Perkuliahan ini membahas konsep-konsep dasar matematika ekonomi seperti turunan parsial, nilai maksimum dan minimum, aturan diferensial, elastisitas parsial, dan penerapan diferensial berantai dan elastisitas silang permintaan. Tujuan instruksionalnya adalah agar mahasiswa memahami konsep-konsep tersebut dan mampu menyelesaikan soal-soal terkait.

1. SEMESTER II
1ME-MSP
Selasa, 30 Oktober 2012
FAKULTAS EKONOMI
PROGRAM STUDI MANAJEMEN
UNIVERSITAS ISLAM LABUHANBATU
PERKULIAHAN-4
Matematika ekonomi
Diferensial Fungsi Majemuk

2. TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat :
1. Turunan parsial
2. Nilai maksimum dan minimum
3. Aturan diferensial
4. Elastisitas parsial
5. Penerapan diferensial berantai
6. Elastisitas silang permintaan
2

3. Deskripsi Singkat
• Dalam perkuliahan ini, anda akan mempelajari tentang
turunan parsial, nilai maksimum dan minimum
• Bagian selanjutan akan membahas tentang aturan diferensial
dan elastisitas parsial
• Bagian akhir perkuliahan akan membahas penerapan
diferensial berantai dan elastisitas silang permintaan
3

4. Pertanyaan kunci
1. Diketahui : y = 3x1
2 + 2x1x2x3 + 3x2x3
3+x3
4; Hitunglah
a. ∂/ ∂x1 = b. ∂y/ ∂x2 = c. ∂y/ ∂x3 =
d. ∂2y/ ∂x1
2 e. ∂2y/ ∂x1 ∂x2
2. Tentukan apakah titik ekstrim dari fungsi :
p = 3q2 – 18q + s2 – 8s + 50
merupakan titik maksimum atau minimum.
4

5. Diferensial fungsi majemuk
• Diferensiasi untuk fungsi-fungsi yang mengandung lebih dari satu macam
variabel bebas (fungsi multivariat),
• Diferensiasi parsial (diferensiasi secara bagian demi bagian)
• Pada umumnya variabel ekonomi berhubungan fungsional tidak hanya satu
macam variabel, tetapi beberapa macam variabel
Contoh :
y = f(x1, x2) = ax1 + bx1x2 + cx2
y = variabel tak bebas
x1, x2 = variabel bebas
Diferensial Parsial
• Penurunan suatu fungsi multivariat terhadap hanya pada satu variabel
bebas, sedangkan variabel-variabel bebas lainnya diasumsikan tidak
berubah. Misalkan y = f(x1,x2) maka turunan parsial y = terhadap x ditulis :
5

6. Diferensial Parsial lebih tinggi
• Turunan parsial kedua ditulis :
• Turunan parsial terhadap x1 kemudian terhadap x2 ditulis :
Contoh :
1. y = 5x1
3x2
4; hitunglah ?
a. ∂y/∂x1 = d. ∂2y/∂x2
2 =
b. ∂y/∂x2 = e. ∂2y/∂x1∂x2 =
c. ∂2y/∂x1
2 =
Jawab :
a.
b.
c.
d.
e. 6

7. Nilai maksimum dan minimum
• Untuk y = f(x, z) maka y akan mencapai titik ekstrimnya jika :
• Untuk mengetahui apakah titik ekstrimnya berupa titik maksimum atau titik
minimum maka dibutuhkan syarat :
1. Nilai maksimum bila :
2. Nilai minimum bila :
3.
4. Jika hasil perkalian pada (3)
 Titik yang diperoleh bukan titik maksimum atau minimum, melainkan titik
belok (inflection point/saddle point)
7

8. Contoh :
• Tentukan nilai kritis dari fungsi berikut ini dan uji apakah nilai kritis
maksimum atau minimum ?
y = 8x1
2 – 8x1 – 2x1x2 – 30x2 + 4x2
2
Jawab :
1.
2.
3.
4.
Terbukti :
• Memenuhi syarat ekstrim, maka fungsi tersebut mempunyai nilai minimum
pada x1 = 1; x2 = 4 dan harga minimumnya : ymin = 8(1)2 – 8(1) – 2(1)(4) –
30(4) + 4(4)2 = -64 8

