Aljabar

1. ALJABAR GRUP dan RING Disusun oleh : Petrus Fendiyanto (1213201002) Dosen: Dr. Subiono, MS PASCASARJANA MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2013

2. GRUP De

3. nisi Grup Suatu grup < G; terdiri dari himpunan anggota anggota G bersama dengan operasi biner yang dide

4. nisikan pada G dan memenuhi hukum berikut: 1. Tertutup: ab G untuk semua a, b G 2. Assosiatif: (ab)c = a(bc), untuk semua a, b, c G 3. Identitas: terdapat suatu anggota e G sehingga ea = ae = a, untuk a G 4. Invers: untuk setiap a G ada a1 G sehingga aa1 = a1a = e Tambahan pula, bila masih memenuhi ab = ba untuk semua a, b G maka dinamakan grup komutatif/abelian. Contoh 1. Himpunan bilangan bulat Z, bilangan rasional Q, bilangan real R, dan bilangan kompleks C bersama-sama dengan operasi tambah merupakan grup komutatif. 2. Himpunan bilangan bulat Z dengan operasi perkalian bukanlah grup. 3. Himpunan bagian f1;1; i;ig dari bilangan kompleks C adalah grup terhadap operasi perkalian (i= p 1). 4. Himpunan bilangan bulat real R - f0g merupakan grup terhadap operasi perkalian. 5. Himpunan bilangan bulat modulo n merupakan grup komutatif terhadap operasi penjumlahan modulo n. 6. Himpunan GL(n;R) matriks nonsingular n n dengan elemen real bersaa- sama operasi perkalian matriks adalah grup tak komutatif. 7. Himpunan SL(n;R) matriks n n dengan determinan sama dengan satu bersama-sama dengan operasi perkalian matriks adalah grup tak komutatif. 8. Himpunan bilangan rasional merupakan grup terhadap operasi penjumlahan. Misalkan Q = fa b j a, b Z dan b6= 0 g, akan dibuktikan bahwa Q merupakan grup komutatif. 1

5. Jawab: Tertutup 8 q1; q2 Q akan ditunjukkan q1 + q2 Q. Ambil sebarang q1 = a b dan q2 = c d , 8 a, b, c, dan d Z. q1 + q2 = a b + c d q1 + q2 = ad+bc bd Karena operasi perkalian dan penjumlahan dalam bilangan bulat bersifat tertutup maka pembilang dan penyebutnya merupakan bilangan bulat. Karena b dan d tidak nol maka bd juga tidak nol. Maka q1 + q2 tertutup atau q1 + q2 Q. Assositif 8 q1, q2, q3 Q akan ditunjukkan (q1 + q2) + q3 = q1 + (q2 + q3). Ambil sebarang q1 = a b , q2 = c d dan q3 = e f , 8 a, b, c, d, e, f Z. (q1 + q2) + q3 = ( a b + c d ) + e f bd ) + e f (q1 + q2) + q3 = ( ad+bc (q1 + q2) + q3 = (ad+bc)f+(bd)e bdf (q1 + q2) + q3 = ((ad)f+(bc)f)+(bd)e bdf (q1 + q2) + q3 = (a(df)+b(cf))+b(de) b(df) b + cf+de df (q1 + q2) + q3 = a (q1 + q2) + q3 = a b + ( c d + e f ) (q1 + q2) + q3 = q1 + (q2 + q3) Jadi (q1 + q2) + q3 = q1 + (q2 + q3) maka berlaku sifat assosiatif. Identitas Elemen 0 1 merupakan identitas karena: 0 1 + a b = 0b+1a 1b = 0+a b = a b Jadi, 8 q Q 9 e = 0 1 sehingga qe = eq = q maka berlaku sifat identitas. Invers Untuk sebarang anggota a b Q akan ditunjukkan bahwa a b meru- b Q. Anggota a b merupakan invers a b pakan inversnya. Jelas bahwa a karena: a b + a b = ab+b(a) bb = ab+(a)b bb = 0b bb = 0 b = 0 1 Komutatif 8 q1, q2 Q akan ditunjukkan q1 + q2 = q2 + q1 Ambil sebarang q1 = a b dan q2 = c d , 8 a, b, c, d Z. q1 + q2 = a b + c d d + a b q1 + q2 = c q1 + q2 = q2 + q1 Jadi q1 + q2 = q2 + q1 maka berlaku sifat komutatif. Terbukti bahwa Q merupakan grup komutatif. 2

6. Teorema Dalam sebarang grup berlaku sifat-sifat berikut: 1. Hukum kanselasi kiri: jika a x = a y maka x = y 2. Hukum kanselasi kanan: jika x a = y a maka x = y 3. Anggota identitas itu tunggal yaitu jika e dan e0 elemen G yang memenuhi hukum identitas maka e = e0 4. Invers dari sebarang anggota G akan tunggal jika a dan b merupakan invers dari x maka a = b 5. (ab)1 = b1 a1 Bukti: 1. Diberikan ax = ay Karena G grup dan a G maka terdapat a1 sehingga aa1 = a1a = e dengan e identitas. Akibatnya: a1(ax) = a1(ay) dan dengan menggunakan sifat assosiatif diperoleh (a1a)x = (a1a)y dan dengan sifat invers diperoleh ex = ey akhirnya dengan sifat identitas x = y 2. Diberikan xa = ya Karena G grup dan a G maka terdapat a1 sehingga aa1 = a1a = e dengan e identitas. Akibatnya: (xa)a1 = (ya)a1 dan dengan menggunakan sifat assosiatif diperoleh (x(aa1) = (y(aa1 dan dengan sifat invers diperoleh xe = ye akhirnya dengan sifat identitas x = y 3. Karena e suatu anggota identitas maka ee0 = e0. Pada sisi lain ee0 = e0 = e, sehingga ee0=e0=e 4. Karena a dan b merupakan invers x maka berlaku xa = e dan xb = e. Karena anggota identitas itu tunggal maka xa = e = xb. Akibatnya dengan menggunakan sifat kanselasi kiri, maka a = b 5. Karena ab b1a1 = a (bb1) a1 = aea1 = aa1 = e b1a1 ab = b1 (a1a) b = b1eb = b1 b = e Maka (ab)1 = b1 a1 3

7. ORDER GRUP dan ORDER ELEMEN Order Grup Bilangan yang termasuk dari sebuah grup (terhingga/tak terhingga) disebut Order. Kita menggunakan jGj untuk melambangkan order G. Jadi, grup Z dari bilangan bulat dengan operasi penjumlahan mempuyai order yang tak terhingga. U(10) = f1; 3; 7; 9g mempunyai 4 order. Bila g G dan n Z, maka 1. g0 = e, dengan e elemen netral. 2. gn = |gg{gz:::g}, untuk n 0 n 3. gn+1 = gng, dengan n 0 4. gn = g1g1g1:::g1 | {z }, untuk n 0 -n Teorema Bila g G dan m; n Z, maka 1. gm+n = gm gn 2. (gm)n Bukti: 1. Misalkan m+n 0, diperoleh gm+0 = gme = gmg0 dan dengan menggunakan hipotesis induksi diperoleh: gm+(n+1) = g(m+n)+1 = gm+ng = gmgng = gmgn+1 Dari hasil ini didapat gmngn = g(mn)+n = gm, dengan demikian gmn = gm(gn)1 = gmgn 2. Misalkan n tak negatif, sebagaimana pengguaan induksi pada n yang dilakukan sebelumnya didapat (gm)0 = e = g0m dan (gm)n+1 = (gm)n gm = gmn gm = gmn+m = gm(n+1) Untuk n negatif dapat dilakukan sebagaimana pada (1). 4

