisma.
Bukti :
Pertama, dibuktikan bahwa fungsi Å well defined. Ambil sebarang r, ˜
dengan r ˜ akan ditunjukkan Ånro Ån˜o. Perhatikan,
jika r ˜ diperoleh rH ˜H, H s. Sehingga, Ånro r
˜ Ån˜o. Terbukti, Å well defined.
Kedua, ditunjukkan bahwa Å homomorphisma. Ambil sebarang r, ˜
, diperoleh
Ånr V ˜o r V ˜ Ånro V Ř.
Ånr. ˜o r. ˜ Ånro. Ån˜o
Jadi, terbukti Å adalah homomorphisma.

138. tutur widodo : pend. matematika uns
56
DAFTAR PUSTAKA
Fraleigh,John B. 2000. A First Course in Abstract Algebra, 4th Edition. New
York: Addison-Wesley Publising Company.
Gallian, J.A. 1990. Contemporary Abstract Algebra, 2nd Edition. Massachussets :
D.C. Heath and Company.
Grillet, P. Antoine. 2007. Abstract Algebra, 2nd Edition. New York :
Spgelangganger Science and Business Media, LLC.
Herstein, I. N. 1990. Topics in Algebra, 2nd Edition. New York :John Willey and
Sons.
___________. 1996. Abstract Algebra, 3rd Edition. New Jersey : Prentice Hall
International,Inc.
Lidl, Rudolf and Harald Niederreiter. 1994. Introduction to Finite fields and Their
Applications. United Kingdom : Cambridge University Press.
Robinson, D.J.S. 2003. An Introduction to Abstract Algebra. Berlin : Walter de
Gruyter.
http://zaki.math.web.id