Materi SMA Volume Benda Putar Metode Cincin

4. Volume Benda Putar Metode Cincin
Nama Kelompok :
1. Siti Aisyah 1484202012
2. Jetty Oktavia S. 1484202019
3. Kornelia Rudis 1484202015

5. Volume Benda Putar Metode
Cincin

6. Tahukah kalian, apakah
volume benda putar itu
?
Suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa
kurva kemudian diputar terhadap suatu garis
tertentu yang biasanya diputar mengelilingi
sumbu x atau sumbu y dengan satu putaran
penuh yaitu 𝟑𝟔𝟎 𝟎
.

7. Dari penjelasan slide sebelumnya, kita masih bisa
menghitung volume benda putarnya karena kita
bisa menggunakan rumus volume kerucut dan
bola.
Lalu apakah kalian bisa
menghitung volume benda putar
yang berbentuk parabola / kurva
yang tidak beraturan ???
Ada 3 metode yang digunakan untuk menghitung volume benda
putar dengan kurva yang tidak beraturan :
1. Metode Cincin
2. Metode Cakram
3. Metode Kulit Tabung

8. Pernahkah kalian mendengar
volume benda putar metode
cincin ???
Metode cincin yang digunakan dalam menentukan
volume benda putar dapat dianalogikan seperti
menentukan volume bawang bombai dengan
memotong- motongnya yang potongannya
berbentuk cincin
Metode cincin yaitu suatu metode yang menggunakan integral dalam
menentukan volume benda putar yang memiliki lubang. Cincin
dalam metode ini dibentuk oleh hasil putaran persegi panjang
terhadap sumbu putaran tertentu ( sumbu putaran tidak berimpit
dengan sisi persegi panjang)

9. Rumus
𝑉 = 𝜋 𝑎
𝑏
[𝑅 𝑥 ]2 − [𝑟 𝑥 ]2 𝑑𝑥
Gambar
h = Tinggi
R = Jari- jari luar
r = Jari- jari dalam

10. Daerah antara kurva y = 𝑥 dan y = 3, dalam selang 0≤ 𝑥 ≤ 4 diputar mengitari sumbu x untuk membentuk suatu
benda padat. Tentukan volume benda padat ini !
Contoh soal volume benda putar mengitari sumbu x
Langkah 1 : Lukis daerah yang diraster dan sketsalah satu segmen garis yang tegak lurus
terhadap sumbu putar ( disini sumbu x ) dan memotong daerah ini ( gambar PQ dalam gambar
disamping )
Langkah 2 : Tentukan batas- batas integral
Batas integral dalam selang 0≤ 𝑥 ≤ 4 adalah a = 0 dan b = 4
Langkah 3 : Tentukan jari- jari luar dan jari- jari dalam dari cincin yang dibentuk oleh segmen
garis PQ. Jari- jari ini adalah jarak ujung- ujung segmen garis dari sumbu putar ( disini sumbu
x )
Jadi,
Jari- jari luar ( R ) = f(x) = 3
Jari- jari dalam ( r ) = g(x) = 𝑥
Langkah 4 : hitung volume benda dengan rumus metode cincin
Jawab :

11. 𝑉 = 𝜋
𝑎
𝑏
[𝑅 𝑥 ]2 − [𝑟 𝑥 ]2 𝑑𝑥
= 𝜋
0
4
[ 3)2 − 𝑥 2 𝑑𝑥
= 𝜋
0
4
9 − 𝑥 𝑑𝑥
= 𝜋 9𝑥 −
𝑥2
2
4
0
= 𝜋 9.4 −
(4)2
2
− (0 − 0)
= 𝜋 36 − 8
= 28𝜋 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
Apakah kalian
sudah paham ???
Mari kalian coba
kerjakan latihan soal,
agar lebih paham !!!

12. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x − x2
dan y = 2 − x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah....
a.
1
5
𝜋 satuan volume
b.
2
5
𝜋 satuan volume
c.
3
5
𝜋 satuan volume
d.
4
5
𝜋 satuan volume
e. 𝜋 satuan volume
Good Job !!!
Try Again!!!