8. Order Elemen Order Elemen atau unsur g dalam grup G merupakan bilangan bulat positif terkecil n seperti gn = e (dalam notasi penjumlahan ini akan menjadi ng = 0). Jika tidak ada bilangan bulat, kita katakan g mempunyai order yang tak terhingga. Order dari sebuah elemen g dilambangkan dengan jgj. Jadi, untuk menemukan order dari sebuah elemen grup G, yang kita butuhkan hanya menghitung dari hasil g1; g2; g3; ::: sampai kita mendapatkan identitas per- tama kali. Eksponen dari hasil ini (koe

9. sien jika operasinya penjumlahan) adalah order dari g. Jika identitas tidak pernah muncul dalam urutan, maka g mempunyai order yang tidak terbatas. Contoh Modulo 15 (Z15) dengan operasi perkalian U(15) = f1; 2; 4; 7; 8; 11; 13; 14g jU(15)j = 8 Untuk mencari order 2, kita menghitung 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 1 Maka j2j = 4 Untuk mencari order 7, kita menghitung 71 = 7 72 = 4 73 = 13 74 = 1 Maka j7j = 4 Untuk mencari order 11, kita menghitung 111 = 11 112 = 1 Maka j11j = 2 Menghitung urutan 131,132,133,134 kita boleh menghitung dengan 131 = 13 = -2 mod 15 (sebab 13 + 2 = 0) 132 = (-2)(-2) = 4 mod 15 133 = (-2)(-2)(-2) = -8 mod 15 134 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16 mod 15 = 1 mod 15 Maka j13j = 4 Sehingga order dari semua elemen U(15) j1j = 1, j2j = 4, j4j = 2, j7j = 4, j8j = 4, j11j = 2, j13j = 2, j14j = 2. Modulo 10 atau Z10 dengan operasi penjumlahan U(10) = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g jU(10)j = 10 5

10. Untuk mencari order 2, kita menghitung 2 1 = 2 2 2 = 4 2 3 = 6 2 4 = 8 2 5 = 10 = 0 Maka j2j = 5 Untuk mencari order 3, kita menghitung 3 1 = 3 3 2 = 6 3 3 = 9 3 4 = 2 3 5 = 5 3 6 = 8 3 7 = 1 3 8 = 4 3 9 = 7 3 10 = 0 Maka j3j = 10 Sehingga order dari semua elemen Z(10) j0j = 0, j1j = 10, j2j = 5, j3j = 10, j4j = 5, j5j = 4, j6j = 5, j7j = 10, j8j = 5, j9j = 10. Teorema Bila g G dan m; n Z, maka 1. Bila jgj = n, maka gm = e bila dan hanya bila m kelipatan dari n. 2. Bila jgj = n dan h = gm, maka jhj = n fpb(m;n) Bukti: 1. Bila m = nk, maka gm = gnk = (gn)k = ek = e. Selanjutnya misalkan gm = e dan andaikan m = nk + r, dengan 0 r n, maka e = gm = gnk+r = (gn)kgr = ekgr = gr Kontradiksi dengan kenyataan jgj = n. Jadi haruslah r = 0 atau m = nk 2. Diketahui gm = h dan gn = e. Misalkan d = fpb(m; n) maka m = dm1 dan n = dn1, dimana fpb(m1; n1) = 1. Jadi hn1 = gmn1 = gdm1n1 = gdn1m1 = gnm1 = em1 = e 6

11. Berikutnya misalkan hk = e, sehingga diperoleh gmk = e, oleh karena itu mk adalah kelipatan dari n. Jadi dm1k adalah kelipatan dari dn1 dan m1k kelip- tan dari n1. Berdasarkan teorema sebelumnya, maka jhj = n1 atau jhj = n d = n fpb(m:n) 7

12. SUBGRUP (GRUP BAGIAN) De

13. nisi Subgrup Misalkan G suatu grup dan H G dengan H6= ;, dikatakan bahwa H adalah Subgrup dari G bila H sendiri adalah grup dengan operasi biner yang sama di G. Hal ini dinotasikan H G. Teorema Diketahui S adalah himpunan bagian dari grup G dengan elemen identitas e. Him- punan S merupakan grup bagian dari G jika dan hanya jika memenuhi: 1. e S 2. S tertutup di bawah operasi dari G 3. Untuk sebarang x S, inversnya x1 terletak didalam S Bukti: 1. Dengan mengingat de

14. nisi S grup bagian maka S merupakan grup sehingga e0 S. Akan ditunjukkan bahwa e0 sebenarnya adalah e yaitu anggota identitas dalam G. Karena e0 anggota identitas dalam S maka e0e0 = e0. Dengan menggunakan sifat identitas dari e maka e0 = e0 e, sehingga e0 e0 = e0 e (sifat kanselasi) e0 = e 2. Karena S grup maka S tertutup di bawah operasi dalam G. 3. Misalkan x sebarang anggota S Karena S grup maka x mempunyai invers x0 dalam S. Dengan mengingat ketunggalan dari suatu invers maka x0 = x1 yaitu invers dari dalam G. Contoh 1. Q = f p q j p dan q tidak nol dalam Z g merupakan subgrup dari R 2. Himpunan bilangan genap merupakan subgrup (grup bagian) dari himpunan bilangan bulat Z 3. S = f3k j k Z g merupakan subgrup dari R. Bukti: (a) Anggota identitas berada di dalam S Karena 1 = 30 maka anggota identitas berada dalam S (b) Misalkan 3j , 3k dalam S. Karena pergandaan 3j dan 3k adalah 3j 3k = 3j+k, dengan j+k bilangan bulat maka 3j 3k S (c) Misalkan 3k S Invers dari 3k adalah (3k)1 = 3k dengan k Z. Berarti 3k S 8

15. Soal 1. Tentukan subgrup dari Z4 yang dibangun oleh 2. Jawab: Grup Z4 = f0; 1; 2; 3g merupkan grup terhadap operasi penjumlahan Elemen 2 dalam Z4 sehingga grup bagian yang dibangun oleh 2 adalah 2 = f2k j k Z g = f0; 2g 2. Tentukan subgrup dari R yang dibangun oleh 1. Jawab: Grup R merupakan grup terhadap operasi penjumlahan. Elemen 1 dalam R sehingga grup bagian yang dibangun oleh 1 adalah 1 = f1k j k Z g = f:::;3;2;1; 0; 1; 2; 3; :::g = Z. Hal ini berarti bahwa subgrup yag dibangun oleh 1 dalam R adalah himpunan bilangan bulat Z. 3. Tentukan subgrup yang dibangun oleh A = 1 1 0 1 dalam M22 Jawab: Grup M22 merupakan grup terhadap operasi perkalian matriks dengan determinan tidak nol. Berarti subgrup yang dibangun oleh A adalah: A = fAk j k Z g A = f 1 1 0 1 , 1 2 0 1 ,..., 1 k 0 1 , 1 k + 1 0 1 ,... j k Z g 9

16. GENERATOR dan GRUP SIKLIK Generator Misalkan G suatu grup dan S adalah himpunan bagian dari G dengan S6= ;. Notasi hSi menyatakan himpunan semua subgrup dari G yang memuat S. Jadi hSi itu sendiri adalah subgrup dari G yang memuat S. Dalam hal ini hSi = H SH Dinamakan subgrup dari G yang dibangun oleh S, sedangkan S dinamakan Gen- erator. Grup Siklik De

