Wawasan Nusantara sebagai satu kesatuan, politik, ekonomi, sosial, budaya, d...
INTEGRAL BAB 9
1. BAB 9 TEKNIKBAB 9 TEKNIK
PENGINTEGRALANPENGINTEGRALANMetoda Substitusi
Integral Fungsi Trigonometri
Substitusi Merasionalkan
Integral Parsial
Integral Fungsi Rasional
Universitas PadjadjaranUniversitas Padjadjaran
BandungBandung
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
2. PendahuluanPendahuluan
Operasi turunan turunan sifatnya algoritmik. Apabila semua
aturannya telah diketahui, maka dapat dapat disusun ‘resep
turunan’. Dalam banyak hal operasi turunan tidak terlalu
menuntut keratifitas.
Tidak demikian halnya dengan operasi integral. Seringkali
integral yang berbeda menuntut kombinasi teknik-metoda
pengintegralan yang berbeda: pengintegralan lebih
merupakan seni.
Banyak masalah dalam engineering yang melibatkan integral
dari fungsi yang sangat rumit, sehingga kita memerlukan
Tabel Integral.
Beberapa metoda yang sangat esensial adalah :
Metoda Substitusi
Metoda Integral Parsial
Integral Pecahan Parsial (Partial Fraction)
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
3. 1. Integral dengan Subtitusi1. Integral dengan Subtitusi
Rumus dan Aturan Pengintegralan yang sudah kita kenal sejauh
ini cukup bermanfaat dan penting, namun scope-nya masih
terbatas. Sebagai contoh dengan Aturan Pangkat kita dapat
menyelesaikan . Namun tidak berdaya untuk menyelesaikan
integral yang ‘serupa’ yaitu
Integral dengan mudah diselesaikan dengan menggunakan teknik
substitusi. Ide dasar metoda substitusi datang dari Aturan Rantai.
Teknik adalah ‘kebalikan’ dari Aturan Rantai.
x dx∫
2 1+∫ x dx
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
4. Penjelasan Aturan SubstitusiPenjelasan Aturan Substitusi
Misalkan F adalah antiturunan dari f . Jadi, F’(u) = f (u), dan
(1)
Bila u = g(x) sehingga diferensial du = g’(x)dx, diperoleh
Prosedur ini disebut metoda pengintegralan dengan substitusi
atau metoda substitusi. Maka, jika integrand tampak sebagai
komposisi fungsi dikalikan turunan fungsi ‘dalam’nya, maka
disarankan menggunakan metoda ini.
Perhatikan pula bahwa metoda merupakan proses balikan/inverse
dari Aturan Rantai.
( ) ( )f u du F u C= +∫
( ) ( )( ) '( ) ( ) ( ) ( )f g x g x du f u du F u C F g x C= = + = +∫ ∫
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
5. Dari manakah ide metoda substitusi ini?Dari manakah ide metoda substitusi ini?
Perhatikan bahwa F(g(x)) adalah antirunan dari
jika F adalah antiturunan dari .
Menurut Aturan Rantai
Teorema
Diberikan fungsi g terturunkan dan F adalah antiturunan dari f .
Jika , maka
( )( ) '( )f g x g x×
( )'( ) ( )f F u f u=
( ) ( ) ( )( ) ' ( ) '( ) ( ) '( )
d
F g x F g x g x f g x g x
dx
= × = ×
( )u g x=
( ) ( )( ) '( ) ( ) ( ) ( )f g x g x dx f u du F u C F g x C= = + = +∫ ∫
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
6. Menggunakan Teknik SubtitusiMenggunakan Teknik Subtitusi
Contoh Hitunglah
Misalkan u = (2x+3) dengan du = 2dx. Maka setelah disubtitusikan
Contoh Hitunglah
Ingat kembali bahwa 1/cos2
2x = sec2
2x.
Misalkan u = 2x, sehingga du = 2dx atau . Maka,
21
(2 3)x dx+∫
21 21 22 221 1 1
(2 3) (2 3)
2 2 22 44
du
x dx u u x C
+ = = = + + ÷
∫ ∫
2
cos 2
dx
x∫
12 2
2 2
1 1 1
sec . sec tan tan2
cos 2 2 2 2
dx
u du udu u C x C
x
= = = + = +∫ ∫ ∫
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
1
2
dx du=
7. Contoh : Hitunglah
a. b. c.
