Dokumen tersebut membahas tentang penerapan matriks dalam ekonomi, khususnya model input-output. Materi yang disampaikan meliputi penjelasan tentang matriks transaksi, analisis model input-output Leontif, model terbuka, dan model tertutup. Perkuliahan ini bertujuan agar mahasiswa memahami konsep-konsep tersebut dan dapat menghitung output total serta nilai tambah untuk masing-masing sektor berdasarkan perubahan permintaan akhir.

1. SEMESTER II
1
Selasa, 30 Oktober 2012
FAKULTAS EKONOMI
PROGRAM STUDI MANAJEMEN
UNIVERSITAS ISLAM LABUHANBATU
PERKULIAHAN-2
Matematika ekonomi
Penerapan Matriks Dalam Ekonomi

2. TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat :
1. Matriks transaksi
2. Analisis input-output model leontif
3. Model terbuka
4. Model tertutup
2

3. Deskripsi Singkat
• Dalam perkuliahan ini, anda akan mempelajari tentang
transaksi matriks
• Bagian selanjutan akan membahas tentang analisis matriks
input-output model leontif dan model terbuka
• Bagian akhir perkuliahan akan membahas model tertutup
3

4. Bahan Bacaan
Buku Wajib
• Dumariy, 2003, Matematika Terapan untuk Bisnis dan
Ekonomi, Penerbit BPFE, Yogyakarta.
• Habieb dan aziz, 2008, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Penerbit
Ghalia Indonesia, Jakarta.
Buku Pelengkap
• D. Sriyono, 2008, Matematika Ekonomi dan Keuangan, Penerbit
Andi, Yogyakarta.
• Suprian Atmaja Saputra, 2002, Matematika Ekonomi 1, PT. Ghalia
Indonesia, Jakarta.
4

5. tugas
Pertanyaan :
1. Hitunglah masing-masing koefisien inputnya
2. Jika permintaan akhir terhadap sektor pertanian, industri dan jasa
diharapkan masing-masing berubah jadi 25, 201 dan 45 berapa output total
yang baru bagi masing-masing sektor tersebut
3. Hitunglah nilai tambah yang baru bagi masing-masing sektor
5
Pertanian Industri Jasa Demand Akhir Output Total
Pertanian
Industri
Jasa
11
5
5
19
89
37
1
40
37
10
106
106
41
240
185
Nilai Tambah 20 95 107 21 243
Output Total 41 240 185 243 659

6. Matriks transaksi
Teori Leontif Paradoks oleh Wassily Leontif (1953)
• Mempersoalkan teori H-O : leontif menemukan AS, sebagai negara padat
modal juga mengekspor produk yang padat tenaga kerja (less capital
intensive).
• H-O mengabaikan biaya transportasi.
• Perbedaan selera juga tidak dibahas dalam teori perdagangan ini
Tabel 1
6
Pertanian Industri Jasa Demand Akhir Output Total
Pertanian
Industri
Jasa
20
15
10
35
80
50
5
60
55
40
135
120
100
290
235
Nilai Tambah 55 125 115 70 365
Output Total 100 290 235 365 990

7. Keterangan :
• Samping : dari seluruh output sektor pertanian senilai 100; 20 digunakan
untuk sektor sendiri sebagai input dan seterusnya, sedangkan sisanya
senilai 40 dibeli oleh konsumen sebagai barang konsumsi.
• Bawah : dari seluruh output sektor pertanian senilai 100; 20 digunakan
untuk sektor sendiri, 15 berupa input dari sektor industri, 10 berupa input
dari sektor jasa, dan 55 berupa nilai tambah sektor pertanian tersebut atau
disebut input primer.
Xij = output dari sektor i yang digunakan sebagai input oleh sektor j
Ui = permintaan akhir terhadap output sektor I
Yi = nilai tambah sektor j
Xj = output total dari sektor j
7

8. Matriks Transaksi
Pemakaian total oleh sektor i :
i = 1, 2 … m+1
Output total dari sektor j ;
j = 1, 2 … m+1
8
Distribusi Konsumsi Permintaan Akhir Output Total
Pertanian
Industri
X11 X12 … X1m
X21 X22 … X2m
Xm1 Xm2 … Xmm
U1
U2
U3
X1
X2
Xm
Nilai Tambah Y1 Y2 … X12 Um+1 Xm+1
Output Total X1 X2 … Xm Um+1 X
n
Xi ∑ Xij + U1
j = 1
n
Xj ∑ Xij + Y1
i = 1