17. nisi grup siklik terhadap perkalian Grup (G; ) disebut siklik, bila ada elemen a G sedemikian hingga G = f an j n Z g Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut. De

18. nisi grup siklik terhadap penjumlahan Grup (G; +) disebut siklik, bila ada elemen a G sedemikian hingga G = f na j n Z g De

19. nisi grup siklik Misalkan (G; ) adalah suatu grup dan a G, maka generator a yang membangun suatu subgrup hai dimana hai = G, maka subgrup tersebut dinamakan Grup Siklik. Grup siklik yang beranggotakan banyaknya unsur terhingga dinamakan Grup Siklik Berhingga dan grup siklik yang beranggotakan banyaknya unsur tak terhingga dinamakan Grup Siklik Tak Hingga. De

20. nisi subgrup siklik Misalkan (G; ) adalah suatu grup dan a G, maka generator a yang membangun suatu subgrup hai dinamakan Subgrup Siklik. Contoh 1. Misalkan G = f1; 1g adalah suatu Grup terhadap operasi perkalian (G; ). Tentukan grup siklik dari grup tersebut. Jawab: 10

21. Generator dari G = f1; 1g adalah -1 dan 1 h1i = f(1)n j n Z g = f(1)0,(1)1,(1)2, ...g = f1; 1g h1i = f(1)n j n Z g = f(1)0,(1)1,(1)2, ...g = f1g Generator -1 adalah membangun suatu grup siklik, sehingga: h1i = f1; 1g Generator 1 adalah membangun subgrup siklik, sehingga: h1i = f1g 2. Misalkan G = f0; 1; 2; 3g adalah suatu grup terhadap penjumlahan (G; +). Tentukan grup siklik dari grup tersebut. Jawab: Generator dari G = f0; 1; 2; 3g adalah 0, 1, 2,dan 3. h0i = fn(0) j n Z g = f0g h1i = fn(1) j n Z g = f0 1; 1 1; 2 1; 3 1; :::g h2i = fn(2) j n Z g = f0 2; 1 2; 2 2; 3 2; :::g = f0; 2g h3i = fn(3) j n Z g = f0 3; 1 3; 2 3; 3 3; :::g = f0; 3; 2; 1g Generator 1 dan 3 adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga: h1i = h3i = f0; 1; 2; 3g Generator 0 dan 2 adalah membangun suatu Subgrup Siklik, sehingga: h0i = f0g h2i = f0; 2g 3. Grup (Z; +) merupakan grup siklik tak hingga yang dibangun oleh 1. Jawab: h1i = f:::;2 1;1 1; 0 1; 1 1; 2 1:::g = f:::;2;1; 0; 1; 2; :::g Jadi, 1 merupakan generator yang membentuk Grup Siklik tak hingga. 4. Misalkan I4 = f1;1; i;ig adalah grup bilangan kompleks terhadap perkalian (I4). Tentukan grup siklik dari grup tersebut. Jawab: Generator dari I4 = f1;1; i;ig adalah 1, -1, i, dam -i. h1i = f(1)n j n Z g = f(1)0,(1)1,(1)2, ...g = f1g 11

22. h1i = f(1)n j n Z g = f(1)0,(1)1,(1)2, ...g = f1; 1g hii = f(i)n j n Z g = f(i)0,(i)1,(i)2, (i)3, ...g = f1; i;1;ig hii = f(i)n j n Z g = f(i)0,(i)1,(i)2, ...g = f1;i; i;1g Generator i dan -i adalah membangun suatu grup siklik, sehingga: hii = hii = f1;1; i;ig Generator 1 dan -1 adalah membangun subgrup siklik, sehingga: h1i = f1g h1i = f1;1g Teorema 1. Diberikan suatu grup G, bila S G maka hSi = f si1 1 ; :::; sim m j S; ij Z, m 1g. 2. hai = fan j n Z g. 3. Setiap grup siklik adalah grup komutatif. 4. Setiap subgrup dari suatu grup siklik G = hai adalah siklik. 5. Misalkan G = hai adalah grup siklik dan jGj = n, maka G = fe; a; a2; :::; an1g, dengan an = e dan e adalah elemen netral. Bukti 1. hHi = f si1 1 ; :::; sim m j S; ij Z, m 1g dan misalkan a = si1 1 ; :::; sim m H b = ti1 1 ; :::; tinm H diperoleh ab1 = si1 m ti1 1 ; :::; sim 1 ; :::; tin m H 12

23. Jadi H G dan untuk sebarang a S maka a = a1 H yaitu S H. Aki- batnya hSi H, disamping itu S hSi dan hSi adalah subgrup dari G maka semua hasil kali dan invers elemen-elemen dari S berada di hSi. Jadi H hSi dan H = hSi. 2. Bila S = fag, maka H pada hasil 1 menjadi H = fan j n Z g dan diperoleh hai = fan j n Z g Bila operasi biner adalah tambah, maka hSi = fi1s1 + ::: + imsm j sj S, ij Z, j 1 g dan hai = fna j n Z g 3. Misalkan (G; ) merupakan grup siklik dan a merupakan pembangun dari grup G, sehingga hai = fan j n Z g Ambil x; y G, sehingga x = am dan y = an, untuk m; n Z. x y = am an = am+n = an+m = an am = y x Jadi, (G; ) merupakan grup komutatif. Misalkan (G; +) merupakan grup siklik dan a merupakan pembangun dari grup G, sehingga hai = fna j n Z g Ambil x; y G, sehingga x = na dan y = ma, untuk m; n Z. x + y = na + ma = (n + m)a = (m + n)a = ma + na = y + x Jadi, (G; +) merupakan grup komutatif. 4. Misalkan H G, bila H = feg jelas H siklik. Bila H6= feg, maka ada bilangan bulat s6= 0 sehingga as H dan (as)1 = as H. Misalkan 13

24. T = ft Z+ j at H g dengan sifat keterurutan dari bilangan bulat Z+, maka T mempunyai elemen terkecil t0. Jadi at0 H, misalkan b hat0i maka untuk suatu m Z, b = (at0)m H (sebab H subgrup). Terlihat bahwa hat0i H. Misalkan h H maka ada bilangan bulat k sehingga h = ak. Selanjutnya dengan menggunakan algorithma pembagian untuk bilangan bulat didapat k = t0 q + r untuk beberapa q; r Z dengan 0 r t0, maka ar = ak(at0)q H Bilangan r = 0, sebab bila tidak, maka ada bilangan yang lebih kecil dari t0, yaitu r t0 yang memenuhi ar H. Hal ini bertentangan dengan at0 H. Jadi h = ak = (at0)q hat0i Terlihat bahwa H hat0i. Sehingga didapat H = hat0i. Jadi H Siklik. 5. Misalkan G = fak j k Z g, karena jGj = n (berhingga), maka ak = ah atau akh = e untuk beberapa h k dengan h; k Z, misalkan T = ft Z+ j at = eg dan l adalah elemen terkecil di T, sehingga fe; a; a2; :::; al1g G Dalam hal ini dapat ditunjukkan bahwa semua elemen e; a; a2; :::; al1 adalah berbeda. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa G fe; a; a2; :::; al1g Misalkan g G maka g = am untuk suatu m Z. Dengan menggunakan algorithma pembagian untuk bilangan bulat diperoleh m = l q + r untuk beberapa 14

25. q; r Z dengan 0 r l. Didapat am = (al)q ar = eq ar = ar fe; a; a2; :::; al1g Jadi G fe; a; a2; :::; al1g. Karena jGj = n, maka n = l dan an = al = e. 15