Jawab:
a. Misalkan u = 2x dan a = . Maka du = 2dx. Jadi,
b. Misalkan dan a = 2. Maka . Jadi,
c. : silahkan dicoba sebagai Latihan
dengan
2
2
3 4
dx
x−
∫ 2
4
x
x
e dx
e +∫
3 4
5x x dx+∫
1 1
2 2 2
2 2
sin sin
33 4
du u x
dx C C
ax a u
− −
= = + = + ÷ ÷
− −
∫ ∫
3
x
u e= x
du e dx=
1 1
2 2 2
1 1
tan tan
4 2 2
x x
x
e dx du u e
C C
e u a a a
− −
= = + = + ÷ ÷
+ +
∫ ∫
3 4
5x x dx+∫
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
8. Sebelum SubstitusiSebelum Substitusi
Seringkali sebelum substitusi diputuskan, kita perlu
memanipulasi fungsi integrand agar lebih memudahkan.
Perhatikan contoh berikut, dimana bentuk kuadrat dilengkapkan
dahulu sebelum menggunakan metoda substitusi.
Contoh
Tentukan 2
4 9
dx
x x− +∫
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
9. Contoh
Tentukan
= x - tan-1
x + c
2
2
1
x dx
x +∫
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
10. 2. Integral Fungsi Trigonometri2. Integral Fungsi Trigonometri
Pada pasal ini kita akan melihat bagaimana menkombinasikan
metoda substitusi dengan kesamaan- kesamaan trigonometri
menjadi metoda yang sangat efektif untuk menyelesaikan
beragam integral trigonometri. Beberapa tipe integral yang akan
dibahas adalah bentuk-bentuk berikut :
a.
b.
c.
sin , cosn n
xdx xdx∫ ∫
sin cosm n
x xdx∫
sin cos , sin sin , cos cosmx nxdx mx nxdx mx nxdx∫ ∫ ∫
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
11. Tipe 1Tipe 1
Kasus 1: n genap
Turunkan pangkat dengan substitusi menggunakan kesamaan
setengah sudut dan
Contoh
dengan menggunakan hasil sebelumnya kita peroleh
sin , cosn n
xdx xdx∫ ∫
12
2
sin (1 cos2 )x x= − 12
2
cos (1 cos2 )x x= +
1 12 1
2 22
1 1
2 4
cos (1 cos2 ) cos2
sin 2
xdx x dx dx xdx
x x C
= + = +
= + +
∫ ∫ ∫ ∫
[ ]
21 14 2
2 4
1 1 1 2
4 8 4
sin 2 (1 cos4 ) 1 2cos4 cos 4
sin 2 cos 4
xdx x dx x x dx
x x xdx
= − = − +
= − +
∫ ∫ ∫
∫
1 1 1 12 2
2 4 2 4
cos 4 cos (4 ) (4 ) (4 ) sin2(4 )xdx x d x x x C = = + + ∫ ∫
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
12. Jadi,
Kasus 2:Kasus 2: n ganjil.
Setelah sin x atau cos x difaktorkan, gunakan kesamaan
Pythagoras
Contoh
1 1 1 14
4 8 8 64
3 1 1
8 8 64
cos 2 sin 2 sin8
sin 2 sin8
xdx x x x x C
x x x C
= − + + +
= − + +
∫
2 2
sin cos 1x x+ =
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
13. Tipe 2Tipe 2
Kasus 1: m atau n bilangan ganjil positif.
Setelah sin x atau cos x difaktorkan, gunakan kesamaan
Pythagoras
Contoh
sin cosm n
x xdx∫
2 2
sin cos 1x x+ =
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
14. Kasus 2: m dan n bilangan genap positif.
Gunakan kesamaan setengah sudut
untuk mengurangi pangkat dalam integrand.
