Materi ini membahas turun fungsi logaritma dan eksponensial

1. MODUL 3B
TURUNAN FUNGSI
TRANSENDENT
PRAYUDI

2. x
1
dt
t
1
dx
d
)x(ln
dx
d x
1
==

Jika u fungsi dari x yang
diferensiabel dan u(x) > 0, maka
dx
du
u
1
)u(ln
dx
d
=
Contoh :
Hitung dy/dx dari y = ln(x2 + 4x + 5)
Jawab :
Ambil, u = x2 + 4x + 5. 4x2
dx
du
+=
)4x2(
5x4x
1
dx
dy
2
+
++
=
Contoh :
Hitung dy/dx dari y = ln(1 + x2)(1 + x3)
Jawab :
Cara 1. Ambil u = (1 + x2)(1 + x3)
)x3)(x1()x1)(x2(
dx
du 223 +++=
)x1)(x1(
)x1(x3)x1(x2
dx
dy
32
223
++
+++
=
Cara 2. Dengan sifat logaritma
y = ln(1 + x2)(1 + x3)
= ln(1+ x2) + ln(1+x3)
Maka :
)x1)(x1(
)x1(x3)x1(x2
x1
x3
x1
x2
dx
dy
32
223
3
2
2
++
+++
=
+
+
+
=
Turunan Logaritma Asli

4. 𝑦 = ln 𝑥4 + 5 𝑥8 + 4
Gunakan sifat logaritma, tulis menjadi :
𝑦 = ln 𝑥4 + 5 + 𝑙𝑛 𝑥8 + 4
Selanjutnya turunkan, yaitu :
𝑦 = ln
(𝑥7
+ 4)5
𝑠𝑖𝑛6
𝑥
𝑥8 + 4 9
Gunakan sifat logaritma, tulis menjadi :
𝑦 = 5 ln 𝑥7
+ 4 + 6 ln sin 𝑥 − 9 ln 𝑥8
+ 4
Selanjutnya turunkan, yaitu :
Contoh
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑥4 + 5
𝑑
𝑑𝑥
𝑥4 + 5 +
1
𝑥8 + 4
𝑑
𝑑𝑥
𝑥8 + 4
=
1
𝑥4 + 5
4𝑥3 +
1
𝑥8 + 4
8𝑥7
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
5
𝑥7 + 4
𝑑
𝑑𝑥
𝑥7
+ 4 +
6
sin 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(sin 𝑥) −
9
𝑥8 + 4
𝑑
𝑑𝑥
𝑥8
+ 4
=
5
𝑥4 + 5
7𝑥6 +
6
sin 𝑥
(cos 𝑥) −
9
𝑥8 + 4
8𝑥7

5. Contoh
Carilah turun ketiga dari, y = x6 ln x
Jawab
𝑦 = 𝑥6 ln 𝑥
𝑦′ = 6𝑥5 ln 𝑥 + 𝑥6
1
𝑥
= 𝑥5
(6 ln 𝑥 + 1)
𝑦′′ = (5𝑥4)(6 ln 𝑥 + 1) + 𝑥5 6
1
𝑥
+ 0
= 𝑥4
(30 ln 𝑥 + 11)
𝑦′′′ = (4𝑥3
)(30 ln 𝑥 + 11) + 𝑥4
30
1
𝑥
+ 0
= 𝑥3
(120 ln 𝑥 + 74)

7. Contoh
Carilah turunan ketiga dari, y = x5 sin(2 lnx)
Jawab
𝑦 = 𝑥5 sin(2 ln 𝑥)
𝑦′
= 5𝑥4
sin(2 ln 𝑥) + 𝑥5
cos(2 ln 𝑥) 2
1
𝑥
= 𝑥4 5 sin(2 ln 𝑥) + 2 cos(2 ln 𝑥)
𝑦′′ = 4𝑥3 5 sin(2 ln 𝑥) + 2 cos(2 ln 𝑥)
+𝑥4
5 cos(2 ln 𝑥) 2
1
𝑥
+ 2 − sin(2 ln 𝑥) 2
1
𝑥
= 𝑥3{ 20 − 4 sin(2 ln 𝑥) + 8 + 10 cos(2 ln 𝑥)}
𝑦′′′ = (3𝑥2){16 sin(2 ln 𝑥) + 18 cos(2 ln 𝑥)}
+𝑥3 16 cos(2 ln 𝑥) 2
1
𝑥
+ 18 − sin(2 ln 𝑥) 2
1
𝑥
= 𝑥3{ 48 − 36 sin(2 ln 𝑥) + 54 + 32 cos(2 ln 𝑥)}