26. HOMOMORFISMA dan ISOMORFISMA De

27. nisi Misalkan G1 dan G2 adalah grup dan f : G1 ! G2 adalah suatu fungsi. Fungsi f dinamakan suatu homomorpisma grup bila f(ab) = f(a) f(b) untuk semua a,b G1. Suatu homomor

28. sma grup yang bijektif (surjektif dan injektif) dinamakan Iso- mor

29. sma. Dan G1 isomor

30. k dengan G2 ditulis G1 = G2. Bila f suatu homor

31. sma grup, misalkan Ker(f) = fg G1 j f(g) = e2 g, dengan e2 adalah elemen netral di G2 dan Im(f) = ff(g) G2 j g G1, untuk beberapa g G g Maka Ker(f) dinamakan kernel dari f dan Im(f) dinamakan image dari f. Teorema Misalkan f adalah suatu homomorpisma grup dari G1 ke G2, maka 1. f(e1) = e2 dengan masing-masing e1 dan e2 adalah elemen netral di G1 dan G2. 2. Untuk setiap g G1 berlaku f(g1) = f(g)1 3. ker(f) adalah subgrup normal dari G1. 4. im(f) adalah subgrup dari G2 Bukti 1. Misalkan g G1, maka f(g) e2 = f(a) f(g) e2 = f(ae1) f(g) e2 = f(a) f(e1) (sifat kanselasi) e2 = f(e1) Jadi e2 = f(e1) dengan masing-masing e1 dan e2 adalah elemen netral di G1 dan G2. 16

32. 2. Misalkan g G1, maka f(g)1 = f(g)1 e2 = f(g)1 f(e1) = f(g)1 f(gg1) = f(g)1 (f(g) f(g1)) = (f(g)1f(g)) f(g1) = e f(g1) = f(g1) Jadi f(g)1 = f(g1) untuk setiap g G1. 3. ker(f)6= ; (sebab e1 ker(f)) Misalkan x; y ker(f), maka f(xy1) = f(x) f(y1) = e2 f(y)1 = e2 e1 2 = e2 Jadi x; y1 ker(f), dengan demikian ker(f) G1. Selanjutnya, misalkan g G1 dan a ker(f), maka f(gag1) = f(g) f(a) f(g1) = f(g) e2 f(g1) = f(g) f(g1) = e2 Jadi gag1 ker(f) adalah subgrup normal dari G1. 4. Jelas bahwa im(f) G2. Misalkan x; y im(f), pilih a; b G1 sehingga x = f(a) dan y = f(b). Maka xy1 = f(a) f(b)1 = f(a) f(b1) = f(ab1) = f(g) dengan g = ab1 G1 Hal ini menunjukkan bahwa xy1 im(f). Jadi im(f) G2 Contoh 1. Untuk menunjukkan bahwa Z4 = hii, dengan i = p 1, dide

33. nisikan 17

34. f : Z4 ! hii oleh f(n) = in Pemetaan f adalah bijektif, sebab f(0) = 1 f(1) = i f(2) = 1 f(3) = i dan f adalah suatu homomor

35. sma sebab, f(m + n) = im+n f(m + n) = im in f(m + n) = f(m) f(n), 8 m; n Z4. 2. Diberikan himpunan bilangan kompleks C himpunan C = fz C j z6= 0 g dan himpunan R+ = fx R j x 0 g. Dide

36. nisikan suatu pemetaan f : C ! R+ oleh f(z) = jzj, 8 z Z dengan operasi perkalian di C dan R+ diperoleh f(zw) = jzwj f(zw) = jzj jwj f(zw) = f(z) f(w), 8 z;w C Terlihat bahwa f adalah suatu homomor

37. sma grup dari (C; ) ke (R+; ) dengan f pada. Selanjutnya ker(f) = fz C jzj = 1 g Teorema Misalkan pemetaan f : G ! H adalah suatu isomorpisma grup, maka 1. f1 : H ! G adalah suatu isomorpisma grup. 2. jGj = jHj. 3. Bila G abelian maka H juga abelian. 4. Bila G siklik maka H juga siklik. 5. Bila g G dengan jgj = m maka jf(g)j = m. Bukti 1. Karena f bijektif maka f1 ada. Bila diberikan x; y H, pilih a; b G yang memenuhi x = f(a) dan y = f(b), maka 18

38. xy = f(a) f(b) xy = f(ab) f1(xy) = ab f1(xy) = f1(x) f1(y), 8 x; y H. Terlihat bahwa pemetaan f1 : H !G adalah homomorpisma grup. Karena f bijektif maka f1 biektif. Jadi f1 adalah isomorpisma grup. 2. Karena f : G ! H bijektif, maka banyaknya elemen di g sama dengan banyaknya elemen di H. 3. Diketahui bahwa G abelian. Misalkan x; y H, karena f pada maka dapat dipilih a; b G yang memenuhi x = f(a) dan y = f(b) sehingga diperoleh xy = f(a) f(b) = f(ab) = f(ba) = f(b) f(a) = yx Terlihat bahwa untuk setiap x; y H berlaku xy = yx. Jadi H abelian. 4. Misalkan G = hgi = gm jm Z g dan f(g) = h0, untuk suatu h0 H. Diberikan sebarang h H , dapat dipilih n0 Z yang memenuhi h = f(gn0) dengan f(gn0) = ( f(g):::f (g) = hn0 0 ; n0 0 f(g)1:::f (g1) = hn0 0 ; n0 0 Jadi untuk setiap h di H dan h = hn0 0 , dengan n0 Z, hal ini menunjukkan bahwa H = hh0i = f hn0 0 j n Z g. 5. Bila jgj = m dan jf(g)j = n, maka eH = f(eG) = f(gm) = f(g)m sehingga didapat m = k0n untuk beberapa bilangan bulat positif k0. dan eH = f(gn) = f(g)n. Karena f satu-satu dan eH = f(eG), maka gn = eG. Jadi dapat dipilih bilangan bulat positif k1 yang memenuhi n = k1m. Dari m = k0n dan n = k1m, didapat m = k0k1m atau k0k1 = 1. Karena masing-masing k0 dan k1 adalah bilangan bulat positif, maka haruslah k0 = k1 = 1. Jadi m = k0n = 1 n = n 19

39. TEOREMA LAGRANGE De

40. nisi Misalkan H adalah subgrup dari grup G dan a 2 G. aH = fah j h 2 Hg disebut koset kiri. Ha = fha j h 2 Hg disebut koset kanan. Jika G grup komutatif, maka aH = fah j h 2 Hg = fha j h 2 Hg = Ha, tetapi jika G tidak komutatif, maka aH belum tentu sama dengan Ha. Contoh: 1. Dalam grup Z6. Jika H = f0; 3g subgrup dari Z6 maka koset dari H dalam Z6 adalah H + 1 = f1; 4g H + 2 = f2; 5g 2. Diberikan grup simetris S3 dan subgrup dari S3 H = fe; (1; 2; 3); (1; 3; 2)g dan H1 = fe; (2; 3)g maka dapat ditunjukkan bahwa untuk setiap a 2 S3 berlaku aH = Ha. Tetapi ada (1; 3; 2) 2 S3 sedemikian sehingga (1; 3; 2)H16= H1(1; 3; 2). Teorema Lagrange Misal G grup dengan order hingga dan H subgrup G, maka order H adalah pembagi order G, yaitu jHj/jGj. Catatan 1. Banyaknya koset kanan dan koset kiri di grup G terhadap suatu sub grup H selalu sama, kita namakan indeks sub grup H di G yang dinotasikan dengan [G : H]. 2. Himpunan koset kanan (kiri) membentuk partisi di G yaitu untuk setiap a; b 2 g berlaku Ha = Hb atau Ha Hb = ; dan [Ha = G Teorema 1. Misalkan H adalah subgrup dari grup G, maka untuk setiap a; b 2 G, maka (a) aH = bH jika dan hanya jika b1a 2 H (b) Ha = Hb jika dan hanya jika ab1 2 H 2. Misalan H adalah suatu subgrup dari suatu grup G. Untuk setiap dua elemen a; b 2 G dide