Contoh
2 21 cos2 1 cos2
sin cos
2 2
x x
x x
− +
= =
2
4 2 2 2
2
2 2 3
2 3
1 cos2 1 cos2
sin cos (sin 2 ) cos
2 2
1
(1 2cos2 cos 2 )(1 cos2 )
8
1
(1 2cos2 cos 2 cos2 2cos 2 cos 2 )
8
1
(1 cos2 cos 2 cos 2 )
8
x x
x xdx x xdx dx
x x x dx
x x x x x dx
x x x dx
− +
= = ÷ ÷
= − + +
= − + + − +
= − − +
∫ ∫ ∫
∫
∫
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
15. 2 3
2
2
2
3
1
(1 cos2 cos 2 cos 2 )
8
1 1
1 cos2 (1 cos4 ) (1 sin 2 )cos2
8 2
1 1 1
cos4 sin 2 cos2
8 2 2
1 1 1
cos4 sin 2 cos2
8 2 2
1 sin 4 sin 2
8 2 8 6
x x x dx
x x x x dx
x x x dx
dx xdx x xdx
x x x
C
= − − +
= − − + + − ÷
= − − ÷
= − −
= − − +
∫
∫
∫
∫ ∫ ∫
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
16. Tipe 3Tipe 3
Kesamaan-kesamaan yang dibutuhkan:
1.
2.
3.
Dengan kesamaan ini perkalian fungsi dapat diubah menjadi
jumlah fungsi yang jelas lebih mudah ditangani.
Contoh:
sin cos , sin sin , cos cosmx nxdx mx nxdx mx nxdx∫ ∫ ∫
[ ]1
2
sin cos sin( ) sin( )mx nx m n x m n x= + + −
[ ]1
2
sin cos cos( ) cos( )mx nx m n x m n x−= + − −
[ ]1
2
cos cos cos( ) cos( )mx nx m n x m n x= + + −
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
17. Latihan:
1. Hitunglah untuk kasus m = n
2. Hitunglah
( )1
2
sin sin cos( ) cos( )
sin( ) sin( )
,
2( ) 2( )
mx nxdx m n x m n x dx
m n x m n x
C jika m n
m n m n
= − + − −
+ −
=− + + ≠
+ −
∫ ∫
sin sinmx nxdx∫
cos cos ,
L
L
m x n x
dx m n
L L−
π π
≠∫
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
18. 1sectan 22
−= xx 1csccot, 22
−= xx
tan sec cot cscdanm n m n
x x dx x xdx∫ ∫
.
Bentuk
Gunakan identitas
serta turunan tangen dan kotangen
2
(tan ) secd x xdx= dxxxd 2
csc)(cot, −=
Contoh :
∫ xdx4
tan
∫= dxxx 22
tantan ∫ −= dxx )1(sectan 22
∫ ∫−= xdxxdxx 222
tansectan
∫ ∫ −−= dxxxxd )1(sec)(tantan 22
Cxxx ++−= tantan3
3
1
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
20. 3. Substitusi Merasionalkan3. Substitusi Merasionalkan
Metoda yang akan dipelajari di sini juga sering disebut
substitusi trigonometrik. Integral yang akan dibahas mempunyai
integrand memuat bentuk-bentuk
Umumnya metoda ini bertujuan untuk meng’eliminasi’ tanda
akar.
Dalam hal integrand memuat bentuk , maka substitusi
dapat mengeliminasi tanda akar.
2 2 2 2 2 2
, , ,n
ax b a x a x x a+ + − −
n
ax b• +
n
ax b+
n
u ax b= +
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
21. Substitusi Bentuk Akar
xu =
ax bn +
n
baxu +=
dx
x2 2+∫
∫ ∫ +
=
+
= du
u
u
u
udu
122
2
( )= − + +x x Cln 1
Integran memuat , maka misalkan
Contoh: Hitung
Misal xu =2
Dengan turunan implisit
12 =
dx
du
u dx=2udu
Jawab : dx
x2 2+∫
du
u
u
∫ +
−+
=
1
11 du
u
)
1
1
1(∫ +
−=
Cuu ++−= )1ln(
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
22. Soal Latihan
x x dx+∫ 43
x x
x
dx
2 2
1
+
+∫
t
t
dt
+∫ 1
∫ +
dt
t
t
43
∫ + dxxx 1
∫ − dxxx 3/2
)1(
Hitung
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
23. Contoh
Hitunglah
Misalkan u = 3t +4 sehingga du = 3dt dan
Hitunglah
Misalkan u = x + π sehingga du = 3dx dan x = u – π
3 4
tdt
t +
∫
1
3
( 4)t u= −
1 1
3 3
3 1 3 1
2 2 2 2
( 4) 1 4 1 4
9 93 4
1 2 2 8
8 (3 4) (3 4)
9 3 27 9
u dutdt u
du u du
t u u u
u u C t t C
− −
= = = − ÷
+
= − + = + − + +
∫ ∫ ∫ ∫
3
x x dx+ π∫
4 1
3 3 3 3
7 4
3 3
( )
3 3
( ) ( )
7 4
x x dx u udu u du u du
x x C
+ π = − π = − π
π
= + π − + π +
∫ ∫ ∫ ∫
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
24. Di sini kita akan menyelesaikan integral-intgeral yang memuat
bentuk-bentuk dan dengan asumsi a >
0.