8. Menghitung turunan fungsi dengan menggunakan sifat-sifat logaritma
dan penurunan fungsi secara implisit. Rumus umum diferensial
logaritmik yaitu :
Fungsi ini diambil nilai logaritma aslinya, yaitu :
Selanjutnya diturunkan secara implisit yaitu :
Dengan demikian, turunannya adalah :
Diferensial Logaritmik
𝑦 =
𝑓(𝑥) 𝑚 𝑔(𝑥) 𝑛
ℎ(𝑥) 𝑝
ln 𝑦 = ln
𝑓(𝑥) 𝑚 𝑔(𝑥) 𝑛
ℎ(𝑥) 𝑝
= m ln f(x) + n ln g(x) – p ln h(x)
1
𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑚
1
𝑓(𝑥)
𝑓′ 𝑥 + 𝑛
1
𝑔(𝑥)
𝑔′ 𝑥 − 𝑝
1
𝑝 𝑥
𝑝′ 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦 𝑚
1
𝑓(𝑥)
𝑓′
𝑥 + n
1
𝑔(𝑥)
𝑔′
𝑥 − 𝑝
1
𝑝 𝑥
𝑝′
𝑥
=
𝑓(𝑥) 𝑚
𝑔(𝑥) 𝑛
ℎ(𝑥) 𝑝 𝑚
1
𝑓(𝑥)
𝑓′ 𝑥 + n
1
𝑔(𝑥)
𝑔′ 𝑥 − 𝑝
1
𝑝 𝑥
𝑝′ 𝑥

9. Hitunglah dy/dx dari
y = x3 cos4x (1 + sin x)5
Jawab :
ln y = ln{x3 cos4x (1 + sin x)5}
= ln x3 + ln cos4x + ln(1 + sin x)5
= 3 ln x + 4 ln cos x + 5 ln(1+sin x)
Diferensial secara implisit
Contoh
1
𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3
𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥) +
4
cos 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(cos 𝑥) +
5
1 + sin 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(1 + sin 𝑥)
=
3
𝑥
+
4(− sin 𝑥)
cos 𝑥
+
5 cos 𝑥
1 + sin 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦
3
𝑥
−
4 sin 𝑥
cos 𝑥
+
5 cos 𝑥
1 + sin 𝑥
= x3 cos4x (1 + sin x)5
3
𝑥
−
4 sin 𝑥
cos 𝑥
+
5 cos 𝑥
1 + sin 𝑥

10. Berikut ini adalah contoh penggunaan diferensial logaritmik. Carilah
turunan dari,
𝑦 =
(𝑥3 + sin 3𝑥)6 𝑡𝑎𝑛5 𝑥
(𝑥4 + cos 3𝑥)6
Jawab :
Langkah pertama ambil nilai logaritmanya, yaitu :
ln y = ln
(𝑥3+sin 3𝑥)6 𝑡𝑎𝑛5 𝑥
(𝑥4+cos 3𝑥)6
= 6 ln (𝑥3 + sin 3𝑥) + 5 ln tan x – 6 ln (𝑥4 + cos 3𝑥)
Selanjutnya diturunkan secara implisit.
1
𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
8
𝑥3+sin 3𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥3
+ sin 3𝑥) +
5
tan 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
tan 𝑥 −
6
𝑥4+cos 3𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥4
+ cos 3𝑥)
=
8(3𝑥2+3 cos 3𝑥)
𝑥3+sin 3𝑥
+
5 𝑠𝑒𝑐2 𝑥
tan 𝑥
−
6(4𝑥3 − 3 sin 3𝑥)
𝑥4+cos 3𝑥
Jadi,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= y
8(3𝑥2+3 cos 3𝑥)
𝑥3+sin 3𝑥
+
5 𝑠𝑒𝑐2 𝑥
tan 𝑥
−
6(4𝑥3 − 3 sin 3𝑥)
𝑥4+cos 3𝑥
=
(𝑥3+sin 3𝑥)6 𝑡𝑎𝑛5 𝑥
(𝑥4+cos 3𝑥)6
8(3𝑥2+3 cos 3𝑥)
𝑥3+sin 3𝑥
+
5 𝑠𝑒𝑐2 𝑥
tan 𝑥
−
6(4𝑥3 − 3 sin 3𝑥)
𝑥4+cos 3𝑥
Contoh