41. nisikan relasi biner a b bila dan hanya bila ab1 2 H (a1b 2 H). Relasi biner ini adalah suatu relasi ekivalen. 20

42. SUBGRUP NORMAL De

43. nisi Grup bagian S dari grup G dikatakan grup bagian normal (normal subgroup) asalkan untuk setiap anggota s dalam S dan setiap a G berlaku a1sa S. Istilah S grup bagian normal dari G sering kali disingkat sebagai S normal dari G. Teorema Jika f : G ! H homomorpisma grup maka ker(f) normal dalam G. Bukti Misalkan x ker(f) dan a G. Akan ditunjukkan bahwa a1xa dalam ker(f). f(a1xa) = f(a1 f(x) f(a) = f(a1 e f(a) = f(a1a) = f(e) = e0 Jadi a1xa dalam ker(f). De

44. nisi Misalkan f : G ! H sebarang fungsi dan X sebarang himpunan bagian dari H. Prapeta (invers image) X di bawah f yang dilambangkan dengan f1(X) dan dide

45. nisikan sebagai: f1(X) = fg G j f(g) X g Teorema Misalkan f : G ! H homomorpisma. Sifat-sifat berikut ini berlaku: 1. Jika S hrup bagian dari H maka f1(S) grup bagian dari G. 2. Jika N grup bagian normal dari H maka f1(N) grup bagian dari G. 3. Jika S grup bagian dari peta f(G) dan orde dari G berhingga maka orde dari sama dengan jKj jSj dengan K di dalam f. 21

46. GRUP PERMUTASI Permutasi Permutasi dari sebuah himpunan adalah fungsi dari A ke A yang berkorespo- densi satu-satu dan onto. Contoh: Permutasi dari himpunan f1; 2; 3; 4g dengan menetapkan (1) = 2,(2) = 3,(3) = 1,(4) = 4. Untuk menunjukkan korespodensi ini, dapat dituliskan permutasi dengan membentuk barisan sebagai berikut: = 1 2 3 4 (1) (2) (3) (4) = 1 2 3 4 2 3 1 4 Permutasi Komposisi ditunjukkan dalam notasi barisan yang diangkat dari kanan ke kiri dengan membawa dari atas ke bawah lagi. Contoh: = 1 2 3 4 5 2 4 3 5 1 dan

47. = 1 2 3 4 5 5 4 1 2 3 maka permutasi komposisi dari

48. adalah:

49. = 1 2 3 4 5 5 4 1 2 3 1 2 3 4 5 2 4 3 5 1

50. = 1 2 3 4 5 4 2 1 3 5 Permutasi grup adalah himpunan permutasi yang membentuk sebuah grup dengan komposisi fungsi. Sikel Misalkan S = f1; 2; 3; :::; ng dan ai; aj ; ::: adalah elemen-elemen di S. Bila f 2 Sn dengan f(a1) = a2, f(a2) = a3, ...,f(ak1) = ak,f(ak) = a1 dan f(aj) = aj untuk j6= 1; 2; 3; :::k. Permutasi semacam ini dinamakan sikel. Sikel dengan panjang 2 dinamakan transposisi. Contoh Sikel (2,3,4,6,8) dapat disajikan sebagai hasil komposisi transposisi: (2,3,4,6,8) = (2,8)(2,6)(2,4)(2,3) (2,3,4,6,8) = (2,3)(3,4)(4,6)(6,8) Catatan: Permutasi identitas dapat dinyatakan sebagai hasil dua komposisi transposisi. 22

51. () = (1; 2)(1; 2) () = (2,3)(1,6)(1,6)(2,3) Notasi Sikel Sebagai ilustrasi dari notasi cycle, mari kita lihat permutasi di bawah ini:

52. = 1 2 3 4 5 6 2 1 4 6 5 3 Nilai permutasi di atas dapat dibuat secara skematis seperti di bawah ini: Dari skema di atas dapat ditulis (1; 2) (3; 4; 6) (5) Grup Alternating Himpunan An adalah himpunan bagian dari himpunan Sn yang menyatakan himpunan dari semua permutasi genap, maka An dinamakan grup alternating. Contoh Grup alternating A4 adalah subgrup dari grup permutasi S4. Ada 12 elemen di A4 yaitu: (), (1,2), (3,4), (2,4), (1,4), (2,3), (1,2,3), (1,3,2), (1,2,4), (1,3,4), (1,4,3), (2,3,4), (2,4,3). Permutasi Genap dan Ganjil Sebuah permutasi yang merupkan produk perkalian genap dari 2-cycle di sebut dengan permutasi genap Sebuah permutasi yang merupakan produk perkalian ganjil 2-cycle disebut permutasi ganjil. Contoh: 1. (1; 3; 5) = (1; 5) (1; 3) = genap 2. (1; 3; 5; 6; 7) = (1; 7) (1; 6) (1; 5) (1; 3) = genap 3. (1; 2) (1; 3; 4) (1; 5; 2) = (1; 2) (1; 4) (1; 3) (1; 3) (1; 2) (1; 5) = ganjil 23

53. Grup Dehidral Grup Dehidral Dn yaitu grup permutasi yang mempertahankan bentuk ge- ometri dari segi-n beraturan terhadap rotasi dan pencerminan. Grup Dn mempunyai order sebanyak 2n. Sifat Grup dehidral Dn untuk n 3 terdiri dari semua hasil kali dua elemen rotasi r dan pemcerminan s yang memenuhi: rn = e s2 = e srs = r1 dengan e adalah elemen netral. Contoh Grup dehidral segi empat beraturan D4 dengan rotasi yang diberikan oleh r = (1; 2; 3; 4) r2 = (1; 3)(2; 4) r3 = (1; 4; 3; 2) r0 = () = e dan pencerminan diberikan oleh s1 = (2; 4) s2 = (1; 3) dua elemen lainnya adalah rs1 = (1,2)(3,4) r3s1 = (1,3)(2,3) Tindakan Suatu Grup Misalkan G suatu grup dan himpunan tak kosong X. Suatu tindakan dari G pada X adalah sutu representasi permutasi : G ! Sx. Umumnya ditulis gx untuk (g)(x). Untuk sebarang x 2 X ada Gx X dan suatu subgrup G(x) dari G yang dide

54. nisikan oleh: Gx = fgxjg 2 Gg X dinamakan Orbit dari x G(x) = fg 2 Gjgx = xg G dinamakan stabilizer dari x 24

55. Sifat 1. Misalkan G bertindak pada himpunan berhingga x, maka jGxj = j[G : G(x)]j, untuk setiap x 2 X 2. Misalkan x1; x2 2 G dikatakan bahwa x1 berelasi dengan x2 yang ditulis x1 x2 bila dan hanya bila ada g 2 G yang memenuhi gx1 = x2. Relasi adalah relasi ekivalensi . Kelas ekivalensi dari x1 adalah Gx1 3. Misalkan grup G bertindak pada suatu himpunan berhingga X, maka jXj = NP i=1 j[G : G(xi)]j dengan N adalah banyaknya orbit yang berbeda dari G pada X. 4. Misalkan G bertindak pada himpunan berhingga X dan N adalah banyaknya orbit berbeda dari G pada X. Untuk sebarang g 2 G dide