Jika memuat maka coba ,
Jika memuat maka coba ,
Jika memuat maka coba ,
2 2 2 2 2 2
, ,a x a x x a• + − −
2 2 2 2
, ,a x a x+ − 2 2
x a−
2 2
,a x−
2 2
,a x+
2 2
,x a−
sinx a= θ /2 /2−π ≤ θ ≤ π
tanx a= θ /2 /2−π < θ < π
secx a= θ 0 , / 2≤ θ ≤ π θ ≠
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
25. Mengapa pembatasan nilai θ perlu dilakukan?
Pada integral tentu kita setelah substitusi, dan kemudian
menyelesaikan integral, kita perlu kembali ke variabel semula.
Oleh karena itu, nilai θ perlu dibatasi agar substitusi sin θ , tan θ ,
dan sec θ mempunyai inverse. Setelah melakukan subtitusi,
beberapa penyederhanaan dapat dilakukan, dengan tujuan
mengeliminasi tanda akar.
Catatan : Karena maka
Jadi, . Berikan justifikasi untuk hasil lainnya.
2 2 2 2 2 2 2
sin cos cos cosa x a a a a a− = − θ = θ = θ = θ
2 2 2 2 2 2 2
tan sec sec seca x a a a a a+ = + θ = θ = θ = θ
2 2 2 2 2 2 2
sec tan tan tanx a a a a a a− = θ − = θ = θ = θ
/ 2 / 2−π ≤ θ ≤ π cos 0.θ ≥
cos cosa aθ = θ
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
26. Contoh Hitunglah
Pilih substitusi sehingga Maka
Selanjutnya, karena maka .
2
4 x
dx
x
−
∫
2sin ,u t= 2cos .du tdt=
22 2
4(1 sin )4 4 4sin
2cos 2 cos
sin sin
tx t
dx tdt tdt
x t t
−− −
= =∫ ∫ ∫
( )
2
2(cos )(cos ) 1 sin
2 4 4 csc sin
sin sin
4ln csc cot cos
t t t
dt dt dt tdt
t t
t u t C
−
= = = −
= − + +
∫ ∫ ∫ ∫
2sin ,x t= sin / 2t x=
2
2 2
2
2
4
cos 1 sin 1 ( / 2)
4
1 2 cos 2 1 4
csc cot 4
sin sin 2
x
t t x
t x
t t x
t x t x x
−
= − = − =
−
= = = = − = ÷
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
27. Dengan demikian,
Contoh Hitunglah
Agar lebih memudahkan, integral dipecah menjadi dua bagian
Untuk integral pertama, pilih substitusi , sehingga
Maka
2 2 2
4 2 4 4
4ln
x x x
dx C
x x x x
− − −
= − + +∫
0 2 2
1x
dx
x
π π −
− π
∫
0 2 2 0 2 2 0 2 2
1x x dx
dx dx
x x x
π π ππ − π
= −
− π − π − π
∫ ∫ ∫
2 2
u x= + π 2 .du xdx=
00 2 2 0 2 2 0
2 2 2
0
1 2
2 2
( 2 ) ( 2 1)
x
x
x xdx du
dx u
ux x
x
π π π
=π
=
π
π − π π
= = = π
− π − π
= π − π = π π − π = π −
∫ ∫ ∫
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
28. Untuk integral kedua pilih substitusi sehinggatanx v= π
2
secdx vdv= π
( )
2
0
0 2 2 0 0
2
0
2
0 2 2
sec
sec ln sec tan
sec
ln 1 ln 2 1 ln 1 0 ln 2 1
, 2 1 ln 2 1
x x
x
x
x x
dx vdv
dx dx vdv v v
vx
x x
dx
jadi dx
x
π =π =π
=π
=
= =
π
π
π
= − = +
π− π
= + + = + − − = + ÷
π π
= π − − +
− π
∫ ∫ ∫
∫
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
29. Soal Latihan
Hitung
dx
x
dxx
∫ − 2
2
9
2 3
4 2
x
x
dx
−
−
∫
∫
− 22
4 xx
dx
dx
x x2 9+
∫
∫
− 1622
xx
dx
( )
dx
x2 3 2
9+
∫ /
3
2 52
x dx
x x+ +
∫
5 4 2− −∫ x x dx
2 1
2 22
x
x x
dx
+
+ +
∫
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
30. Melengkapkan kuadratMelengkapkan kuadrat
Bila bentuk kuadratik dibawah tanda akar masih dalam bentuk
ax2
+bx+c maka perlu dilakukan melengkapkan kuadrat sebelum
menggunakan metoda substitusi trigonometrik.