9. Aturan diferensial
Aturan Diferensial
y = f(x1, x2) -> dy = f1dx1 + f2dx2
• Dapat juga dengan menggunakan aturan-aturan diferensial,
misalkan : U = U(x1, x2)
V = V(x1, x2)
aturan 1 d(cUƞ) = cUƞ-1 du
aturan 2 d(U V) = dU dV
aturan 3 d(UV) = VdU+UdV
aturan 4 d(U/V) = 1/V2 (VdU-UdV)
aturan 5 d(U V W) = VWdU+UWdV+UVdW
aturan 6 d(UVW) = VWdU+UWdV+UVdW
Contoh :
9
1. Tentukan dy dari y – 5x1
2 + 3x2
Jawab :
dy = d(5x1
2)+d(3x2)
= 10x1dx1+3dx2
2. y = 3x1
2 + x1x2
2
Jawab :
dy = d(3x1
2)+d(x1x2
2) = 6x1dx1+x2
2dx1+x1d(x2
2)
= (6x1+x1
2) dx1 + 2x1x2dx2

10. Diferensial total
• Perhatikan fungsi tabungan berikut : S = S(y, i)
Keterangan : S = saving (tabungan)
y = national income (pendapatan nasional)
i = interest rate (suku bunga)
• Misalkan fungsi tersebut kontinou atau diferensiabel. Perubahan total dari S
ditulis dS disebut diferensial dari fungsi saving.
Secara umum apabila fungsi utiliti :
U = U(x1, x2, x3 …xn)
Total diferensial
dU = U1dx1+U2d2+U3d3…+Undn
dU = ƩU1d1 (i = 1, 2, 3…n)
U1 = marginal utility dari komoditas ke-1
U2 = marginal utility dari komoditas ke-2
10

11. Elastisitas parsial
• Fungsi saving S = S(y, i)
• Formulasi elastisitas parsial : (elastisitas S terhadap y)
dan (elastisitas S terhadap i).
Untuk fungsi utiliti : (i = 1, 2, 3…n)
Contoh :
1. z = 3x2 + xy – 2y3 -> total diferensial ?
dz = ∂z/∂x dx + ∂z/∂y dy = (6x + y)dx + (x – 6y2)dy
2. y = 3x1(2x2 – 1)(x3 + 5)
dy = ∂y/∂x1 dx1 + ∂y/∂x2 dx2 + ∂y/∂x3 dx3
= 3(2x2 – 1)(x3 + 5)(dx1 + 3x1)(2)(x3 + 5)dx2 + 3x1(2x2 – 1)dx3
11

12. Penerapan diferensial berantai
• Misal y = f(x1, x2) dengan x2 = g(x1),
• Total derivatif; dy = f1dx1 +f2dx2
atau (dy/dx1 disebut total derivatif)
Contoh :
1. y = f(x1, x2) = x1
2 – 3x2
x2 = g(x1) = 2x1
2 – x1 + 4
Jawab :
= 2x1 – 3(4x1 – 1) = 2x1 – 12x1 + 3 = 3 – 10x1
2. Misalkan fungsi utiliti U = U(c, s)
dengan c = jumlah kopi yang dikonsumsi
s = jumlah gula yang dikonsumsi
dan fungsi lain s = g(c); maka U = U{c, g(c)}
sehingga
12

13. perhatikan y = f(x1, x2) dengan x1 = g(w) dan x2 = h(w) (x1 dan x2 masing-
masing fungsi dari w)
13

14. Elastisitas silang permintaan
• Karena suatu fungsi multivariat mempunyai lebih dari satu elastisitas, maka
elastisitas yang beraneka ragam tersebut dinamakan elastisitas parsial.
Misalkan, diketahui fungsi permintaan : Q1 = a – bP1 + cP2+ dy
Keterangan :
y = penghasilan
P2 = harga barang substitusi
Elastisitas penghasilan dari permintaan
Elastisitas silang permintaan
14

15. Contoh :
1. Diketahui permintaan untuk daging sapi : Qb = 4850 - 5Pb + 1,5PP + 0,1y,
dengan y = 10.000, Pb = 200 dan harga daging kambing FP = 100.
Hitunglah :
a. Elastisitas penghasilan
b. Elastisitas silang permintaan untuk daging
Jawab :
a.
Qb = 4850 – 5(200) + 1,5(100) + 0,1(10.000) = 5.000
-> barang tersebut merupakan inelastisitas penghasilan
b.
Qb = 5.000
15

16. 16
Terima kasih, Semoga Bermanfaat