2. Standar Kompetensi:
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi
dalam pemecahan masalah
Kompetensi Dasar:
Menggunakan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik
dan di takhingga.
Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk
tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri.
3. PENGERTIAN LIMIT FUNGSI
Melalui Pengamatan Grafik Fungsi
Pengertian limit fungsi di sebuah titik melalui pengamatan grafik fungsi
di sekitar titik itu, dapat dideskripsikan dengan menggunakan alat
peraga dua buah potongan kawat dan satu lembaran film tipis.
x = a
film
Kawat 1
x = a
film
y= f(x)
L1
X X
4. Dibaca limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kiri sama
dengan L1
Catatan
Tanda pada a- dimaksudkan bahwa arah ketika mendekati x = a
adalah dari arah kiri. Oleh sebab itu, disebut limit kiri.
Dalam matematika, perkiraan ketinggian titik ujung kawat terhadap
sumbu X dikatakan sebagai limit fungsi f(x) untuk x mendekati dari arah
kiri.
Misalkan ketinggian yang diperkirakan itu adalah L1 maka notasi singkat
untuk menuliskan pernyataan itu adalah
5.
y = f(x)
x = a x = a
L2
film film
f(x) L untuk x a
atau f(x) = L
+
lim
x a+
2
2
lim
x a+
f(x) tidak ada
X X
Catatan
Tanda + pada a+ dimaksudkan bahwa arah ketika mendekati x = a
adalah dari arah kanan. Oleh sebab itu, disebut limit kanan.
Dibaca limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kanan sama
dengan L2
6.
X
Y
x = a
y = f(x),x a
L2
L1
O
X
Y
x = a
L2L1
y = f(x),x a
O
X
Y
x = a
y = f(x),x a
O
L1
L2
y = f(x),x a
x = a x = a
X X
Y Y
O
O
y = f(x),x a
7. No.
Limit Kiri Limit Kanan
1.
2.
3.
4.
5.
ada, nilainya L1
ada, nilainya L1
ada, nilainya L1
tidak ada
tidak ada
ada, nilainya L2
ada, nilainya L2
tidak ada
ada, nilainya L2
tidak ada
L1 = L2 = L
L1 L2
ada, nilainya L
tidak ada
tidak ada
tidak ada
tidak ada
lim f(x)
x a+
lim f(x)
x a
lim f(x)
x a
8. Suatu fungsi y = f(x) didefinisikan untuk x di sekitar a,
maka lim f(x) = L jika dan hanya jika
lim (x) = lim f(x) = L.
Definisi:
x a+ x a-
x a
9. Pengertian Limit Fungsi melalui Perhitungan Nilai-Nilai Fungsi
x 1,7 1,8 1,99 1,999 2,000 2,001 2,01 2,1 2,2
3,8 3,8 3,99 3,999 . . ? . . . 4,001 4,01 4,1 4,2
Contoh
Diketahui fungsi f(x) = dengan daerah asal Df = {x l x R dan x 2}.
Hitunglah nilai lim f(x) dengan cara menghitung nilai-nilai fungsi di sekitar
x = 2.
x2 4
x 2
x 2
Jawab:
Nilai-nilai fungsi f(x) = di sekitar x = 2x2 4
x 2
x2 4
x 2
Berdasarkan Tabel di atas, terlihat bahwa f(x) = mendekati nilai L = 4
ketika x mendekati 2 baik dari kiri maupun kanan.
x2 4
x 2
Dengan demikian, lim f(x) = lim = 4
x2 4
x 2x 2 x 2
10. Beberapa hal yang perlu diperhatikan tentang f(x) =
x2 4
x 2
f(2) = x2 4
x 2 =
0
0
Bentuk disebut sebagai bentuk tak tentu dan tidak didefinisikan.0
0
0
0
Untuk x 2, fungsi f(x) = dapat
disederhanakan menjadi
x2 4
x 2
f(x) = = x + 2
(x + 4) (x 2)
x 2
Grafik fungsi
Y
X1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
21 o
ºy = f(x)
= x2 4
x 2
, x 2
y = f(x) = x2 4
x 2 untuk x 2 adalah sebuah garis lurus dengan persamaan
yang terputus di titik (2, 4)y = f(x) = x + 2
11. LIMIT FUNGSI ALJABAR
Menentukan Limit Fungsi Aljabar yang Berbentuk lim f(x)
x a
Metode Substitusi Langsung
Contoh
lim (x2 2x + 1) = (1)2 2(1) + 1
= 4
x 1
Jadi, lim (x2 2x + 1) = 4
x 1
12. Metode Pemfaktoran
lim
x 2
x2 4
x 2
=
22 4
2 2
= 0
0
0
0 disebut bentuk tak tentu dan tidak didefinisikan.