Contoh Tentukan
Selanjutnya, substitusi sehingga Maka
2
16 6
dx
x x− −
∫
( )2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
16 6 ( 6 16) ( 6 9 25) ( 3) 5
, . 3. ,
16 6 5 ( 3)
16 6 5
x x x x x x x
dx dx
jadi Misalkan v x Maka
x x x
dx dv
x x v
+ − = − − − = − − + − = − − −
= = −
+ − − −
=
+ − −
∫
∫ ∫
5sin ,v w= 5cos .dv wdw=
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
31.
Latihan: Selesaikan
1
2 2 2 2 2
1
5cos 5cos
sin
5cos 55 5 5 sin
3
sin
5
dv wdw wdw v
dw C
wv w
x
C
−
−
= = = = + ÷
− −
−
= + ÷
∫ ∫ ∫
2
3
2 5
xdx
x x+ +
∫
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
32. 4. Integral Parsial4. Integral Parsial
Bila metoda substitusikan sebenarnya adalah balikan dari
Aturan Rantai, maka metoda integral parsial didasarkan pada
aturan turunan untuk perkalian:
Diberikan u = u(x) dan v = v(x) mempunyai turunan
atau
Apabila kedua ruas diintegralkan
Catatan : Diferensial dan
( )( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( )D u x v x u x v x u x v x= +
( )( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )u x v x D u x v x u x v x= −
( )( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) '( )
d
u x v x dx u x v x v x u x dx uv v x u x dx
dx
= − = −∫ ∫ ∫ ∫
'( )dv v x dx= '( )du u x dx=
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
33. Teorema Integral ParsialTeorema Integral Parsial
Jika fungsi-fungsi dan mempunyai turunan,
maka
Sedangkan integral parsial untuk integral tentu adalah
Misalkan
Sehingga
Catatan: pilihlah u dan v sehingga
mudah dihitung
( )u u x= ( )v v x=
udv uv vdu= −∫ ∫
[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( )
x bx b x b x b
x a x a x ax a
udv uv vdu u b v b u a v a vdu
== = =
= = ==
= − = − −∫ ∫ ∫
1 2 1 2( ), ( ), ( ), ( ),u u a u b v v a v v b= = = =
[ ]2 2 1 2
x b x b
x a x a
udv u v u v vdu
= =
= =
= − −∫ ∫
vdu∫
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
34. Formula Integral Parsial :
Caranya : pilih u yang turunannya lebih sederhana
Contoh : Hitung
misal u = x, maka du=dx
sehingga
u dv uv v du= − ∫∫
∫ dxex x
dxedv x
=
∫ ==⇒ xx
edxev
Ceexdxeexdxex xxxxx
+−=−= ∫∫
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
39. 5. Integral Fungsi Rasional5. Integral Fungsi Rasional
Metoda Pecahan Parsial
Metoda pecahan parsial adalah tehnik untuk mengintegralkan
fungsi-fungsi rasional, yaitu fungsi-fungsi berbentuk
Ide dasar adalah metoda ini adalah menuliskan fungsi rasional
sebagai jumlah dari fungsi pecahan yang lebih sederhana.
