Aplikasi integral-luas-volume dalam kehidupan sehari-hari

1. APLIKASI INTEGRAL
: 19022118010082NO
: WENDI ROSANDINAMA
MATEMATIKA KELAS B
UHAMKA - PPG 2019

2. APLIKASI INTEGRAL
PENERAPAN INTEGRAL
Luas daerah kelengkungan

3.  Integral digunakan pada design Menara Petronas di
Kuala lumpur, untuk perhitungan kekuatan menara.

4.  Sydney Opera House di design berdasarkan
irisan-irisan bola. Banyak persamaan diferensial
diselesaikan (dalam menyelesaikannya
menggunakan integral) pada design gedung tsb

5. CRASH TESTS
 Pada saat terjadi kecelakaan mobil, bagian tubuh yang
beresiko tinggi untuk terluka yg menyebabkan kematian
adalah kepala. Karena itu, di dalam mobil perlu dipasang
alat-alat pengaman seperti sabuk pengaman dan airbag.

6. 9
2
xy 
Luas daerah di bawah
kurva berdsar
prinsip Riemaan
2
xy 
Indikator 1 Indikator 2
xxy 42

PENERAPAN INTEGRAL
Volume benda putar, jika kurva
diputar mengelilingi sumbu Y

7. =
= 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-1)2]
= 16 – 8 + 2 + 2 = 12
 


2
1
2
dx46 xx  2
1
23
22  xx
Integral Tentu Luas DaerahLuas Daerah
Hitunglah nilai dari  


2
1
2
dx46 xx
Contoh 1 :
Jawab
Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan
misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka
berlaku :
Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai
Teorema Dasar Kalkulus
)(F)(F)( abdxxf
b
a

 b
ax)(F

8. Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai
luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].
y
x
0 a bx
y
a
x
0 b

b
a
dxxf )(
Jumlah Luas Partisi Berubah Menjadi Integral
Tentukan limitnya
n  
)(xf


n
i
ii xxf
1
)( 
)(xf
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
i
n
i
i
n
b
a
xxfdxxfL  
 1
)()( lim

9. Kegiatan pokok dalam menghitung luas
daerah dengan integral tentu adalah:
1. Gambar daerahnya.
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luas sebuah partisi
Li  f(xi) xi
4. Jumlahkan luas partisi
L   f(xi) xi
5. Ambil limitnya L = lim  f(xi) xi
6. Nyatakan dalam integral
x
0
y
)(xfy 
a
xi
xi
)( ixf
Li
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

a
dxxf
0
)(L

10. Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis x = 3
Contoh 1.
Langkah penyelesaian :
1. Gambarlah daerahnya
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luasnya Li  xi
2 xi
4. Jumlahkan luasnya L   xi
2 xi
5. Ambil limit jumlah luasnya
L = lim  xi
2 xi
6. Nyatakan dalam integral dan
hitung nilainya
y
0
x
3
2
)( xxf 
dxx
3
0
2
L
903
33
3
0
3
3
L 



 x
Li
xi
xi
2
ix
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
Jawab

11. Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu Y, dan garis y = 4
Contoh 2.
Langkah penyelesaian :
1. Gambarlah daerahnya
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luasnya L  xi.y
4. Jumlahkan luasnya L   y. y
5. Ambil limit jumlah luasnya
L = lim  y. y
6. Nyatakan dalam integral dan
hitung nilainya
y
0
x
4
dyy
4
0
.L
3
16
8.
3
2
3
2
L
4
0
2
3






 y
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
Jawab
xi
2
)( xxf 
y
y

12. Langkah penyelesaian:
1. Gambar dan Partisi daerahnya
2. Aproksimasi : Li  (4xi - xi
2)xi dan
Aj  -(4xj - xj
2)xj
3. Jumlahkan : L  (4xi - xi
2)xi dan A
  -(4xj - xj
2)xj
4. Ambil limitnya L = lim  (4xi - xi
2)xi
dan A = lim  -(4xj - xj
2)xj
5. Nyatakan dalam integral
y
0
x64
2
4)( xxxf 
dxxx 
4
0
2
)4(L dxxx 
6
4
2
)4(A
xi
Li
xi
xj
Aj
xj
2
4 ii xx 
)4(0 2
xx 
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x,
dan garis x = 6
Contoh 3.
Jawab

13. dxxx 
4
0
2
)4(L
dxxx 
6
4
2
)4(A
y
0
x64
2
4)( xxxf 
xi
Li
xi
xj
Aj
xj
2
4 ii xx 
)4(0 2
xx 
 4
0
3
3
12
2L xx 
3
643
3
12
320)4()4(2L 
 6
4
3
3
12
2A xx 
 3
3
123
3
12
)4()4(2)6()6(2A 
3
64
3
216
3272A 
40A 3
152

3
1
214032daerahLuas 3
152
3
64

Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

14. Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
Kesimpulan :

b
a
dyxL .
b
a
dxyL .
y
0
x
y
y
x
0
)(xfy xi
xi
)( ixf
y

15. LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA
Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang
[a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi,
jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas
daerah antara dua kurva tersebut.
Langkah penyelesaian:
1. Partisi daerahnya
2. Aproksimasi : Li  [ f(x) – g(x) ] x
4. Jumlahkan : L   [ f(x) – g(x) ] x
5. Ambil limitnya :
L = lim  [ f(x) – g(x) ] x
6. Nyatakan dalam integral tertentu
y
ba
)(xfy 
)(xgy 
0
x
Li
x
x
)()( xgxf 
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
 dxxgxf
b
a
  )()(L

16. Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2 - x
Contoh 4.
Langkah penyelesaian:
1. Gambar daerahnya
2. Tentukan titik potong kedua kurva
x2 = 2 – x  x2 + x – 2 = 0  (x + 2)(x – 1) = 0
diperoleh x = -2 dan x = 1
3. Partisi daerahnya
4. Aproksimasi luasnya
Li  (2 - x - x2)x
5. Nyatakan dalam integral tertentu
dxxx


1
2
2
)2(L 0
x
1 2-1-2-3
2
xy 
xy  2
y
1
2
3
4
5
Li
x
x
2
)2( xx 
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
Jawab

17. dxxx


1
2
2
)2(L
0
x
1 2-1-2-3
2
xy 
xy  2
y
1
2
3
4
5
Li
x
x
2
)2( xx 
 1
232
32
2L 
 xx
x










 

3
3)2(
2
2)2(
3
31
2
21
)2(2)1(2L
   3
8
3
1
2
1
242L 
3
8
3
1
2
1
242L 
2
1
2
1
45L 
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

18. Untuk kasus tertentu pemartisian
secara vertikal menyebabkan ada
dua bentuk integral. Akibatnya
diperlukan waktu lebih lama untuk
menghitungnya.
)(xfy 
y
a b
Lix
x
)()( xgxf 
)(2 xf
Ai
0
x
)(xgy 
Luas daerah = 
a
dxxf
0
)(2   
b
a
dxxgxf )()(
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

19. Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh
satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga
penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya.
)()( yfxxfy 
y
0
x
)()( ygxxgy 
Luas daerah =   
d
c
dyyfyg )()(
Li y
c
d
)()( yfyg 
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

20. Hitunglah luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6,
dan sumbu x
Contoh 5.
Langkah penyelesaian:
1. Gambar daerahnya
2. Tentukan titik potong kedua kurva
y2 = 6 – y  y2 + y – 6 = 0  (y + 3)(y – 2) = 0
diperoleh y = - 3 dan y = 2
3. Partisi daerahnya
4. Aproksimasi luasnya
Li  (6 - y - y2)y
5. Nyatakan dalam integral tertentu
Luas daerah =   
2
0
2
6 dyyy
2
yx 
yx  6
2
y
6
x
0
6
Li
y
y
2
)6( yy 
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah
Jawab

21. Luas daerah =   
2
0
2
6 dyyy
2
yx 
yx  6
2
y
6
x
0
6
Li y
y
2
)6( yy 
Luas daerah =
2
0
3
3
2
2
6









yy
y
Luas daerah = 0
3
32
2
4)2(6 








Luas daerah = 




 
3
8212
Luas daerah = 3
22
Menghitung Luas dengan Integral Luas DaerahLuas Daerah

22. PENERAPAN INTEGRAL
Volume benda putar

23. Pendahuluan Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Suatu daerah jika di putar
mengelilingi garis tertentu sejauh
360º, maka akan terbentuk suatu
benda putar. Kegiatan pokok dalam
menghitung volume benda putar
dengan integral adalah: partisi,
aproksimasi, penjumlahan,
pengambilan limit, dan menyatakan
dalam integral tentu. Gb. 4

24. Pendahuluan Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah
bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi
tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda
putar dibagi menjadi :
1. Metode cakram
2. Metode cincin
3. Metode kulit tabung
y
0 x
y
x
0
x
1 2-
2
-
1
y
1
2
3
4

25. PERLU DI INGAT !!!!!
 RUMUS DASAR TABUNG :
>> LUAS PERMUKAAN TABUNG
L = 2 x π x jari-jari x tinggi
L = 2 π r t
>> VOLUME TABUNG
V = luas alas x tinggi
V = π x (jari-jari) 2 x tinggi
V = π r 2 t

26. Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Metode cakram yang digunakan
dalam menentukan volume
benda putar dapat dianalogikan
seperti menentukan volume
mentimun dengan memotong-
motongnya sehingga tiap
potongan berbentuk cakram.

27. Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Bentuk cakram di samping dapat
dianggap sebagai tabung dengan jari-jari
r = f(x), tinggi h = x. Sehingga
volumenya dapat diaproksimasi sebagai
V  r2h atau V   f(x)2x.
Dengan cara jumlahkan, ambil
limitnya, dan nyatakan dalam integral
diperoleh:
V    f(x)2 x
V = lim   f(x)2 x
dxxf
a

0
2)]([v 
x
h=x
x
x
y
0 x
y
x
a
)(xf
)(xfr 
dxy
a

0
2
V 

28. Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar
x
h=x
x
x
y
0 x
y
x
a
)(xf
)(xfr 
dxy
a
.V
0
2
 
x
h=y
)(yfxr 
y
y
y
x
)()( yfxxfy 
x
y
)(xfy 
dyx
a

0
2
.V 

29. Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 1,
sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.
Contoh 6.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Nyatakan dalam bentuk
integral.
y
2x
12
x
x
12
 xy
1
y
h=x
x
x
12
 xr
x
Jawab
dxyV 
2
0
.
2

dxxV  
2
0
22
)1(

30. Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar
y
h=x
x
x
12
 xr
dxxV  
2
0
22
)1(
dxxxV  
2
0
24
)12(
 2
0
3
3
25
5
1 xxxV  
 15
11
3
16
5
32 13)02( V
dxyV 
2
0
.
2


31. Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2,
sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Contoh 7.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buatlah sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan bentuk
partisi
4. Aproksimasi volume partisi yang
diputar, jumlahkan, ambil
limitnya, dan nyatakan dalam
bentuk integral.
2
y
y
2
xy 
x
y
y
x
y
h=y
y
yr 
Jawab

32. Metode Cakram Volume Benda PutarVolume Benda Putar
dyyV 
2
0

 2
0
2
2
1
yV 
)04(2
1
 V
x
y
h=y
y
yr 
2
dyyV 
2
0

2V
dyxV 
2
0
2
. y = x2

33. Metode Cincin Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Metode cincin yang digunakan
dalam menentukan volume
benda putar dapat
dianalogikan seperti
menentukan volume bawang
bombay dengan memotong-
motongnya yang potongannya
berbentuk cincin.

34. Metode Cincin Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Menghitung volume benda putar
dengan menggunakan metode
cincin dilakukan dengan
memanfaatkan rumus volume
cincin seperti gambar di samping,
yaitu V= (R2 – r2)h
h
r
R
dan  
b
a
dxyyV .
2
2
2
1   
b
a
dyxxV .
2
2
2
1

35. Metode Cincin Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.
Contoh 8.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Aproksimasi volume partisi
yang diputar, jumlahkan,
ambil limitnya, dan
nyatakan dalam bentuk
integral.
4
y
y = 2x
2
2
xy 
x
x
x
x2
2x
y
x
Jawab

36. Metode Cincin Volume Benda PutarVolume Benda Putar
y
x
4
y
y = 2x
2
2
xy 
x
x
x
r=x2
R=2x
V  (R2 – r2) h
V   [ (2x)2 – (x2)2 ] x
dxxxV  
2
0
42 )4(
 2
0
5
5
13
3
4 xxV  
)(
5
32
3
32  V
)(
15
96160 V
15
64V
dxyyV  
2
0
2
2
2
1 )(

37. Metode Kulit Tabung Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Contoh 9.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buatlah sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi.
4. Aproksimasi volume partisi yang
diputar, jumlahkan, ambil limitnya,
dan nyatakan dalam bentuk integral. 0
x
1 2
x
x
2
xy 
x2
y
1
2
3
4
Jawab

38. Metode Kulit Tabung Volume Benda PutarVolume Benda Putar
Metode kulit tabung yang
digunakan untuk menentukan
volume benda putar dapat
dianalogikan seperti
menentukan volume roti pada
gambar disamping.

39. Metode Kulit Tabung Volume Benda PutarVolume Benda Putar
r
r
h
h
2r
Δr
V = 2rhΔr
a b

b
a
dxyxV ..2
Dimana x merupakan jari-jari (r) dan y merupakan tinggi tabung (h)

40. Metode Kulit Tabung Volume Benda PutarVolume Benda Putar
0
x
1 2
x
x
2
xy 
x2
y
1
2
3
4
r = x
x
h = x2
0
x
1 21 2
y
1
2
3
4
V  2rhx
V  2(x)(x2)x
V   2x3x
V = lim  2x3x
dxxV 
2
0
3
2
 
2
0
4
4
12 xV 
8V
dxyxV ..2
2
0
 