56. nisikan I(g) = jfx 2 Xjgx = xg maka N = 1 G P g2G I(g) Catatan Bila N = 1, maka dikatakan bahwa G bertindak secara transitif pada X, yaitu untuk setiap x1; x2 2 X ada g 2 G sehingga gx1 = x2 25

57. RING De

58. nisi Ring (R;+; ) adalah sistem aljabar pada himpunan R bersama-sama dengan dua operasi biner + dan yang memenuhi sifat-sifat berikut, untuk setiap a; b; c R 1. Tertutup terhadap penjumlahan a + b R 2. Assosiatif terhadap penjumlahan (a + b) + c = a + (b + c) 3. Elemen netral terhadap penjumlahan, ada 0 R sedemikian sehingga 0 + a = a + 0 = a 4. Invers terhadap penjumlahan, ada a R sedemikian sehingga a + (a) = a + a = 0 5. Komutatif terhadap penjumlahan a + b = b + a 6. tertutup terhadap perkalian a b R 7. Assosiatif terhadap perkalian (a b) c = a (b c) 8. Elemen identitas terhadap perkalian, ada 1 R sehingga 1 a = a 1 = a 9. Distributif Distributif kanan a (b + c) = a b + a c Distributif kiri (a + b) c = a b + a c Selanjutnya ring (R;+; ) cukup ditulis ring R. Bila ring R mempunyai sifat 10. Komutatif terhadap perkalian a b = b a Maka ring R dikatakan ring yang Komutatif. 26

59. Contoh 1. Himpunan Z, Q, R, dan C terhadap operasi penjumlahan dan perkalian masing-masing adalah ring yang komutatif. 2. Himpunan bilangan bulat modulo n Zn dengan dua operasi biner [a] + [b] = [a + b] [a] [b] = [a b] Untuk setiap a; b Zn adalah suatu ring komutatif 3. Himpunan p 2 = fa + b Q p 2 j a; b Q g Terhadap operasi biner penjumlahan dan perkalian adalah suatu ring komutatif. Teorema Misalkan R ring, 0 dan 1 adalah unsur di R dan a; b; c R 1. a 0 = 0 a = 0 2. a (b) = (a) b = (ab) 3. (a) (b) = a b 4. a (b c) = a b - a c 5. (1) a = a 6. (1) (1) = 1 Bukti 1. a 0 = a (0 + 0) (distributif kanan) a 0 = a 0 + a 0 0 + a 0 = a 0 + a 0 Tambahkan (a 0) pada kedua ruas, sehingga 0 = a 0 0 a = (0 + 0) a (distributif kiri) 0 a = 0 a + 0 a 0 + 0 a = 0 a + 0 a Tambahkan (0 a) pada kedua ruas, sehingga 0 = 0 a 2. a (b) + a b = a (b + b) = a 0 = 0 Sehingga a (b) + |a b + ({z (a b)}) = 0 + ((a b)) 0 Maka a (b) = (a b) 27

60. (a) b + a b = (a + a) b = 0 b = 0 Sehingga (a) b + |a b + ({z (a b)}) = 0 + ((a b)) 0 Maka (a) b = (a b) 3. (a) (b) = (a (b)) = ((a b)) = a b 4. a (b c) = a (b + (c)) = a b + a (c) = a b + (-(a c)) = a b - a c 5. a + (1) a =1 a + (1) a = (1 + (1) a = 0 a = 0 Ini berarti (1) a = a 6. (1) + (1) (1) = 1 (1) = (1 + (1)) (1) = 0 (1) = 0 Ini berarti (1) (1) = 1 28

61. RING BAGIAN De

62. nisi Misalkan S himpunan bagian dari R. Himpunan S dinamakan ring bagian dari R jika memenuhi 1. S ring. 2. Operasi penjumlahan dan pergandaan dari S adalah operasi penjumlahan dan pergandaan dari R yang dibatasi pada S. Teorema Diketahui S himpunan bagian dari ring R. Himpunan S merupakan ring bagian dari R jika dan hanya jika S Tertutup terhadap pergandaan Tertutup terhadap pengurangan Contoh 1. Himpunan bilangan genap E membentuk ring bagian dari himpunan bilangan bulat Z p 2) = fa+b 2. Bila dide

63. nisikan Q( p 2 j a; b Q, akan dibuktikan bahwa Q( p 2) merupakan ring bagian dari R. Bukti 1. E = f 2k j k Z g merupakan himpunan yang tidak kosong. Tertutup terhadap operasi pergandaan 8 g1, g2 E akan ditunjukkan g1 g2 E Ambil sebarang g1 = 2k dan g2 = 2l, dengan k, l Z. g1 g2 = 2k 2l = 2(k 2l) karena k 2l = n, sehingga diperoleh g1 g2 = 2n, dimana n Z maka g1 g2 E atau g1 g2 tertutup 29

64. Tertutup terhadap pengurangan 8 g1, g2 E akan ditunjukkan g1 g2 E Ambil sebarang g1 = 2k dan g2 = 2l, dengan k, l Z. g1 g2 = 2k - 2l = 2(k l) karena k l = m, sehingga diperoleh g1 g2 = 2m, dimana m Z maka g1 g2 E atau g1 g2 tertutup Oleh karena itu bilangan genap merupakan ring bagian dari Z. p 2 adalah him- 2. Karena Q merupakan himpunan yang tidak kosong maka Q punan yang tidak kosong. Terhadap operasi pergandaan 8 k1, k2 Q p 2 akan ditunjukkan k1 k2 Q p 2 p 2 dan k2 = c + d Ambil sebarang k1 = a + b p 2, dengan a; b; c; d Z. p 2) (c + d k1 k2 = (a + b p 2) p 2 = (ac + 2bd) + (ad + bc) karena ac + 2bd = m dan ad + bc = n, sehingga diperoleh k1 k2 = m + n p 2, dimana m; n Z maka k1 k2 Q p 2 atau k1 k2 tertutup Terhadap operasi pengurangan 8 k1, k2 Q p 2 akan ditunjukkan k1 - k2 Q p 2 p 2 dan k2 = c + d Ambil sebarang k1 = a + b p 2, dengan a; b; c; d Z. p 2) - (c + d k1 - k2 = (a + b p 2) p 2 = (a c) + (b d) karena a c = e dan b d = f, sehingga diperoleh k1 - k2 = e + f p 2, dimana e; f Z maka k1 - k2 Q p 2 atau k1 k2 tertutup p 2 merupakan ring bagian dari R Oleh karena itu Q 30

65. DAERAH INTEGRAL Pembagi Nol De

66. nisi Pembagi nol diberikan a R, ada b6= 0 sehingga a b = 0. Contoh Z8 = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7g a = 0, ab = 0 b = 0, 8 b Z8, b6= 0 a = 2, b = 4, ab = 2 4 = 8 = 0 a = 4, b = 6, ab = 4 6 = 24 = 0 a = 6, b = 4, ab = 6 4 = 24 = 0 Daerah Integral De

67. nisi Suatu ring komutatif R dinamakan daerah integral, bila tak memuat pembagi nol atau ab = 0 , a = 0 atau b = 0 Contoh Himpunan bilangan bulat Z Ring komutatif dengan anggota satuan yang bukan daerah integral : Zn dengan n bukan prima. Bilangan bulat modulo 7 (Z7) Z7 = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6g Memuat perkalian a6= 0 dan a Z7, akan dibuktikan bahwa Z7 adalah suatu daerah integral. 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 1 3 5 3 3 6 2 5 1 4 4 4 1 5 2 6 3 5 5 3 1 6 4 2 6 6 5 4 3 2 1 a b6= 0, a, b Z7 a6= 0 dan b6= 0 ! bukan pembagi nol Jadi Z7 daerah integral 31