15. dx
du
e)e(
dx
d
).2(
e)e(
dx
d
).1(
uu
xx
=
=
Contoh :
Hitunglah dy/dx dari
Jawab
Misalkan, u = x4 ln x, y = eu
xlnx4
ey =
33 xxlnx4
dx
du
+=
Maka :
)xxlnx4(e
dx
du
e
dx
dy
33xlnx
u
4
+=
=
Contoh :
Hitunglah turunan ketiga dari
Jawab
Dengan aturan rantai, dihasilkan
2
xey =
2
xxe2
dx
dy
=
2
22
x2
xx
2
2
e)x42(
)x2(xe2e2
dx
yd
+=
+=
2
22
x3
x2x
3
3
e)x8x12(
)x2(e)x42(xe8
dx
yd
+=
++=
Turunan Eksponensial

16. Contoh
Carilah turunan pertama, kedua dan ketiga dari :
y= x4 e3x ;
Jawab :
Gunakan rumus (uv)‘ = u’v + u v’
n=1 → y’ = (4x3) e3x + x4 (3 e3x )
= (4x3 + 3 x4 )e3x
n=2 → y’’ = {4(3x2) + 3(4x3)} e3x + (4x3 + 3 x4)(3e3x)
= (12 x2 + 24x3 + 9x4)e3x
n=3 → y’’’ = {12(2x) + 24(3x2) + 9(4x3)}e3x + (12x2 + 24x3 + 9x4)(3e3x)
= (24x + 108 x2 + 108 x3 + 27x4) e3x
Dapat di hitung turunan ke-4

17. Cara kedua :
y= x4 e3x ;
u= x4 ; v= e3x ;
u’= 4 (x3) ; v’= 3 e3x ;
u’’= 4 (3 x2) ; v’’ = 3 (3e3x) = 9 e3x;
u’’’= 12 (2 x) ; v’’’ = 9 (3e3x) = 27 e3x;
Rumus hitung :
y’’ = u’’ v + 2u’ v’ + u v’’
= (12 x2) (e3x) + 2 (4 x3) (3e3x) + (x4) (9 e3x)
= (12 x2 + 24 x3 + 9 x4)e3x
y’’’ = u’’’ v + 3 u’’ v’ + 3u’ v’’ + u v’’’
= (24 x) (e3x) + 3 (12x2) (3e3x) + 3 (4x3) (9e3x) + (x4) (27e3x)
= (24 x+ 108 x2 + 108 x3 + 27x4)e3x

18. Contoh
Carilah turunan pertama, kedua dan ketiga dari :
y= e4x sin 3x;
Jawab :
Gunakan rumus (uv)‘ = u’v + u v’
n=1 → y’ = (4e4x) sin 3x + e4x (3 cos 3x)
= (4 sin 3x + 3 cos 3x) e4x
n=2 → y’’ = {4(3 cos 3x) + 3(–3 sin 3x)}e4x + (4 sin 3x + 3 cos 3x)(4e4x)
= {(12 + 12) cos 3x + (–9 + 16) sin 3x}e4x
= (24 cos 3x + 7 sin 3x) e4x
n=3 → y’’’ = {24 (–3 sin 3x) + 7 (3 cos 3x)} e4x
+ (24 cos 3x + 7 sin 3x) (4e4x)
= (117 cos 3x – 44 sin 3x) e4x
Dapat di hitung turunan ke-4

19. Cara kedua : y= e4x sin 3x;
u= sin 3x ; v= e4x ;
u’= 3 cos 3x ; v’= 4e4x ;
u’’= – 9 sin 3x ; v’’ = 16e4x ;
u’’’= – 27 cos 3x ; v’’’ = 64e4x ;
Rumus hitung :
y’’ = u’’ v + 2u’ v’ + u v’’
= (– 9 sin 3x) (e4x) + 2 (3 cos 3x) (4e4x) + (sin 3x) (16 e4x)
= 24 cos 3x + (–9 + 16) sin 3x}e4x
= (24 cos 3x + 7 sin 3x) e4x
y’’’ = u’’’ v + 3u’’ v’ + 3u’ v’’ + u v’’’
= (– 27 cos 3x)(e4x) + 3(–9 sin 3x)(4e4x) + 3(3 cos 3x)(16 e4x)
+ (sin 3x) (64e4x)
= {(– 27 + 144)189 cos 3x +(– 108 + 64) sin 3x} e4x
= (117 cos 3x – 44 sin 3x) e4x