9. • Jika nilai masing-masing unsur dalam matriks transaksi tersebut bagi
terhadap nilai jumlah baris dan kolom (misalnya X1j dibagi Xj atau X2j dibagi
Xj) maka diperoleh suatu rasio yang disebut koefisien input.
i = 1, 2 … m+1
j = 1, 2 … m+1
• Koefisien input aij adalah suatu rasio yang menjelaskan jumlah output
sektor I yang diperlukan sebagai input untuk menghasilkan satu unit output
di sektor j. oleh karena aij = Xij maka Xij = aij . Xj
Xi
• Untuk kasus negara K dari tabel 4, hitunglah output total masing-masing
sektor dan nilai tambahnya jika ditargetkan permintaan akhir terhadap
sektor pertanian, industri dan jasa masing-masing 100, 300 dan 200.
susunlah matriks transaksi yang baru ?
9
aij = Xij
Xj
P I J
Pertanian
Industri
Jasa
0,20
0,15
0,10
0,12
0,28
0,17
0,02
0,26
0,23
Nilai Tambah 0,55 0,43 0,49
Output Total 1,00 1,00 1,00

10. Jawab :
10
Pertanian
Industri
Jasa
P I J
= A0,20
0,15
0,10
0,12
0,28
0,17
0,02
0,26
0,23
Rumus : X = (1 – A)-1 U
X1
X2
X3
=
0,20
0,15
0,10
0,12
0,28
0,17
0,02
0,26
0,23
-1
100
300
200
|1 – A| = 0,38923
(I – A)-1 =
adj (I – A)
=
1,3108
0,3635
0,2505
0,2461
1,5775
0,3802
0,1171
0,5421
1,4336| I – A |
X1
X2
X3
= (I – A)-1
100
300
200
=
228,33
618,02
425,83

11. • Jadi output total masing-masing sektor akan menjadi :
Pertanian = 228,33
Industri = 618, 02
Jasa = 425,83
• Nilai tambah sektor :
Pertanian = 0,55 x 228,33 = 125,58
Industri = 0,43 x 618,02 = 265,75
Jasa = 0,49 x 425,83 = 208,66
11

12. Analisis matriks input-output
model loentif
• Analisa leontif berhubungan dengan persoalan : berapa tingkat besar input
seharusnya dari N industri supaya cukup memenuhi total demand produk ?
• Output suatu industri (industri baja) diperlukan sebagai input industri lain
bahkan untuk industri itu sendiri. Input-output analisis sangat berguna
dalam perencanaan produksi seperti perencanaan pengembangan suatu
perusahaan.
Struktur Input-Output Model
• Model input-output umumnya meliputi jumlah industri yang banyak maka
dibuat asumsi-asumsi untuk penyederhanaan problem sebagai berikut ;
1. Tiap industri hanya menghasilkan satu komoditi
2. Masing-masing industri menggunakan input rasio tertentu menghasilkan
output
3. Produksi dalam industri adalah constant return to scale, sehingga
perubahaan k kali dalam input akan mengakibatkan perubahan k kali dalam
output.
12

13. • Dari asumsi diatas menunjukan bahwa untuk memproduksi masing-masing
unit dari komoditi ke j input yang dibutuhkan dari komoditi ke I harus
tertentu jumlahnya. Kita tunjukkan dengan aij, maka untuk memproduksi
unit dari komoditi ke j dibutuhkan.
1. Jumlah aij dari komoditi ke 1
2. Jumlah a2j dari komoditi ke 2
3. Jumlah a3j dari komoditi ke 3
4. Jumlah anj dari komoditi ke n
aij  i = menunjukan input
j = menunjukan output
13

14. Model terbuka
• Jika selain dari n industri, model mempunyai sektor terbuka seperti rumah
tangga yang menentukan final demand (bukan input demand) bagi produk
tiap industri dan yang mensuplai input primer (labour service) tidak
dihasilkan oleh n industri.
(j = 1, 2, 3…n)
• Kemudian nilai input primer yang diperlukan untuk memprodusir 1 unit dari
komoditi ke j adalah :
• Jika suatu industri harus mempunyai output sehingga tepat memenuhi
kebutuhan n industri dan final demand dari sektor terbuka, output sebesar
X1 harus memenuhi syarat sebagai berikut
• Untuk industri 1 :
X1 = a11 X1 + a12 x2 …+ a1n xn + d1
atau (1- a11) x1 = a12 x2 + a13 x13…+ a1n xn + d1
atau (1- a11) x1 - a12 x2 - a13 x13…- a1n xn + d1
d1 = menunjukan final demand untuk output x1 dan aij xj 14
n
∑ aij < 1
i = 1
n
1 - ∑ aij
i = 1