68. FIELD atau LAPANGAN De

69. nisi Elemen yang tidak nol mempunyai invers atau suatu ring R dengan a R ada a1 R sehingga a a1 = a1 a = 1 Contoh 1. Field tak berhingga : Q, Q p 2 , R, dan C. 2. Field berhingga : Zp dengan p prima. 3. Daerah intergral yang bukan

70. eld : bilangan bulat Z. 4. Z5 = f0; 1; 2; 3; 4g ! ring, daerah integral, dan lapangan. Memuat perkalian a6= 0 dan a Z5 yaitu f1; 2; 3; 4g, akan dibuktikan bahwa Z5 merupakan suatu

71. eld. 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1 a Z5 dengan a6= 0 ada a1 sehingga a a1 = 1. Catatan: Setiap

72. eld merupakan daerah integral tetapi tidak setiap daerah integral merupakan

73. eld. Sebagai contoh, himpunan bilangan bulat Z merupakan daerah integral tetapi bukan

74. eld, karena 2 Z tidak mempunyai invers dalam Z. Teorema 1. Setiap lapangan adalah suatu daerah integral, yaitu tidak mempunyai elemen pembagi nol. 2. Setiap daerah integral dengan elemen berhingga adalah suatu lapangan. 3. Himpunan Zn adalah lapangan bila dan hnya bila n adalah bilangan prima. Bukti 1. Misalkan dalam suatu lapangan F berlaku a b = 0. Bila a6= 0, maka ada suatu invers a1 F, sehingga b = (a1 a) b = a1 (a b) 32

75. b = a1 0 = 0 Terlihat bahwa a6= 0 dan a b = 0 berakibat b = 0. Jadi a bukan elemen pembagi nol sehingga F adalah suatu daerah integral. 2. Misalkan daerah integral D = fx0; x1; :::; xng dengan x0 = 0 dan x1 = 1, untuk sebarang xi6= 0. Himpunan xiD = fxix0; xix1; :::; xixng adalah sama dengan D sendiri, sebab xi xj = xi xk xj = xk (sifat kanselasi) Jadi semua elemen xix0; xix1; :::; xixn adalah berbeda dan xi D D maka xiD = D. Oleh karena itu ada elemen xj yang memenuhi xixj= x1 = 1, sehingga x1 i = xj . Jadi D adalah suatu lapangan. 3. Misalkan n prima dan [a] [b] = [0] di Zn maka n j ab Jadi n j a atau n j b yaitu [a] = [0] atau [b] = [0] Jadi Zn adalah daerah integral dan karena Zn berhingga maka Zn adalah lapangan. Misalkan Zn adalah lapangan dan andaikan n bukan prima maka n = rs dengan 1 r; s n. Didapat [r]6= [0] dan [s]6= [0], tetapi [r] [s] = [rs] = 0. Terlihat bahwa Zn mempunyai pembagi nol, bertentangan bahwa Zn adalah lapangan. Jadi haruslah n prima. 33

76. HOMOMORFISMA RING De

77. nisi Misalkan (R;+; ) dan (S;; ) masing-masing adalag ring, maka fungsi f : R ! S dikatakan suatu homomorpisma ring bila untuk semua a; b r: 1. f(a + b) = f(a) f(b) 2. f(a b) = f(a) f(b) 3. f(1R) = 1S = Bila homomor

78. sma ring f adalah satu-satu pada, maka f disebut isomor

79. ma ring. Dalam hal ini ring R dan S dikatakan saling isomor

80. k dan ditulis R S. Contoh 1. f : Z ! Zn x ! [x]n f(x1 + x2) = [x1 + x2]n = [x1]n + [x2]n = f(x1) + f(x2) f(x1 x2) = [x1 x2]n = [x1]n [x2]n = f(x1) f(x2) f(1) = [1]n ! elemen satuan di Zn Himpunan bilangan bulat modulo 3 (Z3) 10 ! [10]3 = [1]3 [2]3 + [1]3 = [3]3 = [0]3 ! 3; 6; 9; 12; 15; ::: (kelipatan 3) 2. f : Z24 ! Z4 Dengan f([x]24) = [x]4 adalah suatu homomor

81. sma ring. Bila [x]24 = [y]24, maka x y mod 24 dan 24 j (x y). Jadi 4 j x y) dan [x]4 = [y]4, selanjutnya dalam f berlaku f([x]24 + [y]24) = [x + y]24 = [x + y]4 = [x]4 + [y]4 = f([x]24) + f([y]24) f([x]24 [y]24) = [x y]24 = [x y]4 = [x]4 [y]4 = f([x]24) f([y]24) f([1]24) = [1]4 34

82. KARAKTERISTIK DAERAH INTEGRAL De

83. nisi Misalkan D adalah daerah integral, D dikatakan berkateristik berhingga bila ada beberapa bilangan bulat positif m 0 dan a6= 0 di D yang memenuhi ma = 0. Dalam hal ini elemen terkecil p yang memenuhi pa = 0 untuk a D dinamakan Karakteristik dari D. Catatan: Karakteristik daerah integral agak mirip dengan Order Elemen. Bilangan bulat yang mempunyai order tak berhingga berkarakteristik = 0. Bilangan bulat modulo yang bukan daerah integral tidak mempuyai karakteristik atau berkarakteristik = 0 Contoh 1. Bilangan bulat modulo 5 (Z5) Z5 = f0; 1; 2; 3; 4g, dengan elemen yang bukan 0 adalah f1; 2; 3; 4g Untuk a = 1 p1 = 0 |1 + 1 +{1z+ 1 + 1} = 0 5 karakteristik = 5 Untuk a = 2 p2 = 0 |2 + 2 +{2z+ 2 + 2} = 0 5 karakteristik = 5 Untuk a = 3 p3 = 0 |3 + 3 +{3z+ 3 + 3} = 0 5 karakteristik = 5 Untuk a = 4 p4 = 0 |4 + 4 +{4z+ 4 + 4} = 0 5 karakteristik = 5 Jadi karakteristik Z5 adalah 5. 35

84. 2. Bilangan bulat modulo 4 (Z4) ! bukan daerah integral Z4 = f0; 1; 2; 3g, dengan elemen yang bukan 0 adalah f1; 2; 3g Untuk a = 1 p1 = 0 |1 + 1 {+z 1 + 1} = 0 4 karakteristik = 4 Untuk a = 2 p2 = 0 |2 {+z 2} = 0 2 karakteristik = 2 Untuk a = 3 p3 = 0 |3 + 3 {+z 3 + 3} = 0 4 karakteristik = 4 Jadi Z4 tidak mempunyai karakteristik atau berakarakteristik = 0. 36

85. KERNEL dan IDEAL Kernel Misalkan f adalah suatu homomor

86. sma ring f : R ! R0 ker(f) = fx R j f(x) = 00g, dengan 0' pada R0 (kodomain) Misalkan x ker(f) dan r R f(r x) = f(r) |f{(zx}) kernel = f(r) 00 = 00 Jadi rx ker(x), 8 r R Ideal Ideal disuatu ring komutatif R, mempunyai elemen satuan IR dan I R yang memenuhi: I terhadap operasi biner + adalah grup komutatif. Untuk setiap r R dan i I maka ri atau ir harus berada di I. ri I atau ir I. Jenis-Jenis Ideal 1. Ideal Utama Bila diberikan a R dengan a tetap, dide