24. Turunan Invers Trigonometri
(1).
𝑑
𝑑𝑥
sin−1 𝑢 =
1
1 − 𝑢2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
(2).
𝑑
𝑑𝑥
cos−1 𝑢 = −
1
1 − 𝑢2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
(3).
𝑑
𝑑𝑥
tan−1
𝑢 =
1
𝑢2 + 1
𝑑𝑢
𝑑𝑥
(4).
𝑑
𝑑𝑥
cot−1
𝑢 = −
1
𝑢2 + 1
𝑑𝑢
𝑑𝑥
(5).
𝑑
𝑑𝑥
sec−1
𝑢 =
1
𝑢 𝑢2 − 1
𝑑𝑢
𝑑𝑥
(6).
𝑑
𝑑𝑥
csc−1 𝑢 = −
1
𝑢 𝑢2 − 1
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Rumus umumnya adalah, y = sin–1x → x = sin y
Diturunkan secara implisit :
𝑑
𝑑𝑥
(x) =
𝑑
𝑑𝑥
(sin y)
1 = cos y y’
Karena,
𝑦′
=
1
cos 𝑦
=
1
1 − sin2 𝑦
=
1
1 − 𝑥2
y = tan–1x → x = tan y
Diturunkan secara implisit
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
(tan 𝑦)
1 = sec2 y’ → maka :
𝑦′
=
1
sec2 𝑦
=
1
1 + tan2 𝑦
=
1
1 + 𝑥2

25. Contoh :
Hitunglah turunan dari
y=x2 sin–1x + x 1 – x2
Jawab
Gunakan rumus (uv) = u’v + uv’
Maka :
𝑑
𝑑𝑥
1 − 𝑥2 =
𝑑
𝑑𝑥
(1 − 𝑥2)1/2
=
1
2
1 − 𝑥2 −
1
2 −2𝑥
= −
𝑥
1 − 𝑥2
𝑦′ = 2𝑥 sin–1x + 𝑥2
1
1 − 𝑥2
+ 1 1 − 𝑥2 + 𝑥
−𝑥
1 − 𝑥2
= 2𝑥 sin–1x + 1 − 𝑥2
𝑦′′ = 2 sin–1x + 2𝑥
1
1 − 𝑥2
+
−𝑥
1 − 𝑥2
= sin–1x +
𝑥
1 − 𝑥2
𝑦′′′ =
1
1 − 𝑥2
+
1
1 − 𝑥2
+
𝑥2
1 − 𝑥2 3/2

26. Hitunglah turunan dari, y= 2x2 tan–1x – x ln(1+ x2 )
Jawab :
Gunakanlah rumus (uv) = u’v + uv’
Maka,
𝑦′
= 2 2𝑥 tan–1x + 2𝑥2
1
1 + 𝑥2
− 1 ln 1 + 𝑥2
− 𝑥
2𝑥
1 + 𝑥2
= 4𝑥 tan–1x − ln 1 + 𝑥2
𝑦′′ = (4) tan–1x + 4x
1
1 + 𝑥2
−
2𝑥
1 + 𝑥2
= 4 tan–1x +
2𝑥
1 + 𝑥2
𝑦′′′ = 4
1
1 + 𝑥2
+
2
1 + 𝑥2
+ 2𝑥
−2𝑥
(1 + 𝑥2)2
=
6
1 + 𝑥2
−
4𝑥2
(1 + 𝑥2)2
Contoh :

27. Hitunglah turunan dari
y=x ln(x + x2 − 1) – x2 sec–1x
Jawab
Gunakan rumus (uv) = u’v + uv’
Maka :
𝑦′ = ln 𝑥 + 𝑥2 − 1 + 𝑥
1
𝑥2 − 1
− 2𝑥 sec–1x − 𝑥2
1
𝑥 𝑥2 − 1
= ln 𝑥 + 𝑥2 − 1 − 2𝑥 sec–1x
𝑦′′ =
1
𝑥2 − 1
− 2sec−1 𝑥 − 2𝑥
1
𝑥 𝑥2 − 1
= −
1
𝑥2 − 1
− 2sec−1 𝑥
𝑦′′′ =
𝑥
𝑥2 − 1 3/2
−
2
𝑥 𝑥2 − 1
Catatan turunan dari :
y = ln(x + x2 − 1)
adalah
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑥 + 𝑥2 − 1
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 + 𝑥2 − 1
=
1
𝑥 + 𝑥2 − 1
1 +
𝑥
𝑥2 − 1
=
1
𝑥 + 𝑥2 − 1
×
𝑥 + 𝑥2 − 1
𝑥2 − 1
=
1
𝑥2 − 1

28. Soal-soal Latihan
Hitunglah dy/dx dari :
Diferensial logaritmik
Hitunglah dy/dx,
1 . 𝑦 = ln[(𝑥4 + sin 4𝑥)7(4𝑥3 + cos 3𝑥)5]
2 . 𝑦 =
𝑥4
+ cos 4𝑥 5
sin3 𝑥 + 𝑥4 6
3 . ln 𝑥𝑦 = ln
𝑥
𝑦
+ 𝑥𝑦
4 . 𝑦 =
2𝑥3 + 4 4
3
2𝑥4 + 3
5 . 𝑦 =
𝑥4
sec5
4𝑥
𝑥4 + sec 4𝑥 3
6 . 𝑦 =
(sin 3𝑥 + 𝑥3)4
sin63𝑥 tan43𝑥
Carilah turun pertama, kedua
dan ketiga dari
7 . 𝑦 = 𝑥4
𝑒−2𝑥
8 . 𝑦 = 𝑒3𝑥 cos 2𝑥
9 . 𝑦 = 𝑒−4𝑥 sin 5𝑥
10 . 𝑦 = (𝑥 + 2)6 ln 𝑥 + 2
11 . 𝑦 = 𝑥−4
sin(3 ln 𝑥)
(12). 𝑦 = 𝑥5
cos(4 ln 𝑥)
13 . 𝑦 = 𝑥−4 ln 𝑥
14 . 𝑦 = 𝑥2sec−1 𝑥 − 𝑥2 − 1
15 . 𝑦 = 𝑥2cos−1 1/𝑥 − 𝑥 ln 𝑥 + 𝑥2 − 1

29. Deferensial dan Hampiran
Diferensial.
Andaikan y = f(x) terdiferensialkan di x, dan andaikan bahwa dx
diferensial dari variabel bebas x, yang menyatakan pertambahan
sembarang dari x. Diferensial dari variabel tak bebas y ditulis dy
didefinisikan oleh :
dy = f (x) dx
Hubungan antara diferensial dan turunan adalah :
1) Karena dy = f (x) dx, dengan membagi kedua ruas dengan dx,
dihasilkan :
Dari persamaan diatas, dapat ditafsirkan bahwa turunan merupakan
hasil bagi dua diferensial.
dx
dy
)x(f =
2) Aturan diferensial diperoleh dari aturan turunan fungsi dan
mengalikan dengan dx.
3) Definisi dy berlaku juga dengan mengasumsikan bahwa variabel
x dan y variabel bebas

30. Hampiran
Perhatikanlah sketsa berikut ini
x x+x
f(x)
f(x+x)
dy
y
Soal-soal
1) Sebelum tangki berbentuk
silinder dengan ujung-ujungnya
berbentuk setengah bola.
Silinder panjangnya 100 cm dan
jari-jarinya 18 cm. Berapakah cat
yang diperlukan untuk melapisi
bagian luar tangki dengan
ketebalan 1 milimeter.
2) Semua sisi kotak baja berbentuk
kubus tebalnya 0,25 inci, dan
volume kotak sebelah dalam
adalah 49 inci kubik. Gunakanlah
diferensial untuk mencari
aproksimasi volume baja yang
digunakan untuk membuat kotak.
Jika x mendapat tambahan x, maka y
mendapatkan tambahan sebesar y,
dimana dapat dihampiri oleh dy,
dimana y = f(x + x) – f(x). Jadi :
f(x + x)  f(x) + dy = f(x) + f (x) x