15. • Untuk industri 2 berlaku :
a21 X1 + (1 - a22) x2 …- a2n xn + d2
• Untuk seluruh sel dari n industri, output yang cocok dapat dinyatakan dalam
bentuk persamaan sebagai berikut.
(1- a11) x1 - a12 x2…- a1n xn + d1
- a21 x1 + (1 – a22) x2…- a2n xn + d2
…………………………………………..
an1 x1 + (1 - ann) x2…- (1 - ann) xn + dn
(1 – a11) -a21 -a13 …a1n x1 d1
-a21 (1 - a22) -a23 …a2n x2 d2
………………………………
-an1 -an2 -an3 …(1 - ann) xn dn atau
1 0 0 …0 a11 a12 …a1n x1 d1
0 1 0 …0 a21 a22 …a2n x2 d2
0 0 1 …0 - a31 a32 …a3n x3 = d3
………………………………
0 0 0 …1 an1 an2…ann xn dn atau
15

16. (I – A)X = d; X = variabel vektor
d = final demand vektor
(I – A) nonsingular; maka dapat dicari (I – A)-1 dan X = (I – A)-1 d
Tingkat Perubahan Input-Output Model Terbuka
Ҳ = (I - A)-1d = Bd
Apabila B = (I - A)-1
• Lengkapnya untuk 3 industri :
x1 b11 b12 b13 d1 b11d1 + b12d2 + b13d3
x2 = b21 b22 b23 d2 b21d2 + b22d2 + b23d3
x3 b31 b32 b33 d3 = b31d3 + b32d2 + b33d3
• Turunan parsial terhadap d1
әx1 = b11; әx2 = b12; әx3 = b13
әd1 әd2 әd3
• Turunan parsial terhadap d2
әx1 = b11; әx2 = b12; әx3 = b13
әd1 әd2 әd3
16

17. • Atau dapat ditulis sebagai berikut ;
…dan seterusnya
• Jadi apabila x = Bd, maka
17
Əx
=
b11
b21
b31
b12
b22
b32
b13
b23
b33
= B
Əd
Ə
=
x1
x2
X3
= b12
b22
b32
=
Əx
Əd2 Əd2
Ə
=
x1
x2
X3
= b11
b21
b31
=
Əx
Əd1 Əd1

18. Model tertutup
• Jika sektor luar dari input output model terbuka dianggap sebagai industri
lain, sistem menjadi model tertutup; dalam model ini final demand input
primer tidak ada. Secara matematis akan terjadi sistem persamaan yang
homogen. Misalnya ada 4 industri termasuk yang baru subscript 0, tingkat
output yang cocok akan memenuhi sistem persamaan adalah; (I – A)x = 0
atau,
• Bentuk sistem persamaan tersebut akan mempunyai solusi apabila |I-A| = 0
-> nontrivial solution. Syarat ini dipenuhi oleh sistem persamaan di atas.
Karena jumlah kolom pada input-output matriks A tepat = 1, atau
a0j + a1j + a2j + a3j = 1, atau
a0j = 1- a
1j - a2j - a3j = 1- a11 – a21 – a31
maka : 1 – a0j = a1j + a2j + a3j, matriks diatas menjadi :
18
(1-a00)
-a10
-a20
-a30
-a01
(1-a11)
-a21
-a31
-a02
-a12
(1-a22)
-a32
-a03
-a13
-a23
(1-a33)
X0
X1
X2
x3
=
0
0
0
0

19. • Baris ke 1 ditambah baris ke 2, 3 dan 4 matriks diatas menjadi :
Rank matriks (I-A) = 3  jadi |I-A| = 0,
• Jawaban sistem diatas memberikan banyak jawaban output yang cocok
(nontrivial solution).
19
0
-a10
-a20
-a30
0
(1-a11)
-a21
-a31
0
-a12
(1-a22)
-a32
0
-a13
-a23
(1-a33)
X0
X1
X2
x3
=
0
0
0
0
(I – A) x = 0
(a10 + a20 + a30)
-a10
-a20
-a30
(-1 + a11 + a21 + a31)
(1-a11)
-a21
-a31
(-1 + a12 + a22 + a32)
-a12
(1-a22)
-a32
(-1 + a13 + a23 + a33)
-a13
-a23
(1-a33)
X0
X1
X2
X3

20. 20
Terima kasih, Semoga Bermanfaat