Contoh Tentukan
Perhatikan bahwa
( )
( ) , ( ) ( )
( )
p x
R x p x dan q x adalah polinomial
q x
=
2
5 1
1
x
dx
x
−
−∫
2
5 1 5 1
1 ( 1)( 1) 1 1
x x A B
x x x x x
− −
= = +
− − + − +
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
42. ∫ −
+
dx
x
x
9
1
2
( ) ( ) )3)(3(
)3()3(
339
1
2
+−
++−
=
−
+
+
=
−
+
xx
xBxA
x
B
x
A
x
x
( ) ( )331 ++−=+⇔ xBxAx
( ) ( )BAxBA 33 +−++=
( ) ( )∫ ∫∫ −
+
+
=
−
+
dx
x
dx
x
dx
x
x
3
3
2
3
3
1
9
1
2
Contoh: Hitung
Jawab:
Faktorkan penyebut : )3)(3(92
+−=− xxx
Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan
A +B =1
-3A+3B=1
x3
x1
3A +3B=3
-3A+3B=1 +
6B=4 B=2/3 ,A=1/3Sehingga
Cxx +−++= |3|ln
3
2
|3|ln
3
1
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
43. ( ) ( )
1
2 1
2
x x
dx
+ −
∫
( ) ( )Q x a x bi i
p= +
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )p
ii
p
p
ii
p
iiii bxa
A
bxa
A
bxa
A
bxa
A
xQ
xP
+
+
+
++
+
+
+
≡ −
−
1
1
2
21
...
pp AAAA ,,...,, 121 −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
1
2 12 1 2
A B C
x xx x x
= + +
+ −+ − +
Kasus 2. Linear berulang
Misal
Maka
dengan konstanta akan dicari
Contoh: Hitung
Jawab :
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
45.
( ) ( ) ( ) ( )Q x a x b x c a x b x c a x b x cn n n= + + + + + +1
2
1 1 2
2
2 2
2...
( )
( )
P x
Q x
A x B
a x b x c
A x B
a x b x c
A x B
a x b x c
n n
n n n
≡
+
+ +
+
+
+ +
+ +
+
+ +
1 1
1
2
1 1
2 2
2
2
2 2
2
...
nn BBBAAA ,...,,dan,,...,, 2121
Kasus 3. Kuadratik tak berulang
Misal
Maka
dengan konstanta yang akan dicari
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
46. Contoh :Hitung
( )∫ + 12
xx
dx
( ) ( )11
1
22
+
+
+=
+ x
CxB
x
A
xx
( )
( )1
)(1
2
2
+
+++
=
xx
xcBxxA
Jawab:
( ) xcBxxA )(11 2
+++= AcxxBA +++= 2
)(1
A+B=0
C=0
A=1
B=-1
( ) ( ) dx
x
x
dx
x
dx
xx ∫∫∫ +
−=
+ 1
1
1
1
22
( ) ∫∫
+
+
=
+ x
xd
x
x
dx
x
x
2
)1(
11
2
22
∫ +
+
=
1
)1(
2
1
2
2
x
xd
Cxx ++−= )1ln(
2
1
||ln 2
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
47. ( ) ( )Q x a x b x ci i i
p
= + +2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )p
iii
pp
p
iii
pp
iiiiii cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
xQ
xP
++
+
+
++
+
++
++
+
+
++
+
≡ −
−−
212
11
22
22
2
11
...
pppp BBBBdanAAAA ,,...,,,,...,, 121121 −−
Kasus 4. Kuadratik berulang
Misal
Maka
Dimana konstanta yang akan dicari
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
48. Contoh: Hitung
( )( )
6 15 22
3 2
2
2 2
x x
x x
dx
− +
+ +
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 222 2
6 15 22
3 23 2 2
x x A B x C Dx E
x xx x x
− + + +
= + +
+ ++ + +
( ) ( )( )
( )( )22
222
23
)3)((32)(2
++
++++++++
=
xx
xEDxxxCxBxA
Jawab :
( ) ( )( ) )3)((32)(222156 2222
++++++++=+− xEDxxxCxBxAxx
++++++++=+− 2342
)324()3()(22156 xDCBAxCBxBAxx
)364()326( ECAxEDCB ++++++
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
49. Dengan menyamakan koefisien ruas kiri dan kanan diperoleh
A+B=0
3B+C=0
4A+2B+3C+D=6
6B+2C+3D+E=-15
4A+6C+3E=22
Dengan eliminasi : A=1,B=-1, C=3
D=-5, E=0
( )( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∫∫ +
−
+
−
−
+
=
++
+−
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
dx
xx
xx
22222
2
2
5
2
3
3
1
23
22156
∫ ∫∫∫ +
−
+
+
+
−
+
= dx
x
x
x
dx
dx
x
x
x
dx
2222
)2(
2
2
5
2
3
2
2
2
1
3
.