Oleh karena itu, diperlukan upaya lain. Salah satunya dengan cara
mencari faktor persekutuan yang sama antara bagian pembilang dan
bagian penyebut .
lim
x 2
x2 4
x 2
= lim
x 2
(x 2) (x + 2)
x 2
, sebab x 2 atau x 2 0
= lim
x 2
(x + 2) = 4
13. Secara umum, pengerjaan limit fungsi yang mempunyai
bentuk tak tentu dapat dilakukan dengan menggunakan
metode pemfaktoran.
f(x)
g(x)
=
f(a)
g(a)
=
0
0x a
Misalkan lim . Upayakan f(x) dan g(x) memilki faktor
yang sama dan faktor yang sama itu adalah (x a), sehingga:
p(x)
q(x)
=
p(a)
q(a)
lim
x a
f(x)
g(x)
= lim
x a
(x a) p(x)
(x a) q(x)
= lim
x a
, dengan syarat p(a) 0 dan q(a) 0.
x a
= 1
x a
Perhatikan bahwa , sebab nilai x hanya dekat
dengan a sehingga x - a 0.
15. Menentukan Limit Fungsi Aljabar yang Berbentuk lim f(x)
x
Pengertian Tak Hingga
Y
X
x = a
O
Y
X
x = a
O
Y
X
x = a
O
y = f(x)
y = f(x)
y = f(x)
lim f(x) =
x a
lim f(x) =
x a+
lim f(x) =
x a
Y
X
x = aO
y = f(x)
Y
X
x = aO
y = f(x)
Y
X
x = aO
y = f(x)
lim f(x) =
x a
lim f(x) =
x a+
lim f(x) =
x a
16. Limit x Mendekati Tak Hingga
Misalkan fungsi f ditentukan oleh f(x) = dengan daerah asalnya
adalah D f = {x l x R dan x 0}.
1
x
x 1 2 3 4 . . . 10 . . . 100 . . . 10.000 . . . 100.000 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 0
Y
X1 2 3 4 5
3
1
1
o
2
1
2
3
4
234
f(x) =
1
x
asimtot datar y = 0
lim f(x) = lim
x x
1
x = 0
lim f(x) = lim
x x
1
x = 0
f(x) =
1
x
1
2
1
3
1
4
1
10
1
100
1
10.000
1
100.000
1
17. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Jika x
1. Membagi dengan Pangkat Tertinggi dari Penyebut
1. Jika derajat f(x) = derajat g(x) maka
lim
x
f(x)
g(x)
=
koefesien pangkat tertinggi dari f(x)
koefesien pangkat tertinggi dari g(x)
2. (i) Jika derajat f(x) derajat g(x) dan koefisien pangkat tertinggi f(x) bernilai
positif, maka
(ii) Jika derajat f(x) derajat g(x) dan koefisien pangkat tertinggi f(x) bernilai
negatif, maka
lim
x
f(x)
g(x)
=
lim
x
f(x)
g(x)
=
3. Jika derajat f(x) < derajat g(x) maka
lim
x
f(x)
g(x)
= 0
f(x)
g(x)x
Berdasarkan derajat dan koefesien pangkat tertinggi, lim dapat
ditetapkan sebagai berikut.
18. 2. Mengalikan dengan Faktor Lawan
Contoh
lim
x 2x 1 3x + 5{ }
=
=
=
lim
x 2x 1 3x + 5{ }
2x 1+ 3x + 5
2x 1+ 3x + 5
lim
x
(2x 1) (3x + 5)
2x 1+ 3x + 5
lim
x
x 6
2x 1+ 3x + 5
= (perhatikan ketentuan butir 2 bagian (ii))
f(x) g(x){ }
f(x) g(x)+
f(x) g(x)+
x
Limit fungsi yang berbentuk lim dapat diselesaikan
dengan cara mengalikan dengan faktor lawan, yaitu .
19. TEOREMA LIMIT
1. Jika f(x) = k maka lim f(x) = k (untuk setiap k konstan dan a bilangan real).
x a
2. Jika f(x) = x maka lim f(x) = a (untuk setiap a bilangan real).
x a
3. a) lim {f(x) + g(x)} = lim f(x) + lim g(x)
b) lim {f(x) g(x)} = lim f(x) lim g(x)
x a
x ax a
x a
4. Jika k suatu konstanta maka lim k f(x) = k lim f(x).
x a
x a
x a x a
x a
5. a) lim {f(x) g(x)} = lim f(x) lim g(x)
b) lim f(x)
g(x)
=
lim f(x)
x a
x a
lim g(x)
x a
, dengan lim g(x) 0x a
lim f(x)
x a
n
f(x)
n
= , dengan lim f(x) 0 untuk n genap.
x a
6. a) lim {f(x)}n
b) lim
x a
x a
lim f(x)
x a
{ }
n
.=
Sifat-sifat limit fungsi dapat dirangkum dalam Teorema Limit sebagai
berikut.
20. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Rumus-Rumus Limit Fungsi Trigonometri
lim
x 0
lim
x 0
x
sin x
sin x
x = = 1
lim
x 0
lim
x 0
x
tan x
tan x
x = = 1
lim
u 0
lim
x 0
u
sin u
sin u
u = = 1
lim
u 0
lim
x 0
u
tan u
tan u
u = = 1
Contoh
Hitunglah lim
x 0
sin 6x
2x
Jawab:
Misalkan 6x = u, maka x = u. 1
6
Jika x 0 maka u 0, sehingga:
lim
x 0
sin 6x
2x
= lim
u 0
sin u
2( ) u1
6
lim
u 0
sin u
u
= lim
u 0
sin u
u =3 3 3 (1) = 3
Jadi, lim
x 0
sin 6x
2x
= 3