13. R = 2𝑥 − 𝑥2
r = 2 − 𝑥
Penyelesaian :

14. Daerah antara kurva 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥2 dan 𝑦 = 𝑥. Tentukan volume benda putar
yang diperoleh !
Jawaban
Penyelesaian :
𝟏𝟎𝟖
𝟓
𝝅 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝟐𝟏
𝟑
𝟓
𝝅 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝟐𝟏, 𝟔𝝅 𝒔𝒂𝒕𝒖𝒂𝒏 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆

15. Titik Potong :
4𝑥 − 𝑥2 = 𝑥
0 = 𝑥2 + 𝑥 − 4𝑥
0 = 𝑥2 − 3𝑥
0 = 𝑥 𝑥 − 3
𝑥1 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥2 = 3
• R = 4𝑥 − 𝑥2
• r = 𝑥
𝒚 = 𝟒𝒙 − 𝒙 𝟐
𝑦 = 𝑥
R
r
𝑉 = 𝜋
𝑎
𝑏
[𝑅 𝑥 ]2
− [𝑟 𝑥 ]2
𝑑𝑥
= 𝜋
0
3
(4𝑥 − 𝑥2
)2
− 𝑥 2
𝑑𝑥
= 𝜋
0
3
16𝑥2
− 8𝑥3
+ 𝑥4
− 𝑥2
𝑑𝑥
= 𝜋
0
3
15𝑥2
− 8𝑥3
+ 𝑥4
𝑑𝑥
= 𝜋 5𝑥3
− 2𝑥4
+
1
5
𝑥5 3
0
= 𝜋 5(3)3
− 2(3)4
+
1
5
(3)5
− 5(0)3
− 2(0)4
+
1
5
(0)5
= 𝜋 135 − 162 +
243
5
= 𝜋
675
5
−
810
5
+
243
5
=
108
5
π
= 21
3
5
𝜋

16. Daerah yang dibatasi oleh parabola 𝑦 = 𝑥2 dan garis 𝑦 = 3𝑥 dalam kuadran pertama diputar mengitari sumbu y.
tentukan volume benda padat yang dibentuknya !
Contoh soal volume benda putar mengitari sumbu y
Langkah 1 : Lukis daerah yang diraster dan sketsalah satu segmen garis
yang tegak lurus terhadap sumbu putar ( disini sumbu y ) dan memotong
daerah ini ( gambar PQ dalam gambar disamping )
Langkah 2 : Tentukan batas- batas integral
𝑥2
= 3𝑥
𝑥2
− 3𝑥 = 0
𝑥 𝑥 − 3 = 0
𝑥 = 0, 𝑥 = 3
∴ 𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 − 𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑛𝑦𝑎 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢 0 𝑑𝑎𝑛 3
Jawab :

17. Langkah 3 : Tentukan jari- jari luar dan jari-
jari dalam dari cincin yang dibentuk oleh
segmen garis PQ. Jari- jari ini adalah jarak
ujung- ujung segmen garis dari sumbu putar (
disini sumbu y )
Jadi,
Jari- jari luar ( R ) = f(y) = 𝑦
1
2
Jari- jari dalam ( r ) = g(y) =
𝑦
3
Langkah 4 : hitung volume benda dengan rumus
metode cincin
𝑉 = 𝜋
𝑎
𝑏
[𝑅 𝑦 ]2 − [𝑟 𝑦 ]2 𝑑𝑦
= 𝜋
0
3
𝑦
1
2
2
−
𝑦
3
2
𝑑𝑦
= 𝜋
0
3
𝑦 −
𝑦2
9
𝑑𝑦
= 𝜋
𝑦2
2
−
𝑦3
27
3
0
= 𝜋
(3)2
2
−
(3)3
27
−
(0)2
2
−
(0)3
27
= 𝜋
9
2
−
27
27
− 0 − 0
= 𝜋
9
2
− 1
= 𝜋
9
2
−
2
2
= 𝜋
7
2
=
7
2
𝜋 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒

18. Volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva y = − x2 + 4 dan y = − 2x + 4
diputar 360° mengelilingi sumbu Y adalah.....
a. 8𝜋 satuan volume
b.
13
2
𝜋 satuan volume
c.
8
3
𝜋 satuan volume
d. 4𝜋 satuan volume
e.
5
4
𝜋 satuan volume
Good Job !!!
Try Again!!!

19. Penyelesaian
Langkah pertama yang biasa ditempuh adalah membuat sketsa grafik kurva-kurva yang terlibat agar
nampak batas-batas yang akan diambil,
Kurva pertama bentuknya persamaan kuadrat,
y = −x2 + 4
Cari titik potong pada sumbu x, berarti y diberi harga nol, y = 0
y = −x2 + 4
0 = −x2 + 4
0 = 4 −x2
Faktorkan,
0 = (x + 2)(x − 2)
x = − 2 atau x = 2
Titik-titik yang diperoleh dari langkah ini adalah (2, 0) dan titik (−2, 0)
Titik potong pada sumbu y, berarti x diberi harga nol, x = 0
y = −x2 + 4
y = −02 + 4
y = 4
Titik yang diperoleh dari langkah ini adalah (0, 4)

20. Kurva Kedua berbentuk persamaan
linier
y = − 2x + 4
Titik potong sumbu x, berarti y = 0
y = − 2x + 4
0 = − 2x + 4
2x = 4
x = 4/2 = 2
Diperoleh titik (2, 0)
Titik potong sumbu y, berarti x = 0
y = − 2x + 4
y = − 2(0) + 4
y = 4
Diperoleh titik (0, 4)
Grafik selengkapnya sebagai berikut :
Menentukan Batas-batas
Jika diputar pada sumbu x, terlihat dari
gambar batas-batasnya adalah 0 dan 2
Jika diputar pada sumbu y, terlihat
batas-batasnya adalah 0 dan 4
Kali ini akan dihitung untuk putar
sumbu y, sehingga batas yang diambil 0
dan 4
Dari rumus volume benda putar pada
sumbu y untuk dua buah kurva:
𝑉 = 𝜋
𝑎
𝑏
[𝑅 𝑥 ]2
− [𝑟 𝑥 ]2
𝑑𝑥
Ubah bentuk "y =... " menjadi "x =..." atau
"x2 =..." ,
y = −x2 + 4
x2 = 4 − y
y = − 2x + 4
2x = 4 − y
x = 2 − 1/2 y
x2 = 4 −2y + y2
𝑉 = 𝜋
𝑎
𝑏
[𝑅 𝑥 ]2
− [𝑟 𝑥 ]2
𝑑𝑥
V = π 0∫4 ( [4 − y] − [4 −2y + y2/4] ) dy
V = π 0∫4 ( 4 − y − 4 + 2y − y2/4 ) dy
V = π 0∫4 (y − y2/4 ) dy
V = π [ 1/2 y2 − y3/12]0
4
V = (1/2 . 16 − 64/12)π − (0) π = 8/3 π

21. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
𝑦 = 𝑥2
, garis x = 2 dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 3600
.
Penyelesaian :
Jawaban 8𝝅 𝒔𝒂𝒕𝒖𝒂𝒏 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆

22. 𝒚 = 𝒙 𝟐 → 𝒙 = 𝒚
𝒙 = 𝟐
Titik potong
𝒚 𝒌𝒖𝒓𝒗𝒂 = 𝒚 𝒈𝒂𝒓𝒊𝒔
𝒚 = 𝟐
(𝒚
𝟏
𝟐) 𝟐
= 𝟐 𝟐
𝒚 = 𝟒
∴ 𝒃𝒂𝒕𝒂𝒔 − 𝒃𝒂𝒕𝒂𝒔𝒏𝒚𝒂 𝒚𝒂𝒊𝒕𝒖 𝒂 = 𝟎 𝒅𝒂𝒏 𝒃 = 𝟒
𝑽 = 𝝅
𝒂
𝒃
[𝑹 𝒚 ] 𝟐
− [𝒓 𝒚 ] 𝟐
𝒅𝒚
= 𝝅
𝟎
𝟒
𝟐 𝟐
− ( 𝒚) 𝟐
𝒅𝒚
= 𝝅
𝟎
𝟒
𝟒 − 𝒚 𝒅𝒚
= 𝝅 𝟒𝒚 −
𝒚 𝟐
𝟐
𝟒
𝟎
= 𝝅 𝟒(𝟒) −
𝟒 𝟐
𝟐
− 𝟎 − 𝟎
= 𝝅 𝟏𝟔 − 𝟖
= 𝟖𝝅 𝒔𝒂𝒕𝒖𝒂𝒏 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