)2(2
5
2
tan
2
3
)2ln(
2
1
|3|ln 2
12
C
x
x
xx +
+
+
++−+= −
Sehingga
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
50. Contoh selesaikan
Kalikan kedua ruas dengan , sehingga
Maka koefisien kedua polinomial haruslah sama. Ini
memberikan sebuah sistem persamaan
yang penyelesaiannya adalah A = 1/4, B = -1 4, C= 3/2. Maka,
3 2
1
4 4
x
dx
x x x
+
− +∫
3 2 2 2 2
1 1 1
4 4 ( 4 4) ( 2) 2 ( 2)
x x x A B C
x x x x x x x x x x x
+ + +
= = = + +
− + − + + − −
2
( 2)x x +
2
2
( 1) ( 2) ( 2)
1 ( ) ( 4 2 ) 4
x A x Bx x Cx
x A B x A B C x A
+ = + + + +
+ = + + − − + +
0, 4 2 1, 4 1A B A B C A= = − − + = =
3 2 2
1 1 1 3
4 4 4 4 2 2 ( 2)
x dx dx dx
dx
x x x x x x
+
= − +
− + − −∫ ∫ ∫ ∫
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
51. Dua integral terakhir diselesaikan dengan substitusi u = x – 2.
Contoh Tentukanlah
Setelah kedua ruas dikalikan dengan penyebut. maka diperoleh
Kesamaan kedua polinomial berarti koefisiean-koefisien harus
sama. Maka 2 = A + B ,1 = C , -1 = 4A . Penyelesaian sistem
persamaan ini adalah
2
1 1 ( 2) 3 ( 2)
ln
4 4 2 2 ( 2)
1 1 3 1
ln ln 2
4 4 2 2
d x d x
x
x x
x x
x
− −
= − +
− −
= − − −
−
∫ ∫
2
3
2 1
4
x x
dx
x x
+ −
+∫
2 2
3 2 2
2 1 2 1
4 ( 4) 4
x x x x A Bx C
x x x x x x
+ − + − +
= = +
+ + +
2 2 2
2 1 ( 4) ( ) ( ) 4x x A x Bx C x A B x Cx A+ − = + + + = + + +
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
52. Apabila digunakan pada integral di atas, kita peroleh
Untuk integral kedua, gunakan substitusi sehingga
Jadi,
1/ 4, 9/ 4, 1A B C= − = =
2 2
3 2
2 2
1
2
2 1 1 1 9 4
4 4 4 4
1 9
ln
4 4 4 4
1 9 1
ln tan
4 4 4 2 2
x x dx x
dx dx
x x x x
xdx dx
x
x x
xdx x
x
x
−
+ − +
= − +
+ +
= − + +
+ +
= − + +
+
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
2
4w x= + 2dw xdx=
2
2 2
1 2 1 1
ln 4
4 2 4 2 2
dx xdx dw
x
x x x
= = = +
+ +∫ ∫ ∫
2
2 1
3
2 1 1 9 1
ln ln 4 tan
4 4 8 2 2
x x x
dx x x C
x x
−+ −
= + + + +
+∫
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
53. Contoh Selesaikan
Kalikan kedua ruas dengan sehingga
Maka koefisien kedua polinomial haruslah sama. Ini
memberikan sebuah sistem persamaan
2 2
(1 )( 1)
x
dx
x x− +∫
2
2 2 2 2 2
, 1
(1 )( 1) 1 1 ( 1)
x A Bx C Dx E
x irreducible
x x x x x
+ +
= = = +
− + − + +
2 2
(1 )( 1)x x− +
2 2 2
4 3 2
( 1) ( )(1 )( 1) ( )(1 )
( ) ( ) (2 ) ( ) ( )
x A x Bx C x x Dx E x
x A B x B C x A B C D x B C D E x A E C
= + + + − + + + −
= − + − + − + − + − + − + + +
0, 0, 2 0, 1, 0A B B C A B C D B C D A C E− = − = − + − = − + = + + =
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
54. Penyelesaiannya adalah A = B = C = 1/4, D = 1/2,
E = -1/2. Maka,
Substitusi dan maka
2 2 2 2 2
1 1 ( 1) 1 ( 1)