87. nisikan himpunan (a) = fra j r Rg R Himpunan (a) memenuhi kriteria ideal (a) yang dinamakan Ideal Utama, atau ideal terkecil yang memuat a. Sedangkan elemen a dinamakan generator atau pembangun dari (a). Contoh: Bila F adalah suatu lapangan maka F hanya mempunyai ideal [0] = f0g dan F sendiri. Sebab bila I adalah suatu ideal di F dengan I6= 0 dan a I, a6= 0 maka a F dan a1 F. Akibatnya a1 a = 1 I. Diberikan sebarang r F didapat r 1 I F. F I, sehingga I = F. 37

88. 2. Ideal Maksimal Suatu ideal M dari ring R adalah maksimal bila tidak ada ideal bukan ideal nol yang memuat M kecuali R sendiri yaitu bila I adalah ideal di R dengan M I, maka I = R. 3. Ideal Prima Suatu ideal P di ring komutatif R dinamakan Ideal Prima bilamana ab P, maka a P atau b P. (a) = (4) = fm4 j m Zg (a) ! pembangun 4Z = f4n j n Z g 4Z = f4k j k Z g 4Z = f4(k) j k Z g dengan t = k, t; k Z 4Z= f4t j n Z g Memberikan hasil yang sama 4Z dan 4Z. Ring Faktor Misalkan R suatu ring dan I suatu ideall dari R, dide

89. nisikan himpunan R=I = fI + a j a Rg dan dide

90. nisikan dua operasi (+) dan () pada R=I yaitu untuk setiap (I + a), (I + b) R=I, maka (I + a) + (I + b) = I + (a + b) (I + a) (I + b) = I + ab Dapat ditunjukkan bahwa (R=I;+; ) adalah suatu Ring Faktor. 38

91. RING PRODUK dan RING POLINOMIAL Ring Produk Bila (R;+; ) dan (S;+; ) dua ring, maka produk dari ring (R S;+; ), dimana himpunan R S = f(r; s) j r R, s Sg dan operasi biner dide

92. nisikan oleh (r1; s1) + (r2; s2) = (r1 + r2, s1 + s2) (r1; s1) (r2; s2) = (r1 r2, s1 s2) Dapat ditunjukkan bahwa R S adalah suatu ring dengan dengan Elemen nol (0R; 0S), dengan 0R elemen di R dan 0S elemen nol di S. Elemen identitas (1R; 1S), dengan 1R elemen identitas terhadap perkalian di R dan 1S elemen identitas terhadap perkalia di S. Contoh Diberikan Z2 = f0; 1g dan Z3 = f0; 1; 2g maka Z2 Z3 = f(0; 0); (0; 1); (0; 2); (1; 0); (1; 1); (1; 2)g Z2 Z3 isomor

93. k dengan Z6. Hasil dari kontruksinya: 0 ! (0; 0) 1 ! (1; 1) 2 ! (0; 2) 3 ! (1; 0) 4 ! (0; 1) 5 ! (1; 2) Pembuktian homomor

94. sma ring: f(a + b) = f(a) + f(b) f(a b) = f(a) f(b) f(I6) = (I2; I3) Ring Polinomial Misalkan R suatu ring. Dide

95. nisikan (a0; a1; a2; :::) sebagai barisan takhingga dengan ai R, i = 0; 1; 2; ::: dan ada bilangan bulat taknegatif n (bergantung pada (a0; a1; a2; :::)) sedemikian sehingga untuk semua bilangan bulat k n, ak = z. Se- lanjutnya dide

96. nisikan R[x] = f(a0; a1; a2; :::) j ai 2 R, i = 0; 1; 2; :::g. Elemen dari R[x] disebut polinomial-polinomial atas R. 39

97. Dide

98. nisikan operasi penjumlahan dan pergandaan pada R[x], untuk setiap (a0; a1; a2; :::) dan (b0; b1; b2; :::) R[x] sebagai berikut: (a0; a1; a2; :::) + (b0; b1; b2; :::) = (a0 + b0; a1 + b1; a2 + b2; :::) (a0; a1; a2; :::) (b0; b1; b2; :::) = (c0; c1; c2; :::), Pn dengan ci = i=1 ajbij , for i = 0; 1; 2; ::: (R[X];+; ) adalah ring dengan (0; 0; 0; :::) adalah elemen nol dari R[X] dan invers terhadap penjumlahan dari (a0; a1; a2; :::) adalah (a0;a1;a2; :::). Maka ring R[X] disebut ring polinomial atas R. Contoh: p(x) = 1 + 2x + 3x2 q(x) = 1 5x3 h(x) = p(x) + q(x) = 1 + 2x + 3x2 + (1) 5x3 = 2x + 3x2 5x3 r(x) = p(x) q(x) = (1 + 2x + 3x2) (1 5x3) = 1 2x 3x2 5x3 10x4 15x5 Barisan Dalam Ring Barisan ha0; a1; a2; :::i dengan ai 2 R dinotasikan oleh haii. Bila penjumlahan (+) dan konfolusi () dari barisan masing-masing dide

99. niskan: haii + hbii = hai P + bii haii hbii = h j+k=i ajbki = ha0bi + a1bi1 + ::: + aib0i Deret Formal 1P i=0 aixi, dimana ai 2 R. Penjumlahan dan perkalian dalam R[X] dide

100. nisikan oleh: 1P i=0 aixi + 1P i=0 bixi = 1P i=0 (ai + bi)xi ( 1P i=0 aixi) ( 1P i=0 bixi) = 1P ( i=0 P (ajbk)xi j+k=1 Pembagian Bilangan Bulat Bila a dan b 0 adalah bilangan bulat tak nol, maka ada tunggal bilangan bulat q dan r sehingga a = qn + r, dengan 0 r b n = pembagi r = sisa q = hasil bagi 40

101. Ring Euclid Daerah integral dinamakan ring euclid, ada bilangan bulat tak negatif : R ! f0; 1; 2; :::g memenuhi sifat (a) 0 (a) (ab) Catatan: Pembagian pada polinomial bilangan bulat harus memenuhi ring euclid der(sisa) der(pembagi) Suatu polinomial berderajat n mempunyai akar-akar tidak lebih dari n Polinomial tidak bisa difaktorkan ! irreducible (tak tereduksi) Contoh 1. Bagi x3 + 2x2 + x + 2 oleh x2 + 2 di Z3[X] 2. Tentukan akar dari x2 3 2 Z[X] Jawab 1. x3 + 2x2 + x + 2 = (x + 2) (x2 + 2) + 2x + 1 pembagi : x2 + 2 hasil bagi : x + 2 sisa : 2x + 1 2. x2 3 = (x p 3) (x + p 3) ! bukan elemen Z[X] Jadi merupakan polinomial irreducible Pembagian Persekutuan Terbesar Bila a; b 2 R dengan R daerah integral maka elemen g 2 R dikatakan pembagi persekutuan terbesar dari a dan b ditulis g = gcd(a; b) yang memenuhi: gja dan gjb cja dan cjb maka cjg Contoh a = 247 b = 221 Fpb (a; b) = ...? Jawab: a = qb + r, dengan a b 247 = 1 221 + 26 221 = 8 26 + 13 26 = 2 13 + 0 Jadi Fpb (247,221) = 13 41

Aljabar

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (17)

Viewers also liked

Viewers also liked (19)

Similar to Aljabar

Similar to Aljabar (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Aljabar