(1 )( 1) 4 1 4 1 2 ( 1)
x dx x dx x dx
dx
x x x x x
+ −
= + +
− + − + +∫ ∫ ∫ ∫
1u x= − 2
1,v x= + , 2 .du dx dv xdx= − =
2 2
2 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 ( 1) 1 1 1
4 1 4 1 4 4 2 1
1 1 1
ln 1 ln 1 tan
4 8 4
1 ( 1) 1 1 1 1 1
2 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 2 2 2 ( 1)
1 1
4( 1) 2 ( 1)
dx x dx du dv dx
x x u v x
x x x
x dx xdx dx dv dx
x x x v x
dx
x x
−
+
+ = − + + ÷
− + +
= − − + + +
−
= − = − ÷
+ + + +
= − −
+ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
55. Untuk menyelesaikan integral terakhir, misalkan
dan2
tan , sec ,x dx d= θ = θ θ 2 2 2
1 tan 1 sec .x + = θ + = θ
( )( )
2
2
2 2 2
2 2
1 1
1
2
sec 1 sin2
cos (1 cos2 )
4 (sec ) 2 2 4
2 1 1 1tan 2sin cos tan
2 4 2 4
tan
2 2( 1)
dx d
d d
x
x x xx x
x x
x
− −
−
θ θ θ θ
= = θ θ = + θ θ = +
+ θ
+ +θ θ
= + = +
= +
+
∫ ∫ ∫
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
56. Jadi,
2 1
2 2
1
2 2
2
2
1 1 1
ln 1 ln 1 tan
(1 )( 1) 4 8 4
1 1 tan
4( 1) 2 2 2( 1)
1 1 1 1
ln 1 ln 1
4 8 4 ( 1)
x
dx x x x
x x
x x
C
x x
x
x x C
x
−
−
= − − + + +
− +
− − + + ÷
+ +
+
= − − + + − +
+
∫
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
57. ALGORITMA DEKOMPOSISI PECAHAN PARSIALALGORITMA DEKOMPOSISI PECAHAN PARSIAL
Langkah 1 : Lakukan pembagian sehingga diperoleh polinom
dan sehingga
Jika derajat dengan maka dan
Langkah 2 : Faktorkan dengan suku perkalian dari bentuk
atau dengan yaitu
tidak mempunyai akar.
Langkah 3 : Tulis sebagai jumlah dari fungsi pecahan
yang lebih sederhana, disebut pecahan parsial, sebagai berikut:
( )P x ( )r x
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
p x r x
R x P x
q x q x
= = +
( )( )p x < ( )( )q x ( ) 0P x = ( ) ( )r x p x=
( )q x
( )n
ax b+
2
( )n
ax bx c+ + 2
ax bx c irreducible+ +
2
0ax bx c+ + =
( )
( )
r x
q x
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
58. a. Untuk setiap faktor diperoleh
b. Untuk setiap faktor diperoleh
Langkah 4 : Kalikan kedua ruas dengan sehingga
diperoleh polinom dengan koefisien memuat Ai, Bi, Ci
Dari kesamaan di atas, semua konstanta Ai, Bi, dan Ci dapat
ditentukan.
( )k
x a+
1 2
2
...
( ) ( )
k
k
AA A
x x x
+ + +
+ α + α + α
2
( )k
ax bx c+ +
1 1 2 2
2 1 2 2 2
...
( ) ( ) ( )
k k
k
B x CB x C B x C
ax bx c ax bx c ax bx c
++ +
+ + +
+ + + + + +
( )q x
( ) ( )R x q x =
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD
59. Soal Latihan
2 1
6 182
x
x x
dx
−
− +
∫
dx
xx∫ −+ )1()5(
1
2
∫ +
−+
dx
xx
xx
23
2
2
235
∫ + 22
)1(xx
dx
( )( )
2 3 36
2 1 9
2
2
x x
x x
dx
− −
− +
∫
dx
xx
xx
∫ ++
+
5
2
23
2
43
2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Hitung
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD